2.1 必要条件与充分条件
第一课时 必要条件与充分条件
1.设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q的（ ）
A.既是充分条件，也是必要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不是充分条件，也不是必要条件
2.荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既不是充分条件，也不是必要条件
D.既是充分条件，也是必要条件
3.若p：四边形ABCD是菱形，q：四边形ABCD是矩形，则p是q的（ ）
A.充分条件但不是必要条件
B.必要条件但不是充分条件
C.既是充分条件，也是必要条件
D.既不是充分条件，也不是必要条件
4.已知集合A＝{3，m}，B＝{1，3，5}，则m＝1是A B的（ ）
A.充分条件
B.必要条件
C.必要不充分条件
D.既是充分条件又是必要条件
5.（多选）下列式子：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜1；④－1＜x＜0.其中，是－1＜x＜1的充分条件的序号为（ ）
A.① B.②
C.③ D.④
6.（多选）下列说法中正确的是（ ）
A.“A∩B＝B”是“B＝ ”的必要不充分条件
B.“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”
C.“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”
D.“｜x｜＝1”是“x＝－1”的充分条件
7.“x＜5”是“x＜3”的 条件（填“充分”或“必要”）.
8.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的 条件（填“充分”或“必要”）.
9.设命题p：k＞5，b＜5，命题q：一次函数y＝（k－4）x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的 条件；q是p的 条件（用“充分”或“必要”填空）.
10.指出下列命题中，p是q的充分条件，还是必要条件：
（1）p：x2＝2x＋1，q：x＝；
（2）p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；
（3）p：x＞4或x＜－1，q：x≥4或x＜0.
11.设x，y是两个实数，命题：“x，y中至少有一个数大于1”的充分条件是（ ）
A.x＋y＝2 B.x＋y＞2
C.x2＋y2＞2 D.xy＞1
12.（多选）一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正实数根的充分不必要条件是（ ）
A.n＝4 B.n＝－5
C.n＝－1 D.n＝－12
13.（多选）集合A＝，B＝{x∈R｜－1＜x＜m＋1}，若x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围可以是（ ）
A.m≥2 B.m≤2
C.m＞3 D.2＜m＜5
14.已知p：－1＜x＜3，若－a＜x－1＜a是p的一个必要条件，求使a＞b恒成立的实数b的取值范围.
15.设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么（ ）
A.丙是甲的充分不必要条件
B.丙是甲的必要不充分条件
C.丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D.丙是甲的既不充分也不必要条件
16.在如图所示的电路图中，“闭合开关A”是“灯泡B亮”的什么条件？
第一课时 必要条件与充分条件
1.C 因为{x｜－1＜x＜3} {x｜x＜3}，所以p是q的必要不充分条件.
2.A 荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须积跬步，故“至千里”是“积跬步”的充分不必要条件.故选A.
3.D 依题意，当四边形ABCD是菱形时，不一定是矩形.当四边形ABCD是矩形时，不一定是菱形.∴p / q，q / p，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件.
4.A 若A B，则有m∈B且m≠3，所以m＝1或m＝5，故当m＝1时，有A B，而A B时，m不一定是1，故m＝1是A B的充分条件，不是必要条件.
5.BCD ∵－1＜x＜1，∴②③④是－1＜x＜1的充分条件.
6.ABC 由A∩B＝B，得B A，所以“B＝ ”可推出“A∩B＝B”，反之不成立，A正确；解方程x2－2x－3＝0，得x＝－1或x＝3，所以“x＝3”的必要不充分条件是“x2－2x－3＝0”，B正确；“m是有理数”可以推出“m是实数”，反之不一定成立，C正确；解方程｜x｜＝1，得x＝±1，则“｜x｜＝1”是“x＝－1”的必要条件，D错误.故选A、B、C.
7.必要 解析：设A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x＜3}，因为A B，所以“x＜5”是“x＜3”的必要条件.
8.充分 解析：若“四边形ABCD”为菱形”，则“对角线AC⊥BD”成立；而若“对角线AC⊥BD”成立，则“四边形ABCD不一定为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件.
9.充分 必要 解析：当k＞5，b＜5时，函数y＝（k－4）x＋b－5的图象如图所示，此时一次函数y＝（k－4）x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件.
10.解：（1）因为x2＝2x＋1 /x＝，x＝ x2＝2x＋1，所以p是q的必要条件.
（2）因为a2＋b2＝0 a＝b＝0 a＋b＝0，a＋b＝0 / a2＋b2＝0，所以p是q的充分条件.
（3）因为p q，但q /p，所以p是q的充分条件.
11.B 对于选项A，当x＝1，y＝1时，满足x＋y＝2，但命题不成立；对于选项C、D，当x＝－2，y＝－3时，满足x2＋y2＞2，xy＞1，但命题不成立.
12.BCD 设y＝x2＋4x＋n，则函数的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x＝－2，要使得一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正实数根，则满足当x＝0时，y＜0，即n＜0，所以一元二次方程x2＋4x＋n＝0有正实数根的充分不必要条件可以为B、C、D.故选B、C、D.
13.ACD 由A＝，得A＝{x∈R｜＜x＜3}，又B＝{x∈R｜－1＜x＜m＋1}，且x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，所以A B，所以m＋1≥3，解得m≥2.故选A、C、D.
14.解：由于p：－1＜x＜3，
又由－a＜x－1＜a，得1－a＜x＜1＋a，
依题意，得{x｜－1＜x＜3} {x｜1－a＜x＜1＋a}，
所以解得a≥2，
则使a＞b恒成立的实数b的取值范围是{b｜b＜2}.
15.A 因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲.又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙 / 丙，如图.有丙 甲，但甲 / 丙，即丙是甲的充分不必要条件.
16.解：题图①中，闭合开关A或者闭合开关C都可以使灯泡B亮；反之，若要使灯泡B亮，不一定非要闭合开关A，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的充分不必要条件.
题图②中，闭合开关A而不闭合开关C，灯泡B不亮；反之，若要使灯泡B亮，则开关A必须闭合，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的必要不充分条件.
题图③中，闭合开关A但不闭合开关C，灯泡B不亮；反之，灯泡B亮也可不闭合开关A，只要闭合开关C即可，因此“闭合开关A”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.
2 / 22.1 必要条件与充分条件
新课程标准解读 核心素养
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系 数学抽象、逻辑推理
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系 数学抽象、逻辑推理
3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意义，理解数学定理与充要条件的关系 数学抽象、逻辑推理
第一课时 必要条件与充分条件
某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意一个开关都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常用的“双刀”开关，如图所示.
【问题】 （1）A开关闭合时B灯一定亮吗？
（2）B灯亮时A开关一定闭合吗？
预备知识 命题的概念、分类及结构形式
1.定义：可以判断 ，用文字或符号表述的 叫作命题.
2.分类：判断为 的语句是真命题；判断为 的语句是假命题.
3.结构形式：“若p，则q”形式的命题中， 称为命题的条件， 称为命题的结论.
提醒 （1）并非任何语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题；（2）命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为假，不能无法判断；（3）数学中的定义、公理、定理、公式等都是真命题.
知识点一 必要条件与性质定理
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称 是 的必要条件.也就是说，一旦q不成立，p一定也不成立，即 对于 的成立是必要的.
知识点二 充分条件与判定定理
一般地，当命题“若p，则q”是真命题时，称 是 的充分条件.
综上，对于真命题“若p，则q”，即p q时，称q是p的 条件，也称p是q的 条件.
提醒 （1）一般地，如果p q且q / p，则称p是q的充分不必要条件；（2）如果p / q且q p，则称p是q的必要不充分条件；（3）如果p / q且q / p，则称p是q的既不充分也不必要条件.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）如果q是p的必要条件，那么q是唯一的.（ ）
（2）q是p的必要条件的含义是：如果q不成立，则p一定不成立.（ ）
（3）“xy＞0”是“x，y都大于0”成立的充分条件.（ ）
（4）若p是q的充分条件，则q是p的必要条件.（ ）
2.（多选）下列条件中是x2＞4的充分条件的是（ ）
A.x＞－2 B.x＜－2
C.x＜－3 D.x＞4
3.p：｜x｜＝｜y｜，q：x＝y，则p是q的 条件（填“充分”或“必要”）.
题型一 必要条件的判断
【例1】 指出下列哪些命题中q是p的必要条件：
（1）p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等；
（2）p：A B，q：A∩B＝A；
（3）p：a＞b，q：ac＞bc.
尝试解答
通性通法
必要条件的两种判断方法
（1）定义法：
（2）命题判断法：
如果命题“若p，则q”是真命题，则q是p的必要条件；
如果命题“若p，则q”是假命题，则q不是p的必要条件.
【跟踪训练】
1.使x＞1成立的一个必要条件是（ ）
A.x＞0 B.x＞3
C.x＞2 D.x＜2
2.设集合A＝{x｜x≤1}，B＝{x｜x≥a}，则“A∪B＝R”是“a＝1”的 条件（填“充分”或“必要”）.
题型二 充分条件的判断
【例2】 指出下列哪些命题中p是q的充分条件：
（1）在△ABC中，p：∠B＞∠C，q：AC＞AB；
（2）已知x，y∈R，p：x＝1，q：（x－1）（x－2）＝0；
（3）已知x∈R，p：x＞1，q：x＞2.
尝试解答
通性通法
充分条件的两种判断方法
（1）定义法：
（2）命题判断方法：
如果命题：“若p，则q”是真命题，则p是q的充分条件；
如果命题：“若p，则q”是假命题，则p不是q的充分条件.
【跟踪训练】
1.（多选）使0＜x＜3成立的一个充分条件是（ ）
A.2＜x≤3 B.0≤x＜1
C.0＜x≤2 D.1＜x＜2
2.设集合M＝{x｜0＜x≤2}，N＝{x｜0＜x≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的 条件（填“充分”或“必要”）.
题型三 根据必要条件、充分条件求参数的取值范围
【例3】 已知p：实数x满足3a＜x＜a，其中a＜0，q：实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）若本例中条件p改为“实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围.
2.（变条件）若本例中的条件“q：实数x满足－2≤x≤3”改为“q：实数x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围.
通性通法
利用充分（必要）条件确定参数的值（范围）的步骤
（1）记集合M＝{x｜p（x）}，N＝{x｜q（x）}；
（2）若p是q的充分条件，则M N；若p是q的必要条件，则N M；
（3）根据集合的关系列不等式（组）；
（4）解不等式（组）得结果.
【跟踪训练】
已知全集U＝R，非空集合A＝{x｜2＜x＜3a＋1}，B＝{x｜a＜x＜a＋2}.记p：x∈A，q：x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.
1.若a∈R，则“a＝1”是“｜a｜＝1”的（ ）
A.充分条件
B.必要条件
C.既不是充分条件，也不是必要条件
D.无法判断
2.“x＞2”是“x＞”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.既是充分条件，也是必要条件
D.既不是充分条件，也不是必要条件
3.若“x＞1”是“x＞a”的充分条件，则a的取值范围是 .
4.“x2＝2x”是“x＝0”的 条件，“x＝0”是“x2＝2x”的 条件（用“充分”“必要”填空）.
第一课时 必要条件与充分条件
【基础知识·重落实】
预备知识
1.真假 陈述句 2.真 假 3.p q
知识点一
q p q p
知识点二
p q 必要 充分
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）× （4）√
2.BCD 当x＝0时，x＞－2，但x2＜4，故A错，B、C、D都符合.
3.必要 解析：∵x＝y ｜x｜＝｜y｜，即q p，∴p是q的必要条件.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）因为矩形的对角线相等，所以q是p的必要条件.
（2）因为p q，所以q是p的必要条件.
（3）因为p /q，所以q不是p的必要条件.
跟踪训练
1.A 只有x＞1 x＞0，其他选项均不可由x＞1推出.
2.必要 解析：因为集合A＝{x｜x≤1}，B＝{x｜x≥a}，当A∪B＝R时，a≤1，因为a≤1不一定得到a＝1，当a＝1时一定可以得到a≤1，所以“A∪B＝R”是“a＝1”的必要条件.
【例2】 解：（1）在△ABC中，由大角对大边知，∠B＞∠C AC＞AB，所以p是q的充分条件.
（2）由x＝1 （x－1）（x－2）＝0，故p是q的充分条件.
（3）法一 由x＞1 /x＞2，所以p不是q的充分条件.
法二 设集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＞2}，所以B A，所以p不是q的充分条件.
跟踪训练
1.CD 从集合观点看，求0＜x＜3成立的一个充分条件，就是从A、B、C、D中选出集合{x｜0＜x＜3}的子集.由于{x｜0＜x≤2} {x｜0＜x＜3}，{x｜1＜x＜2} {x｜0＜x＜3}，故选C、D.
2.充分 解析：由题意得，M N，所以“a∈M” “a∈N”，所以“a∈M”是“a∈N”的充分条件.
【例3】 解：p：3a＜x＜a，记集合A＝{x｜3a＜x＜a}.
q：－2≤x≤3，记集合B＝{x｜－2≤x≤3}.
因为p q，所以A B，
所以 －≤a＜0，
所以a的取值范围是.
母题探究
1.解：p：a＜x＜3a，记集合A＝{x｜a＜x＜3a}.
q：－2≤x≤3，记集合B＝{x｜－2≤x≤3}.
因为q p，所以B A，所以
2.解：p：3a＜x＜a，其中a＜0，记集合A＝{x｜3a＜x＜a}.
q：－3≤x≤0，记集合B＝{x｜－3≤x≤0}.
因为p是q的充分条件，所以p q，所以A B，
所以 －1≤a＜0.
所以a的取值范围是[－1，0）.
跟踪训练
解：∵A≠ ，∴3a＋1＞2，即a＞.
∵q是p的必要条件，∴A B，
∴解得a≤，
又a＞，∴＜a≤，
即实数a的取值范围是.
随堂检测
1.A 当a＝1时，｜a｜＝1成立，但｜a｜＝1时，a＝±1，所以a＝1不一定成立.所以“a＝1”是“｜a｜＝1”的充分条件.
2.B ∵2＜，∴“x＞2”是“x＞”的必要不充分条件.故选B.
3.（－∞，1] 解析：因为x＞1 x＞a，所以a≤1.
4.必要 充分 解析：由于x＝0 x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件.
3 / 4(共54张PPT)
2.1 必要条件与充分条件
新课程标准解读 核心素养
1.通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意
义，理解性质定理与必要条件的关系 数学抽象、
逻辑推理
2.通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件的意
义，理解判定定理与充分条件的关系 数学抽象、
逻辑推理
3.通过对典型数学命题的梳理，理解充要条件的意
义，理解数学定理与充要条件的关系 数学抽象、
逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
第一课时 必要条件与充分条件
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某居民的卧室里安有一盏灯，在卧室门口和床头各有一个开关，任意
一个开关都能够独立控制这盏灯.这就是电器上常用的“双刀”开
关，如图所示.
【问题】 （1） A 开关闭合时 B 灯一定亮吗？
（2） B 灯亮时 A 开关一定闭合吗？
预备知识 命题的概念、分类及结构形式
1. 定义：可以判断 ，用文字或符号表述的 叫
作命题.
2. 分类：判断为 的语句是真命题；判断为 的语句是
假命题.
3. 结构形式：“若 p ，则 q ”形式的命题中， 称为命题的条
件， 称为命题的结论.
真假
陈述句
真
假
p
q
提醒 （1）并非任何语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才
是命题；（2）命题的真假是确定的，一个命题要么为真，要么为
假，不能无法判断；（3）数学中的定义、公理、定理、公式等都
是真命题.
知识点一 必要条件与性质定理
一般地，当命题“若 p ，则 q ”是真命题时，称 是 的必要
条件.也就是说，一旦 q 不成立， p 一定也不成立，即 对
于 的成立是必要的.
q
p
q
p
知识点二 充分条件与判定定理
一般地，当命题“若 p ，则 q ”是真命题时，称 是 的充分
条件.
综上，对于真命题“若 p ，则 q ”，即 p q 时，称 q 是 p 的
条件，也称 p 是 q 的 条件.
提醒 （1）一般地，如果 p q 且 q / p ，则称 p 是 q 的充分不必要条
件；（2）如果 p / q 且 q p ，则称 p 是 q 的必要不充分条件；（3）
如果 p / q 且 q / p ，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
p
q
必要
充分
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）如果 q 是 p 的必要条件，那么 q 是唯一的. （ × ）
（2） q 是 p 的必要条件的含义是：如果 q 不成立，则 p 一定不成立.
（ √ ）
（3）“ xy ＞0”是“ x ， y 都大于0”成立的充分条件. （ × ）
（4）若 p 是 q 的充分条件，则 q 是 p 的必要条件. （ √ ）
×
√
×
√
2. （多选）下列条件中是 x2＞4的充分条件的是（ ）
A. x ＞－2 B. x ＜－2
C. x ＜－3 D. x ＞4
解析：当 x ＝0时， x ＞－2，但 x2＜4，故A错，B、C、D都符合.
3. p ：｜ x ｜＝｜ y ｜， q ： x ＝ y ，则 p 是 q 的 条件（填“充
分”或“必要”）.
解析：∵ x ＝ y ｜ x ｜＝｜ y ｜，即 q p ，∴ p 是 q 的必要条件.
必要
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 必要条件的判断
【例1】 指出下列哪些命题中 q 是 p 的必要条件：
（1） p ：一个四边形是矩形， q ：四边形的对角线相等；
解：因为矩形的对角线相等，所以 q 是 p 的必要条件.
（2） p ： A B ， q ： A ∩ B ＝ A ；
解：因为 p q ，所以 q 是 p 的必要条件.
（3） p ： a ＞ b ， q ： ac ＞ bc .
解：因为 p /q，所以 q 不是 p 的必要条件.
通性通法
必要条件的两种判断方法
（1）定义法：
（2）命题判断法：
如果命题“若 p ，则 q ”是真命题，则 q 是 p 的必要条件；
如果命题“若 p ，则 q ”是假命题，则 q 不是 p 的必要条件.
【跟踪训练】
1. 使 x ＞1成立的一个必要条件是（ ）
A. x ＞0 B. x ＞3
C. x ＞2 D. x ＜2
解析： 只有 x ＞1 x ＞0，其他选项均不可由 x ＞1推出.
2. 设集合 A ＝{ x ｜ x ≤1}， B ＝{ x ｜ x ≥ a }，则“ A ∪ B ＝R”是“ a
＝1”的 条件（填“充分”或“必要”）.
解析：因为集合 A ＝{ x ｜ x ≤1}， B ＝{ x ｜ x ≥ a }，当 A ∪ B ＝R
时， a ≤1，因为 a ≤1不一定得到 a ＝1，当 a ＝1时一定可以得到 a
≤1，所以“ A ∪ B ＝R”是“ a ＝1”的必要条件.
必要
题型二 充分条件的判断
【例2】 指出下列哪些命题中 p 是 q 的充分条件：
（1）在△ ABC 中， p ：∠ B ＞∠ C ， q ： AC ＞ AB ；
解：在△ ABC 中，由大角对大边知，∠ B ＞∠ C AC ＞ AB ，所
以 p 是 q 的充分条件.
（2）已知 x ， y ∈R， p ： x ＝1， q ：（ x －1）（ x －2）＝0；
解：由 x ＝1 （ x －1）（ x －2）＝0，故 p 是 q 的充分条件.
法二 设集合 A ＝{ x ｜ x ＞1}， B ＝{ x ｜ x ＞2}，所以 B A ，所以 p 不是 q 的充分条件.
（3）已知 x ∈R， p ： x ＞1， q ： x ＞2.
解：法一 由 x ＞1 / x ＞2，所以 p 不是 q 的充分条件.
通性通法
充分条件的两种判断方法
（1）定义法：
（2）命题判断方法：
如果命题：“若 p ，则 q ”是真命题，则 p 是 q 的充分条件；
如果命题：“若 p ，则 q ”是假命题，则 p 不是 q 的充分条件.
【跟踪训练】
1. （多选）使0＜ x ＜3成立的一个充分条件是（ ）
A. 2＜ x ≤3 B. 0≤ x ＜1
C. 0＜ x ≤2 D. 1＜ x ＜2
解析： 从集合观点看，求0＜ x ＜3成立的一个充分条件，
就是从A、B、C、D中选出集合{ x ｜0＜ x ＜3}的子集.由于
{ x ｜0＜ x ≤2} { x ｜0＜ x ＜3}，{ x ｜1＜ x ＜2} { x ｜0＜ x
＜3}，故选C、D.
2. 设集合 M ＝{ x ｜0＜ x ≤2}， N ＝{ x ｜0＜ x ≤3}，那么“ a ∈ M ”
是“ a ∈ N ”的 条件（填“充分”或“必要”）.
解析：由题意得， M N ，所以“ a ∈ M ” “ a ∈ N ”，所以“ a
∈ M ”是“ a ∈ N ”的充分条件.
充分
题型三 根据必要条件、充分条件求参数的取值范围
【例3】 已知 p ：实数 x 满足3 a ＜ x ＜ a ，其中 a ＜0， q ：实数 x 满
足－2≤ x ≤3.若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围.
解： p ：3 a ＜ x ＜ a ，记集合 A ＝{ x ｜3 a ＜ x ＜ a }.
q ：－2≤ x ≤3，记集合 B ＝{ x ｜－2≤ x ≤3}.
因为 p q ，所以 A B ，
所以 － ≤ a ＜0，
所以 a 的取值范围是 .
【母题探究】
1. （变条件）若本例中条件 p 改为“实数 x 满足 a ＜ x ＜3 a ，其中 a ＞
0”，若 p 是 q 的必要条件，求实数 a 的取值范围.
解： p ： a ＜ x ＜3 a ，记集合 A ＝{ x ｜ a ＜ x ＜3 a }.
q ：－2≤ x ≤3，记集合 B ＝{ x ｜－2≤ x ≤3}.
因为 q p ，所以 B A ，所以
2. （变条件）若本例中的条件“ q ：实数 x 满足－2≤ x ≤3”改为
“ q ：实数 x 满足－3≤ x ≤0”其他条件不变，求实数 a 的取值
范围.
解： p ：3 a ＜ x ＜ a ，其中 a ＜0，记集合 A ＝{ x ｜3 a ＜ x ＜ a }.
q ：－3≤ x ≤0，记集合 B ＝{ x ｜－3≤ x ≤0}.
因为 p 是 q 的充分条件，所以 p q ，所以 A B ，
所以 －1≤ a ＜0.
所以 a 的取值范围是[－1，0）.
通性通法
利用充分（必要）条件确定参数的值（范围）的步骤
（1）记集合 M ＝{ x ｜ p （ x ）}， N ＝{ x ｜ q （ x ）}；
（2）若 p 是 q 的充分条件，则 M N ；若 p 是 q 的必要条件，则 N
M ；
（3）根据集合的关系列不等式（组）；
（4）解不等式（组）得结果.
【跟踪训练】
已知全集 U ＝R，非空集合 A ＝{ x ｜2＜ x ＜3 a ＋1}， B ＝{ x ｜ a ＜ x
＜ a ＋2}.记 p ： x ∈ A ， q ： x ∈ B ，若 q 是 p 的必要条件，求实数 a 的
取值范围.
解：∵ A ≠ ，∴3 a ＋1＞2，即 a ＞ .
∵ q 是 p 的必要条件，∴ A B ，
∴解得 a ≤ ，
又 a ＞ ，∴ ＜ a ≤ ，
即实数 a 的取值范围是 .
1. 若 a ∈R，则“ a ＝1”是“｜ a ｜＝1”的（ ）
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 既不是充分条件，也不是必要条件
D. 无法判断
解析： 当 a ＝1时，｜ a ｜＝1成立，但｜ a ｜＝1时， a ＝±1，
所以 a ＝1不一定成立.所以“ a ＝1”是“｜ a ｜＝1”的充分条件.
2. “ x ＞2”是“ x ＞ ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 既是充分条件，也是必要条件
D. 既不是充分条件，也不是必要条件
解析： ∵2＜ ，∴“ x ＞2”是“ x ＞ ”的必要不充分条
件.故选B.
3. 若“ x ＞1”是“ x ＞ a ”的充分条件，则 a 的取值范围是 .
解析：因为 x ＞1 x ＞ a ，所以 a ≤1.
4. “ x2＝2 x ”是“ x ＝0”的 条件，“ x ＝0”是“ x2＝2 x ”
的 条件（用“充分”“必要”填空）.
解析：由于 x ＝0 x2＝2 x ，所以“ x2＝2 x ”是“ x ＝0”的必要条
件，“ x ＝0”是“ x2＝2 x ”的充分条件.
（－∞，1]
必要
充分
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设 p ： x ＜3， q ：－1＜ x ＜3，则 p 是 q 的（ ）
A. 既是充分条件，也是必要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不是充分条件，也不是必要条件
解析： 因为{ x ｜－1＜ x ＜3} { x ｜ x ＜3}，所以 p 是 q 的必要
不充分条件.
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2. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”
这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无
法达成目标的哲理.由此可得，“至千里”是“积跬步”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 既不是充分条件，也不是必要条件
D. 既是充分条件，也是必要条件
解析： 荀子的名言表明积跬步未必能至千里，但要至千里必须
积跬步，故“至千里”是“积跬步”的充分不必要条件.故选A.
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3. 若 p ：四边形 ABCD 是菱形， q ：四边形 ABCD 是矩形，则 p 是 q 的
（ ）
A. 充分条件但不是必要条件
B. 必要条件但不是充分条件
C. 既是充分条件，也是必要条件
D. 既不是充分条件，也不是必要条件
解析： 依题意，当四边形 ABCD 是菱形时，不一定是矩形.当
四边形 ABCD 是矩形时，不一定是菱形.∴ p / q ， q / p ，∴ p 既
不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件.
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4. 已知集合 A ＝{3， m }， B ＝{1，3，5}，则 m ＝1是 A B 的（ ）
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既是充分条件又是必要条件
解析： 若 A B ，则有 m ∈ B 且 m ≠3，所以 m ＝1或 m ＝5，故
当 m ＝1时，有 A B ，而 A B 时， m 不一定是1，故 m ＝1是 A
B 的充分条件，不是必要条件.
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5. （多选）下列式子：① x ＜1；②0＜ x ＜1；③－1＜ x ＜1；④－1
＜ x ＜0.其中，是－1＜ x ＜1的充分条件的序号为（ ）
A. ① B. ②
C. ③ D. ④
解析： ∵－1＜ x ＜1，∴②③④是－1＜ x ＜1的充分条件.
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6. （多选）下列说法中正确的是（ ）
A. “ A ∩ B ＝ B ”是“ B ＝ ”的必要不充分条件
B. “ x ＝3”的必要不充分条件是“ x2－2 x －3＝0”
C. “ m 是实数”的充分不必要条件是“ m 是有理数”
D. “｜ x ｜＝1”是“ x ＝－1”的充分条件
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解析： 由 A ∩ B ＝ B ，得 B A ，所以“ B ＝ ”可推出“ A
∩ B ＝ B ”，反之不成立，A正确；解方程 x2－2 x －3＝0，得 x ＝
－1或 x ＝3，所以“ x ＝3”的必要不充分条件是“ x2－2 x －3＝
0”，B正确；“ m 是有理数”可以推出“ m 是实数”，反之不一
定成立，C正确；解方程｜ x ｜＝1，得 x ＝±1，则“｜ x ｜＝1”
是“ x ＝－1”的必要条件，D错误.故选A、B、C.
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7. “ x ＜5”是“ x ＜3”的 条件（填“充分”或“必要”）.
解析：设 A ＝{ x ｜ x ＜5}， B ＝{ x ｜ x ＜3}，因为 A B ，所以“ x
＜5”是“ x ＜3”的必要条件.
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8. 设四边形 ABCD 的两条对角线为 AC ， BD ，则“四边形 ABCD 为菱
形”是“ AC ⊥ BD ”的 条件（填“充分”或“必要”）.
解析：若“四边形 ABCD ”为菱形”，则“对角线 AC ⊥ BD ”成
立；而若“对角线 AC ⊥ BD ”成立，则“四边形 ABCD 不一定为菱
形”，所以“四边形 ABCD 为菱形”是“ AC ⊥ BD ”的充分条件.
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9. 设命题 p ： k ＞5， b ＜5，命题 q ：一次函数 y ＝（ k －4） x ＋ b －5
的图象交 y 轴于负半轴，交 x 轴于正半轴，则 p 是 q 的 条件；
q 是 p 的 条件（用“充分”或“必要”填空）.
解析：当 k ＞5， b ＜5时，函数 y ＝（ k －4） x ＋ b －5的图象如图
所示，此时一次函数 y ＝（ k －4） x ＋ b －5的图象交 y 轴于负半
轴，交 x 轴于正半轴，所以 p 是 q 的充分条件， q 是 p 的必要条件.
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10. 指出下列命题中， p 是 q 的充分条件，还是必要条件：
（1） p ： x2＝2 x ＋1， q ： x ＝ ；
解：因为 x2＝2 x ＋1 /x＝ ， x ＝ x2
＝2 x ＋1，所以 p 是 q 的必要条件.
（2） p ： a2＋ b2＝0， q ： a ＋ b ＝0；
解：因为 a2＋ b2＝0 a ＝ b ＝0 a ＋ b ＝0， a ＋ b ＝
0 /a2＋ b2＝0，所以 p 是 q 的充分条件.
（3） p ： x ＞4或 x ＜－1， q ： x ≥4或 x ＜0.
解：因为 p q ，但 q /p，所以 p 是 q 的充分条件.
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11. 设 x ， y 是两个实数，命题：“ x ， y 中至少有一个数大于1”的充
分条件是（ ）
A. x ＋ y ＝2 B. x ＋ y ＞2
C. x2＋ y2＞2 D. xy ＞1
解析： 对于选项A，当 x ＝1， y ＝1时，满足 x ＋ y ＝2，但命
题不成立；对于选项C、D，当 x ＝－2， y ＝－3时，满足 x2＋ y2
＞2， xy ＞1，但命题不成立.
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12. （多选）一元二次方程 x2＋4 x ＋ n ＝0有正实数根的充分不必要条
件是（ ）
A. n ＝4 B. n ＝－5
C. n ＝－1 D. n ＝－12
解析： 设 y ＝ x2＋4 x ＋ n ，则函数的图象是开口向上的抛
物线，且对称轴为 x ＝－2，要使得一元二次方程 x2＋4 x ＋ n ＝0有
正实数根，则满足当 x ＝0时， y ＜0，即 n ＜0，所以一元二次方
程 x2＋4 x ＋ n ＝0有正实数根的充分不必要条件可以为B、C、D.
故选B、C、D.
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13. （多选）集合 A ＝ ， B ＝{ x ∈R｜－1＜ x ＜ m
＋1}，若 x ∈ B 成立的一个充分不必要条件是 x ∈ A ，则实数 m 的
取值范围可以是（ ）
A. m ≥2 B. m ≤2
C. m ＞3 D. 2＜ m ＜5
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解析： 由 A ＝ ，得 A ＝ ，又 B ＝{ x ∈R｜－1＜ x ＜ m ＋1}，且 x ∈ B 成立的一
个充分不必要条件是 x ∈ A ，所以 A B ，所以 m ＋1≥3，解得 m
≥2.故选A、C、D.
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14. 已知 p ：－1＜ x ＜3，若－ a ＜ x －1＜ a 是 p 的一个必要条件，求
使 a ＞ b 恒成立的实数 b 的取值范围.
解：由于 p ：－1＜ x ＜3，
又由－ a ＜ x －1＜ a ，得1－ a ＜ x ＜1＋ a ，
依题意，得{ x ｜－1＜ x ＜3} { x ｜1－ a ＜ x ＜1＋ a }，
所以解得 a ≥2，
则使 a ＞ b 恒成立的实数 b 的取值范围是{ b ｜ b ＜2}.
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15. 设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充
分条件，但不是乙的必要条件，那么（ ）
A. 丙是甲的充分不必要条件
B. 丙是甲的必要不充分条件
C. 丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件
D. 丙是甲的既不充分也不必要条件
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解析： 因为甲是乙的必要条件，所以乙 甲.又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙 乙，但乙 / 丙，如图.有丙 甲，但甲 / 丙，即丙是甲的充分不必要条件.
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16. 在如图所示的电路图中，“闭合开关 A ”是“灯泡 B 亮”的什么
条件？
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解：题图①中，闭合开关 A 或者闭合开关 C 都可以使灯泡 B 亮；
反之，若要使灯泡 B 亮，不一定非要闭合开关 A ，因此“闭合开
关 A ”是“灯泡 B 亮”的充分不必要条件.
题图②中，闭合开关 A 而不闭合开关 C ，灯泡 B 不亮；反之，若
要使灯泡 B 亮，则开关 A 必须闭合，因此“闭合开关 A ”是“灯
泡 B 亮”的必要不充分条件.
题图③中，闭合开关 A 但不闭合开关 C ，灯泡 B 不亮；反之，灯
泡 B 亮也可不闭合开关 A ，只要闭合开关 C 即可，因此“闭合开
关 A ”是“灯泡 B 亮”的既不充分也不必要条件.
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谢 谢 观 看！
