2.2 全称量词与存在量词
第一课时 全称量词命题与存在量词命题
1.存在量词命题“存在实数x，使x2＋1＜0”可写成（ ）
A.若x∈R，则x2＋1＞0 B. x∈R，x2＋1＜0
C. x∈R，x2＋1＜0 D.以上都不正确
2.下列命题中全称量词命题的个数是（ ）
①至少有一个偶数是质数；② x∈R，2x＞0；③实数的平方是正数.
A.0 B.1
C.2 D.3
3.下列说法正确的是（ ）
A.对所有的正实数t，有＜t
B.存在实数x，使x2－3x－4＝0
C.不存在实数x，使x＜4且x2＋5x－24＝0
D.任意实数x，使得｜x＋1｜≤1且x2＞4
4.下列命题不是“ x∈R，x2＞3”的表述方法的是（ ）
A.有一个x∈R，使得x2＞3成立
B.对有些x∈R，x2＞3成立
C.任选一个x∈R，都有x2＞3成立
D.至少有一个x∈R，使得x2＞3成立
5.已知不等式x＋3≥0的解集是A，则使命题“ a∈M，a A”为真命题的集合M是（ ）
A.{a｜a≥－3} B.{a｜a＞－3}
C.{a｜a≤－3} D.{a｜a＜－3}
6.（多选）下列命题中是真命题的是（ ）
A. x∈R，｜x＋1｜＞0
B. x∈{1，－1，0}，2x＋3＞0
C. x∈N，使≤x
D.不存在x∈N＋，使x为29的约数
7.命题“有些负数满足不等式（1＋x）（1－9x）＞0”用“ ”或“ ”可表述为 .
8.下列命题是真命题的序号是 .
①有些不相似的三角形面积相等；
②每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
③存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大.
9.已知命题p： x≥3，使得2x－1＜m是假命题，则实数m的最大值是 .
10.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假：
（1）有的集合中存在两个相同的元素；
（2） a，b∈R，（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3；
（3）存在一个x∈R，使＝0.
11.设非空集合P，Q满足P Q，则下列表述正确的是（ ）
A. x∈Q，有x∈P B. x∈P，有x∈Q
C. x Q，使得x∈P D. x∈P，使得x Q
12.（多选）下列结论中正确的是（ ）
A. n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B. n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C. n∈N＋，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D. n∈N＋，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
13.能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab是真命题”的一组有序数对（a，b）为 .
14.若任意x∈R，函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.
15.已知命题p： x∈{x｜1≤x≤3}，x－a≥0，若命题p是真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A.{a｜a＜1} B.{a｜a＞3}
C.{a｜a≤1} D.{a｜a≥3}
16.已知函数y1＝，y2＝－2x2－m，若对 x1∈{x｜－1≤x≤3}， x2∈{x｜0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围.
第一课时 全称量词命题与存在量词命题
1.C 存在量词命题中“存在”可用符号“ ”表示，故选C.
2.C ①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命题；②中含有全称量词符号“ ”，所以是全称量词命题；③中省略了全称量词“任意一个”，所以是全称量词命题.
3.B t＝时，＞t，所以A选项错；由x2－3x－4＝0，得x＝－1或x＝4，因此当x＝－1或x＝4时，x2－3x－4＝0，故B选项正确；由x2＋5x－24＝0，得x＝－8或x＝3，所以C选项错；x＝0时，不成立，所以D选项错.
4.C C选项是全称量词命题，而题中的命题是存在量词命题，故选C.
5.D 因为x＋3≥0，所以A＝{x｜x≥－3}.又因为对 a∈M，都有a A，所以a＜－3.故选D.
6.BC x∈R，｜x＋1｜＞0，因为当x＝－1时，｜x＋1｜＝0，故A错误； x∈{1，－1，0}，2x＋3＞0，只要x＞－，2x＋3＞0成立，故B正确； x∈N，使≤x，取x＝4∈N，有≤4成立，故C正确；1，29都是29的约数，故D错误.故选B、C.
7. x＜0，（1＋x）（1－9x）＞0 解析：“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述.
8.①③ 解析：①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相等，但不一定相似；②是假命题，如边长为1的正方形，对角线长度为，就不能用正有理数表示；③中当实数a＞0时，结论成立，为真命题.故真命题的序号是①③.
9.5 解析：因为命题p： x≥3，使得2x－1＜m是假命题，所以m≤2x－1（x≥3）恒成立，所以m≤2×3－1，解得m≤5.故实数m的最大值是5.
10.解：（1）是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，此命题是假命题.
（2）是全称量词命题， a，b∈R，（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b3＝a3＋b3是真命题.
（3）是存在量词命题.因为不存在x∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题.
11.B 因为P Q，则由子集的定义，知P中的任何一个元素都在Q中.
12.CD 当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A、B错误，C、D正确.故选C、D.
13.（答案不唯一） 解析：答案不唯一，如，，都符合题意.
14.解：当m＝0时，y＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R.
当m≠0时，二次函数y＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m（m＋a）≥0恒成立，
即4m2＋4am＋1≥0恒成立.
又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，
恒成立的充要条件是Δ＝（4a）2－16≤0，
解得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0时，－1≤a≤1.
15.C 由p是真命题，可知a≤x，因为1≤x≤3，因此a≤1，故选C.
16.解：因为x1∈{x｜－1≤x≤3}，x2∈{x｜0≤x≤2}，
所以y1∈{y｜0≤y≤9}，y2∈{y｜－4－m≤y≤－m}，
又因为对 x1∈{x｜－1≤x≤3}， x2∈{x｜0≤x≤2}，使得y1≥y2，
即y1的最小值大于等于y2的最小值，
即－4－m≤0，
所以m≥－4.
故实数m的取值范围为{m｜m≥－4}.
2 / 22.2 全称量词与存在量词
新课程标准解读 核心素养
1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义 数学抽象、逻辑推理
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 数学抽象
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 数学抽象
第一课时 全称量词命题与存在量词命题
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人.可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸.这就是著名的“罗素理发师悖论”.
【问题】 你能对上述问题进行逻辑分析吗？
知识点一 全称量词与全称量词命题
全称量词 “所有”“每一个”“任何”“一切”等
符号
全称量词命题 在给定集合中，断言 元素都具有同一种性质的命题
形式 “对M中任意一个x，有p（x）成立”，可用符号简记为“ ”.其中，M是给定的集合，p （ x ）是一个关于x 的语句
提醒 有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充出来.例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有的平行四边形的对角线都互相平分”.
知识点二 存在量词与存在量词命题
全称量词 “所有”“每一个”“任何”“一切”等
符号
全称量词命题 在给定集合中，断言 元素都具有同一种性质的命题
形式 “对M中任意一个x，有p（x）成立”，可用符号简记为“ ”.其中，M是给定的集合，p （ x ）是一个关于x 的语句
提醒 有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题.（ ）
（2）命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题.（ ）
（3）“有些”“某个”“有的”等短语是存在量词.（ ）
2.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B.至少有一个实数x，使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，使＞2
3.将命题“x2＋y2≥2xy”改写为全称量词命题为 .
题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断
【例1】 （1）下列命题：①有的平行四边形是菱形；②任何一个实数乘以0都等于0；③有一个角α，使sin α＝；④凸多边形的外角和等于360°；⑤所有正数都是实数.
其中是全称量词命题的为 ，是存在量词命题的为 （填序号）.
（2）用量词符号“ ”“ ”表述下列命题：
①所有实数x都能使x2＋x＋1＞0成立；
②对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
③一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立.
尝试解答
通性通法
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
提醒 全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题中的存在量词一般不能省略.
【跟踪训练】
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题：
（1）矩形有一个外接圆；
（2）非负实数有两个平方根；
（3）有一对实数（x，y），使2x－y＋1＜0成立.
题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
【例2】 判断下列命题的真假：
（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点P；
（2） x∈R，x2－3x＋2＝0；
（3） x，y∈Z，（x－y）2＝x2－2xy＋y2.
尝试解答
通性通法
全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧
（1）全称量词命题真假的判断：要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p（x）成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合M中的一个x0，使得p（x0）不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）；
（2）存在量词命题真假的判断：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x0，使p（x0）成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题.
【跟踪训练】
指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假：
（1） x∈Q，x2＝3；
（2）每一个三角形的内角和都是180°；
（3）钝角三角形有的高在三角形外部；
（4）存在a，b∈R，使a2＋b2－2a－2b＋2＝0.
题型三 由含量词命题的真假求参数的取值范围
【例3】 （1）已知集合A＝{x｜1≤x≤2}，若命题“ x∈A，一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方”是真命题，则实数m的取值范围是 ；
（2）若命题“ x∈R，使得方程ax2＋2x－1＝0成立”是真命题，求实数a的取值范围.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）本例（2）中的方程改为“x2＋2x＋2＝m”，求实数m的取值范围.
通性通法
利用含量词的命题的真假求参数的取值范围
（1）含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式（如x2≥0），确定参数的取值范围；
（2）含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决.
【跟踪训练】
若“存在x∈{x｜3≤x≤5}，x≥m”是真命题，则实数m的取值范围是 .
1.下列语句不是全称量词命题的是（ ）
A.每一个实数都有绝对值
B.自然数都是正整数
C.高二（一）班绝大多数同学是团员
D.每一个学生身高都在150 cm以上
2.（多选）（2024·济宁月考）下列命题中是真命题的是（ ）
A. x∈R，x3＝3
B. x∈R，3x＋1是整数
C. x∈R，｜x｜＞3
D. x∈Q，x2∈Z
3.设p：2x是偶数，试用不同的表述方法将其写成全称量词命题 .
4.若对任意x＞3，x＞a恒成立，则a的取值范围是 .
第一课时 全称量词命题与存在量词命题
【基础知识·重落实】
知识点一
所有 x∈M，p（x）
知识点二
某些 x∈M，p（x）
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）√
2.B A是全称量词命题.B项为存在量词命题，当x＝0时，x2＝0成立，所以B正确.因为＋（－）＝0，所以C为假命题.对于任何一个负数x，都有＜0，所以D错误.故选B.
3.对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
解析：命题“x2＋y2≥2xy”是指对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立，故命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称量词命题为“对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立”.
【典型例题·精研析】
【例1】 （1）②④⑤ ①③ 解析：①含有存在量词“有的”，故为存在量词命题；②含有全称量词“任何一个”，故为全称量词命题；③含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题；④可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，含有全称量词“所有”，故为全称量词命题；⑤含有全称量词“所有”，故为全称量词命题.
（2）解：① x∈R，x2＋x＋1＞0.
② a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解.
③ x，y∈Z，3x－2y＝10.
跟踪训练
解：（1）可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题.
（2）可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题.
（3）可以改写为“ x∈R，y∈R，使2x－y＋1＜0成立”，是存在量词命题.
【例2】 解：（1）是真命题.
（2）是真命题，x＝2或x＝1都能使x2－3x＋2＝0成立.
（3）是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，显然对整数成立.
跟踪训练
解：（1）存在量词命题.由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数.因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以该命题是假命题.
（2）全称量词命题.由三角形的内角和定理可知，该命题是真命题.
（3）存在量词命题.钝角三角形的高有可能在三角形外部，所以该命题是真命题.
（4）存在量词命题.a2＋b2－2a－2b＋2＝（a－1）2＋（b－1）2＝0，所以a＝b＝1，该命题是真命题.
【例3】 （1）{m｜m＞－1} 解析：当1≤x≤2时，1＋m≤x＋m≤2＋m，因为一次函数y＝x＋m的图象在x轴上方，所以1＋m＞0，即m＞－1，所以实数m的取值范围是{m｜m＞－1}.
（2）解：由题意得，关于x的方程ax2＋2x－1＝0有实数根，当a＝0时，方程为2x－1＝0，显然有实数根，满足题意；当a≠0时，Δ＝4＋4a≥0，解得a≥－1，且a≠0.
综上知，实数a的取值范围是{a｜a≥－1}.
母题探究
解：依题意，方程x2＋2x＋2－m＝0有实数解，所以Δ＝4－4（2－m）≥0，解得m≥1，故实数m的取值范围是{m｜m≥1}.
跟踪训练
（－∞，5] 解析：当m≤5时，“存在x∈{x｜3≤x≤5}，x≥m”是真命题.
随堂检测
1.C “高二（一）班绝大多数同学是团员”，即“高二（一）班有的同学不是团员”，是存在量词命题.
2.AB A是真命题，由x3＝3得x＝，是无理数，所以选项A为真命题；B是真命题，当x＝1时，3x＋1＝4是整数；C是假命题，如x＝2时，｜x｜＜3；D是假命题，如x＝，x2 Z.
3.①对所有的自然数x，2x是偶数；②对一切的自然数x，2x是偶数；③任选一个自然数x，2x是偶数；④对任意的自然数x，2x是偶数；⑤对每一个自然数x，2x是偶数.（答案不唯一，合理即可）
4.（－∞，3] 解析：对于任意x＞3，x＞a恒成立，即大于3的数恒大于a，所以a≤3.
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2.2 全称量词与存在量词
新课程标准解读 核心素养
1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的
意义 数学抽象、
逻辑推理
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定 数学抽象
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定 数学抽象
第一课时 全称量词命题与存在量词命题
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的
理发技艺十分高超，誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮
脸，我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的
人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人.可是，有一天，这位
理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看
他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自
己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属
于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸.这就是著名的“罗素
理发师悖论”.
【问题】 你能对上述问题进行逻辑分析吗？
知识点一 全称量词与全称量词命题
全称量词 “所有”“每一个”“任何”“一切”等
符号
全称量
词命题 在给定集合中，断言 元素都具有同一种性质的命
题
形式 “对 M 中任意一个 x ，有 p （ x ）成立”，可用符号简记为“ ”.其中，M是给定的集合，p （ x ）是一个关于x 的语句
所有
x ∈ M ， p （ x ）
提醒 有些全称量词命题中的全称量词是省略的，理解时需把它补充
出来.例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有
的平行四边形的对角线都互相平分”.
知识点二 存在量词与存在量词命题
存在量词 “有些”“有一个”“存在”等
符号
存在量
词命题 在给定集合中，断言 元素具有一种性质的命题
形式 “存在 M 中的一个x ， 使p （ x ）成立”，可用符号简记为“ ” .其中，M是给定的集合，p （ x ）是一个关于x 的语句
某些
x ∈ M ， p （ x ）
提醒 有些命题可能没有写出存在量词，但其意义具备“存在”“有
一个”等特征的命题都是存在量词命题.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题.
（ √ ）
（2）命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题. （ × ）
（3）“有些”“某个”“有的”等短语是存在量词. （ √ ）
√
×
√
2. 以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ）
A. 锐角三角形的内角是锐角或钝角
B. 至少有一个实数 x ，使 x2≤0
C. 两个无理数的和必是无理数
解析： A是全称量词命题.B项为存在量词命题，当 x ＝0时， x2
＝0成立，所以B正确.因为 ＋（－ ）＝0，所以C为假命题.
对于任何一个负数 x ，都有 ＜0，所以D错误.故选B.
3. 将命题“ x2＋ y2≥2 xy ”改写为全称量词命题为
.
解析：命题“ x2＋ y2≥2 xy ”是指对任意 x ， y ∈R，都有 x2＋ y2≥2
xy 成立，故命题“ x2＋ y2≥2 xy ”改写成全称量词命题为“对任意
x ， y ∈R，都有 x2＋ y2≥2 xy 成立”.
对任意 x ， y ∈R，
都有 x2＋ y2≥2 xy 成立
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断
【例1】 （1）下列命题：①有的平行四边形是菱形；②任何一个实
数乘以0都等于0；③有一个角α，使 sin α＝ ；④凸多边形的外角
和等于360°；⑤所有正数都是实数.
其中是全称量词命题的为 ，是存在量词命题的为 （填
序号）.
②④⑤
①③
解析：①含有存在量词“有的”，故为存在量词命题；②含有全称量
词“任何一个”，故为全称量词命题；③含有存在量词“有一个”，
故为存在量词命题；④可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于
360°”，含有全称量词“所有”，故为全称量词命题；⑤含有全称
量词“所有”，故为全称量词命题.
①所有实数 x 都能使 x2＋ x ＋1＞0成立；
②对所有实数 a ， b ，方程 ax ＋ b ＝0恰有一个解；
③一定有整数 x ， y ，使得3 x －2 y ＝10成立.
解：① x ∈R， x2＋ x ＋1＞0.
② a ， b ∈R， ax ＋ b ＝0恰有一解.
③ x ， y ∈Z，3 x －2 y ＝10.
（2）用量词符号“ ”“ ”表述下列命题：
通性通法
判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路
提醒 全称量词命题可能省略全称量词，存在量词命题中的存在量词
一般不能省略.
【跟踪训练】
判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题：
（1）矩形有一个外接圆；
解：可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词
命题.
（2）非负实数有两个平方根；
解：可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称
量词命题.
（3）有一对实数（ x ， y ），使2 x － y ＋1＜0成立.
解：可以改写为“ x ∈R， y ∈R，使2 x － y ＋1＜0成立”，是
存在量词命题.
题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假判断
【例2】 判断下列命题的真假：
（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（ x ， y ）都对应一点 P ；
解：是真命题.
（2） x ∈R， x2－3 x ＋2＝0；
解：是真命题， x ＝2或 x ＝1都能使 x2－3 x ＋2＝0成立.
（3） x ， y ∈Z，（ x － y ）2＝ x2－2 xy ＋ y2.
解：是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，显然对
整数成立.
通性通法
全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧
（1）全称量词命题真假的判断：要判断一个全称量词命题是真命
题，必须对限定集合 M 中的每个元素 x 验证 p （ x ）成立；但要
判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合 M 中的一个
x0，使得 p （ x0）不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反
例”）；
（2）存在量词命题真假的判断：要判定一个存在量词命题是真命
题，只要在限定集合 M 中，找到一个 x0，使 p （ x0）成立即可；
否则，这一存在量词命题就是假命题.
【跟踪训练】
指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假：
（1） x ∈Q， x2＝3；
解：存在量词命题.由于使 x2＝3成立的实数只有± ，且它们
都不是有理数.因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以
该命题是假命题.
（2）每一个三角形的内角和都是180°；
解：全称量词命题.由三角形的内角和定理可知，该命题是
真命题.
（3）钝角三角形有的高在三角形外部；
解：存在量词命题.钝角三角形的高有可能在三角形外部，所以
该命题是真命题.
（4）存在 a ， b ∈R，使 a2＋ b2－2 a －2 b ＋2＝0.
解：存在量词命题. a2＋ b2－2 a －2 b ＋2＝（ a －1）2＋（ b －
1）2＝0，所以 a ＝ b ＝1，该命题是真命题.
题型三 由含量词命题的真假求参数的取值范围
【例3】 （1）已知集合 A ＝{ x ｜1≤ x ≤2}，若命题“ x ∈ A ，一
次函数 y ＝ x ＋ m 的图象在 x 轴上方”是真命题，则实数 m 的取值范围
是 ；
{ m ｜ m ＞－1}
解析：当1≤ x ≤2时，1＋ m ≤ x ＋ m ≤2＋ m ，因为一次函数 y ＝ x ＋
m 的图象在 x 轴上方，所以1＋ m ＞0，即 m ＞－1，所以实数 m 的取值
范围是{ m ｜ m ＞－1}.
（2）若命题“ x ∈R，使得方程 ax2＋2 x －1＝0成立”是真命题，求
实数 a 的取值范围.
解：由题意得，关于 x 的方程 ax2＋2 x －1＝0有实数根，当 a ＝0
时，方程为2 x －1＝0，显然有实数根，满足题意；当 a ≠0时，
Δ＝4＋4 a ≥0，解得 a ≥－1，且 a ≠0.
综上知，实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ≥－1}.
【母题探究】
（变条件）本例（2）中的方程改为“ x2＋2 x ＋2＝ m ”，求实数 m 的
取值范围.
解：依题意，方程 x2＋2 x ＋2－ m ＝0有实数解，所以Δ＝4－4（2－
m ）≥0，解得 m ≥1，故实数 m 的取值范围是{ m ｜ m ≥1}.
通性通法
利用含量词的命题的真假求参数的取值范围
（1）含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根
据有关代数恒等式（如 x2≥0），确定参数的取值范围；
（2）含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问
题来处理，可借助根的判别式等知识解决.
【跟踪训练】
若“存在 x ∈{ x ｜3≤ x ≤5}， x ≥ m ”是真命题，则实数 m 的取值范
围是 .
解析：当 m ≤5时，“存在 x ∈{ x ｜3≤ x ≤5}， x ≥ m ”是真命题.
（－∞，5]
1. 下列语句不是全称量词命题的是（ ）
A. 每一个实数都有绝对值
B. 自然数都是正整数
C. 高二（一）班绝大多数同学是团员
D. 每一个学生身高都在150 cm以上
解析： “高二（一）班绝大多数同学是团员”，即“高二
（一）班有的同学不是团员”，是存在量词命题.
2. （多选）（2024·济宁月考）下列命题中是真命题的是（ ）
A. x ∈R， x3＝3
B. x ∈R，3 x ＋1是整数
C. x ∈R，｜ x ｜＞3
D. x ∈Q， x2∈Z
解析： A是真命题，由 x3＝3得 x ＝ ，是无理数，所以选项
A为真命题；B是真命题，当 x ＝1时，3 x ＋1＝4是整数；C是假命
题，如 x ＝2时，｜ x ｜＜3；D是假命题，如 x ＝ ， x2 Z.
3. 设 p ：2 x 是偶数，试用不同的表述方法将其写成全称量词命
题 .
答案：①对所有的自然数 x ，2 x 是偶数；②对一切的自然数 x ，2 x
是偶数；③任选一个自然数 x ，2 x 是偶数；④对任意的自然数 x ，
2 x 是偶数；⑤对每一个自然数 x ，2 x 是偶数.（答案不唯一，合理
即可）
4. 若对任意 x ＞3， x ＞ a 恒成立，则 a 的取值范围是 .
解析：对于任意 x ＞3， x ＞ a 恒成立，即大于3的数恒大于 a ，所以
a ≤3.
（－∞，3]
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 存在量词命题“存在实数 x ，使 x2＋1＜0”可写成（ ）
A. 若 x ∈R，则 x2＋1＞0 B. x ∈R， x2＋1＜0
C. x ∈R， x2＋1＜0 D. 以上都不正确
解析： 存在量词命题中“存在”可用符号“ ”表示，故选C.
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2. 下列命题中全称量词命题的个数是（ ）
①至少有一个偶数是质数；② x ∈R，2 x ＞0；③实数的平方
是正数.
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： ①中含有存在量词“至少”，所以是存在量词命题；②
中含有全称量词符号“ ”，所以是全称量词命题；③中省略了全
称量词“任意一个”，所以是全称量词命题.
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3. 下列说法正确的是（ ）
B. 存在实数 x ，使 x2－3 x －4＝0
C. 不存在实数 x ，使 x ＜4且 x2＋5 x －24＝0
D. 任意实数 x ，使得｜ x ＋1｜≤1且 x2＞4
解析： t ＝ 时， ＞ t ，所以A选项错；由 x2－3 x －4＝0，得
x ＝－1或 x ＝4，因此当 x ＝－1或 x ＝4时， x2－3 x －4＝0，故B选
项正确；由 x2＋5 x －24＝0，得 x ＝－8或 x ＝3，所以C选项错； x
＝0时，不成立，所以D选项错.
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4. 下列命题不是“ x ∈R， x2＞3”的表述方法的是（ ）
A. 有一个 x ∈R，使得 x2＞3成立
B. 对有些 x ∈R， x2＞3成立
C. 任选一个 x ∈R，都有 x2＞3成立
D. 至少有一个 x ∈R，使得 x2＞3成立
解析： C选项是全称量词命题，而题中的命题是存在量词命
题，故选C.
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5. 已知不等式 x ＋3≥0的解集是 A ，则使命题“ a ∈ M ， a A ”为
真命题的集合 M 是（ ）
A. { a ｜ a ≥－3} B. { a ｜ a ＞－3}
C. { a ｜ a ≤－3} D. { a ｜ a ＜－3}
解析： 因为 x ＋3≥0，所以 A ＝{ x ｜ x ≥－3}.又因为对 a ∈
M ，都有 a A ，所以 a ＜－3.故选D.
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6. （多选）下列命题中是真命题的是（ ）
A. x ∈R，｜ x ＋1｜＞0
B. x ∈{1，－1，0}，2 x ＋3＞0
D. 不存在 x ∈N＋，使 x 为29的约数
解析： x ∈R，｜ x ＋1｜＞0，因为当 x ＝－1时，｜ x ＋1｜
＝0，故A错误； x ∈{1，－1，0}，2 x ＋3＞0，只要 x ＞－ ，2 x
＋3＞0成立，故B正确； x ∈N，使 ≤ x ，取 x ＝4∈N，有
≤4成立，故C正确；1，29都是29的约数，故D错误.故选B、C.
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7. 命题“有些负数满足不等式（1＋ x ）（1－9 x ）＞0”用“ ”或
“ ”可表述为 .
解析：“有些”为存在量词，因此可用存在量词命题来表述.
x ＜0，（1＋ x ）（1－9 x ）＞0
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8. 下列命题是真命题的序号是 .
①有些不相似的三角形面积相等；
②每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
③存在实数 a ，使函数 y ＝ ax ＋ b 的值随 x 的增大而增大.
①③
解析：①为真命题，只要找出等底等高的两个三角形，面积就相
等，但不一定相似；②是假命题，如边长为1的正方形，对角线长
度为 ，就不能用正有理数表示；③中当实数 a ＞0时，结论成
立，为真命题.故真命题的序号是①③.
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9. 已知命题 p ： x ≥3，使得2 x －1＜ m 是假命题，则实数 m 的最大
值是 .
解析：因为命题 p ： x ≥3，使得2 x －1＜ m 是假命题，所以 m ≤2
x －1（ x ≥3）恒成立，所以 m ≤2×3－1，解得 m ≤5.故实数 m 的
最大值是5.
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10. 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假：
（1）有的集合中存在两个相同的元素；
解：是存在量词命题，由集合中元素的互异性可知，
此命题是假命题.
（2） a ， b ∈R，（ a ＋ b ）（ a2－ ab ＋ b2）＝ a3＋ b3；
解：是全称量词命题， a ， b ∈R，（ a ＋ b ）
（ a2－ ab ＋ b2）＝ a3－ a2 b ＋ ab2＋ a2 b － ab2＋ b3＝ a3
＋ b3是真命题.
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（3）存在一个 x ∈R，使 ＝0.
解：是存在量词命题.因为不存在 x ∈R，使 ＝0成
立，所以该命题是假命题.
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11. 设非空集合 P ， Q 满足 P Q ，则下列表述正确的是（ ）
A. x ∈ Q ，有 x ∈ P
B. x ∈ P ，有 x ∈ Q
C. x Q ，使得 x ∈ P
D. x ∈ P ，使得 x Q
解析： 因为 P Q ，则由子集的定义，知 P 中的任何一个元素
都在 Q 中.
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12. （多选）下列结论中正确的是（ ）
A. n ∈N＋，2 n2＋5 n ＋2能被2整除是真命题
B. n ∈N＋，2 n2＋5 n ＋2不能被2整除是真命题
C. n ∈N＋，2 n2＋5 n ＋2不能被2整除是真命题
D. n ∈N＋，2 n2＋5 n ＋2能被2整除是真命题
解析： 当 n ＝1时，2 n2＋5 n ＋2不能被2整除，当 n ＝2时，2
n2＋5 n ＋2能被2整除，所以A、B错误，C、D正确.故选C、D.
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13. 能够说明“存在两个不相等的正数 a ， b ，使得 a － b ＝ ab 是真命
题”的一组有序数对（ a ， b ）为 .
解析：答案不唯一，如 ， ， 都符合题意.
（答案不唯一）
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14. 若任意 x ∈R，函数 y ＝ mx2＋ x － m － a 的图象和 x 轴恒有公共
点，求实数 a 的取值范围.
解：当 m ＝0时， y ＝ x － a 与 x 轴恒相交，所以 a ∈R.
当 m ≠0时，二次函数 y ＝ mx2＋ x － m － a 的图象和 x 轴恒有公共
点的充要条件是Δ＝1＋4 m （ m ＋ a ）≥0恒成立，
即4 m2＋4 am ＋1≥0恒成立.
又4 m2＋4 am ＋1≥0是一个关于 m 的二次不等式，
恒成立的充要条件是Δ＝（4 a ）2－16≤0，
解得－1≤ a ≤1.
综上所述，当 m ＝0时， a ∈R；
当 m ≠0时，－1≤ a ≤1.
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15. 已知命题 p ： x ∈{ x ｜1≤ x ≤3}， x － a ≥0，若命题 p 是真命
题，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. { a ｜ a ＜1} B. { a ｜ a ＞3}
C. { a ｜ a ≤1} D. { a ｜ a ≥3}
解析： 由 p 是真命题，可知 a ≤ x ，因为1≤ x ≤3，因此 a
≤1，故选C.
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16. 已知函数 y1＝ ， y2＝－2 x2－ m ，若对 x1∈{ x ｜－1≤ x ≤3}，
x2∈{ x ｜0≤ x ≤2}，使得 y1≥ y2，求实数 m 的取值范围.
解：因为 x1∈{ x ｜－1≤ x ≤3}， x2∈{ x ｜0≤ x ≤2}，
所以 y1∈{ y ｜0≤ y ≤9}， y2∈{ y ｜－4－ m ≤ y ≤－ m }，
又因为对 x1∈{ x ｜－1≤ x ≤3}， x2∈{ x ｜0≤ x ≤2}，使得
y1≥ y2，
即 y1的最小值大于等于 y2的最小值，
即－4－ m ≤0，
所以 m ≥－4.
故实数 m 的取值范围为{ m ｜ m ≥－4}.
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谢 谢 观 看！
