培优课 集合的综合问题
1.已知M＝{x｜x∈A且x B}，若集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6}，则M＝（ ）
A.{1，3，5，6} B.{1，3，5}
C.{2，4} D.{6}
2.已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞4}，B＝{x｜－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A.{x｜－2≤x＜4} B.{x｜x≤3或x≥4}
C.{x｜－2≤x≤－1} D.{x｜－1≤x≤3}
3.已知全集U＝{1，2，3，4}，且 U（A∪B）＝{4}，B＝{1，2}，则A∩（ UB）＝（ ）
A.{3} B.{4}
C.{3，4} D.
4.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A.62% B.56%
C.46% D.42%
5.已知全集U＝A∪B中有m个元素，（ UA）∪（ UB）中有n个元素，若A∩B非空，则A∩B的元素个数为（ ）
A.m B.n
C.m＋n D.m－n
6.已知全集U＝{x∈N｜－1≤x≤9}，集合A＝{0，1，3，4}，集合B＝{y｜y＝2x，x∈A}，则（ UA）∩（ UB）＝（ ）
A.{5，7}
B.{－1，5，7，9}
C.{5，7，9}
D.{－1，1，2，3，4，5，6，7，8，9}
7.给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1 S，x－1 S，那么x是S的一个“好元素”.由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ）
A.6个 B.12个
C.9个 D.5个
8.对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝{（a，b）｜a※b＝16}中的元素个数是（ ）
A.18 B.17
C.16 D.15
9.（多选）已知集合A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜3－2x＞0}，则（ ）
A.A∩B＝{x｜x＜} B.A∩B＝
C.A∪B＝R D.A∪B＝{x｜x＜2}
10.（多选）已知集合A，B均为R的子集，若A∩B＝ ，则（ ）
A.A （ RB） B.（ RA） B
C.A∪B＝R D.（ RA）∪（ RB）＝R
11.（多选）若集合A＝{0，1，2，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝A，则满足条件的实数x的值为（ ）
A.0 B.1
C.－ D.
12.（多选）对于集合A，B，定义A－B＝{x｜x∈A，x B}，A B＝（A－B）∪（B－A）.设M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6，7，8，9，10}，则M N中可能含有的元素为（ ）
A.5 B.6
C.7 D.8
13.若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；对于集合A＝{－1，2}，B＝{x｜ax2＝2，a≥0}，若这两个集合构成“鲸吞”，则a的值为 .
14.某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为 .
15.若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系”集合，集合M＝{－1，0，，2，3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是 .
16.已知A＝{x｜x2－2x－8＝0}，B＝{x｜x2＋ax＋a2－12＝0}.若B∪A≠A，则实数a的取值范围为 .
17.已知集合A＝{x｜1＜x≤4}，B＝{x｜a＋1≤x≤2a}.
（1）当a＝2时，求A∪B；
（2）若B∩（ RA）＝ ，求实数a的取值范围.
18.已知集合A＝{x｜x2－ax＋a2－19＝0}，集合B＝{x｜x2－5x＋6＝0}，集合C＝{x｜x2＋2x－8＝0}.
（1）若A∩B＝{2}，求实数a的值；
（2）若A∩B≠ ，A∩C＝ ，求实数a的值.
培优课 集合的综合问题
1.B 由题得M＝{1，3，5}.故选B.
2.D 由题意得，阴影部分所表示的集合为（ UA）∩B＝{x｜－1≤x≤4}∩{x｜－2≤x≤3}＝{x｜－1≤x≤3}.
3.A 因为全集U＝{1，2，3，4}，且 U（A∪B）＝{4}，所以A∪B＝{1，2，3}，又B＝{1，2}，所以 UB＝{3，4}，A＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，所以A∩（ UB）＝{3}.
4.C 设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，则（60%－x）＋（82%－x）＋x＝96%，解得x＝46%.
5.D ∵U＝A∪B中有m个元素，（ UA）∪（ UB）＝ U（A∩B）中有n个元素，∴A∩B中有（m－n）个元素.
6.C 法一 因为U＝{x∈N｜－1≤x≤9}，所以U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.因为集合A＝{0，1，3，4}，集合B＝{y｜y＝2x，x∈A}，所以B＝{0，2，6，8}.所以 UA＝{2，5，6，7，8，9}， UB＝{1，3，4，5，7，9}，所以（ UA）∩（ UB）＝{5，7，9}.故选C.
法二 因为U＝{x∈N｜－1≤x≤9}，所以U＝{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.因为集合A＝{0，1，3，4}，集合B＝{y｜y＝2x，x∈A}，所以B＝{0，2，6，8}.所以A∪B＝{0，1，2，3，4，6，8}，所以（ UA）∩（ UB）＝ U（A∪B）＝{5，7，9}.故选C.
7.A 要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起，故不含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个，故选A.
8.B 因为1＋15＝16，2＋14＝16，3＋13＝16，4＋12＝16，5＋11＝16，6＋10＝16，7＋9＝16，8＋8＝16，9＋7＝16，10＋6＝16，11＋5＝16，12＋4＝16，13＋3＝16，14＋2＝16，15＋1＝16，1×16＝16，16×1＝16，集合M中的元素是有序数对（a，b），所以集合M中的元素共有17个.
9.AD 因为集合A＝{x｜x＜2}，B＝{x｜3－2x＞0}＝，因此A∩B＝，A∪B＝{x｜x＜2}.故选A、D.
10.AD Venn如图所示，由图可得A （ RB），故A正确；由于B （ RA），故B错误；A∪B R，故C错误；（ RA）∪（ RB）＝ R（A∩B）＝R.故选A、D.
11.CD 由A∪B＝A，所以B A.又A＝{0，1，2，x}，B＝{1，x2}，所以x2＝0，或x2＝2，或x2＝x.x2＝0时，集合A违背集合元素的互异性，所以x2≠0.x2＝2时，x＝－或x＝.符合题意.x2＝x时，得x＝0或x＝1，集合A均违背集合元素互异性，所以x2≠x.故选C、D.
12.CD 因为M＝{1，2，3，4，5，6}，N＝{4，5，6，7，8，9，10}，所以M－N＝{1，2，3}，N－M＝{7，8，9，10}，所以M N＝（M－N）∪（N－M）＝{1，2，3，7，8，9，10}.故选C、D.
13.0 解析：当a＝0时，B＝ ，显然B A，符合题意；当a≠0时，显然集合B中元素是两个互为相反数的实数，而集合A中的两个元素不互为相反数，所以集合B，A之间不存在子集关系，不符合题意.
14.23 解析：由题意，15名参加田赛的学生中有7名没有参加径赛，20名参加径赛的学生中有12名没有参加田赛，所以参加田赛和径赛的学生人数为7＋8＋12＝27，综上，该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为50－27＝23.
15.3 解析：具有伙伴关系的元素组是－1，，2，所以具有伙伴关系的集合有3个：{－1}，，2，{－1，，2}.
16.{a｜－4≤a＜4，且a≠－2} 解析：若B∪A＝A，则B A.又A＝{x｜x2－2x－8＝0}＝{－2，4}，∴集合B有以下三种情况.①当B＝ 时，Δ＝a2－4（a2－12）＜0，即a2＞16，∴a＜－4或a＞4；②当B是单元素集时，Δ＝a2－4（a2－12）＝0，∴a＝－4或a＝4，若a＝－4，则B＝{2} A；若a＝4，则B＝{－2} A；③当B＝{－2，4}时，－2，4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两实根，∴∴a＝－2.综上可得，B∪A＝A时，a的取值范围为{a｜a＜－4或a＝－2或a≥4}.∴B∪A≠A时，实数a的取值范围为{a｜－4≤a＜4，且a≠－2}.
17.解：（1）当a＝2时，B＝{x｜3≤x≤4}，
A∪B＝{x｜1＜x≤4}.
（2） RA＝{x｜x≤1或x＞4}，
当B＝ 时，B∩（ RA）＝ ，此时a＋1＞2a，解得a＜1；
当B≠ 时，若B∩（ RA）＝ ，则解得1≤a≤2.
综上，实数a的取值范围为{a｜a≤2}.
18.解：（1）因为集合A＝{x｜x2－ax＋a2－19＝0}，
集合B＝{x｜x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，且A∩B＝{2}，所以2∈A，所以4－2a＋a2－19＝0，
即a2－2a－15＝0，解得a＝－3或a＝5.
当a＝－3时，A＝{x｜x2＋3x－10＝0}＝{－5，2}，A∩B＝{2}，符合题意；
当a＝5时，A＝{x｜x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，A∩B＝{2，3}，不符合题意.
综上，实数a的值为－3.
（2）因为A＝{x｜x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{2，3}，C＝{x｜x2＋2x－8＝0}＝{－4，2}，且A∩B≠ ，A∩C＝ ，所以3∈A，所以9－3a＋a2－19＝0，即a2－3a－10＝0，解得a＝－2或a＝5.当a＝－2时，A＝{x｜x2＋2x－15＝0}＝{－5，3}，满足题意；当a＝5时，A＝{x｜x2－5x＋6＝0}＝{2，3}，不满足题意.综上，实数a的值为－2.
2 / 2(共43张PPT)
培优课 集合的综合问题
目录
典型例题·精研析
01
知能演练·扣课标
02
典型例题·精研析
01
课堂互动 关键能力提升
题型一 集合的综合运算
【例1】 （2022·全国甲卷3题）设全集 U ＝{－2，－1，0，1，2，
3}，集合 A ＝{－1，2}， B ＝{ x ｜ x2－4 x ＋3＝0}，则 U （ A ∪ B ）
＝（ ）
A. {1，3} B. {0，3}
C. {－2，1} D. {－2，0}
解析： 集合 B ＝{1，3}，所以 A ∪ B ＝{－1，1，2，3}，所以 U
（ A ∪ B ）＝{－2，0}.故选D.
通性通法
集合的综合运算的常用方法
（1）定义法或Venn图法：若集合是用列举法给出的，运算时可直接
借助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观
察求解；
（2）数轴法：若集合是用不等式（组）给出的，运算时可先将不等
式（组）在数轴中表示出来，然后借助数轴求解.
【跟踪训练】
设全集 U ＝R，集合 A ＝{ x ｜1≤ x ≤3}， B ＝{ x ｜2＜ x ＜4}， C ＝
{ x ｜ a ≤ x ≤ a ＋1， a ∈R}.
（1）分别求 A ∩ B ， A ∪（ UB ）；
解： A ∩ B ＝{ x ｜2＜ x ≤3}， UB ＝{ x ｜ x ≤2或 x ≥4}， A ∪
（ UB ）＝{ x ｜ x ≤3或 x ≥4}.
（2）若 B ∩ C ＝ C ，求实数 a 的取值范围.
解：由 B ∩ C ＝ C 可得 C B ，由题可得 C ≠ ，
所以解得2＜ a ＜3，即实数 a 的取值范围为{ a ｜2
＜ a ＜3}.
题型二 集合的应用
【例2】 某学校艺术班有100名学生，其中学舞蹈的学生有67人，学
唱歌的学生有45人，而学乐器的学生既不能学舞蹈，又不能学唱歌，
有21人，那么同时学舞蹈和唱歌的学生有多少人？
解：设只学舞蹈的学生有 x 人，只学唱歌的学生有 y 人，既学舞蹈又
学唱歌的学生有 z 人，Venn图如图.
解得
所以同时学舞蹈和唱歌的学生有33人.
通性通法
解决此类以实际生活为背景的集合问题，通常是先将各种对象用
不同的集合表示，再借助Venn图直观分析各集合中的元素个数，最后
转化为实际问题求解.
【跟踪训练】
某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多
参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，
15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小
组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人.
8
解析：设参加数学、物理、化学小组的人构成
的集合分别为 A ， B ， C ，同时参加数学和化
学小组的有 x 人，由题意可得如图所示的Venn
图，由题意可得（26－6－ x ）＋6＋（15－4－
6）＋4＋（13－4－ x ）＋ x ＝36，解得 x ＝8.
即同时参加数学和化学小组的有8人.
题型三 集合中的创新性问题
【例3】 若集合 A1， A2满足 A1∪ A2＝ A ，则称（ A1， A2）为集合 A
的一种分拆，并规定：当且仅当 A1＝ A2时，（ A1， A2）与（ A2，
A1）是集合 A 的同一种分拆.若集合 A 有三个元素，则集合 A 的不同分
拆种数是 .
27
解析：不妨令 A ＝{1，2，3}，∵ A1∪ A2＝ A ，当 A1＝ 时， A2＝
{1，2，3}，当 A1＝{1}时， A2可为{2，3}，{1，2，3}共2种，同理 A1
＝{2}，{3}时， A2各有2种，当 A1＝{1，2}时， A2可为{3}，{1，3}，
{2，3}，{1，2，3}共4种，同理 A1＝{1，3}，{2，3}时， A2各有4
种，当 A1＝{1，2，3}时， A2可为 A1的子集，共8种，故共有1＋2×3
＋4×3＋8＝27（种）不同的分拆.
通性通法
集合中的创新性问题的解题思路
（1）解决集合新定义问题的关键是要读懂新定义的本质含义，紧扣
题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌
同已有概念或定义相混淆；
（2）有关集合“新运算”问题，要在理解运算法则的基础上，试图
去寻求运算规律，并进行推理.
【跟踪训练】
设集合 M ＝{ x ｜ m ≤ x ≤ m ＋ }， N ＝{ x ｜ n － ≤ x ≤ n }，且 M ，
N 都是集合{ x ｜0≤ x ≤1}的子集，如果把 b － a 称为集合{ x ｜ a ≤ x
≤ b ， a ， b ∈R}的“长度”，那么集合 M ∩ N 的“长度”的最小值
是（ ）
A.
C. D.
解析： 由题意可知，集合 M ， N 都是由数轴上0～1这一段上的点所对应的实数组成的集合（如图所示），且集合 M ， N 的“长度”分别为 ， ，因此要使 M ∩ N 的“长度”最小，需使它们重叠部分最少.由图可知，当它们分别靠近两个端点0和1时其重叠部分最少，所以所求最小值为 ＋ －1＝ .
知能演练·扣课标
02
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 M ＝{ x ｜ x ∈ A 且 x B }，若集合 A ＝{1，2，3，4，5}， B ＝
{2，4，6}，则 M ＝（ ）
A. {1，3，5，6} B. {1，3，5}
C. {2，4} D. {6}
解析： 由题得 M ＝{1，3，5}.故选B.
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2. 已知全集 U ＝R，集合 A ＝{ x ｜ x ＜－1或 x ＞4}， B ＝{ x ｜－2≤ x
≤3}，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A. { x ｜－2≤ x ＜4} B. { x ｜ x ≤3或 x ≥4}
C. { x ｜－2≤ x ≤－1} D. { x ｜－1≤ x ≤3}
解析： 由题意得，阴影部分所表示的集合为（ UA ）∩ B ＝
{ x ｜－1≤ x ≤4}∩{ x ｜－2≤ x ≤3}＝{ x ｜－1≤ x ≤3}.
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3. 已知全集 U ＝{1，2，3，4}，且 U （ A ∪ B ）＝{4}， B ＝{1，
2}，则 A ∩（ UB ）＝（ ）
A. {3} B. {4}
C. {3，4} D.
解析： 因为全集 U ＝{1，2，3，4}，且 U （ A ∪ B ）＝{4}，
所以 A ∪ B ＝{1，2，3}，又 B ＝{1，2}，所以 UB ＝{3，4}， A ＝
{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，所以 A ∩（ UB ）＝{3}.
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4. 某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游
泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢
足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A. 62% B. 56%
C. 46% D. 42%
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解析： 设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比
例为 x ，用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之
间的关系如图，则（60%－ x ）＋（82%－ x ）＋ x ＝96%，解得 x
＝46%.
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5. 已知全集 U ＝ A ∪ B 中有 m 个元素，（ UA ）∪（ UB ）中有 n 个元
素，若 A ∩ B 非空，则 A ∩ B 的元素个数为（ ）
A. m B. n
C. m ＋ n D. m － n
解析： ∵ U ＝ A ∪ B 中有 m 个元素，（ UA ）∪（ UB ）＝ U
（ A ∩ B ）中有 n 个元素，∴ A ∩ B 中有（ m － n ）个元素.
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6. 已知全集 U ＝{ x ∈N｜－1≤ x ≤9}，集合 A ＝{0，1，3，4}，集合
B ＝{ y ｜ y ＝2 x ， x ∈ A }，则（ UA ）∩（ UB ）＝（ ）
A. {5，7}
B. {－1，5，7，9}
C. {5，7，9}
D. {－1，1，2，3，4，5，6，7，8，9}
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解析： 法一 因为 U ＝{ x ∈N｜－1≤ x ≤9}，所以 U ＝{0，
1，2，3，4，5，6，7，8，9}.因为集合 A ＝{0，1，3，4}，集合
B ＝{ y ｜ y ＝2 x ， x ∈ A }，所以 B ＝{0，2，6，8}.所以 UA ＝{2，
5，6，7，8，9}， UB ＝{1，3，4，5，7，9}，所以（ UA ）∩（
UB ）＝{5，7，9}.故选C.
法二 因为 U ＝{ x ∈N｜－1≤ x ≤9}，所以 U ＝{0，1，2，3，4，
5，6，7，8，9}.因为集合 A ＝{0，1，3，4}，集合 B ＝{ y ｜ y ＝2
x ， x ∈ A }，所以 B ＝{0，2，6，8}.所以 A ∪ B ＝{0，1，2，3，4，
6，8}，所以（ UA ）∩（ UB ）＝ U （ A ∪ B ）＝{5，7，9}.故选C.
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7. 给定集合 S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于 x ∈ S ，如果 x ＋1
S ， x －1 S ，那么 x 是 S 的一个“好元素”.由 S 的3个元素构成的
所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ）
A. 6个 B. 12个 C. 9个 D. 5个
解析： 要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起，故不
含“好元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，
5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，共6个，故选A.
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8. 对于任意两个正整数 m ， n ，定义某种运算“※”如下：当 m ， n
都为正偶数或正奇数时， m ※ n ＝ m ＋ n ；当 m ， n 中一个为正偶
数，另一个为正奇数时， m ※ n ＝ mn ，则在此定义下，集合 M ＝
{（ a ， b ）｜ a ※ b ＝16}中的元素个数是（ ）
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解析： 因为1＋15＝16，2＋14＝16，3＋13＝16，4＋12＝16，
5＋11＝16，6＋10＝16，7＋9＝16，8＋8＝16，9＋7＝16，10＋6
＝16，11＋5＝16，12＋4＝16，13＋3＝16，14＋2＝16，15＋1＝
16，1×16＝16，16×1＝16，集合 M 中的元素是有序数对（ a ，
b ），所以集合 M 中的元素共有17个.
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9. （多选）已知集合 A ＝{ x ｜ x ＜2}， B ＝{ x ｜3－2 x ＞0}，则
（ ）
A. A ∩ B ＝{ x ｜ x ＜ } B. A ∩ B ＝
C. A ∪ B ＝R D. A ∪ B ＝{ x ｜ x ＜2}
解析： 因为集合 A ＝{ x ｜ x ＜2}， B ＝{ x ｜3－2 x ＞0}＝
，因此 A ∩ B ＝ ， A ∪ B ＝{ x ｜ x ＜2}.故选
A、D.
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10. （多选）已知集合 A ， B 均为R的子集，若 A ∩ B ＝ ，则（ ）
A. A （ R B ） B. （ R A ） B
C. A ∪ B ＝R D. （ R A ）∪（ R B ）＝R
解析： Venn如图所示，由图可得 A （ R B ），故A正确；
由于 B （ R A ），故B错误； A ∪ B R，故C错误；（ R A ）∪
（ R B ）＝ R（ A ∩ B ）＝R. 故选A、D.
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11. （多选）若集合 A ＝{0，1，2， x }， B ＝{1， x2}， A ∪ B ＝ A ，
则满足条件的实数 x 的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. － D.
解析： 由 A ∪ B ＝ A ，所以 B A . 又 A ＝{0，1，2， x }， B
＝{1， x2}，所以 x2＝0，或 x2＝2，或 x2＝ x . x2＝0时，集合 A 违
背集合元素的互异性，所以 x2≠0. x2＝2时， x ＝－ 或 x ＝ .
符合题意. x2＝ x 时，得 x ＝0或 x ＝1，集合 A 均违背集合元素互异
性，所以 x2≠ x .故选C、D.
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12. （多选）对于集合 A ， B ，定义 A － B ＝{ x ｜ x ∈ A ， x B }， A
B ＝（ A － B ）∪（ B － A ）.设 M ＝{1，2，3，4，5，6}， N
＝{4，5，6，7，8，9，10}，则 M N 中可能含有的元素为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
解析： 因为 M ＝{1，2，3，4，5，6}， N ＝{4，5，6，7，
8，9，10}，所以 M － N ＝{1，2，3}， N － M ＝{7，8，9，10}，
所以 M N ＝（ M － N ）∪（ N － M ）＝{1，2，3，7，8，9，
10}.故选C、D.
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13. 若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；
对于集合 A ＝{－1，2}， B ＝{ x ｜ ax2＝2， a ≥0}，若这两个集
合构成“鲸吞”，则 a 的值为 .
解析：当 a ＝0时， B ＝ ，显然 B A ，符合题意；当 a ≠0时，
显然集合 B 中元素是两个互为相反数的实数，而集合 A 中的两个
元素不互为相反数，所以集合 B ， A 之间不存在子集关系，不符
合题意.
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14. 某校高三（1）班有50名学生，春季运动会上，有15名学生参加了
田赛项目，有20名学生参加了径赛项目，已知田赛和径赛都参加
的有8名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数
为 .
解析：由题意，15名参加田赛的学生中有7名没有参加径赛，20名
参加径赛的学生中有12名没有参加田赛，所以参加田赛和径赛的
学生人数为7＋8＋12＝27，综上，该班学生中田赛和径赛都没有
参加的人数为50－27＝23.
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15. 若 x ∈ A ，则 ∈ A ，就称 A 是“伙伴关系”集合，集合 M ＝{－
1，0， ，2，3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数
是 .
解析：具有伙伴关系的元素组是－1， ，2，所以具有伙伴关系
的集合有3个：{－1}，{ ，2} ，{－1， ，2}.
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16. 已知 A ＝{ x ｜ x2－2 x －8＝0}， B ＝{ x ｜ x2＋ ax ＋ a2－12＝0}.若
B ∪ A ≠ A ，则实数 a 的取值范围为 .
{ a ｜－4≤ a ＜4，且 a ≠－2}
解析：若 B ∪ A ＝ A ，则 B A . 又 A ＝{ x ｜ x2－2 x －8＝0}＝{－
2，4}，∴集合 B 有以下三种情况.①当 B ＝ 时，Δ＝ a2－4（ a2
－12）＜0，即 a2＞16，∴ a ＜－4或 a ＞4；②当 B 是单元素集
时，Δ＝ a2－4（ a2－12）＝0，∴ a ＝－4或 a ＝4，若 a ＝－4，则
B ＝{2} A ；若 a ＝4，则 B ＝{－2} A ；③当 B ＝{－2，4}时，
－2，4是方程 x2＋ ax ＋ a2－12＝0的两实根，
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∴∴ a ＝－2.综上可得， B ∪ A ＝ A 时， a 的
取值范围为{ a ｜ a ＜－4或 a ＝－2或 a ≥4}.∴ B ∪ A ≠ A 时，实
数 a 的取值范围为{ a ｜－4≤ a ＜4，且 a ≠－2}.
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17. 已知集合 A ＝{ x ｜1＜ x ≤4}， B ＝{ x ｜ a ＋1≤ x ≤2 a }.
（1）当 a ＝2时，求 A ∪ B ；
解：当 a ＝2时， B ＝{ x ｜3≤ x ≤4}，
A ∪ B ＝{ x ｜1＜ x ≤4}.
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（2）若 B ∩（ R A ）＝ ，求实数 a 的取值范围.
解： R A ＝{ x ｜ x ≤1或 x ＞4}，
当 B ＝ 时， B ∩（ R A ）＝ ，此时 a ＋1＞2 a ，解得
a ＜1；
当 B ≠ 时，若 B ∩（ R A ）＝ ，则解
得1≤ a ≤2.
综上，实数 a 的取值范围为{ a ｜ a ≤2}.
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18. 已知集合 A ＝{ x ｜ x2－ ax ＋ a2－19＝0}，集合 B ＝{ x ｜ x2－5 x ＋
6＝0}，集合 C ＝{ x ｜ x2＋2 x －8＝0}.
（1）若 A ∩ B ＝{2}，求实数 a 的值；
解：因为集合 A ＝{ x ｜ x2－ ax ＋ a2－19＝0}，
集合 B ＝{ x ｜ x2－5 x ＋6＝0}＝{2，3}，且 A ∩ B ＝{2}，所
以2∈ A ，所以4－2 a ＋ a2－19＝0，
即 a2－2 a －15＝0，解得 a ＝－3或 a ＝5.
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当 a ＝－3时， A ＝{ x ｜ x2＋3 x －10＝0}＝{－5，2}， A ∩ B
＝{2}，符合题意；
当 a ＝5时， A ＝{ x ｜ x2－5 x ＋6＝0}＝{2，3}， A ∩ B ＝
{2，3}，不符合题意.
综上，实数 a 的值为－3.
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（2）若 A ∩ B ≠ ， A ∩ C ＝ ，求实数 a 的值.
解：因为 A ＝{ x ｜ x2－ ax ＋ a2－19＝0}， B ＝{2，3}， C ＝{ x ｜ x2＋2 x －8＝0}＝{－4，2}，且 A ∩ B ≠ ， A ∩ C ＝ ，所以3∈ A ，所以9－3 a ＋ a2－19＝0，即 a2－3 a －10＝0，解得 a ＝－2或 a ＝5.当 a ＝－2时， A ＝{ x ｜ x2＋2 x －15＝0}＝{－5，3}，满足题意；当 a ＝5时， A ＝{ x ｜ x2－5 x ＋6＝0}＝{2，3}，不满足题意.综上，实数 a 的值为－2.
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谢 谢 观 看！培优课 集合的综合问题
题型一 集合的综合运算
【例1】 （2022·全国甲卷3题）设全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x｜x2－4x＋3＝0}，则 U（A∪B）＝（ ）
A.{1，3} B.{0，3}
C.{－2，1} D.{－2，0}
尝试解答
通性通法
集合的综合运算的常用方法
（1）定义法或Venn图法：若集合是用列举法给出的，运算时可直接借助定义求解，或把元素在Venn图中表示出来，借助Venn图观察求解；
（2）数轴法：若集合是用不等式（组）给出的，运算时可先将不等式（组）在数轴中表示出来，然后借助数轴求解.
【跟踪训练】
设全集U＝R，集合A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜2＜x＜4}，C＝{x｜a≤x≤a＋1，a∈R}.
（1）分别求A∩B，A∪（ UB）；
（2）若B∩C＝C，求实数a的取值范围.
题型二 集合的应用
【例2】 某学校艺术班有100名学生，其中学舞蹈的学生有67人，学唱歌的学生有45人，而学乐器的学生既不能学舞蹈，又不能学唱歌，有21人，那么同时学舞蹈和唱歌的学生有多少人？
尝试解答
通性通法
解决此类以实际生活为背景的集合问题，通常是先将各种对象用不同的集合表示，再借助Venn图直观分析各集合中的元素个数，最后转化为实际问题求解.
【跟踪训练】
某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人.
题型三 集合中的创新性问题
【例3】 若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称（A1，A2）为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，（A1，A2）与（A2，A1）是集合A的同一种分拆.若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是 .
尝试解答
通性通法
集合中的创新性问题的解题思路
（1）解决集合新定义问题的关键是要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆；
（2）有关集合“新运算”问题，要在理解运算法则的基础上，试图去寻求运算规律，并进行推理.
【跟踪训练】
设集合M＝{x｜m≤x≤m＋}，N＝{x｜n－≤x≤n}，且M，N都是集合{x｜0≤x≤1}的子集，如果把b－a称为集合{x｜a≤x≤b，a，b∈R}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是（ ）
A. B.
C. D.
培优课 集合的综合问题
【典型例题·精研析】
【例1】 D 集合B＝{1，3}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}，所以 U（A∪B）＝{－2，0}.故选D.
跟踪训练
解：（1）A∩B＝{x｜2＜x≤3}， UB＝{x｜x≤2或x≥4}，A∪（ UB）＝{x｜x≤3或x≥4}.
（2）由B∩C＝C可得C B，由题可得C≠ ，
所以解得2＜a＜3，即实数a的取值范围为{a｜2＜a＜3}.
【例2】 解：设只学舞蹈的学生有x人，只学唱歌的学生有y人，既学舞蹈又学唱歌的学生有z人，Venn图如图.
解得
所以同时学舞蹈和唱歌的学生有33人.
跟踪训练
8 解析：设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图，由题意可得（26－6－x）＋6＋（15－4－6）＋4＋（13－4－x）＋x＝36，解得x＝8.即同时参加数学和化学小组的有8人.
【例3】 27 解析：不妨令A＝{1，2，3}，∵A1∪A2＝A，当A1＝ 时，A2＝{1，2，3}，当A1＝{1}时，A2可为{2，3}，{1，2，3}共2种，同理A1＝{2}，{3}时，A2各有2种，当A1＝{1，2}时，A2可为{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}共4种，同理A1＝{1，3}，{2，3}时，A2各有4种，当A1＝{1，2，3}时，A2可为A1的子集，共8种，故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27（种）不同的分拆.
跟踪训练
C 由题意可知，集合M，N都是由数轴上0～1这一段上的点所对应的实数组成的集合（如图所示），且集合M，N的“长度”分别为，，因此要使M∩N的“长度”最小，需使它们重叠部分最少.由图可知，当它们分别靠近两个端点0和1时其重叠部分最少，所以所求最小值为＋－1＝.
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