第二课时 全称量词命题和存在量词命题的否定
1.若p： x∈R，｜x｜≤1，则命题p的否定为（ ）
A. x∈R，｜x｜＞1 B. x∈R，｜x｜＞1
C. x∈R，｜x｜≥1 D. x∈R，｜x｜≥1
2.命题“存在一个无理数，它的平方是无理数”的否定是（ ）
A.任意一个有理数，它的平方是无理数
B.任意一个无理数，它的平方不是无理数
C.存在一个有理数，它的平方是无理数
D.存在一个无理数，它的平方不是无理数
3.命题p： x∈N，x3＞x2的否定形式为（ ）
A. x∈N，x3≤x2 B. x∈N，x3＞x2
C. x∈N，x3＜x2 D. x∈N，x3≤x2
4.已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（ ）
A.命题p的否定是真命题
B.命题p是存在量词命题
C.命题p是全称量词命题
D.命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题
5.（多选）关于命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的叙述，正确的是（ ）
A.p的否定： x∈R，x2＋1＝0
B.p的否定： x∈R，x2＋1＝0
C.p是真命题，p的否定是假命题
D.p是假命题，p的否定是真命题
6.（多选）若“ x∈M，有｜x｜＞x”为真命题，“ x∈M，使x＞3”为假命题，则集合M可以是（ ）
A.（－∞，－5） B.（－3，－1]
C.（3，＋∞） D.[0，3]
7.命题“ x∈R，＜0”的否定是 .
8.命题p：存在实数x∈M，使得x，3，4能成为三角形的三边长.若命题p为假命题，则x的取值集合M＝ .
9.下列命题：
①对一切实数x＜0，都有｜x｜＞x；
② x∈R，＝x；
③已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N＋，an≠bm.
其中，所有真命题的序号为 .
10.写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）p：不论m取何实数，关于x的方程x2＋mx－1＝0都有实根；
（2）r： x∈{三角形}，x是等边三角形；
（3）s：至少有一个实数x，使x2＋1＝0.
11.已知命题p： x＞0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是（ ）
A.{a｜a＜1} B.{a｜a≤1}
C.{a｜a＞1} D.{a｜a≥1}
12.（多选）若“ x∈M，x＜0”为真命题，“ x∈M，x≥3”为假命题，则集合M可以是（ ）
A.（－∞，1） B.[－1，3]
C.[0，2） D.（－3，3）
13.已知函数y1＝x2－2x，y2＝ax＋2（a＞0），集合A＝{x｜－1≤x≤2}，若 x1∈A， x2∈A，使得－2x1＝ax2＋2，则实数a的取值范围是 .
14.已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，且B≠ .
（1）若命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围；
（2）若命题q：“ x∈A，x∈B”是真命题，求m的取值范围.
15.甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出了如下预测：
甲说：获奖者在乙、丙、丁三人中；
乙说：我不会获奖，丙获奖；
丙说：甲和丁中有一人获奖；
丁说：乙的猜测是对的.
成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不相符.已知有两人获奖，则获奖的是（ ）
A.甲和丁 B.甲和丙
C.乙和丙 D.乙和丁
16.在① x∈R，x2＋2ax＋4＝0；② A＝{x｜2＜x＜4}，B＝{x｜a＜x＜3a}，使得A∩B＝ ，这2个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解.
问题：已知命题p： 1≤x≤2，x2－a≥0，命题q： .
若p，q都是真命题，求实数a的取值范围.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
第二课时 全称量词命题和存在量词命题的否定
1.A 根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知， x∈R，｜x｜≤1的否定为： x∈R，｜x｜＞1，故选A.
2.B 量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是无理数”否定后为“它的平方不是无理数”，故选B.
3.D 命题p： x∈N，x3＞x2的否定形式是存在量词命题，即“ x∈N，x3≤x2”.故选D.
4.C 命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故命题p的否定是假命题，命题p是全称量词命题，故选C.
5.AC 命题p：“ x∈R，x2＋1≠0”的否定是“ x∈R，x2＋1＝0”.所以p是真命题，p的否定是假命题.
6.AB ∵ x∈M，x＞3为假命题，∴ x∈M，x≤3为真命题，可得M （－∞，3].又 x∈M，｜x｜＞x为真命题，可得M （－∞，0）.∴M （－∞，0），对照选项可知A、B满足.
7. x∈R，＞0或x－2＝0
8.{x｜x≤1或x≥7} 解析：当命题p为真命题时，可得4－3＜x＜3＋4，即1＜x＜7.所以当命题p为假命题时，可得{x｜x≤1或x≥7}.
9.① 解析：①显然为真命题；＝｜x｜＝故②为假命题；当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故③为假命题.
10.解：（1）p的否定： m∈R，关于x的方程x2＋mx－1＝0无实根，假命题.
（2）r的否定： x∈{三角形}，x不是等边三角形，假命题.
（3）s的否定： x∈R，x2＋1≠0，真命题.
11.D ∵命题p为假命题，∴命题p的否定为真命题，即 x＞0，x＋a－1≠0，即 x＞0，x≠1－a，∴1－a≤0，则a≥1.∴实数a的取值范围是{a｜a≥1}.故选D.
12.AD 由题意 x∈M，x＜0为真命题， x∈M，x＜3为真命题，则满足题意的选项应为集合{x｜x＜3}的子集，且满足 x∈M，x＜0，A、D选项均满足，B选项当x＝3时不符合 x∈M，x＜3，故错误，C选项不存在x∈M，x＜0，故错误.故选A、D.
13.[3，＋∞） 解析：由二次函数的性质可得，当－1≤x≤2时，y1∈{y1｜－1≤y1≤3}，由一次函数的性质可知，当－1≤x≤2时，y2∈{y2｜2－a≤y2≤2＋2a}.因为 x1∈A， x2∈A，使得－2x1＝ax2＋2，所以解得a≥3.
14.解：（1）由于命题p：“ x∈B，x∈A”是真命题，
所以B A，B≠ ，
所以解得2≤m≤3.
（2）由于命题q为真命题，则A∩B≠ ，
因为B≠ ，所以m≥2.
所以解得2≤m≤4.
15.D 易知乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与结果不相符，若乙、丁的预测与结果相符，则甲、丙的预测与结果不相符，矛盾，故乙、丁的预测与结果不相符，从而获奖的是乙和丁，故选D.
16.解：选条件①.
由命题p为真，可得不等式x2－a≥0对于1≤x≤2恒成立.
因为1≤x≤2，所以1≤x2≤4，所以a≤1.
若命题q为真，则关于x的方程x2＋2ax＋4＝0有解，
所以Δ＝（2a）2－16≥0，解得a≥2或a≤－2.
又p，q都是真命题，所以a≤－2，
所以实数a的取值范围是{a｜a≤－2}.
选条件②.
由命题p为真，可得不等式x2－a≥0对于1≤x≤2恒成立.
因为1≤x≤2，所以1≤x2≤4，所以a≤1.
对于命题q，
当B＝ ，即a≤0时，A∩B＝ ，命题q为真命题；
当B≠ ，即a＞0时，由A∩B＝ 得a≥4或3a≤2，所以0＜a≤或a≥4.
综上，a≤或a≥4.
又p，q都是真命题，所以a≤，
所以实数a的取值范围是.
2 / 2第二课时 全称量词命题和存在量词命题的否定
一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被烧死，说假话，将被五马分尸.”
【问题】 请问探险家该如何保命？
知识点 全称量词命题和存在量词命题的否定
p p的否定 结论
全称量词命题“ x∈M， p（x）” x∈M，p（x） 全称量词命题的否定是 命题
存在量词命题“ x∈M， p（x）” 存在量词命题的否定是 命题
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）全称量词命题与其否定的真假可以相同.（ ）
（2）命题“正方形是矩形”的否定是“正方形不是矩形”.（ ）
（3）“任意x∈R，x2≥0”的否定为“ x∈R，x2＜0”.（ ）
（4）“ x∈R，｜x｜＝x”是假命题.（ ）
2.若命题p： x＞0，x2－3x＋2＞0，则命题p的否定为（ ）
A. x＞0，x2－3x＋2≤0
B. x≤0，x2－3x＋2≤0
C. x＞0，x2－3x＋2≤0
D. x≤0，x2－3x＋2≤0
3.已知命题p： x＞2，x3－8＞0，那么p的否定是 .
题型一 全称量词命题的否定
【例1】 （1）命题“ x∈A，｜x｜＋1≥1”的否定是 .
（2）写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假：
① x∈R，1－≤1；
②每一个素数都是奇数；
③对任意的一个无理数，它的平方不是有理数.
尝试解答
通性通法
1.对全称量词命题否定的两个步骤
（1）改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；
（2）否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等.
2.全称量词命题否定后的真假判断
全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可.
【跟踪训练】
命题“负数的平方是正数”的否定是（ ）
A.负数的平方不是正数
B.有些负数的平方是正数
C.所有负数的平方是正数
D.有些负数的平方不是正数
题型二 存在量词命题的否定
【例2】 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
（1） a∈R，一次函数y＝x＋a的图象经过原点；
（2）至少有一个直角三角形不是等腰三角形；
（3）有些三角形是锐角三角形.
尝试解答
通性通法
1.对存在量词命题否定的两个步骤
（1）改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词；
（2）否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等.
2.存在量词命题否定后的真假判断
存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可.
【跟踪训练】
1.命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（ ）
A. x∈R，｜x｜＞0 B. x∈R，｜x｜＞0
C. x∈R，｜x｜≤0 D. x∈R，｜x｜≤0
2.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
（1）某些梯形的对角线互相平分；
（2）在同圆中，存在两段相等的弧，它们所对的圆周角不相等；
（3）存在一个正数，使＜2.
题型三 根据命题的真假求参数的取值范围
【例3】 命题“存在x＞1，使得2x＋a＜3”是假命题，求实数a的取值范围.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若把本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数a的取值范围.
通性通法
由命题的否定求参数取值范围的两个关注点
（1）命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互转化；
（2）求参数取值范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词命题的意义列不等式求取值范围.
【跟踪训练】
已知命题： x∈{x｜－3≤x≤2}，都有x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}，且其否定是假命题，求实数a的取值范围.
1.命题“ x∈R，｜x｜＋x2≥0”的否定是（ ）
A. x∈R，｜x｜＋x2＜0
B. x∈R，｜x｜＋x2≤0
C. x∈R，｜x｜＋x2＜0
D. x∈R，｜x｜＋x2≥0
2.命题“存在实数x，使x＞1”的否定是（ ）
A.对任意实数x，都有x＞1
B.不存在实数x，使x≤1
C.对任意实数x，都有x≤1
D.存在实数x，使x≤1
3.（多选）下列命题是假命题的是（ ）
A. x∈{－1，1}，2x＋1＞0
B. x∈Q，x2＝5
C. x∈R，x2－1＞0
D. x∈N，｜x｜≤0
4.命题“同位角相等”的否定为 .
5.命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是 .
第二课时 全称量词命题和存在量词命题的否定
【基础知识·重落实】
知识点
存在量词 x∈M，x p（x） 全称量词
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）√ （4）×
2.C
3. x＞2，x3－8≤0
【典型例题·精研析】
【例1】 （1） x∈A，｜x｜＋1＜1 解析：命题“ x∈A，｜x｜＋1≥1”是全称量词命题，它的否定是“ x∈A，｜x｜＋1＜1”.
（2）解：①该命题的否定： x∈R，1－＞1，因为 x∈R，≥0，所以－≤0，1－≤1恒成立，故其否定是假命题.
②该命题的否定：存在一个素数不是奇数，如2，故其否定是真命题.
③该命题的否定：存在一个无理数，它的平方是有理数，如，故其否定是真命题.
跟踪训练
D 该命题为省略了全称量词的全称量词命题，故其否定：有些负数的平方不是正数.
【例2】 解：（1）该命题的否定为 a∈R，一次函数y＝x＋a的图象不经过原点.因为当a＝0时，一次函数y＝x＋a的图象经过原点，所以是假命题.
（2）该命题的否定为所有直角三角形都是等腰三角形.因为有一个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形，所以是假命题.
（3）该命题的否定为所有三角形都不是锐角三角形（或任意三角形都不是锐角三角形），所以是假命题.
跟踪训练
1.C 由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.
2.解：（1）假命题.该命题的否定为：任意一个梯形的对角线都不互相平分.
（2）假命题.该命题的否定为：在同圆中，任意两段相等的弧所对的圆周角相等.
（3）真命题.该命题的否定为：任何一个正数，都有≥2.
【例3】 解：命题“存在x＞1，使得2x＋a＜3”是假命题，
所以此命题的否定“任意x＞1，都有2x＋a≥3”是真命题，
因为对任意x＞1，都有2x＋a＞2＋a，
所以2＋a≥3，
所以a≥1.
故实数a的取值范围是{a｜a≥1}.
母题探究
解：由题意知“存在x＞1，使得x＜”是真命题，故有＞1，所以a＜1.故实数a的取值范围是{a｜a＜1}.
跟踪训练
解：命题的否定是假命题即原命题是真命题，
即 x∈{x｜－3≤x≤2}，都有x∈{x｜a－4≤x≤a＋5}成立，
所以
解得－3≤a≤1，
所以实数a的取值范围为{a｜－3≤a≤1}.
随堂检测
1.C 条件 x∈R的否定是 x∈R，结论“｜x｜＋x2≥0”的否定是“｜x｜＋x2＜0”.
2.C 利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解.“存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”.故选C.
3.ABC 对于A，x＝－1时，不合题意，A是假命题；对于B，x2＝5，x＝±，B是假命题；对于C，比如x＝0时，－1＜0，C是假命题；D是真命题.
4.有的同位角不相等 解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，故否定为：有的同位角不相等.
5.所有的三角形都不是直角三角形 解析：命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，即可得到该命题的否定.
3 / 3(共48张PPT)
第二课时 全称量词命题和存在量词命题的否定
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
一位探险家被土人抓住，土人首领说：“如果你说真话，你将被
烧死，说假话，将被五马分尸.”
【问题】 请问探险家该如何保命？
知识点 全称量词命题和存在量词命题的否定
p p 的否定 结论
全称量词命题“ x ∈ M ， p （ x ）” x ∈ M ， p （ x ） 全称量词命题的否定
是 命题
存在量词命题“ x
∈ M ， p （ x ）”
存在量词命题的否定
是 命题
x ∈ M ， p （ x ）
存在量词
全称量词
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）全称量词命题与其否定的真假可以相同. （ × ）
（2）命题“正方形是矩形”的否定是“正方形不是矩形”.
（ × ）
（3）“任意 x ∈R， x2≥0”的否定为“ x ∈R， x2＜0”.
（ √ ）
（4）“ x ∈R，｜ x ｜＝ x ”是假命题. （ × ）
×
×
√
×
2. 若命题 p ： x ＞0， x2－3 x ＋2＞0，则命题 p 的否定为（ C ）
A. x ＞0， x2－3 x ＋2≤0
B. x ≤0， x2－3 x ＋2≤0
C. x ＞0， x2－3 x ＋2≤0
D. x ≤0， x2－3 x ＋2≤0
C
3. 已知命题 p ： x ＞2， x3－8＞0，那么 p 的否定是
.
x ＞2， x3－
8≤0
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 全称量词命题的否定
【例1】 （1）命题“ x ∈ A ，｜ x ｜＋1≥1”的否定是
.
解析：命题“ x ∈ A ，｜ x ｜＋1≥1”是全称量词命题，它的否定是
“ x ∈ A ，｜ x ｜＋1＜1”.
x ∈
A ，｜ x ｜＋1＜1
（2）写出下列全称量词命题的否定，并判断所得命题的真假：
① x ∈R，1－ ≤1；
②每一个素数都是奇数；
③对任意的一个无理数，它的平方不是有理数.
解：①该命题的否定： x ∈R，1－ ＞1，因为 x
∈R， ≥0，所以－ ≤0，1－ ≤1恒成
立，故其否定是假命题.
②该命题的否定：存在一个素数不是奇数，如2，故其否定是真
命题.
③该命题的否定：存在一个无理数，它的平方是有理数，如
，故其否定是真命题.
通性通法
1. 对全称量词命题否定的两个步骤
（1）改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；
（2）否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不
成立”等.
2. 全称量词命题否定后的真假判断
全称量词命题的否定是存在量词命题，其真假性与全称量词命题相
反；要说明一个全称量词命题是假命题，只需举一个反例即可.
【跟踪训练】
命题“负数的平方是正数”的否定是（ ）
A. 负数的平方不是正数
B. 有些负数的平方是正数
C. 所有负数的平方是正数
D. 有些负数的平方不是正数
解析： 该命题为省略了全称量词的全称量词命题，故其否定：有
些负数的平方不是正数.
题型二 存在量词命题的否定
【例2】 写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：
（1） a ∈R，一次函数 y ＝ x ＋ a 的图象经过原点；
解：该命题的否定为 a ∈R，一次函数 y ＝ x ＋ a 的图象不经过
原点.因为当 a ＝0时，一次函数 y ＝ x ＋ a 的图象经过原点，所
以是假命题.
（2）至少有一个直角三角形不是等腰三角形；
解：该命题的否定为所有直角三角形都是等腰三角形.因为有一
个内角为30°的直角三角形不是等腰三角形，所以是假命题.
（3）有些三角形是锐角三角形.
解：该命题的否定为所有三角形都不是锐角三角形（或任意三
角形都不是锐角三角形），所以是假命题.
通性通法
1. 对存在量词命题否定的两个步骤
（1）改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词；
（2）否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没
有”“不存在”等.
2. 存在量词命题否定后的真假判断
存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命
题相反；要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个
实例即可.
【跟踪训练】
1. 命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（ ）
A. x ∈R，｜ x ｜＞0 B. x ∈R，｜ x ｜＞0
C. x ∈R，｜ x ｜≤0 D. x ∈R，｜ x ｜≤0
解析： 由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为
全称量词命题，因为命题的否定只否定结论，所以选C.
2. 判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
（1）某些梯形的对角线互相平分；
解：假命题.该命题的否定为：任意一个梯形的对角线
都不互相平分.
（2）在同圆中，存在两段相等的弧，它们所对的圆周角不相等；
解：假命题.该命题的否定为：在同圆中，任意两段相
等的弧所对的圆周角相等.
（3）存在一个正数，使 ＜2.
解：真命题.该命题的否定为：任何一个正数，都有 ≥2.
题型三 根据命题的真假求参数的取值范围
【例3】 命题“存在 x ＞1，使得2 x ＋ a ＜3”是假命题，求实数 a 的
取值范围.
解：命题“存在 x ＞1，使得2 x ＋ a ＜3”是假命题，
所以此命题的否定“任意 x ＞1，都有2 x ＋ a ≥3”是真命题，
因为对任意 x ＞1，都有2 x ＋ a ＞2＋ a ，
所以2＋ a ≥3，
所以 a ≥1.
故实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ≥1}.
【母题探究】
（变条件）若把本例中的“假命题”改为“真命题”，求实数 a 的取
值范围.
解：由题意知“存在 x ＞1，使得 x ＜ ”是真命题，故有 ＞1，
所以 a ＜1.故实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ＜1}.
通性通法
由命题的否定求参数取值范围的两个关注点
（1）命题和它的否定的真假性只能一真一假，解决问题时可以相互
转化；
（2）求参数取值范围问题，通常根据有关全称量词命题和存在量词
命题的意义列不等式求取值范围.
【跟踪训练】
已知命题： x ∈{ x ｜－3≤ x ≤2}，都有 x ∈{ x ｜ a －4≤ x ≤ a ＋5}，
且其否定是假命题，求实数 a 的取值范围.
解：命题的否定是假命题即原命题是真命题，
即 x ∈{ x ｜－3≤ x ≤2}，都有 x ∈{ x ｜ a －4≤ x ≤ a ＋5}成立，
所以
解得－3≤ a ≤1，
所以实数 a 的取值范围为{ a ｜－3≤ a ≤1}.
1. 命题“ x ∈R，｜ x ｜＋ x2≥0”的否定是（ ）
A. x ∈R，｜ x ｜＋ x2＜0 B. x ∈R，｜ x ｜＋ x2≤0
C. x ∈R，｜ x ｜＋ x2＜0 D. x ∈R，｜ x ｜＋ x2≥0
解析： 条件 x ∈R的否定是 x ∈R，结论“｜ x ｜＋ x2≥0”的
否定是“｜ x ｜＋ x2＜0”.
2. 命题“存在实数 x ，使 x ＞1”的否定是（ ）
A. 对任意实数 x ，都有 x ＞1
B. 不存在实数 x ，使 x ≤1
C. 对任意实数 x ，都有 x ≤1
D. 存在实数 x ，使 x ≤1
解析： 利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解.“存在
实数 x ，使 x ＞1”的否定是“对任意实数 x ，都有 x ≤1”.故选C.
3. （多选）下列命题是假命题的是（ ）
A. x ∈{－1，1}，2 x ＋1＞0
B. x ∈Q， x2＝5
C. x ∈R， x2－1＞0
D. x ∈N，｜ x ｜≤0
解析： 对于A， x ＝－1时，不合题意，A是假命题；对于
B， x2＝5， x ＝± ，B是假命题；对于C，比如 x ＝0时，－1＜
0，C是假命题；D是真命题.
4. 命题“同位角相等”的否定为 .
解析：全称量词命题的否定是存在量词命题，故否定为：有的同位
角不相等.
5. 命题：“有的三角形是直角三角形”的否定是
.
解析：命题：“有的三角形是直角三角形”是存在量词命题，其否
定是全称量词命题，按照存在量词命题改为全称量词命题的规则，
即可得到该命题的否定.
有的同位角不相等
所有的三角形都不
是直角三角形
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若 p ： x ∈R，｜ x ｜≤1，则命题 p 的否定为（ ）
A. x ∈R，｜ x ｜＞1 B. x ∈R，｜ x ｜＞1
C. x ∈R，｜ x ｜≥1 D. x ∈R，｜ x ｜≥1
解析： 根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知， x
∈R，｜ x ｜≤1的否定为： x ∈R，｜ x ｜＞1，故选A.
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2. 命题“存在一个无理数，它的平方是无理数”的否定是（ ）
A. 任意一个有理数，它的平方是无理数
B. 任意一个无理数，它的平方不是无理数
C. 存在一个有理数，它的平方是无理数
D. 存在一个无理数，它的平方不是无理数
解析： 量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是无理
数”否定后为“它的平方不是无理数”，故选B.
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3. 命题 p ： x ∈N， x3＞ x2的否定形式为（ ）
A. x ∈N， x3≤ x2 B. x ∈N， x3＞ x2
C. x ∈N， x3＜ x2 D. x ∈N， x3≤ x2
解析： 命题 p ： x ∈N， x3＞ x2的否定形式是存在量词命题，
即“ x ∈N， x3≤ x2”.故选D.
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4. 已知命题 p ：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（ ）
A. 命题 p 的否定是真命题
B. 命题 p 是存在量词命题
C. 命题 p 是全称量词命题
D. 命题 p 既不是全称量词命题也不是存在量词命题
解析： 命题 p ：实数的平方是非负数，是真命题，故命题 p 的
否定是假命题，命题 p 是全称量词命题，故选C.
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5. （多选）关于命题 p ：“ x ∈R， x2＋1≠0”的叙述，正确的是
（ ）
A. p 的否定： x ∈R， x2＋1＝0
B. p 的否定： x ∈R， x2＋1＝0
C. p 是真命题， p 的否定是假命题
D. p 是假命题， p 的否定是真命题
解析： 命题 p ：“ x ∈R， x2＋1≠0”的否定是“ x ∈R， x2
＋1＝0”.所以 p 是真命题， p 的否定是假命题.
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6. （多选）若“ x ∈ M ，有｜ x ｜＞ x ”为真命题，“ x ∈ M ，使 x
＞3”为假命题，则集合 M 可以是（ ）
A. （－∞，－5） B. （－3，－1]
C. （3，＋∞） D. [0，3]
解析： ∵ x ∈ M ， x ＞3为假命题，∴ x ∈ M ， x ≤3为真命
题，可得 M （－∞，3].又 x ∈ M ，｜ x ｜＞ x 为真命题，可得
M （－∞，0）.∴ M （－∞，0），对照选项可知A、B满足.
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7. 命题“ x ∈R， ＜0”的否定是 x ∈R， ＞0或 x －2＝0 .
x ∈R， ＞0或 x －2＝0
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8. 命题 p ：存在实数 x ∈ M ，使得 x ，3，4能成为三角形的三边长.若
命题 p 为假命题，则 x 的取值集合 M ＝ .
解析：当命题 p 为真命题时，可得4－3＜ x ＜3＋4，即1＜ x ＜7.所
以当命题 p 为假命题时，可得{ x ｜ x ≤1或 x ≥7}.
{ x ｜ x ≤1或 x ≥7}
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9. 下列命题：
①对一切实数 x ＜0，都有｜ x ｜＞ x ；
② x ∈R， ＝ x ；
③已知 an ＝2 n ， bm ＝3 m ，对于任意 n ， m ∈N＋， an ≠ bm .
其中，所有真命题的序号为 .
解析：①显然为真命题； ＝｜ x ｜＝故②为假命
题；当 n ＝3， m ＝2时， a3＝ b2，故③为假命题.
①
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10. 写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1） p ：不论 m 取何实数，关于 x 的方程 x2＋ mx －1＝0都有
实根；
解： p 的否定： m ∈R，关于 x 的方程 x2＋ mx －1＝0
无实根，假命题.
（2） r ： x ∈{三角形}， x 是等边三角形；
解： r 的否定： x ∈{三角形}， x 不是等边三角形，假命题.
（3） s ：至少有一个实数 x ，使 x2＋1＝0.
解： s 的否定： x ∈R， x2＋1≠0，真命题.
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11. 已知命题 p ： x ＞0， x ＋ a －1＝0，若 p 为假命题，则实数 a 的取
值范围是（ ）
A. { a ｜ a ＜1} B. { a ｜ a ≤1}
C. { a ｜ a ＞1} D. { a ｜ a ≥1}
解析： ∵命题 p 为假命题，∴命题 p 的否定为真命题，即 x ＞
0， x ＋ a －1≠0，即 x ＞0， x ≠1－ a ，∴1－ a ≤0，则 a ≥1.
∴实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ≥1}.故选D.
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12. （多选）若“ x ∈ M ， x ＜0”为真命题，“ x ∈ M ， x ≥3”为
假命题，则集合 M 可以是（ ）
A. （－∞，1） B. [－1，3]
C. [0，2） D. （－3，3）
解析： 由题意 x ∈ M ， x ＜0为真命题， x ∈ M ， x ＜3为
真命题，则满足题意的选项应为集合{ x ｜ x ＜3}的子集，且满足
x ∈ M ， x ＜0，A、D选项均满足，B选项当 x ＝3时不符合 x ∈
M ， x ＜3，故错误，C选项不存在 x ∈ M ， x ＜0，故错误.故选
A、D.
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13. 已知函数 y1＝ x2－2 x ， y2＝ ax ＋2（ a ＞0），集合 A ＝{ x ｜－1≤
x ≤2}，若 x1∈ A ， x2∈ A ，使得 －2 x1＝ ax2＋2，则实数 a
的取值范围是 .
解析：由二次函数的性质可得，当－1≤ x ≤2时， y1∈{ y1｜－1≤
y1≤3}，由一次函数的性质可知，当－1≤ x ≤2时， y2∈{ y2｜2－
a ≤ y2≤2＋2 a }.因为 x1∈ A ， x2∈ A ，使得 －2 x1＝ ax2＋
2，所以解得 a ≥3.
[3，＋∞）
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14. 已知集合 A ＝{ x ｜－2≤ x ≤5}， B ＝{ x ｜ m ＋1≤ x ≤2 m －1}，
且 B ≠ .
（1）若命题 p ：“ x ∈ B ， x ∈ A ”是真命题，求 m 的取值
范围；
解：由于命题 p ：“ x ∈ B ， x ∈ A ”是真命题，
所以 B A ， B ≠ ，
所以解得2≤ m ≤3.
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（2）若命题 q ：“ x ∈ A ， x ∈ B ”是真命题，求 m 的取值范围.
解：由于命题 q 为真命题，则 A ∩ B ≠ ，
因为 B ≠ ，所以 m ≥2.
所以解得2≤ m ≤4.
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15. 甲、乙、丙、丁四个人参加某项竞赛，四人在成绩公布前做出了
如下预测：
甲说：获奖者在乙、丙、丁三人中；
乙说：我不会获奖，丙获奖；
丙说：甲和丁中有一人获奖；
丁说：乙的猜测是对的.
成绩公布后表明，四人中有两人的预测与结果相符，另外两人的
预测与结果不相符.已知有两人获奖，则获奖的是（ ）
A. 甲和丁 B. 甲和丙
C. 乙和丙 D. 乙和丁
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解析： 易知乙、丁的预测要么同时与结果相符，要么同时与
结果不相符，若乙、丁的预测与结果相符，则甲、丙的预测与结
果不相符，矛盾，故乙、丁的预测与结果不相符，从而获奖的是
乙和丁，故选D.
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16. 在① x ∈R， x2＋2 ax ＋4＝0；② A ＝{ x ｜2＜ x ＜4}， B ＝{ x ｜
a ＜ x ＜3 a }，使得 A ∩ B ＝ ，这2个条件中任选一个，补充在下
面问题中，并求解.
问题：已知命题 p ： 1≤ x ≤2， x2－ a ≥0，命题 q ： .
若 p ， q 都是真命题，求实数 a 的取值范围.
注：如果选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分.
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解：选条件①.
由命题 p 为真，可得不等式 x2－ a ≥0对于1≤ x ≤2恒成立.
因为1≤ x ≤2，所以1≤ x2≤4，所以 a ≤1.
若命题 q 为真，则关于 x 的方程 x2＋2 ax ＋4＝0有解，
所以Δ＝（2 a ）2－16≥0，解得 a ≥2或 a ≤－2.
又 p ， q 都是真命题，所以 a ≤－2，
所以实数 a 的取值范围是{ a ｜ a ≤－2}.
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选条件②.
由命题 p 为真，可得不等式 x2－ a ≥0对于1≤ x ≤2恒成立.
因为1≤ x ≤2，所以1≤ x2≤4，所以 a ≤1.
对于命题 q ，
当 B ＝ ，即 a ≤0时， A ∩ B ＝ ，命题 q 为真命题；
当 B ≠ ，即 a ＞0时，由 A ∩ B ＝ 得 a ≥4或3 a ≤2，所以0＜ a
≤ 或 a ≥4.
综上， a ≤ 或 a ≥4.
又 p ， q 都是真命题，所以 a ≤ ，
所以实数 a 的取值范围是 .
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谢 谢 观 看！
