1.3 集合的基本运算
第一课时 交集与并集
1.已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，则M∪N＝（ ）
A.{－1，0，1} B.{－1，0，1，2}
C.{－1，0，2} D.{0，1}
2.（2022·全国乙卷1题）集合M＝{2，4，6，8，10}，N＝{x｜－1＜x＜6}，则M∩N＝（ ）
A.{2，4} B.{2，4，6}
C.{2，4，6，8} D.{2，4，6，8，10}
3.集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为（ ）
A.0 B.1
C.2 D.4
4.（2022·新高考Ⅰ卷1题）若集合M＝{x｜＜4}，N＝{x｜3x≥1}，则M∩N＝（ ）
A.{x｜0≤x＜2} B.
C.{x｜3≤x＜16} D.
5.（多选）若集合M N，则下列结论正确的是（ ）
A.M∩N＝N B.M∪N＝N
C.（M∪N） N D.N （M∩N）
6.（多选）已知集合P＝{x｜1＜x＜4}，Q＝{x｜2＜x＜3}则下列结论正确的是（ ）
A.Q P
B.P∩Q＝{x｜2＜x＜3}
C.P Q
D.P∪Q＝{x｜1＜x＜4}
7.已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y｜y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝ .
8.若集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤－1，或x≥4}，则A∪B＝ ，A∩B＝ .
9.设集合A＝{x｜－1≤x＜2}，B＝{x｜x≤a}，若A∩B≠ ，则a的取值范围是 .
10.已知集合A＝{x｜x2－px＋15＝0}和B＝{x｜x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值.
11.已知集合A＝{1，2}，B＝{x｜mx－1＝0}，若A∩B＝B，则符合条件的实数m的值组成的集合为（ ）
A.1， B.－1，
C.1，0， D.1，－
12.（多选）设集合A＝{x｜y＝x2－4}，B＝{y｜y＝x2－4}，C＝{（x，y）｜y＝x2－4}，则下列关系中正确的是（ ）
A.A＝B B.A∪B＝R
C.A∩C＝ D.A B
13.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 .
14.已知集合M＝{x｜2x－4＝0}，集合N＝{x｜x2－3x＋m＝0}.
（1）当m＝2时，求M∩N，M∪N；
（2）当M∩N＝M时，求实数m的值.
15.当两个集合有公共元素，且互不为对方子集时，我们称这两个集合“相交”.对于集合M＝{x｜ax2－1＝0，a＞0}，N＝，若M与N相交，则a＝（ ）
A.4 B.3
C.2 D.1
16.已知集合A＝{x｜x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x｜x2－5x＋6＝0}，是否存在a使A，B同时满足下列三个条件：
（1）A≠B；（2）A∪B＝B；（3） （A∩B）.
若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.
第一课时 交集与并集
1.B M∪N＝{－1，0，1}∪{0，1，2}＝{－1，0，1，2}.
2.A 由题意知M∩N＝{2，4}，故选A.
3.D ∵A∪B＝{0，1，2，a，a2}，又A∪B＝{0，1，2，4，16}，∴{a，a2}＝{4，16}，∴a＝4.
4.D 法一（直接法） 因为M＝{x｜＜4}，所以M＝{x｜0≤x＜16}；因为N＝{x｜3x≥1}，所以N＝.所以M∩N＝，故选D.
法二（特取法） 观察选项进行特取，取x＝4，则4∈M，4∈N，所以4∈（M∩N），排除A、B；取x＝1，则1∈M，1∈N，所以1∈（M∩N），排除C.故选D.
5.BC ∵M N，∴M∩N＝M，M∪N＝N.（M∩N） N，（M∪N） N，故选B、C.
6.ABD 由集合P＝{x｜1＜x＜4}，Q＝{x｜2＜x＜3}，则Q P，故选项A正确.所以P∩Q＝{x｜2＜x＜3}，则选项B正确.P∪Q＝{x｜1＜x＜4}，选项D正确.显然P Q不正确，所以选项C不正确.故选A、B、D.
7.{1，4} 解析：由题意得，B＝{1，4，7，10}，所以A∩B＝{1，4}.
8.R {x｜4≤x＜5} 解析：借助数轴可知：A∪B＝R，A∩B＝{x｜4≤x＜5}.
9.[－1，＋∞） 解析：∵A＝{x｜－1≤x＜2}，B＝{x｜x≤a}，又∵A∩B≠ ，根据题意作出图形，如图，∴a≥－1.
10.解：因为A∩B＝{3}，所以3∈A.
从而可得p＝8，所以A＝{3，5}.
又由于3∈B，且A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{3}，
所以B＝{2，3}.
所以方程x2－ax－b＝0的两个根为2和3.
由根与系数的关系可得a＝5，b＝－6.
综上可得，p＝8，a＝5，b＝－6.
11.C 当m＝0时，B＝ ，A∩B＝B，符合题意；当m≠0时，x＝，要使A∩B＝B，则＝1或＝2，即m＝1或m＝.
12.BC 由题意可知：∵A＝{x｜y＝x2－4}＝R，∴A＝R，∵B＝{y｜y＝x2－4}＝{y｜y≥－4}，∴B＝[－4，＋∞），∵C＝{（x，y）｜y＝x2－4}，∴C表示二次函数y＝x2－4图象上任意一点的坐标构成的集合.∴B≠A，A∪B＝R，A∩C＝ ，B A.故选B、C.
13.12 解析：设所求人数为x（5≤x≤15），则只喜爱乒乓球运动的人数为10－（15－x）＝x－5，故15＋x－5＝30－8，解得x＝12.
14.解：（1）由题意得M＝{2}.
当m＝2时，N＝{x｜x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，
∴M∩N＝{2}，M∪N＝{1，2}.
（2）∵M∩N＝M，∴M N.∵M＝{2}，∴2∈N，
∴2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，
即4－6＋m＝0，解得m＝2.
15.D 当a＝4时，M＝，M N，不符合题意；当a＝3时，M＝，M∩N＝ ，不符合题意；当a＝2时，M＝，M∩N＝ ，不符合题意；当a＝1时，M＝{－1，1}，满足题意，故选D.
16.解：假设存在a使得A，B满足条件，由题意得B＝{2，3}.
∵A∪B＝B，∴A B，即A＝B或A B.
由条件（1）A≠B，可知A B.
又∵ （A∩B），∴A≠ ，即A＝{2}或{3}.
当A＝{2}时，代入得a2－2a－15＝0，即a＝－3或a＝5.
经检验：a＝－3时，A＝{2，－5}，与A＝{2}矛盾，舍去；
a＝5时，A＝{2，3}，与A＝{2}矛盾，舍去.
当A＝{3}时，代入得a2－3a－10＝0.即a＝5或a＝－2.
经检验：a＝－2时，A＝{3，－5}，与A＝{3}矛盾，舍去；
a＝5时，A＝{2，3}，与A＝{3}矛盾，舍去.
综上所述，不存在实数a使得A，B满足条件.
1 / 21.3 集合的基本运算
新课程标准解读 核心素养
1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集合的并集与交集 数学抽象、数学运算
2.在具体情境中，了解全集的含义 数学抽象
3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求给定子集的补集 数学抽象、数学运算
4.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用 数学运算、直观想象
第一课时 交集与并集
2023国家公务员考试报考条件中规定，报考人员应符合以下条件（摘录）：（1）具有中华人民共和国国籍；（2）18周岁以上、35周岁以下（1988年10月至2005年10月期间出生），2023年应届硕士研究生和博士研究生（非在职）人员年龄可放宽到40周岁以下（1983年10月以后出生）；……
【问题】 根据以上条件，哪些人可以报名参加公务员考试呢？
知识点一 交集
【想一想】
若A∩B＝A，则A与B有什么关系？
知识点二 并集
【想一想】
集合A∪B的元素个数是否等于集合A与集合B的元素个数之和？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若A，B中分别有2个元素，则A∪B中必有4个元素.（ ）
（2）若A∪B＝A，B≠ ，则B中的每个元素都属于集合A.（ ）
（3）并集定义中的“或”能改为“和”.（ ）
（4）若A∩B＝C∩B，则A＝C.（ ）
2.已知集合P＝{x｜x＜3}，Q＝{x｜－1≤x≤4}，那么P∩Q＝（ ）
A.{x｜－1≤x＜3} B.{x｜－1≤x≤4}
C.{x｜x≤4} D.{x｜x≥－1}
3.满足{1}∪B＝{1，2}的集合B＝ .
题型一 交集的运算
【例1】 （1）（2022·全国甲卷1题）设集合A＝{－2，－1，0，1，2}，B＝，则A∩B＝（ ）
A.{0，1，2} B.{－2，－1，0}
C.{0，1} D.{1，2}
（2）设集合A＝[－1，2]，B＝[0，4]，则A∩B＝（ ）
A.[0，2] B.[1，2]
C.[0，4] D.[1，4]
尝试解答
通性通法
求两个集合的交集的方法
（1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即可；
（2）对于元素是连续实数的集合，一般借助数轴求交集，两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，要注意端点值的取舍.
【跟踪训练】
1.已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－3，2}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A.{3} B.{－3，2} C.{2} D.{－2，3}
2.已知M＝{（x，y）｜x＋y＝2}，N＝{（x，y）｜x－y＝4}，则M∩N＝（ ）
A.x＝3，y＝－1 B.（3，－1）
C.{3，－1} D.{（3，－1）}
题型二 并集的运算
【例2】 （1）（2022·浙江高考1题）设集合A＝{1，2}，B＝{2，4，6}，则A∪B＝（ ）
A.{2} B.{1，2}
C.{2，4，6} D.{1，2，4，6}
（2）设集合A＝{x｜－1＜x＜2}，集合B＝{x｜1＜x＜3}，则A∪B＝（ ）
A.{x｜－1＜x＜3} B.{x｜－1＜x＜1}
C.{x｜1＜x＜2} D.{x｜2＜x＜3}
尝试解答
通性通法
求集合并集的2种基本方法
（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；
（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析求解.
【跟踪训练】
1.已知集合A＝{x｜2≤x＜4}，B＝{x｜3x－7≥8－2x}，则A∪B＝（ ）
A.{x｜3≤x＜4} B.{x｜x≥2}
C.{x｜2≤x＜4} D.{x｜2≤x≤3}
2.（多选）满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的集合A可能是（ ）
A.{5} B.{1，5}
C.{3} D.{1，3}
题型三 根据并集、交集运算求参数
【例3】 已知集合A＝{x｜－3＜x≤4}，集合B＝{x｜k＋1≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）把本例条件“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，试求k的取值范围.
2.（变条件）把本例条件“A∪B＝A”改为“A∪B＝{x｜－3＜x≤5}”，求k的值.
通性通法
利用集合间的关系求参数的一般步骤
（1）若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系；
（2）将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解或解集的取值范围；
（3）解方程（组）或不等式（组），从而确定参数的值或取值范围.
【跟踪训练】
1.已知集合A＝{x｜x≤－1，或x≥3}，B＝{x｜a＜x＜4}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围是（ ）
A.3≤a＜4 B.－1＜a＜4
C.a≤－1 D.a＜－1
2.若集合A＝{x｜－3≤x≤5}，B＝{x｜2m－1≤x≤2m＋9}，A∪B＝B，则m的取值范围是 .
1.已知集合A＝{1，6}，B＝{5，6，8}，则A∪B＝（ ）
A.{1，6，5，6，8} B.{1，5，6，8}
C.{0，2，3，4，5} D.{1，2，3，4，5}
2.（2021·全国甲卷1题）设集合M＝{1，3，5，7，9}，N＝{x｜2x＞7}，则M∩N＝（ ）
A.{7，9} B.{5，7，9}
C.{3，5，7，9} D.{1，3，5，7，9}
3.已知集合M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A.{0，1} B.{0}
C.{－1，2，3} D.{－1，0，1，2，3}
4.若集合A＝{x｜－3＜x＜4}，B＝{x｜x＞2}，则A∪B＝ ，A∩B＝ .
第一课时 交集与并集
【基础知识·重落实】
知识点一
属于 又 A∩B {x｜x∈A，且x∈B} B∩A A B A
想一想
提示：若A∩B＝A，则A B.
知识点二
或 A∪B {x｜x∈A，或x∈B} B∪A A∪B A∪B A A
想一想
提示：不一定，A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数之和.
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）× （4）×
2.A 在数轴上表示出两个集合，如图，可得P∩Q＝{x｜－1≤x＜3}.
3.{2}或{1，2} 解析：∵{1}∪B＝{1，2}，∴B可能为{2}或{1，2}.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）A （2）A 解析：（1）因为集合B＝{x｜0≤x＜}，所以集合B中的整数有0，1，2，所以A∩B＝{0，1，2}.
（2）在数轴上表示出集合A与B，如图所示.
则由交集的定义，知A∩B＝[0，2].
跟踪训练
1.C 根据题意，图中阴影部分表示集合A，B的公共部分，即A∩B.∵集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{－3，2}，∴A∩B＝{2}.
2.D 由得故M∩N＝{（3，－1）}.
【例2】 （1）D （2）A 解析：（1）由集合并集的定义，得A∪B＝{1，2，4，6}，故选D.
（2）在数轴上表示出A，B，如图所示.
由图知A∪B＝{x｜－1＜x＜3}.
跟踪训练
1.B 由集合B知5x≥15，即x≥3，结合数轴（图略）知A∪B＝{x｜x≥2}，故选B.
2.AB 由{1，3}∪A＝{1，3，5}知，A {1，3，5}，且A中至少有1个元素5，从而A中其余元素是集合{1，3}的子集的元素.而{1，3}有4个子集，因此满足条件的A有4个，它们分别是{5}，{1，5}，{3，5}，{1，3，5}.
【例3】 解：（1）当B＝ ，即k＋1＞2k－1时，k＜2，满足A∪B＝A.
（2）当B≠ 时，要使A∪B＝A，
只需解得2≤k≤.
综合（1）（2）可知k的取值范围为.
母题探究
1.解：由A∩B＝A可知A B.
所以即所以k∈ .
所以k的取值范围为 .
2.解：由题意可知解得k＝3.
所以k的值为3.
跟踪训练
1.C 利用数轴，如图所示，若A∪B＝R，则a≤－1.
2.[－2，－1] 解析：∵A∪B＝B，∴A B，如图所示，
∴解得－2≤m≤－1.
∴m的取值范围为{m｜－2≤m≤－1}.
随堂检测
1.B 因为A＝{1，6}，B＝{5，6，8}，所以A∪B＝{1，5，6，8}.
2.B 由题得集合N＝，所以M∩N＝{5，7，9}.故选B.
3.D 由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是M∪P.因为M＝{－1，0，1}，P＝{0，1，2，3}，故M∪P＝{－1，0，1，2，3}.故选D.
4.{x｜x＞－3} {x｜2＜x＜4} 解析：如图，A∪B＝{x｜x＞－3}，A∩B＝{x｜2＜x＜4}.
3 / 4(共56张PPT)
1.3 集合的基本运算
新课程标准解读 核心素养
1.理解两个集合的并集与交集的含义，能求两个集
合的并集与交集 数学抽象、数学
运算
2.在具体情境中，了解全集的含义 数学抽象
3.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，能求
给定子集的补集 数学抽象、数学
运算
4.能使用Venn图表达集合的基本运算，体会图形对
理解抽象概念的作用 数学运算、直观
想象
第一课时 交集与并集
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
2023国家公务员考试报考条件中规定，报考人员应符合以下条件
（摘录）：（1）具有中华人民共和国国籍；（2）18周岁以上、35周
岁以下（1988年10月至2005年10月期间出生），2023年应届硕士研究
生和博士研究生（非在职）人员年龄可放宽到40周岁以下（1983年10
月以后出生）；……
【问题】 根据以上条件，哪些人可以报名参加公务员考试呢？
知识点一 交集
若 A ∩ B ＝ A ，则 A 与 B 有什么关系？
提示：若 A ∩ B ＝ A ，则 A B .
【想一想】
知识点二 并集
【想一想】
集合 A ∪ B 的元素个数是否等于集合 A 与集合 B 的元素个数之和？
提示：不一定， A ∪ B 的元素个数小于或等于集合 A 与集合 B 的元素
个数之和.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若 A ， B 中分别有2个元素，则 A ∪ B 中必有4个元素.
（ × ）
（2）若 A ∪ B ＝ A ， B ≠ ，则 B 中的每个元素都属于集合 A .
（ √ ）
（3）并集定义中的“或”能改为“和”. （ × ）
（4）若 A ∩ B ＝ C ∩ B ，则 A ＝ C . （ × ）
×
√
×
×
2. 已知集合 P ＝{ x ｜ x ＜3}， Q ＝{ x ｜－1≤ x ≤4}，那么 P ∩ Q ＝
（ ）
A. { x ｜－1≤ x ＜3} B. { x ｜－1≤ x ≤4}
C. { x ｜ x ≤4} D. { x ｜ x ≥－1}
解析： 在数轴上表示出两个集合，如图，可得 P ∩ Q ＝{ x ｜－
1≤ x ＜3}.
3. 满足{1}∪ B ＝{1，2}的集合 B ＝ .
解析：∵{1}∪ B ＝{1，2}，∴ B 可能为{2}或{1，2}.
{2}或{1，2}
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 交集的运算
【例1】 （1）（2022·全国甲卷1题）设集合 A ＝{－2，－1，0，1，
2}， B ＝ ，则 A ∩ B ＝（ A ）
A. {0，1，2} B. {－2，－1，0}
C. {0，1} D. {1，2}
解析：因为集合 B ＝{ x ｜0≤ x ＜ }，所以集合 B 中的整数有0，1，
2，所以 A ∩ B ＝{0，1，2}.
A
（2）设集合 A ＝[－1，2]， B ＝[0，4]，则 A ∩ B ＝（ A ）
A. [0，2] B. [1，2]
C. [0，4] D. [1，4]
解析：在数轴上表示出集合 A 与 B ，如图所示.
A
则由交集的定义，知 A ∩ B ＝[0，2].
通性通法
求两个集合的交集的方法
（1）对于元素个数有限的集合，逐个挑出两个集合的公共元素即
可；
（2）对于元素是连续实数的集合，一般借助数轴求交集，两个集合
的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围，
要注意端点值的取舍.
【跟踪训练】
1. 已知集合 A ＝{1，2，3，4，5}， B ＝{－3，2}，则图中阴影部分
表示的集合为（ ）
A. {3} B. {－3，2}
C. {2} D. {－2，3}
解析： 根据题意，图中阴影部分表示集合 A ， B 的公共部分，
即 A ∩ B . ∵集合 A ＝{1，2，3，4，5}， B ＝{－3，2}，∴ A ∩ B
＝{2}.
2. 已知 M ＝{（ x ， y ）｜ x ＋ y ＝2}， N ＝{（ x ， y ）｜ x － y ＝4}，
则 M ∩ N ＝（ ）
A. x ＝3， y ＝－1 B. （3，－1）
C. {3，－1} D. {（3，－1）}
解析： 由得故 M ∩ N ＝{（3，－1）}.
题型二 并集的运算
【例2】 （1）（2022·浙江高考1题）设集合 A ＝{1，2}， B ＝{2，
4，6}，则 A ∪ B ＝（ D ）
A. {2} B. {1，2}
C. {2，4，6} D. {1，2，4，6}
解析：由集合并集的定义，得 A ∪ B ＝{1，2，4，6}，故选D.
D
（2）设集合 A ＝{ x ｜－1＜ x ＜2}，集合 B ＝{ x ｜1＜ x ＜3}，则 A ∪
B ＝（ A ）
A. { x ｜－1＜ x ＜3} B. { x ｜－1＜ x ＜1}
C. { x ｜1＜ x ＜2} D. { x ｜2＜ x ＜3}
A
解析：在数轴上表示出 A ， B ，如图所示.
由图知 A ∪ B ＝{ x ｜－1＜ x ＜3}.
通性通法
求集合并集的2种基本方法
（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义
求解；
（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则
可以借助数轴分析求解.
【跟踪训练】
1. 已知集合 A ＝{ x ｜2≤ x ＜4}， B ＝{ x ｜3 x －7≥8－2 x }，则 A ∪ B
＝（ ）
A. { x ｜3≤ x ＜4} B. { x ｜ x ≥2}
C. { x ｜2≤ x ＜4} D. { x ｜2≤ x ≤3}
解析： 由集合 B 知5 x ≥15，即 x ≥3，结合数轴（图略）知 A ∪
B ＝{ x ｜ x ≥2}，故选B.
2. （多选）满足{1，3}∪ A ＝{1，3，5}的集合 A 可能是（ ）
A. {5} B. {1，5} C. {3} D. {1，3}
解析： 由{1，3}∪ A ＝{1，3，5}知， A {1，3，5}，且 A 中
至少有1个元素5，从而 A 中其余元素是集合{1，3}的子集的元素.
而{1，3}有4个子集，因此满足条件的 A 有4个，它们分别是{5}，
{1，5}，{3，5}，{1，3，5}.
题型三 根据并集、交集运算求参数
【例3】 已知集合 A ＝{ x ｜－3＜ x ≤4}，集合 B ＝{ x ｜ k ＋1≤ x ≤2
k －1}，且 A ∪ B ＝ A ，试求 k 的取值范围.
解：当 B ＝ ，即 k ＋1＞2 k －1时， k ＜2，满足 A ∪ B ＝ A .
（2）当 B ≠ 时，要使 A ∪ B ＝ A ，
只需解得2≤ k ≤ .
综合（1）（2）可知 k 的取值范围为 .
【母题探究】
1. （变条件）把本例条件“ A ∪ B ＝ A ”改为“ A ∩ B ＝ A ”，试求 k
的取值范围.
解：由 A ∩ B ＝ A 可知 A B .
所以即所以 k ∈ .
所以 k 的取值范围为 .
2. （变条件）把本例条件“ A ∪ B ＝ A ”改为“ A ∪ B ＝{ x ｜－3＜ x
≤5}”，求 k 的值.
解：由题意可知解得 k ＝3.
所以 k 的值为3.
通性通法
利用集合间的关系求参数的一般步骤
（1）若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素
之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间
的关系；
（2）将集合之间的关系转化为方程或不等式是否有解或解集的取值
范围；
（3）解方程（组）或不等式（组），从而确定参数的值或取值范围.
【跟踪训练】
1. 已知集合 A ＝{ x ｜ x ≤－1，或 x ≥3}， B ＝{ x ｜ a ＜ x ＜4}，若 A
∪ B ＝R，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. 3≤ a ＜4 B. －1＜ a ＜4
C. a ≤－1 D. a ＜－1
解析： 利用数轴，如图所示，若 A ∪ B ＝R，则 a ≤－1.
2. 若集合 A ＝{ x ｜－3≤ x ≤5}， B ＝{ x ｜2 m －1≤ x ≤2 m ＋9}， A
∪ B ＝ B ，则 m 的取值范围是 .
解析：∵ A ∪ B ＝ B ，∴ A B ，如图所示，
∴解得－2≤ m ≤－1.
∴ m 的取值范围为{ m ｜－2≤ m ≤－1}.
[－2，－1]
1. 已知集合 A ＝{1，6}， B ＝{5，6，8}，则 A ∪ B ＝（ ）
A. {1，6，5，6，8} B. {1，5，6，8}
C. {0，2，3，4，5} D. {1，2，3，4，5}
解析： 因为 A ＝{1，6}， B ＝{5，6，8}，所以 A ∪ B ＝{1，
5，6，8}.
2. （2021·全国甲卷1题）设集合 M ＝{1，3，5，7，9}， N ＝{ x ｜2 x
＞7}，则 M ∩ N ＝（ ）
A. {7，9} B. {5，7，9}
C. {3，5，7，9} D. {1，3，5，7，9}
解析： 由题得集合 N ＝ ，所以 M ∩ N ＝{5，7，9}.
故选B.
3. 已知集合 M ＝{－1，0，1}， P ＝{0，1，2，3}，则图中阴影部分
所表示的集合是（ ）
A. {0，1} B. {0}
C. {－1，2，3} D. {－1，0，1，2，3}
解析： 由Venn图，可知阴影部分所表示的集合是 M ∪ P . 因为
M ＝{－1，0，1}， P ＝{0，1，2，3}，故 M ∪ P ＝{－1，0，1，
2，3}.故选D.
4. 若集合 A ＝{ x ｜－3＜ x ＜4}， B ＝{ x ｜ x ＞2}，则 A ∪ B ＝
， A ∩ B ＝ .
解析：如图， A ∪ B ＝{ x ｜ x ＞－3}， A ∩ B ＝{ x ｜2＜ x ＜4}.
{ x ｜ x
＞－3}
{ x ｜2＜ x ＜4}
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知集合 M ＝{－1，0，1}， N ＝{0，1，2}，则 M ∪ N ＝（ ）
A. {－1，0，1} B. {－1，0，1，2}
C. {－1，0，2} D. {0，1}
解析： M ∪ N ＝{－1，0，1}∪{0，1，2}＝{－1，0，1，2}.
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2. （2022·全国乙卷1题）集合 M ＝{2，4，6，8，10}， N ＝{ x ｜－1
＜ x ＜6}，则 M ∩ N ＝（ ）
A. {2，4} B. {2，4，6}
C. {2，4，6，8} D. {2，4，6，8，10}
解析： 由题意知 M ∩ N ＝{2，4}，故选A.
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3. 集合 A ＝{0，2， a }， B ＝{1， a2}，若 A ∪ B ＝{0，1，2，4，
16}，则 a 的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
解析： ∵ A ∪ B ＝{0，1，2， a ， a2}，又 A ∪ B ＝{0，1，2，
4，16}，∴{ a ， a2}＝{4，16}，∴ a ＝4.
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4. （2022·新高考Ⅰ卷1题）若集合 M ＝{ x ｜ ＜4}， N ＝{ x ｜3 x
≥1}，则 M ∩ N ＝（ ）
A. { x ｜0≤ x ＜2}
C. { x ｜3≤ x ＜16}
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解析： 法一（直接法） 因为 M ＝{ x ｜ ＜4}，所以 M ＝
{ x ｜0≤ x ＜16}；因为 N ＝{ x ｜3 x ≥1}，所以 N ＝ .所
以 M ∩ N ＝ ，故选D.
法二（特取法） 观察选项进行特取，取 x ＝4，则4∈ M ，4∈
N ，所以4∈（ M ∩ N ），排除A、B；取 x ＝1，则1∈ M ，1∈ N ，
所以1∈（ M ∩ N ），排除C. 故选D.
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5. （多选）若集合 M N ，则下列结论正确的是（ ）
A. M ∩ N ＝ N B. M ∪ N ＝ N
C. （ M ∪ N ） N D. N （ M ∩ N ）
解析： ∵ M N ，∴ M ∩ N ＝ M ， M ∪ N ＝ N . （ M ∩ N ）
N ，（ M ∪ N ） N ，故选B、C.
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6. （多选）已知集合 P ＝{ x ｜1＜ x ＜4}， Q ＝{ x ｜2＜ x ＜3}则下列
结论正确的是（ ）
A. Q P B. P ∩ Q ＝{ x ｜2＜ x ＜3}
C. P Q D. P ∪ Q ＝{ x ｜1＜ x ＜4}
解析： 由集合 P ＝{ x ｜1＜ x ＜4}， Q ＝{ x ｜2＜ x ＜3}，则
Q P ，故选项A正确.所以 P ∩ Q ＝{ x ｜2＜ x ＜3}，则选项B正
确. P ∪ Q ＝{ x ｜1＜ x ＜4}，选项D正确.显然 P Q 不正确，所以
选项C不正确.故选A、B、D.
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7. 已知集合 A ＝{1，2，3，4}， B ＝{ y ｜ y ＝3 x －2， x ∈ A }，则 A
∩ B ＝ .
解析：由题意得， B ＝{1，4，7，10}，所以 A ∩ B ＝{1，4}.
{1，4}
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8. 若集合 A ＝{ x ｜－1＜ x ＜5}， B ＝{ x ｜ x ≤－1，或 x ≥4}，则 A
∪ B ＝ ， A ∩ B ＝ .
解析：借助数轴可知： A ∪ B ＝R， A ∩ B ＝{ x ｜4≤ x ＜5}.
R
{ x ｜4≤ x ＜5}
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9. 设集合 A ＝{ x ｜－1≤ x ＜2}， B ＝{ x ｜ x ≤ a }，若 A ∩ B ≠ ，则
a 的取值范围是 .
解析：∵ A ＝{ x ｜－1≤ x ＜2}， B ＝{ x ｜ x ≤ a }，又∵ A ∩ B
≠ ，根据题意作出图形，如图，∴ a ≥－1.
[－1，＋∞）
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10. 已知集合 A ＝{ x ｜ x2－ px ＋15＝0}和 B ＝{ x ｜ x2－ ax － b ＝0}，
若 A ∪ B ＝{2，3，5}， A ∩ B ＝{3}，分别求实数 p ， a ， b 的值.
解：因为 A ∩ B ＝{3}，所以3∈ A .
从而可得 p ＝8，所以 A ＝{3，5}.
又由于3∈ B ，且 A ∪ B ＝{2，3，5}， A ∩ B ＝{3}，
所以 B ＝{2，3}.
所以方程 x2－ ax － b ＝0的两个根为2和3.
由根与系数的关系可得 a ＝5， b ＝－6.
综上可得， p ＝8， a ＝5， b ＝－6.
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11. 已知集合 A ＝{1，2}， B ＝{ x ｜ mx －1＝0}，若 A ∩ B ＝ B ，则符
合条件的实数 m 的值组成的集合为（ ）
解析：当 m ＝0时， B ＝ ， A ∩ B ＝ B ，符合题意；当 m ≠0时， x ＝ ，要使 A ∩ B ＝ B ，则 ＝1或 ＝2，即 m ＝1或 m ＝ .
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12. （多选）设集合 A ＝{ x ｜ y ＝ x2－4}， B ＝{ y ｜ y ＝ x2－4}， C ＝
{（ x ， y ）｜ y ＝ x2－4}，则下列关系中正确的是（ ）
A. A ＝ B B. A ∪ B ＝R
C. A ∩ C ＝ D. A B
解析： 由题意可知：∵ A ＝{ x ｜ y ＝ x2－4}＝R，∴ A ＝R，
∵ B ＝{ y ｜ y ＝ x2－4}＝{ y ｜ y ≥－4}，∴ B ＝[－4，＋∞），
∵ C ＝{（ x ， y ）｜ y ＝ x2－4}，∴ C 表示二次函数 y ＝ x2－4图象
上任意一点的坐标构成的集合.∴ B ≠ A ， A ∪ B ＝R， A ∩ C ＝
， B A . 故选B、C.
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13. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人
对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的
人数为 .
解析：设所求人数为 x （5≤ x ≤15），则只喜爱乒乓球运动的人
数为10－（15－ x ）＝ x －5，故15＋ x －5＝30－8，解得 x ＝12.
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14. 已知集合 M ＝{ x ｜2 x －4＝0}，集合 N ＝{ x ｜ x2－3 x ＋ m ＝0}.
（1）当 m ＝2时，求 M ∩ N ， M ∪ N ；
解：由题意得 M ＝{2}.
当 m ＝2时， N ＝{ x ｜ x2－3 x ＋2＝0}＝{1，2}，
∴ M ∩ N ＝{2}， M ∪ N ＝{1，2}.
（2）当 M ∩ N ＝ M 时，求实数 m 的值.
解：∵ M ∩ N ＝ M ，∴ M N . ∵ M ＝{2}，∴2∈ N ，
∴2是关于 x 的方程 x2－3 x ＋ m ＝0的解，
即4－6＋ m ＝0，解得 m ＝2.
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15. 当两个集合有公共元素，且互不为对方子集时，我们称这两个集
合“相交”.对于集合 M ＝{ x ｜ ax2－1＝0， a ＞0}， N ＝ ，若 M 与 N 相交，则 a ＝（ ）
A. 4 B. 3
C. 2 D. 1
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解析： 当 a ＝4时， M ＝ ， M N ，不符合题意；当
a ＝3时， M ＝ ， M ∩ N ＝ ，不符合题意；当 a ＝2
时， M ＝ ， M ∩ N ＝ ，不符合题意；当 a ＝1时， M
＝{－1，1}，满足题意，故选D.
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16. 已知集合 A ＝{ x ｜ x2－ ax ＋ a2－19＝0}， B ＝{ x ｜ x2－5 x ＋6＝
0}，是否存在 a 使 A ， B 同时满足下列三个条件：
（1） A ≠ B ；（2） A ∪ B ＝ B ；（3） （ A ∩ B ）.
若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由.
解：假设存在 a 使得 A ， B 满足条件，由题意得 B ＝{2，3}.
∵ A ∪ B ＝ B ，∴ A B ，即 A ＝ B 或 A B .
由条件（1） A ≠ B ，可知 A B .
又∵ （ A ∩ B ），∴ A ≠ ，即 A ＝{2}或{3}.
当 A ＝{2}时，代入得 a2－2 a －15＝0，即 a ＝－3或 a ＝5.
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经检验： a ＝－3时， A ＝{2，－5}，与 A ＝{2}矛盾，
舍去；
a ＝5时， A ＝{2，3}，与 A ＝{2}矛盾，舍去.
当 A ＝{3}时，代入得 a2－3 a －10＝0.即 a ＝5或 a ＝－2.
经检验： a ＝－2时， A ＝{3，－5}，与 A ＝{3}矛盾，舍去；
a ＝5时， A ＝{2，3}，与 A ＝{3}矛盾，舍去.
综上所述，不存在实数 a 使得 A ， B 满足条件.
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谢 谢 观 看！
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