1.2 集合的基本关系
1.下列选项中正确的是（ ）
A.1 {1} B.{1}∈{1，2}
C.{1} {1，2} D.1 {1}
2.下列四个集合中，是空集的是（ ）
A.{x｜x＋3＝3}
B.{（x，y）｜y2＝－x2，x，y∈R}
C.{x｜x2≤0}
D.{x｜x2－x＋1＝0，x∈R}
3.（2023·新高考Ⅱ卷2题）设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A B，则a＝（ ）
A.2 B.1
C. D.－1
4.已知集合A＝{－1，0，1，2}，则A的真子集的个数为（ ）
A.7 B.8
C.15 D.16
5.（多选）已知集合A＝{x｜x2－2x＝0}，则有（ ）
A. A B.－2∈A
C.{0，2} A D.A {y｜y＜3}
6.（多选）已知集合A＝{－1，0}，若集合B满足{0} B A，则集合B＝（ ）
A.{－1，0} B.{0}
C.{－1} D.
7.设a，b∈R，若集合{1，a＋b，a}＝，则a2 025＋b2 025＝ .
8.已知集合A＝{x∈Z｜0＜x≤4}，若M A，且M中至少有一个偶数，则这样的集合M的个数为 .
9.已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x｜1＜x－1＜4}.
（1）若A＝B，则y的值为 ；
（2）若A C，则a的取值范围为 .
10.已知集合A＝{（x，y）｜x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.
11.设集合A＝{x｜x＝，n∈Z}，B＝{x｜x＝n＋，n∈Z}，则下列图形能表示A与B关系的是（ ）
12.（多选）设集合A＝{－1，1}，集合B＝{x｜x2－2ax＋b＝0}，若B≠ ，B A，则（a，b）可能是（ ）
A.（－1，1） B.（－1，0）
C.（0，－1） D.（1，1）
13.集合A＝{x｜（a－1）x2＋3x－2＝0}有且仅有两个子集，则a＝ .
14.已知集合A＝{x｜1≤x≤2}，B＝{x｜1≤x≤a，a≥1}.
（1）若A B，求a的取值范围；
（2）若B A，求a的取值范围.
15.（多选）设S为实数集R的非空子集，若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集，则下列说法中正确的是（ ）
A.集合S＝{a＋b｜a，b为整数}为封闭集
B.若S为封闭集，则一定有0∈S
C.封闭集一定是无限集
D.若S为封闭集，则满足S T R的任意集合T也是封闭集
16.已知集合A＝{x｜｜x－a｜＝4}，集合B＝{1，2，b}.
（1）是否存在实数a，使得对于任意实数b都有A B？若存在，求出相应的a值；若不存在，试说明理由；
（2）若A B成立，求出相应的实数对（a，b）.
1.2 集合的基本关系
1.C 对A，1是元素，{1}是集合，元素与集合的关系是属于关系，不是包含关系，故A错误；对B，{1}和{1，2}都是集合，集合与集合间的关系是包含关系，故B错误；对C，{1}与{1，2}是包含关系，故C正确；对D，1与{1}是属于关系，故D错误.故选C.
2.D ∵x2－x＋1＝0，Δ＝1－4＝－3＜0，方程无解，∴{x｜x2－x＋1＝0，x∈R}＝ ，故选D.
3.B 由题意，得0∈B.又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B，舍去.当2a－2＝0时，a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，满足A B.综上所述，a＝1.故选B.
4.C A的真子集有24－1＝15个，故选C.
5.ACD 由题得集合A＝{0，2}，由于空集是任何集合的子集，故A正确；因为A＝{0，2}，所以C、D正确，B错误.
6.AB ∵集合B满足{0} B A，∴B＝{0}或B＝{－1，0}.
7.0 解析：由{1，a＋b，a}＝易知a≠0，a≠1，根据两个集合相等可知a＋b＝0，即b＝－a，则＝－1.此时{1，0，a}＝{0，－1，b}，所以a＝－1，b＝1.故a2 025＋b2 025＝（－1）2 025＋12 025＝0.
8.12 解析：因为A＝{x∈Z｜0＜x≤4}，所以A＝{1，2，3，4}.由M A，知集合M是集合A的子集，且M中至少有一个偶数，则满足条件的集合M分别为{2}，{2，1}，{2，3}，{1，2，3}，{4}，{1，4}，{3，4}，{1，3，4}，{2，4}，{1，2，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}，所以满足题意的集合M共有12个.
9.（1）1或3 （2）（3，5） 解析：（1）若a＝2，则A＝{1，2}，所以y＝1.若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，所以y＝3.综上，y的值为1或3.
（2）因为C＝{x｜2＜x＜5}，所以所以3＜a＜5.
10.解：因为A＝{（x，y）｜x＋y＝2，x，y∈N}.所以A＝{（0，2），（1，1），（2，0）}.所以A的子集有： ，{（0，2）}，{（1，1）}，{（2，0）}，{（0，2），（1，1）}，{（0，2），（2，0）}，{（1，1），（2，0）}，{（0，2），（1，1），（2，0）}.
11.D 对于集合A：x＝＝，对于集合B：x＝n＋＝＝，因为2n代表偶数，2（3n＋1）＋1代表奇数，所以集合A和集合B没有相同元素.
12.ACD 当a＝－1，b＝1时，B＝{x｜x2＋2x＋1＝0}＝{－1}，符合；当a＝－1，b＝0时，B＝{x｜x2＋2x＝0}＝{－2，0}，不符合；当a＝0，b＝－1时，B＝{x｜x2－1＝0}＝{－1，1}，符合；当a＝b＝1时，B＝{x｜x2－2x＋1＝0}＝{1}，符合.故选A、C、D.
13.－或1 解析：由集合A有两个子集可知，该集合是单元素集，当a＝1时，满足题意.当a≠1时，由Δ＝9＋8（a－1）＝0可得a＝－.
14.解：（1）若A B，由图可知，a＞2.
故实数a的取值范围为{a｜a＞2}.
（2）若B A，由图可知，1≤a≤2.
故实数a的取值范围为{a｜1≤a≤2}.
15.AB A对，任取x，y∈S，不妨设x＝a1＋b1，y＝a2＋b2（a1，a2，b1，b2∈Z），则x＋y＝（a1＋a2）＋（b1＋b2），其中a1＋a2，b1＋b2均为整数，即x＋y∈S，同理可得x－y∈S，xy∈S；B对，当x＝y时，0∈S；C错，当S＝{0}时，S是封闭集，但不是无限集；D错，设S＝{0} T＝{0，1}，显然S是封闭集，T不是封闭集.因此，说法正确的是A、B.
16.解：（1）不存在.理由如下：
若对任意的实数b都有A B，则当且仅当1和2是A中的元素时才有可能.
因为A＝{a－4，a＋4}，所以或这都不可能，所以这样的实数a不存在.
（2）由（1）易知，当且仅当或或或时，A B.
解得或或或
所以所求的实数对为（5，9），（6，10），（－3，－7），（－2，－6）.
2 / 21.2 集合的基本关系
新课程标准解读 核心素养
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集 数学抽象、逻辑推理
2.在具体情境中，了解空集的含义 数学抽象
3.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对理解抽象概念的作用 数学抽象、直观想象
草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.
【问题】 （1）集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？
（2）集合A与集合B又存在什么关系？
知识点 集合的基本关系
1.Venn图
定义：用平面上 的内部表示集合，称为Venn图.
2.子集
（2）规定：空集是任何集合的子集.也就是说，对于任意一个集合A，都有 .
提醒 “A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即若A B，则由x∈A，能推出x∈B.
3.集合相等
4.真子集
提醒 （1）A是B的真子集的含义：A，B首先要满足A B，其次至少有一个x∈B，但x A；（2）集合间关系的性质：①任何一个集合都是它本身的子集，即A A；②对于集合A，B，C，若A B，且B C，则A C；若A B，B C，则A C.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）空集没有子集.（ ）
（2）任何集合至少有两个子集.（ ）
（3）空集是任何一个集合的真子集.（ ）
（4）若集合A是集合B的子集，集合B是集合C的子集，则集合A是集合C的子集.（ ）
2.已知集合M＝{1}，N＝{1，2，3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是（ ）
A.M＜N B.M N
C.N M D.M N
3.设a∈R，若集合{2，9}＝{1－a，9}，则a＝ .
题型一 集合间关系的判断
【例1】 判断下列集合的关系：
（1）A＝{1，2，3}，B＝{x｜（x－1）（x－2）（x－3）＝0}；
尝试解答
（2）A＝{x｜－1＜x＜4}，B＝{x｜x－5＜0}；
（3）A＝{x｜x是文学作品}，B＝{x｜x是散文}，C＝{x｜x是叙事散文}.
尝试解答
通性通法
判断集合间关系的常用方法
【跟踪训练】
1.（多选）下列关系中，正确的有（ ）
A.0∈{0} B. {0}
C.{0，1} {（0，1）} D.{（1，2）}＝{（2，1）}
2.已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x｜x＜8，x∈N}，用适当的符号填空：
（1）A B；（2）A C；
（3）{2} C；（4）2 C.
题型二 确定有限集合的子集、真子集及其个数
【例2】 填写下表，回答后面的问题：
集合 元素 个数 所有子集 子集 个数 真子集 个数
{a} 1
{a，b} 2
{a，b，c} 3
{a，b，c，d} 4
（1）你能找出“元素个数”与“子集个数”之间关系的规律吗？
（2）如果一个集合中有n个元素，你能用n表示出这个集合的子集、真子集个数吗？
（3）设集合A满足{1，2} A {1，2，3，4，5}，那么满足条件的集合A有多少个？
尝试解答
通性通法
求集合子集、真子集个数的3个步骤
提醒 （1）要注意两个特殊的子集： 和自身；
（2）含有几个元素的集合，它的所有子集共有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
【跟踪训练】
已知集合M＝{0，1}，N＝{－1，0，1}.
（1）写出集合M的子集、真子集；
（2）求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数.
题型三 由集合间的关系求参数值（或范围）
【例3】 已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m－6≤x≤2m－1}，若A B，求实数m的取值范围.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）本例中若将“A B”改为“B A”，其他条件不变，求m的取值范围.
2.（变条件）本例若将集合A，B分别改为A＝{－1，3，2m－1}，B＝{3，m2}，且B A，求实数m的值.
通性通法
由集合间的包含关系求参数的方法
（1）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论；
（2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点.
提醒 （1）不能忽视集合为 的情形；
（2）当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论.
【跟踪训练】
已知集合A＝{x｜x＞4}，非空集合B＝{x｜2a≤x≤a＋3}，若B A，求实数a的取值范围.
1.设集合M＝{1，2，3}，N＝{1}，则下列关系正确的是（ ）
A.N∈M B.N M
C.N M D.N M
2.下列各组两个集合A和B，表示相等集合的是（ ）
A.A＝{π}，B＝{3.141 59}
B.A＝{2，3}，B＝{（2，3）}
C.A＝{1，，π}，B＝{π，1，｜－｜}
D.A＝{x｜－1＜x≤1，x∈N}，B＝{1}
3.已知集合A＝{x｜x＝3k，k∈Z}，B＝{x｜x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是（ ）
A.A B B.A B
C.A B D.B A
4.集合A＝{x｜x≥1，或x≤－2}，B＝{x｜x≥a}，若B A，则实数a的取值范围是 .
1.2 集合的基本关系
【基础知识·重落实】
知识点
1.封闭曲线 2.（1）任何 A B B A （2） A 3.子集 子集 A B B A 4.A B A≠B A B B A
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）× （4）√
2.D ∵集合M中的元素都在集合N中，但是M≠N.∴M N，故选D.
3.－1 解析：因为{2，9}＝{1－a，9}，则2＝1－a，所以a＝－1.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）B＝{x｜（x－1）（x－2）（x－3）＝0}＝{1，2，3}＝A.
（2）集合B＝{x｜x＜5}，用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A B.
（3）画出Venn图，可知C B A.
跟踪训练
1.AB 对于A，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确；对于B，由于空集是任何非空集合的真子集，所以 {0}正确；对于C，{0，1}是数集，{（0，1）}是点集，所以C错误；对于D，{（1，2）}与{（2，1）}是不同的点集，所以D错误.
2.（1）＝ （2） （3） （4）∈ 解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x｜x＜8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}.故（1）A＝B；（2）A C；（3）{2} C；（4）2∈C.
【例2】 解：填表：
集合 元素个数 所有子集 子集个数 真子集个数
{a} 1 ，{a} 2 1
{a，b} 2 ，{a}，{b}，{a，b} 4 3
{a，b，c} 3 ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{b，c}，{a，c}，{a，b，c} 8 7
{a，b，c，d} 4 ，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d} 16 15
（1）“子集个数”是2的“元素个数”次方.
（2）能，这个集合的子集个数为2n.真子集个数为2n－1.
（3）A的个数是集合{3，4，5}的子集的个数，即23＝8个.
跟踪训练
解：（1）M的子集为 ，{0}，{1}，{0，1}；其中真子集为： ，{0}，{1}.
（2）N的子集为： ，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{0，1}，{－1，0，1}.
所以N的子集数为8个，真子集数为7个，非空真子集数为6个.
【例3】 解：∵A B，
∴解得故3≤m≤4.
∴实数m的取值范围是{m｜3≤m≤4}.
母题探究
1.解：当B＝ 时，m－6＞2m－1，即m＜－5.
当B≠ 时，
即m∈ .
故实数m的取值范围是{m｜m＜－5}.
2.解：因为B A，所以m2＝2m－1，即（m－1）2＝0，所以m＝1，当m＝1时，A＝{－1，3，1}，B＝{3，1}，满足B A.所以m的值为1.
跟踪训练
解：因为B≠ ，根据题意作出如图所示的数轴，
则
解得2＜a≤3.
所以实数a的取值范围为{a｜2＜a≤3}.
随堂检测
1.D
2.C 集合相等，两集合中的元素完全相同.选项A，∵π≠3.141 59，∴A≠B；选项B，∵2，3表示两个实数，而（2，3）表示一个点，∴A≠B；选项C，∵｜－｜＝，∴A＝B；选项D，∵A＝{x｜－1＜x≤1，x∈N}＝{0，1}≠B＝{1}，∴A≠B.
3.D 集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，所以B A.
4.[1，＋∞） 解析：如图，，若B A，则a≥1.
4 / 4(共54张PPT)
1.2 集合的基本关系
新课程标准解读 核心素养
1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集
合的子集 数学抽象、逻
辑推理
2.在具体情境中，了解空集的含义 数学抽象
3.能使用Venn图表达集合的基本关系，体会图形对
理解抽象概念的作用 数学抽象、直
观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合 A ，草原上的所有马组成集合 B .
【问题】 （1）集合 A 中的元素与集合 B 中的元素的关系是怎样的？
（2）集合 A 与集合 B 又存在什么关系？
知识点 集合的基本关系
1. Venn图
定义：用平面上 的内部表示集合，称为Venn图.
封闭曲线
2. 子集
（2）规定：空集是任何集合的子集.也就是说，对于任意一个集合
A ，都有 .
提醒 “ A 是 B 的子集”的含义：集合 A 中的任何一个元素
都是集合 B 中的元素，即若 A B ，则由 x ∈ A ，能推出 x ∈ B .
A
3. 集合相等
4. 真子集
提醒 （1） A 是 B 的真子集的含义： A ， B 首先要满足 A B ，其
次至少有一个 x ∈ B ，但 x A ；（2）集合间关系的性质：①任何
一个集合都是它本身的子集，即 A A ；②对于集合 A ， B ， C ，
若 A B ，且 B C ，则 A C ；若 A B ， B C ，则 A C .
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）空集没有子集. （ × ）
（2）任何集合至少有两个子集. （ × ）
（3）空集是任何一个集合的真子集. （ × ）
（4）若集合 A 是集合 B 的子集，集合 B 是集合 C 的子集，则集合 A
是集合 C 的子集. （ √ ）
×
×
×
√
2. 已知集合 M ＝{1}， N ＝{1，2，3}，能够准确表示集合 M 与 N 之间
关系的是（ ）
A. M ＜ N B. M N
C. N M D. M N
解析： ∵集合 M 中的元素都在集合 N 中，但是 M ≠ N . ∴ M
N ，故选D.
3. 设 a ∈R，若集合{2，9}＝{1－ a ，9}，则 a ＝ .
解析：因为{2，9}＝{1－ a ，9}，则2＝1－ a ，所以 a ＝－1.
－1
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 集合间关系的判断
【例1】 判断下列集合的关系：
（1） A ＝{1，2，3}， B ＝{ x ｜（ x －1）（ x －2）（ x －3）＝0}；
解： B ＝{ x ｜（ x －1）（ x －2）（ x －3）＝0}＝{1，2，3}＝ A .
（2） A ＝{ x ｜－1＜ x ＜4}， B ＝{ x ｜ x －5＜0}；
解：集合 B ＝{ x ｜ x ＜5}，用数轴表示集合 A ， B 如图所示，由
图可知 A B .
（3） A ＝{ x ｜ x 是文学作品}， B ＝{ x ｜ x 是散文}， C ＝{ x ｜ x 是叙
事散文}.
解：画出Venn图，可知 C B A .
通性通法
判断集合间关系的常用方法
【跟踪训练】
1. （多选）下列关系中，正确的有（ ）
A. 0∈{0} B. {0}
C. {0，1} {（0，1）} D. {（1，2）}＝{（2，1）}
解析： 对于A，集合{0}中含有1个元素0，所以0∈{0}正确；
对于B，由于空集是任何非空集合的真子集，所以 {0}正确；对
于C，{0，1}是数集，{（0，1）}是点集，所以C错误；对于D，
{（1，2）}与{（2，1）}是不同的点集，所以D错误.
2. 已知集合 A ＝{ x ｜ x2－3 x ＋2＝0}， B ＝{1，2}， C ＝{ x ｜ x ＜8，
x ∈N}，用适当的符号填空：
（1） A B ；（2） A C ；
（3）{2} C ；（4）2 C .
解析：集合 A 为方程 x2－3 x ＋2＝0的解集，即 A ＝{1，2}，
而 C ＝{ x ｜ x ＜8， x ∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}.故
（1） A ＝ B ；（2） A C ；（3）{2} C ；（4）2∈ C .
＝
∈
题型二 确定有限集合的子集、真子集及其个数
【例2】 填写下表，回答后面的问题：
集合 元素个数 所有子集 子集个数 真子集个数
{ a } 1
{ a ， b } 2
{ a ， b ， c } 3
{ a ， b ， c ，d } 4
（1）你能找出“元素个数”与“子集个数”之间关系的规律吗？
解：填表：
集合 元素个
数 所有子集 子集
个数 真子集个
数
{ a } 1 ，{ a } 2 1
{ a ，
b } 2 ，{ a }，{ b }，{ a ， b } 4 3
集合 元素个数 所有子集 子集
个数 真子集个数
{ a ，
b ，
c } 3 ，{ a }，{ b }，{ c }，{ a ， b }，
{ b ， c }，{ a ， c }，{ a ， b ， c } 8 7
{ a ，
b ，
c ，
d } 4 ，{ a }，{ b }，{ c }，{ d }，{ a ， b }，{ a ， c }{ a ， d }，{ b ， c }，{ b ， d }，{ c ， d }，{ a ， b ， c }，{ a ， b ， d }，{ a ， c ， d }，{ b ， c ， d }，{ a ， b ， c ， d } 16 15
“子集个数”是2的“元素个数”次方.
（2）如果一个集合中有 n 个元素，你能用 n 表示出这个集合的子集、
真子集个数吗？
解：能，这个集合的子集个数为2 n .真子集个数为2 n －1.
（3）设集合 A 满足{1，2} A {1，2，3，4，5}，那么满足条件的
集合 A 有多少个？
解： A 的个数是集合{3，4，5}的子集的个数，即23＝8个.
通性通法
求集合子集、真子集个数的3个步骤
提醒 （1）要注意两个特殊的子集： 和自身；
（2）含有几个元素的集合，它的所有子集共有2 n 个，真子集有2 n －1
个，非空子集有2 n －1个，非空真子集有2 n －2个.
【跟踪训练】
已知集合 M ＝{0，1}， N ＝{－1，0，1}.
（1）写出集合 M 的子集、真子集；
解： M的子集为 ，{0}，{1}，{0，1}；其中真子集为： ，
{0}，{1}.
（2）求集合 N 的子集数、真子集数和非空真子集数.
解： N 的子集为： ，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，
1}，{0，1}，{－1，0，1}.
所以 N 的子集数为8个，真子集数为7个，非空真子集数为6个.
题型三 由集合间的关系求参数值（或范围）
【例3】 已知集合 A ＝{ x ｜－2≤ x ≤5}， B ＝{ x ｜ m －6≤ x ≤2 m
－1}，若 A B ，求实数 m 的取值范围.
解：∵ A B ，
∴解得故3≤ m ≤4.
∴实数 m 的取值范围是{ m ｜3≤ m ≤4}.
【母题探究】
1. （变条件）本例中若将“ A B ”改为“ B A ”，其他条件不
变，求 m 的取值范围.
解：当 B ＝ 时， m －6＞2 m －1，即 m ＜－5.
当 B ≠ 时，即 m ∈ .
故实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ＜－5}.
2. （变条件）本例若将集合 A ， B 分别改为 A ＝{－1，3，2 m －1}，
B ＝{3， m2}，且 B A ，求实数 m 的值.
解：因为 B A ，所以 m2＝2 m －1，即（ m －1）2＝0，所以 m ＝
1，当 m ＝1时， A ＝{－1，3，1}， B ＝{3，1}，满足 B A . 所以
m 的值为1.
通性通法
由集合间的包含关系求参数的方法
（1）当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方
程求解，此时应注意分类讨论；
（2）当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注
意端点处是实点还是虚点.
提醒 （1）不能忽视集合为 的情形；
（2）当集合中含有字母参数时，一般要分类讨论.
【跟踪训练】
已知集合 A ＝{ x ｜ x ＞4}，非空集合 B ＝{ x ｜2 a ≤ x ≤ a ＋3}，若 B
A ，求实数 a 的取值范围.
解：因为 B ≠ ，根据题意作出如图所示的数轴，
则解得2＜ a ≤3.
所以实数 a 的取值范围为{ a ｜2＜ a ≤3}.
1. 设集合 M ＝{1，2，3}， N ＝{1}，则下列关系正确的是（ D ）
A. N ∈ M B. N M
C. N M D. N M
D
2. 下列各组两个集合 A 和 B ，表示相等集合的是（ ）
A. A ＝{π}， B ＝{3.141 59}
B. A ＝{2，3}， B ＝{（2，3）}
D. A ＝{ x ｜－1＜ x ≤1， x ∈N}， B ＝{1}
解析： 集合相等，两集合中的元素完全相同.选项A，
∵π≠3.141 59，∴ A ≠ B ；选项B，∵2，3表示两个实数，而
（2，3）表示一个点，∴ A ≠ B ；选项C，∵｜－ ｜＝ ，∴ A
＝ B ；选项D，∵ A ＝{ x ｜－1＜ x ≤1， x ∈N}＝{0，1}≠ B ＝
{1}，∴ A ≠ B .
3. 已知集合 A ＝{ x ｜ x ＝3 k ， k ∈Z}， B ＝{ x ｜ x ＝6 k ， k ∈Z}，则
A 与 B 之间最适合的关系是（ ）
A. A B B. A B
C. A B D. B A
解析： 集合 A 是能被3整除的整数组成的集合，集合 B 是能被6
整除的整数组成的集合，所以 B A .
4. 集合 A ＝{ x ｜ x ≥1，或 x ≤－2}， B ＝{ x ｜ x ≥ a }，若 B A ，则
实数 a 的取值范围是 .
解析：如图， ，若 B A ，则 a ≥1.
[1，＋∞）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列选项中正确的是（ ）
A. 1 {1} B. {1}∈{1，2}
C. {1} {1，2} D. 1 {1}
解析： 对A，1是元素，{1}是集合，元素与集合的关系是属于
关系，不是包含关系，故A错误；对B，{1}和{1，2}都是集合，集
合与集合间的关系是包含关系，故B错误；对C，{1}与{1，2}是包
含关系，故C正确；对D，1与{1}是属于关系，故D错误.故选C.
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2. 下列四个集合中，是空集的是（ ）
A. { x ｜ x ＋3＝3}
B. {（ x ， y ）｜ y2＝－ x2， x ， y ∈R}
C. { x ｜ x2≤0}
D. { x ｜ x2－ x ＋1＝0， x ∈R}
解析： ∵ x2－ x ＋1＝0，Δ＝1－4＝－3＜0，方程无解，
∴{ x ｜ x2－ x ＋1＝0， x ∈R}＝ ，故选D.
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3. （2023·新高考Ⅱ卷2题）设集合 A ＝{0，－ a }， B ＝{1， a －2，2 a
－2}，若 A B ，则 a ＝（ ）
A. 2 B. 1
D. －1
解析： 由题意，得0∈ B . 又 B ＝{1， a －2，2 a －2}，所以 a －
2＝0或2 a －2＝0.当 a －2＝0时， a ＝2，此时 A ＝{0，－2}， B ＝
{1，0，2}，不满足 A B ，舍去.当2 a －2＝0时， a ＝1，此时 A
＝{0，－1}， B ＝{1，－1，0}，满足 A B . 综上所述， a ＝1.故
选B.
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4. 已知集合 A ＝{－1，0，1，2}，则 A 的真子集的个数为（ ）
A. 7 B. 8 C. 15 D. 16
解析： A 的真子集有24－1＝15个，故选C.
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5. （多选）已知集合 A ＝{ x ｜ x2－2 x ＝0}，则有（ ）
A. A B. －2∈ A
C. {0，2} A D. A { y ｜ y ＜3}
解析： 由题得集合 A ＝{0，2}，由于空集是任何集合的子集，故A正确；因为 A ＝{0，2}，所以C、D正确，B错误.
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6. （多选）已知集合 A ＝{－1，0}，若集合 B 满足{0} B A ，则集
合 B ＝（ ）
A. {－1，0} B. {0} C. {－1} D.
解析： ∵集合 B 满足{0} B A ，∴ B ＝{0}或 B ＝{－1，0}.
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7. 设 a ， b ∈R，若集合{1， a ＋ b ， a }＝ ，则 a2 025＋ b2
025＝ .
解析：由{1， a ＋ b ， a }＝ 易知 a ≠0， a ≠1，根据两
个集合相等可知 a ＋ b ＝0，即 b ＝－ a ，则 ＝－1.此时{1，0， a }
＝{0，－1， b }，所以 a ＝－1， b ＝1.故 a2 025＋ b2 025＝（－1）2 025
＋12 025＝0.
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8. 已知集合 A ＝{ x ∈Z｜0＜ x ≤4}，若 M A ，且 M 中至少有一个偶
数，则这样的集合 M 的个数为 .
解析：因为 A ＝{ x ∈Z｜0＜ x ≤4}，所以 A ＝{1，2，3，4}.由 M
A ，知集合 M 是集合 A 的子集，且 M 中至少有一个偶数，则满足
条件的集合 M 分别为{2}，{2，1}，{2，3}，{1，2，3}，{4}，
{1，4}，{3，4}，{1，3，4}，{2，4}，{1，2，4}，{2，3，4}，
{1，2，3，4}，所以满足题意的集合 M 共有12个.
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9. 已知集合 A ＝{ a ， a －1}， B ＝{2， y }， C ＝{ x ｜1＜ x －1＜4}.
（1）若 A ＝ B ，则 y 的值为 ；
解析：若 a ＝2，则 A ＝{1，2}，所以 y ＝1.若 a －1＝
2，则 a ＝3， A ＝{2，3}，所以 y ＝3.综上， y 的值为1或3.
（2）若 A C ，则 a 的取值范围为 .
解析：因为 C ＝{ x ｜2＜ x ＜5}，所以
所以3＜ a ＜5.
1或3
（3，5）
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10. 已知集合 A ＝{（ x ， y ）｜ x ＋ y ＝2， x ， y ∈N}，试写出 A 的所
有子集.
解：因为 A ＝{（ x ， y ）｜ x ＋ y ＝2， x ， y ∈N}.所以 A ＝
{（0，2），（1，1），（2，0）}.所以 A 的子集有： ，{（0，
2）}，{（1，1）}，{（2，0）}，{（0，2），（1，1）}，
{（0，2），（2，0）}，{（1，1），（2，0）}，{（0，2），
（1，1），（2，0）}.
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11. 设集合 A ＝{ x ｜ x ＝ ， n ∈Z}， B ＝{ x ｜ x ＝ n ＋ ， n ∈Z}，则
下列图形能表示 A 与 B 关系的是（ ）
解析： 对于集合 A ： x ＝ ＝ ，对于集合 B ： x ＝ n ＋ ＝
＝ ，因为2 n 代表偶数，2（3 n ＋1）＋1代表奇
数，所以集合 A 和集合 B 没有相同元素.
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12. （多选）设集合 A ＝{－1，1}，集合 B ＝{ x ｜ x2－2 ax ＋ b ＝0}，
若 B ≠ ， B A ，则（ a ， b ）可能是（ ）
A. （－1，1） B. （－1，0）
C. （0，－1） D. （1，1）
解析： 当 a ＝－1， b ＝1时， B ＝{ x ｜ x2＋2 x ＋1＝0}＝
{－1}，符合；当 a ＝－1， b ＝0时， B ＝{ x ｜ x2＋2 x ＝0}＝{－
2，0}，不符合；当 a ＝0， b ＝－1时， B ＝{ x ｜ x2－1＝0}＝{－
1，1}，符合；当 a ＝ b ＝1时， B ＝{ x ｜ x2－2 x ＋1＝0}＝{1}，
符合.故选A、C、D.
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13. 集合 A ＝{ x ｜（ a －1） x2＋3 x －2＝0}有且仅有两个子集，则 a
＝ .
解析：由集合 A 有两个子集可知，该集合是单元素集，当 a ＝1
时，满足题意.当 a ≠1时，由Δ＝9＋8（ a －1）＝0可得 a ＝－ .
－ 或1
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14. 已知集合 A ＝{ x ｜1≤ x ≤2}， B ＝{ x ｜1≤ x ≤ a ， a ≥1}.
（1）若 A B ，求 a 的取值范围；
解：若 A B ，由图可知， a ＞2.
故实数 a 的取值范围为{ a ｜ a ＞2}.
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（2）若 B A ，求 a 的取值范围.
解：若 B A ，由图可知，1≤ a ≤2.
故实数 a 的取值范围为{ a ｜1≤ a ≤2}.
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15. （多选）设 S 为实数集R的非空子集，若对任意 x ， y ∈ S ，都有 x
＋ y ， x － y ， xy ∈ S ，则称 S 为封闭集，则下列说法中正确的是
（ ）
B. 若 S 为封闭集，则一定有0∈ S
C. 封闭集一定是无限集
D. 若 S 为封闭集，则满足 S T R的任意集合 T 也是封闭集
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解析： A对，任取 x ， y ∈ S ，不妨设 x ＝ a1＋ b1 ， y ＝ a2
＋ b2 （ a1， a2， b1， b2∈Z），则 x ＋ y ＝（ a1＋ a2）＋（ b1＋
b2） ，其中 a1＋ a2， b1＋ b2均为整数，即 x ＋ y ∈ S ，同理可得
x － y ∈ S ， xy ∈ S ；B对，当 x ＝ y 时，0∈ S ；C错，当 S ＝{0}
时， S 是封闭集，但不是无限集；D错，设 S ＝{0} T ＝{0，1}，
显然 S 是封闭集， T 不是封闭集.因此，说法正确的是A、B.
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16. 已知集合 A ＝{ x ｜｜ x － a ｜＝4}，集合 B ＝{1，2， b }.
（1）是否存在实数 a ，使得对于任意实数 b 都有 A B ？若存
在，求出相应的 a 值；若不存在，试说明理由；
解：不存在.理由如下：
若对任意的实数 b 都有 A B ，则当且仅当1和2是 A 中的元
素时才有可能.
因为 A ＝{ a －4， a ＋4}，所以或
这都不可能，所以这样的实数 a 不存在.
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（2）若 A B 成立，求出相应的实数对（ a ， b ）.
解：由（1）易知，当且仅当或
或或时， A B .
解得或或或
所以所求的实数对为（5，9），（6，10），（－3，－
7），（－2，－6）.
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谢 谢 观 看！
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