第二课时 充要条件
1.设x∈R，则“x＝1”是“x3＝x”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.a，b中至少有一个不为零的充要条件是（ ）
A.ab＝0 B.ab＞0
C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2＞0
3.“x＜2”是“＜0”的（ ）
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知p：{x｜x＋2≥0且x－10≤0}，q：{x｜4－m≤x≤4＋m，m＞0}.若p是q的充要条件，则实数m的值为（ ）
A.4 B.5
C.6 D.7
5.（多选）使“x∈{x｜x≤0或x＞2}”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A.x≥0 B.x＜0或x＞2
C.x∈{－1，3，5} D.x≤0或x＞2
6.（多选）下列选项中正确的是（ ）
A.点P到圆心O的距离大于圆的半径是点P在☉O外的充要条件
B.两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件
C.A∪B＝A是B A的必要不充分条件
D.x或y为有理数是xy为有理数的既不充分也不必要条件
7.△ABC与△A1B1C1对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的 条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）
8.若“x≤－1，或x≥1”是“x＜a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为 .
9.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空：
（1）“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的 ；
（2）“x＜9”是“x＜6”的 .
10.求证：一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象过原点的充要条件是b＝0.
11.已知x∈R，则“x2＝x＋6”是“x＝”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.（多选）已知关于x的方程x2＋（m－3）x＋m＝0，下列结论正确的是（ ）
A.方程x2＋（m－3）x＋m＝0有实数根的充要条件是m∈{m｜m＜1或m＞9}
B.方程x2＋（m－3）x＋m＝0有一正根一负根的充要条件是m∈{m｜0＜m≤1}
C.方程x2＋（m－3）x＋m＝0有两正实数根的充要条件是m∈{m｜0＜m≤1}
D.方程x2＋（m－3）x＋m＝0无实数根的必要条件是m∈{m｜m＞1}
13.已知“p：x＞m＋3或x＜m”是“q：－4＜x＜1”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 .
14.设p：实数x满足a＜x＜3a，其中a＞0，q：实数x满足2＜x＜3.
（1）若a＝1，且p和q均为真，求实数x的取值范围；
（2）若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
15.设集合U＝{（x，y）｜x∈R，y∈R}，A＝{（x，y）｜2x－y＋m＞0}，B＝{（x，y）｜x＋y－n≤0}，那么点P（2，3）∈A∩（ UB）的充要条件是（ ）
A.m＞－1，n＜5 B.m＜－1，n＜5
C.m＞－1，n＞5 D.m＜－1，n＞5
16.给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要.请从中选择一个补充到下面的横线上并解答.
已知集合P＝{x｜1≤x≤4}，S＝{x｜1－m≤x≤1＋m}，是否存在实数m使得“x∈P”是“x∈S”的 条件？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
第二课时 充要条件
1.A 当x＝1时，x3＝x成立.若x3＝x，即x（x2－1）＝0，得x＝－1，0，1.
2.D a2＋b2＞0，则a，b不同时为零；a，b中至少有一个不为零，则a2＋b2＞0.
3.A 由＜0，得x－2＜0，x＜2，即“x＜2”是“＜0”的充要条件.
4.C 由已知得p：{x｜－2≤x≤10}.由p是q的充要条件得{x｜－2≤x≤10}＝{x｜4－m≤x≤4＋m，m＞0}，因此解得m＝6，故选C.
5.BC 从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有B，C满足题意，选项A为题干成立的既不充分也不必要条件，D为题干成立的充要条件.
6.AD 对于A，由点P到圆心O的距离大于圆的半径，则点P在☉O外，由圆外一点到该圆心的距离都大于半径可知，A正确；对于B，两三角形全等可推出两三角形面积相等，但两个三角形的面积相等推不出这两个三角形全等，故B不正确；对于C，由A∪B＝A B A，A∪B＝A是B A的充要条件，故C不正确；对于D，由x或y是有理数，不妨设x＝1，y＝，xy＝不是有理数，反之，若xy为有理数，不妨设x＝1－，y＝1＋，即xy＝（1－）（1＋）＝－1为有理数，不能推出x或y为有理数，故D正确.
7.必要不充分 解析：由△ABC与△A1B1C1对应角相等 /△ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1 ∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1.
8.－1 解析：“x≤－1，或x≥1”是“x＜a”的必要不充分条件，则由“x＜a”可以推出“x≤－1，或x≥1”，但由“x≤－1，或x≥1”推不出“x＜a”，所以a≤－1，所以实数a的最大值为－1.
9.（1）充要条件 （2）必要不充分条件
解析：（1）设A＝{x｜x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x｜｜x｜－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的充要条件.
（2）设A＝{x｜x＜9}，B＝{x｜x＜6}，因为B A，所以“x＜9”是“x＜6”的必要不充分条件.
10.证明：①充分性：如果b＝0，那么y＝kx，
当x＝0时，y＝0，函数图象过原点.
②必要性：因为y＝kx＋b（k≠0）的图象过原点，
所以当x＝0时，y＝0，得0＝k·0＋b，
所以b＝0.
综上，一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象过原点的充要条件是b＝0.
11.B 由于“x2＝x＋6”，则“x＝±”，故“x2＝x＋6”是“x＝”的必要不充分条件.
12.CD 在A中，二次方程有实数根，等价于判别式Δ＝（m－3）2－4m≥0，解得m≤1或m≥9，即二次方程有实数根的充要条件是m∈{m｜m≤1或m≥9}，故A错误；在B中，二次方程有一正根一负根，等价于解得m＜0，方程有一正根一负根的充要条件是m∈{m｜m＜0}，故B错误；在C中，方程有两正实数根，等价于解得0＜m≤1，故方程有两正实数根的充要条件是m∈{m｜0＜m≤1}，故C正确；在D中，方程无实数根，等价于Δ＝（m－3）2－4m＜0得1＜m＜9，而{m｜1＜m＜9} {m｜m＞1}，故m∈{m｜m＞1}是方程无实数根的必要条件，故D正确.故选C、D.
13.（－∞，－7]∪[1，＋∞） 解析：因为p是q成立的必要不充分条件，所以m＋3≤－4或m≥1，故m≤－7或m≥1.
14.解：（1）当a＝1时，若命题p为真，则1＜x＜3，若命题q为真，则2＜x＜3，∵p，q均为真，∴2＜x＜3，即实数x的取值范围是{x｜2＜x＜3}.
（2）若q是p的充分不必要条件，则 1≤a≤2，
∴实数a的取值范围是{a｜1≤a≤2}.
15.A 要寻求P∈A∩（ UB）的充要条件，应从充分性、必要性两方面入手. UB＝{（x，y）｜x＋y－n＞0}，A∩（ UB）＝{（x，y）｜x＋y－n＞0，且2x－y＋m＞0}，①由P∈A∩（ UB）可得，所以m＞－1，n＜5.所以m＞－1，n＜5是P（2，3）∈A∩（ UB）的必要条件.②当m＞－1，n＜5时，由解得即P（2，3）∈A∩（ UB），所以m＞－1，n＜5是P（2，3）∈A∩（ UB）的充分条件，故选A.
16.解：若选择①，即“x∈P”是“x∈S”的充分不必要条件，则P S且S≠ ，
所以或解得m≥3，
因此，实数m的取值范围是[3，＋∞）.
若选择②，即“x∈P”是“x∈S”的必要不充分条件，则S P，当S≠ 时，
则或解得m＝0，
当S＝ 时，1－m＞1＋m，解得m＜0.
综上，实数m的取值范围是（－∞，0].
若选择③，即“x∈P”是“x∈S”的充要条件，则P＝S，即无解，
故不存在实数m，使得“x∈P”是“x∈S”的充要条件.
2 / 2第二课时 充要条件
主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了.”主人听了，随口说了句：“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了.主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去.
【问题】 （1）张三为什么走了？
（2）李四为什么也走了？
知识点一 逆命题
将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题.
知识点二 充要条件
1.一般地，如果 ，且 ，那么称p是q的充分且必要条件，简称p是q的充要条件，记作 .
2.p是q的充要条件也常常说成“p成立当且仅当q成立”，或“p与q ”.
3.当p是q的充要条件时，q也是p的 条件.
【想一想】
1.若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
2.“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）△ABC是直角三角形的充要条件是两边的平方之和等于第三边的平方.（ ）
（2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等，等价于两直线平行.（ ）
（3）ax2＋bx＋c＝0有实数根的充要条件是b2－4ac＞0.（ ）
2.已知p：x＝1或x＝－1，q：x2－1＝0.则p是q的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设A，B是两个集合，p：“A∩B＝A”，q：“A B”，则p是q的 条件，q是p的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”或“充要”）.
题型一 充要条件的判断
【例1】 判断下列各题中，p是否为q的充要条件？
（1）若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；
（2）p：｜x｜＞3，q：x2＞9.
尝试解答
通性通法
1.判断p是q的充要条件，主要是判断p q及q p这两个命题是否成立.若p q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件.
2.在已知充要条件的前提下，充分条件是不确定的，只要保证是充要条件的一个子集即可，而充分不必要条件应为充要条件的一个真子集.
【跟踪训练】
设集合A＝{x｜2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x｜3≤x≤22}，则A （A∩B）的充要条件为 ；一个充分不必要条件可为 .
题型二 充要条件的证明
【例2】 求证：△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.（这里a，b，c是△ABC的三边边长）
尝试解答
通性通法
充要条件的证明策略
（1）要证明p是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明命题“若p，则q”为真命题且命题“若q，则p”为真命题；
（2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的.
提醒 证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向.
【跟踪训练】
证明：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac＜0.
题型三 充分、必要及充要条件的应用
【例3】 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0），若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
尝试解答
【母题探究】
（变设问）本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
通性通法
充分条件与必要条件的应用技巧
（1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题；
（2）求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解.
【跟踪训练】
已知p：1≤x≤a（a≥1），q：1≤x≤2.
（1）当a为何值时，p是q的充分不必要条件？
（2）当a为何值时，p是q的充要条件？
1.“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.设x∈R，则“x＞1”是“x3＞1”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.“对任意c∈R，都有ac＝bc”是“a＝b”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.函数y＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝ .
第二课时 充要条件
【基础知识·重落实】
知识点二
1.p q q p p q 2.等价 3.充要
想一想
1.提示：正确.若p是q的充要条件，则p q，即p等价于q.
2.提示：①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论.
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论.
自我诊断
1.（1）√ （2）√ （3）×
2.C ∵x2－1＝0时，x＝1或x＝－1.∴“x＝1或x＝－1” “x2－1＝0”，即p是q的充要条件，故选C.
3.充要 充要 解析：∵A∩B＝A A B，∴p是q的充要条件，q是p的充要条件.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p q；
若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q p，故p q，
所以p是q的充要条件.
（2）由于p：｜x｜＞3 q：x2＞9，所以p是q的充要条件.
跟踪训练
a≤9 6≤a≤9（答案不唯一） 解析：A （A∩B） A B，B＝{x｜3≤x≤22}.
若A＝ ，则2a＋1＞3a－5，解得a＜6；
若A≠ ，由A B 6≤a≤9.
综上可知，A （A∩B）的充要条件为a≤9；一个充分不必要条件可为6≤a≤9.
【例2】 证明：必要性：因为△ABC是等边三角形，所以a＝b＝c，
所以ab＋ac＋bc＝a2＋b2＋c2，所以必要性成立；
充分性：由a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc两边同时乘2得，
2a2＋2b2＋2c2＝2ab＋2ac＋2bc，即（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2＝0，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形，所以充分性成立.
综上，△ABC是等边三角形的充要条件是a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc.
跟踪训练
证明：（1）充分性：因为ac＜0，
所以Δ＝b2－4ac＞0，＜0.
所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根.
设方程ax2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1，x2，
则x1x2＝＜0，
所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根.
（2）必要性：因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根，所以Δ＝b2－4ac＞0，x1x2＝＜0，
所以ac＜0.
故一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个正根和一个负根的充要条件是ac＜0.
【例3】 解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）.
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x｜1－m≤x≤1＋m} {x｜－2≤x≤10}，
故有或
解得m≤3.
又m＞0，所以实数m的取值范围为{m｜0＜m≤3}.
母题探究
解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m（m＞0）.
若p是q的充要条件，则方程组无解.
故不存在实数m，使得p是q的充要条件.
跟踪训练
解：（1）因为p是q的充分不必要条件，所以{x｜1≤x≤a} {x｜1≤x≤2}，所以1≤a＜2.所以当1≤a＜2时，p是q的充分不必要条件.
（2）因为p是q的充要条件，所以{x｜1≤x≤2}＝{x｜1≤x≤a}，此时a＝2.
所以当a＝2时，p是q的充要条件.
随堂检测
1.C 因为由“三角形的三条边相等”可以得出“三角形为等边三角形”，由“三角形为等边三角形”也可以得出“三角形的三条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件.
2.C x＞1 x3＞1.若x3＞1，解得x＞1，即x3＞1 x＞1，综上可知，“x＞1”是“x3＞1”的充要条件，故选C.
3.C 充分性：若对任意c∈R，都有ac＝bc，则a＝b，满足充分性，必要性：若有a＝b，则对任意c∈R，都有ac＝bc，满足必要性.所以“对任意c∈R，都有ac＝bc”是“a＝b”的充要条件.故选C.
4.－2 解析：函数y＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－＝1，所以m＝－2.
3 / 3(共53张PPT)
第二课时 充要条件
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四
准时赴约，王五打电话说：“临时有急事，不能去了.”主人听了，
随口说了句：“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭
地走了.主人愣了片刻，又道了句：“不该走的又走了.”李四听了大
怒，拂袖而去.
【问题】 （1）张三为什么走了？
（2）李四为什么也走了？
知识点一 逆命题
将命题“若 p ，则 q ”中的条件 p 和结论 q 互换，就得到一个新的命
题“若 q ，则 p ”，称这个命题为原命题的逆命题.
知识点二 充要条件
1. 一般地，如果 ，且 ，那么称 p 是 q 的充分且必
要条件，简称 p 是 q 的充要条件，记作 .
2. p 是 q 的充要条件也常常说成“ p 成立当且仅当 q 成立”，或“ p 与
q ”.
3. 当 p 是 q 的充要条件时， q 也是 p 的 条件.
p q
q p
p q
等价
充要
1. 若 p 是 q 的充要条件，则命题 p 和 q 是两个相互等价的命题，这种说
法对吗？
提示：正确.若 p 是 q 的充要条件，则 p q ，即 p 等价于 q .
2. “ p 是 q 的充要条件”与“ p 的充要条件是 q ”的区别在哪里？
提示：① p 是 q 的充要条件说明 p 是条件， q 是结论.
② p 的充要条件是 q 说明 q 是条件， p 是结论.
【想一想】
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）△ ABC 是直角三角形的充要条件是两边的平方之和等于第三
边的平方. （ √ ）
（2）两条直线被第三条直线所截，内错角相等，等价于两直线平
行. （ √ ）
（3） ax2＋ bx ＋ c ＝0有实数根的充要条件是 b2－4 ac ＞0.
（ × ）
√
√
×
2. 已知 p ： x ＝1或 x ＝－1， q ： x2－1＝0.则 p 是 q 的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： ∵ x2－1＝0时， x ＝1或 x ＝－1.∴“ x ＝1或 x ＝－
1” “ x2－1＝0”，即 p 是 q 的充要条件，故选C.
3. 设 A ， B 是两个集合， p ：“ A ∩ B ＝ A ”， q ：“ A B ”，则 p
是 q 的 条件， q 是 p 的 条件（填“充分不必要”“必要
不充分”或“充要”）.
解析：∵ A ∩ B ＝ A A B ，∴ p 是 q 的充要条件， q 是 p 的充要
条件.
充要
充要
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 充要条件的判断
【例1】 判断下列各题中， p 是否为 q 的充要条件？
（1）若 a ， b ∈R， p ： a2＋ b2＝0， q ： a ＝ b ＝0；
解：若 a2＋ b2＝0，则 a ＝ b ＝0，即 p q ；
若 a ＝ b ＝0，则 a2＋ b2＝0，即 q p ，故 p q ，
所以 p 是 q 的充要条件.
（2） p ：｜ x ｜＞3， q ： x2＞9.
解：由于 p ：｜ x ｜＞3 q ： x2＞9，所以 p 是 q 的充要条件.
通性通法
1. 判断 p 是 q 的充要条件，主要是判断 p q 及 q p 这两个命题是否
成立.若 p q 成立，则 p 是 q 的充分条件，同时 q 是 p 的必要条件；
若 q p 成立，则 p 是 q 的必要条件，同时 q 是 p 的充分条件.
2. 在已知充要条件的前提下，充分条件是不确定的，只要保证是
充要条件的一个子集即可，而充分不必要条件应为充要条件的
一个真子集.
【跟踪训练】
设集合 A ＝{ x ｜2 a ＋1≤ x ≤3 a －5}， B ＝{ x ｜3≤ x ≤22}，则 A
（ A ∩ B ）的充要条件为 ；一个充分不必要条件可为
.
解析： A （ A ∩ B ） A B ， B ＝{ x ｜3≤ x ≤22}.
若 A ＝ ，则2 a ＋1＞3 a －5，解得 a ＜6；
若 A ≠ ，由 A B 6≤ a ≤9.
综上可知， A （ A ∩ B ）的充要条件为 a ≤9；一个充分不必要条件
可为6≤ a ≤9.
a ≤9
6≤ a
≤9（答案不唯一）
题型二 充要条件的证明
【例2】 求证：△ ABC 是等边三角形的充要条件是 a2＋ b2＋ c2＝ ab
＋ ac ＋ bc .（这里 a ， b ， c 是△ ABC 的三边边长）
证明：必要性：因为△ ABC 是等边三角形，所以 a ＝ b ＝ c ，
所以 ab ＋ ac ＋ bc ＝ a2＋ b2＋ c2，所以必要性成立；
充分性：由 a2＋ b2＋ c2＝ ab ＋ ac ＋ bc 两边同时乘2得，
2 a2＋2 b2＋2 c2＝2 ab ＋2 ac ＋2 bc ，即（ a － b ）2＋（ b － c ）2＋（ c
－ a ）2＝0，所以 a ＝ b ＝ c ，所以△ ABC 是等边三角形，所以充分性
成立.
综上，△ ABC 是等边三角形的充要条件是 a2＋ b2＋ c2＝ ab ＋ ac ＋ bc .
通性通法
充要条件的证明策略
（1）要证明 p 是 q 的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进
行，即证明命题“若 p ，则 q ”为真命题且命题“若 q ，则 p ”
为真命题；
（2）在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明 p 与 q 的
解集是相同的.
提醒 证明时一定要分清充分性与必要性的证明方向.
【跟踪训练】
证明：一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一个正根和一个负根的充要条
件是 ac ＜0.
证明：（1）充分性：因为 ac ＜0，
所以Δ＝ b2－4 ac ＞0， ＜0.
所以方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有两个实数根.
设方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两个实数根分别为 x1， x2，
则 x1 x2＝ ＜0，所以一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一个正根和一个
负根.
（2）必要性：因为一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一个正根和一个负
根，所以Δ＝ b2－4 ac ＞0， x1 x2＝ ＜0，
所以 ac ＜0.
故一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是
ac ＜0.
题型三 充分、必要及充要条件的应用
【例3】 已知 p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0），若
p 是 q 的必要不充分条件，求实数 m 的取值范围.
解： p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0）.
因为 p 是 q 的必要不充分条件，
所以 q 是 p 的充分不必要条件，
即{ x ｜1－ m ≤ x ≤1＋ m } { x ｜－2≤ x ≤10}，
故有或
解得 m ≤3.
又 m ＞0，所以实数 m 的取值范围为{ m ｜0＜ m ≤3}.
【母题探究】
（变设问）本例中 p ， q 不变，是否存在实数 m 使 p 是 q 的充要条件？
若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由.
解：因为 p ：－2≤ x ≤10， q ：1－ m ≤ x ≤1＋ m （ m ＞0）.
若 p 是 q 的充要条件，则方程组无解.
故不存在实数 m ，使得 p 是 q 的充要条件.
通性通法
充分条件与必要条件的应用技巧
（1）应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求
参数的值或取值范围问题；
（2）求解步骤：先把 p ， q 等价转化，利用充分条件、必要条件与集
合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解.
【跟踪训练】
已知 p ：1≤ x ≤ a （ a ≥1）， q ：1≤ x ≤2.
（1）当 a 为何值时， p 是 q 的充分不必要条件？
解：因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以{ x ｜1≤ x ≤ a } { x ｜
1≤ x ≤2}，所以1≤ a ＜2.所以当1≤ a ＜2时， p 是 q 的充分不必
要条件.
（2）当 a 为何值时， p 是 q 的充要条件？
解：因为 p 是 q 的充要条件，所以{ x ｜1≤ x ≤2}＝{ x ｜1≤ x ≤
a }，此时 a ＝2.
所以当 a ＝2时， p 是 q 的充要条件.
1. “三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 因为由“三角形的三条边相等”可以得出“三角形为等
边三角形”，由“三角形为等边三角形”也可以得出“三角形的三
条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角
形”的充要条件.
2. 设 x ∈R，则“ x ＞1”是“ x3＞1”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： x ＞1 x3＞1.若 x3＞1，解得 x ＞1，即 x3＞1 x ＞1，综
上可知，“ x ＞1”是“ x3＞1”的充要条件，故选C.
3. “对任意 c ∈R，都有 ac ＝ bc ”是“ a ＝ b ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 充分性：若对任意 c ∈R，都有 ac ＝ bc ，则 a ＝ b ，满足
充分性，必要性：若有 a ＝ b ，则对任意 c ∈R，都有 ac ＝ bc ，满
足必要性.所以“对任意 c ∈R，都有 ac ＝ bc ”是“ a ＝ b ”的充要
条件.故选C.
4. 函数 y ＝ x2＋ mx ＋1的图象关于直线 x ＝1对称的充要条件是 m ＝
.
解析：函数 y ＝ x2＋ mx ＋1的对称轴为 x ＝－ ＝1，所以 m ＝－2.
－2
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 设 x ∈R，则“ x ＝1”是“ x3＝ x ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 当 x ＝1时， x3＝ x 成立.若 x3＝ x ，即 x （ x2－1）＝0，
得 x ＝－1，0，1.
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2. a ， b 中至少有一个不为零的充要条件是（ ）
A. ab ＝0 B. ab ＞0
C. a2＋ b2＝0 D. a2＋ b2＞0
解析： a2＋ b2＞0，则 a ， b 不同时为零； a ， b 中至少有一个
不为零，则 a2＋ b2＞0.
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3. “ x ＜2”是“ ＜0”的（ ）
A. 充要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 由 ＜0，得 x －2＜0， x ＜2，即“ x ＜2”是“ ＜
0”的充要条件.
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4. 已知 p ：{ x ｜ x ＋2≥0且 x －10≤0}， q ：{ x ｜4－ m ≤ x ≤4＋ m ，
m ＞0}.若 p 是 q 的充要条件，则实数 m 的值为（ ）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析： 由已知得 p ：{ x ｜－2≤ x ≤10}.由 p 是 q 的充要条件得
{ x ｜－2≤ x ≤10}＝{ x ｜4－ m ≤ x ≤4＋ m ， m ＞0}，因此
解得 m ＝6，故选C.
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5. （多选）使“ x ∈{ x ｜ x ≤0或 x ＞2}”成立的一个充分不必要条件
是（ ）
A. x ≥0 B. x ＜0或 x ＞2
C. x ∈{－1，3，5} D. x ≤0或 x ＞2
解析： 从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子
集，只有B，C满足题意，选项A为题干成立的既不充分也不必要条
件，D为题干成立的充要条件.
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6. （多选）下列选项中正确的是（ ）
A. 点 P 到圆心 O 的距离大于圆的半径是点 P 在☉ O 外的充要条件
B. 两个三角形的面积相等是这两个三角形全等的充分不必要条件
C. A ∪ B ＝ A 是 B A 的必要不充分条件
D. x 或 y 为有理数是 xy 为有理数的既不充分也不必要条件
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解析： 对于A，由点 P 到圆心 O 的距离大于圆的半径，则点 P
在☉ O 外，由圆外一点到该圆心的距离都大于半径可知，A正确；
对于B，两三角形全等可推出两三角形面积相等，但两个三角形的
面积相等推不出这两个三角形全等，故B不正确；对于C，由 A ∪ B
＝ A B A ， A ∪ B ＝ A 是 B A 的充要条件，故C不正确；对于
D，由 x 或 y 是有理数，不妨设 x ＝1， y ＝ ， xy ＝ 不是有理
数，反之，若 xy 为有理数，不妨设 x ＝1－ ， y ＝1＋ ，即 xy
＝（1－ ）（1＋ ）＝－1为有理数，不能推出 x 或 y 为有理
数，故D正确.
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7. △ ABC 与△ A1 B1 C1对应角相等是△ ABC ≌△ A1 B1 C1的
条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分
也不必要”）
解析：由△ ABC 与△ A1 B1 C1对应角相等 /△ ABC ≌△ A1 B1 C1；反
之由△ ABC ≌△ A1 B1 C1 ∠ A ＝∠ A1，∠ B ＝∠ B1，∠ C ＝∠ C1.
必要不充分
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8. 若“ x ≤－1，或 x ≥1”是“ x ＜ a ”的必要不充分条件，则实数 a
的最大值为 .
解析：“ x ≤－1，或 x ≥1”是“ x ＜ a ”的必要不充分条件，则由
“ x ＜ a ”可以推出“ x ≤－1，或 x ≥1”，但由“ x ≤－1，或 x
≥1”推不出“ x ＜ a ”，所以 a ≤－1，所以实数 a 的最大值为－1.
－1
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9. 从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充
分也不必要条件”中选一个合适的填空：
（1）“ x2－1＝0”是“｜ x ｜－1＝0”的 ；
解析：设 A ＝{ x ｜ x2－1＝0}＝{－1，1}， B ＝{ x ｜｜ x ｜－1＝0}＝{－1，1}，所以 A ＝ B ，即“ x2－1＝0”是“｜ x ｜－1＝0”的充要条件.
（2）“ x ＜9”是“ x ＜6”的 .
解析：设 A ＝{ x ｜ x ＜9}， B ＝{ x ｜ x ＜6}，因为 B A ，所以“ x ＜9”是“ x ＜6”的必要不充分条件.
充要条件
必要不充分条件
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10. 求证：一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图象过原点的充要条件是 b
＝0.
证明：①充分性：如果 b ＝0，那么 y ＝ kx ，
当 x ＝0时， y ＝0，函数图象过原点.
②必要性：因为 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图象过原点，
所以当 x ＝0时， y ＝0，得0＝ k ·0＋ b ，
所以 b ＝0.
综上，一次函数 y ＝ kx ＋ b （ k ≠0）的图象过原点的充要条件是 b
＝0.
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11. 已知 x ∈R，则“ x2＝ x ＋6”是“ x ＝ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： 由于“ x2＝ x ＋6”，则“ x ＝± ”，故“ x2＝ x
＋6”是“ x ＝ ”的必要不充分条件.
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12. （多选）已知关于 x 的方程 x2＋（ m －3） x ＋ m ＝0，下列结论正
确的是（ ）
A. 方程 x2＋（ m －3） x ＋ m ＝0有实数根的充要条件是 m ∈{ m ｜ m
＜1或 m ＞9}
B. 方程 x2＋（ m －3） x ＋ m ＝0有一正根一负根的充要条件是 m
∈{ m ｜0＜ m ≤1}
C. 方程 x2＋（ m －3） x ＋ m ＝0有两正实数根的充要条件是 m
∈{ m ｜0＜ m ≤1}
D. 方程 x2＋（ m －3） x ＋ m ＝0无实数根的必要条件是 m ∈{ m ｜ m
＞1}
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解析： 在A中，二次方程有实数根，等价于判别式Δ＝（ m
－3）2－4 m ≥0，解得 m ≤1或 m ≥9，即二次方程有实数根的充
要条件是 m ∈{ m ｜ m ≤1或 m ≥9}，故A错误；在B中，二次方程
有一正根一负根，等价于解得 m ＜0，方
程有一正根一负根的充要条件是 m ∈{ m ｜ m ＜0}，故B错误；
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在C中，方程有两正实数根，等价于解
得0＜ m ≤1，故方程有两正实数根的充要条件是 m ∈{ m ｜0＜ m
≤1}，故C正确；在D中，方程无实数根，等价于Δ＝（ m －3）2
－4 m ＜0得1＜ m ＜9，而{ m ｜1＜ m ＜9} { m ｜ m ＞1}，故 m
∈{ m ｜ m ＞1}是方程无实数根的必要条件，故D正确.故选C、D.
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13. 已知“ p ： x ＞ m ＋3或 x ＜ m ”是“ q ：－4＜ x ＜1”成立的必要
不充分条件，则实数 m 的取值范围是 .
解析：因为 p 是 q 成立的必要不充分条件，所以 m ＋3≤－4或 m
≥1，故 m ≤－7或 m ≥1.
（－∞，－7]∪[1，＋∞）
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14. 设 p ：实数 x 满足 a ＜ x ＜3 a ，其中 a ＞0， q ：实数 x 满足2
＜ x ＜3.
（1）若 a ＝1，且 p 和 q 均为真，求实数 x 的取值范围；
解：当 a ＝1时，若命题 p 为真，则1＜ x ＜3，若命题 q
为真，则2＜ x ＜3，∵ p ， q 均为真，∴2＜ x ＜3，即实数 x
的取值范围是{ x ｜2＜ x ＜3}.
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（2）若 q 是 p 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围.
解：若 q 是 p 的充分不必要条件，则 1≤ a ≤2，
∴实数 a 的取值范围是{ a ｜1≤ a ≤2}.
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15. 设集合 U ＝{（ x ， y ）｜ x ∈R， y ∈R}， A ＝{（ x ， y ）｜2 x －
y ＋ m ＞0}， B ＝{（ x ， y ）｜ x ＋ y － n ≤0}，那么点 P （2，3）
∈ A ∩（ UB ）的充要条件是（ ）
A. m ＞－1， n ＜5 B. m ＜－1， n ＜5
C. m ＞－1， n ＞5 D. m ＜－1， n ＞5
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解析： 要寻求 P ∈ A ∩（ UB ）的充要条件，应从充分性、必
要性两方面入手. UB ＝{（ x ， y ）｜ x ＋ y － n ＞0}， A ∩（ UB ）＝{（ x ， y ）｜ x ＋ y － n ＞0，且2 x － y ＋ m ＞0}，①由 P ∈
A ∩（ UB ）可得，所以 m ＞－1， n ＜5.所以 m ＞
－1， n ＜5是 P （2，3）∈ A ∩（ UB ）的必要条件.②当 m ＞－
1， n ＜5时，由解得即 P （2，3）∈ A ∩
（ UB ），所以 m ＞－1， n ＜5是 P （2，3）∈ A ∩（ UB ）的充
分条件，故选A.
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16. 给出如下三个条件：①充分不必要；②必要不充分；③充要.请从
中选择一个补充到下面的横线上并解答.
已知集合 P ＝{ x ｜1≤ x ≤4}， S ＝{ x ｜1－ m ≤ x ≤1＋ m }，是否
存在实数 m 使得“ x ∈ P ”是“ x ∈ S ”的 条件？若存在，求
出实数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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解：若选择①，即“ x ∈ P ”是“ x ∈ S ”的充分不必要条件，则
P S 且 S ≠ ，
所以或解得 m ≥3，
因此，实数 m 的取值范围是[3，＋∞）.
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若选择②，即“ x ∈ P ”是“ x ∈ S ”的必要不充分条件，则 S
P ，当 S ≠ 时，
则或解得 m ＝0，
当 S ＝ 时，1－ m ＞1＋ m ，解得 m ＜0.
综上，实数 m 的取值范围是（－∞，0].
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若选择③，即“ x ∈ P ”是“ x ∈ S ”的充要条件，则 P ＝ S ，即
无解，
故不存在实数 m ，使得“ x ∈ P ”是“ x ∈ S ”的充要条件.
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谢 谢 观 看！
