江阴市第一中学2025-2026学年度第一学期9月阶段性练习
高一数学
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）
1. 已知集合，则为（）
A. B.
C. D.
2. 设，则下列不等式中一定成立的是（）
A. B. C. D.
3. “”是“”（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知，则的最小值为（）
A. 2 B. 1 C. 4 D. 3
5. 不等式的解集为,则函数的图像大致为（）
A. B.
C. D.
6. 设，且，则的最小值为（）
A. 9 B. C. 4 D.
7. 已知集合，，中有且只有一个整数解，则a的取值范围是（）
A. B. C. D.
8. 若集合的三个子集满足 ，则称为集合的一组“亲密子集”.已知集合，则的所有“亲密子集”的组数为（）
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列叙述中正确的是（）
A.
B. 若，则
C. 命题“，”否定是“，”
D. 已知，则“”是“”必要不充分条件
10. 已知关于的不等式的解集为，则（）
A.
B. 不等式的解集为
C.
D. 不等式的解集为或
11. 已知，则下列结论正确的是（）
A. B. 的最大值为2
C. 的最大值为 D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共计15分．请把答案填写在答题卡相应位置上）．
12. 已知为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为____________________
13. 已知命题“，”为假命题，则a的取值范围是______．
14. 已知，且，则最大值为______．
四、解答题（本大题共5小题，共计77分．请在答题卡指定区域作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 已知全集，集合 ，，
（1）分别求，；
（2）若，求a的取值范围.
16. 命题，使得恒成立，命题成立．
（1）若为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和有且仅有一个为真，求实数的取值范围．
17. 已知关于不等式的解集为，不等式的解集为.
（1）若，求P
（2）若，求的值；
（3）若“”是“”的充分非必要条件，求实数的取值范围.
18. 某单位有员工名，平均每人每年创造利润万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为万元，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则的取值范围是多少？
19. 法国数学家佛郎索瓦 韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：．”
韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程
例如：，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题：
（1）已知、是两个不相等实数，且满足，，求的值；
（2）已知实数、满足，，求的值；
（3）已知，是二次函数的两个零点，且，求使的值为整数的所有的值．江阴市第一中学 2025- 2026学年度第一学期 9月阶段性练习
高一数学
一、单选题 (本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
是符合要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上)
1.已知集合U= x∣-1≤x≤1 ，B={x ∣ 0< x≤ 1}，则 UB ( )
A. x∣-1≤x≤0 B. {x ∣-1≤ x< 0} C. x∣x≤0 D. x∣0≤x≤1
2. 设 a> b,c< d，则下列不等式中一定成立的是 ( )
A. a+ c> b+ d B. ac> bd C. a- c> b- d D. a- d> b- c
3.“x> 1 1”是“ - > 1”的 ( )x 1
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知 x> 2,y= x+ 1- ，则 y的最小值为 ( )x 2
A. 2 B. 1 C. 4 D. 3
5. 不等式 ax2- bx+ c> 0的解集为 x|-2
A. B.
C. D.
6. 设 x> 0，y> 0且 x+ y= 2 4 + 1，则 的最小值为 ( )
x y
A. 9 B. 5 C. 4 D. 9
2 2
7. 已知集合A= x (x-4)(x+2) >0 ，B= x x2+(1-a)x-a<0,a>0 ，A∩B中有且只有一个整
数解，则 a的取值范围是 ( )
A. 5,6 B. 5,6 C. 5,6 D. 5,+∞
·1·
8. 若集合U的三个子集A,B,C满足A B C，则称 A,B,C 为集合U的一组“亲密子集”.已知集
合U= 1,2,3 ，则U的所有“亲密子集”的组数为 ( )
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
二、多选题 (本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分)
9. 下列叙述中正确的是 ( )
A. 0 N
B. 若 x∈A∩B，则 x∈A∪B
C. 命题“ x∈ Z，x2> 0”的否定是“ x∈ Z，x2≤ 0”
D. 已知 a∈R b，则“ < a”是“a< b< 0” 必要不充分条件
a b
10. 已知关于 x的不等式 ax2+ bx+ c> 0的解集为 -∞,-2 ∪ 3,+∞ ，则 ( )
A. a> 0 B. 不等式 bx+ c> 0的解集为 {x ∣ x<-6}
C. a+ b+ c> 0 D. 不等式 cx2- bx+ a< 0的解集为 x x<- 1 x> 1或 3 2
11. 已知 a> 0, b> 0, a2+ b= 1，则下列结论正确的是 ( )
A. 0< b< 1 B. b+ 2a的最大值为 2
C. a b 1的最大值为 D. a+ b≤ 2
2
三、填空题 (本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分．请把答案填写在答题卡相应位置上)．
12. 已知 R为实数集，集合A= x x2-4x+3 0 ，B= x|-113. 已知命题“ x∈R，x2+ x+ a≤ 0”为假命题，则 a的取值范围是 ．
x-4y
14. 已知 xy= 1，且 0< y< 1 ，则 最大值为 ．
2 x2+16y2
四、解答题 (本大题共 5小题，共计 77分．请在答题卡指定区域作答解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤)
15. 已知全集U=R，集合A= x|x2-4x+3≤0 ，B= x|2(1)分别求A∩B，A∪ UB ；
(2)若A∩C= ，求 a的取值范围.
·2·
16. 命题 p: x∈ x∣-1≤x≤ 2 ，使得 x2- k- 1≤ 0恒成立，命题 q: x∈ x∣0≤x≤1 ，2x- 2≥ k2
- 3k成立．
(1)若 p为真命题，求实数 k的取值范围；
(2)若命题 p和 q有且仅有一个为真，求实数 k的取值范围．
17. ax-1已知关于 x的不等式 + < 0的解集为P，不等式 x-1 < 1的解集为Q.x 1
(1)若 a= 1 ，求P
2
(2)若P= -∞,-1 1 ∪ - ,+∞ ，求 a的值；2
(3)若“x∈Q”是“x∈P”的充分非必要条件，求实数 a的取值范围.
18. 某单位有员工 1000名，平均每人每年创造利润 10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，
调整出 x x∈N * 3x 名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为 10 a- 万元500
a>0 ，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x%．
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少
名员工从事第三产业？
(2)在 (1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 a的
取值范围是多少？
·3·
19. 法国数学家佛郎索瓦 韦达于 1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关
系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内
b
容为：“对于一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0 a≠0 ，它的两根 α、β有如下关系：α+ β=- ,αβ=
a
c
．”
a
b c
韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数 α和 β满足如下关系：α+ β=- ,αβ= ，那么这两
α a
个数 α和 β是方程 ax2+ bx+ c= 0 a≠0 的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和
与积的关系构造一元二次方程
例如：m+n=-3,mn= 2，那么m和n是方程 x2+ 3x+ 2= 0的两根．请应用上述材料解决以下问
题：
(1)已知m 1 1、n是两个不相等的实数，且满足m2- 2m= 4，n2- 2n= 4，求 + 的值；
m n
(2)已知实数 a、b满足 ab+ a+b = 13，a2b+ ab2= 42，求 a2+ b2的值；
( ) x x3 已知 x1，x2是二次函数 f x = 4kx2- 4kx+ k+ 1的两个零点，且 k∈ Z，求使 1 + 2 的值为整x2 x1
数的所有 k的值．
·4·江阴市第一中学 2025- 2026学年度第一学期 9月阶段性练习
高一数学
一、单选题 (本大题共 8小题，每小题 5分，共计 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
是符合要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上)
1.已知集合U= x∣-1≤x≤1 ，B={x ∣ 0< x≤ 1}，则 UB ( )
A. x∣-1≤x≤0 B. {x ∣-1≤ x< 0} C. x∣x≤0 D. x∣0≤x≤1
【答案】A
【详解】∵集合B= x|0∴ UB= x|-1≤x≤0 ．
故选：A．
2. 设 a> b,c< d，则下列不等式中一定成立的是 ( )
A. a+ c> b+ d B. ac> bd C. a- c> b- d D. a- d> b- c
【答案】C
【详解】对于A中，令 a= 1，b=-1，d= 1，c=-1，满足 a> b，c< d，但 a+ c= b+ d，
故A错误，
对于B中，令 a= 1，b=-1，d= 1，c=-1，满足 a> b，c< d，但 ac= bd，
故B错误，
对于C中，因为 a> b,c< d，所以由不等式的可加性，可得 a+ d> b+ c，
所以 a- c> b- d，故C正确，
对于D中，令 a= 1，b=-1，d= 1，c=-1，满足 a> b，c< d，但 a- d= b- c，
故D错误．
故选：C．
3.“x> 1 1”是“ - > 1”的 ( )x 1
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
1
【详解】因为 - > 1 x- 1> x-1
2 (x≠ 1) x-1 x-2 < 0(x≠ 1) 1< x< 2，
x 1
由 x> 1成立推不出 1< x< 2成立，1< x< 2成立能推出 1< x成立，
可得 x> 1 1是 - > 1成立的必要不充分条件.x 1
故选：B
4. 已知 x> 2,y= x+ 1- ，则 y的最小值为 ( )x 2
A. 2 B. 1 C. 4 D. 3
【答案】C
1
【详解】因为 x> 2，所以 x- 2> 0, - > 0，x 2
·1·
1 1
由基本不等式得 y= x+ - = x- 2+ - + 2≥ 2 x-2
1
- + 2= 4，x 2 x 2 x 2
1
当且仅当 x- 2= - ，即 x= 3时，等号成立，x 2
则 y的最小值为 4.
故选：C
5. 不等式 ax2- bx+ c> 0的解集为 x|-2A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】根据题意，ax2- bx+ c> 0的解集为 {x| -2< x< 1}，则方程 ax2- bx+ c= 0的两个根为 x
=-2和 x= 1，且 a< 0.
-2+1=
b
a
则有 (-2)×1= c
b=-a
，变形可得 =- ， a c 2a a<0
故函数 y= ax2+ bx+ c= ax2- ax- 2a= a x-2 x+1 是开口向下的二次函数，且与 x轴的交点
坐标为 (-1,0)和 (2,0).
对照四个选项，只有C符合.
故选：C．
6. 设 x> 0 4 1，y> 0且 x+ y= 2，则 + 的最小值为 ( )
x y
A. 9 B. 5 C. 4 D. 9
2 2
【答案】D
4 1
【详解】 + = 1 4 + 1 x+y = 1 x 5+ + 4y ≥ 9 ，x y 2 x y 2 y x 2
4 2
当且仅当 x= ,y= 时等号成立，
3 3
4
故 + 1 9的最小值为 ，
x y 2
故选：D.
7. 已知集合A= x (x-4)(x+2) >0 ，B= x x2+(1-a)x-a<0,a>0 ，A∩B中有且只有一个整
·2·
数解，则 a的取值范围是 ( )
A. 5,6 B. 5,6 C. 5,6 D. 5,+∞
【答案】B
【详解】解：∵ x-4 x+2 > 0，解得 x> 4或 x<-2；由 x2+ 1-a x- a< 0，a> 0，即
x-a x+1 < 0，解得-1< x< a；
所以集合A= x x-4 x+2 >0 ={x|x<-2或 x> 4}，
B= x x2+ 1-a x-a 0,a 0 = x -1A∩B中有且只有一个整数解，∴ 5< a≤ 6．∴ a的取值范围是 5,6 ．
故选：B．
8. 若集合U的三个子集A,B,C满足A B C，则称 A,B,C 为集合U的一组“亲密子集”.已知集
合U= 1,2,3 ，则U的所有“亲密子集”的组数为 ( )
A. 9 B. 12 C. 15 D. 18
【答案】D
【详解】U= 1,2,3 的所有子集有： , 1 , 2 , 3 , 1,2 , 1,3 , 2,3 , 1,2,3 ；
(1)若A= ，B为单元素集合，C为双元素集合，符合要求的有：
1 1,2 ， 1 1,3 ， 2 1,2 ， 2 2,3 ，
3 1,3 ， 3 2,3 ，共 6组；
(2)若A= ，B为单元素集合，C为三元素集合，符合要求的有：
1 1,2,3 ， 2 1,2,3 ， 3 1,2,3 ，共 3组；
(3)若A= ，B为双元素集合，C为三元素集合，符合要求的有：
1,2 1,2,3 ， 1,3 1,2,3 ， 2,3 1,2,3 ，共 3组；
(4)若A为单元素集合，B为双元素集合，C为三元素集合，符合要求 有：
1 1,2 1,2,3 ， 1 1,3 1,2,3 ， 2 1,2 1,2,3 ，
2 2,3 1,2,3 ， 3 1,3 1,2,3 ， 3 2,3 1,2,3 ，共 6组；
综上所述，满足要求的“亲密子集”一共有 6+ 3+ 3+ 6= 18组.
故选：D.
二、多选题 (本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分)
9. 下列叙述中正确的是 ( )
A. 0 N
B. 若 x∈A∩B，则 x∈A∪B
C. 命题“ x∈ Z，x2> 0”的否定是“ x∈ Z，x2≤ 0”
D. 已知 a∈R b a，则“ < ”是“a< b< 0” 必要不充分条件
a b
【答案】BCD
【详解】显然 0是元素，故 0 N错误，所以A错误；
因为 A∩B A∪B ，所以 x∈A∩B，则 x∈A∪B，所以B正确；
因为命题“ x∈ Z，x2> 0”的否定是“ x∈ Z，x2≤ 0”，所以C正确；
·3·
a< b< 0 b - a = b
2-a2
由 ，则 = (b-a)(b+a) ，
a b ab ab
> , - > , + < (b-a)(b+a)因为 ab 0 b a 0 b a 0 < 0 b < a，所以 ，所以 ，即必要性成立，
ab a b
b a b a b2-a2
反之：当 < ，可得 - = < 0，可得 b>-a> 0或-b> a> 0，或 a> b> 0，或 a< b
a b a b ab
< 0，即充分性不成立，所以D正确．
故选：BCD．
10. 已知关于 x的不等式 ax2+ bx+ c> 0的解集为 -∞,-2 ∪ 3,+∞ ，则 ( )
A. a> 0 B. 不等式 bx+ c> 0的解集为 {x ∣ x<-6}
C. a+ b+ c> 0 D. 不等式 cx2- bx+ a< 0 x x<- 1 1的解集为 或 x> 3 2
【答案】ABD
【详解】因为不等式 ax2+ bx+ c> 0的解集为 -∞,-2 ∪ 3,+∞ ，
所以 a> 0，且方程 ax2+ bx+ c= 0的解为 x=-2,x= 3，故A正确；
-2+ 3=- b , -2× 3= c b =-1, c则 ，即 =-6，
a a a a
b c
因为 a> 0，所以 bx+ c> 0 x+ > 0，即-x- 6> 0 x<-6，
a a
则不等式 bx+ c> 0的解集为 {x ∣ x<-6}，故B正确；
∵ a+b+c = 1- 1- 6=-6< 0，∴ a+ b+ c< 0，故C错误；
a
cx2- bx+ a< 0 c x2- b x+ a < 0，即-6x2+ x+ 1=- 2x-1 3x+1 < 0，
a a a
1 1
解得 x x<- 或 x> ，故D正确.3 2
故选：ABD.
11. 已知 a> 0, b> 0, a2+ b= 1，则下列结论正确的是 ( )
A. 0< b< 1 B. b+ 2a的最大值为 2
C. a b 1的最大值为 D. a+ b≤ 2
2
【答案】ACD
【详解】对于A，由 a2= 1- b> 0可得 0< b< 1，故A正确；
对于B，由题意知 b+ 2a= 1- a2+ 2a=- a-1 2 + 2≤ 2，
当且仅当 a= 1,b= 0时取得最大值，与条件矛盾，故B错误；
对于C，由基本不等式得 a2+ b≥ 2 a2b= 2a b，即 1≥ 2a b，
当且仅当 a2= b= 1 时取得等号，故C正确；
2
x+y 2 a+ b 2
对于D，由 x,y∈R,x2+ y2≥ 恒成立可知：a2+ ≥ b ，
2 2
所以 a+ b≤ 2，故D正确.
故选：ACD
三、填空题 (本大题共 3小题，每小题 5分，共计 15分．请把答案填写在答题卡相应位置上)．
12. 已知 R为实数集，集合A= x x2-4x+3 0 ，B= x|-1·4·
【答案】 x|1≤x<2
【详解】解不等式 x2- 4x+ 3> 0得 x< 1或 x> 3，所以A={x|x< 1或 x> 3}，
则 RA= x|1≤x≤3 ，
图中阴影部分属于集合B，但不属于集合A，表示 RA ∩B，
因为B= x|-1故答案为： x|1≤x<2
13. 已知命题“ x∈R，x2+ x+ a≤ 0”为假命题，则 a的取值范围是 ．
a a> 1【答案】 4
【详解】解：因为命题“ x∈R，x2+ x+ a≤ 0”为假命题，
所以它的否命题：“ x∈R，x2+ x+ a> 0”是真命题，
所以Δ= 1- 4a< 0 a> 1，解得 ，
4
1
所以 a的取值范围是 a a> 4 ．
故答案为： a a> 1 4 ．
= < < 1 x-4y14. 已知 xy 1，且 0 y ，则 最大值为 ．
2 x2+16y2
2
【答案】
8
xy= 1 0< y< 1【详解】解：由 且 ，可得 y= 1 (x> 2)，代入 x- 4y= x- 4 > 0，
2 x x
x-4y = x-4y 1 1又 = ≤ = 2 ，
x2+16y2 (x-4y)2+8xy (x-4y)+ 8 2 (x-4y) 8 8x-4y x-4y
8
当且仅当 x- 4y= - ，即 x- 4y= 2 2，x 4y
又 xy= 1，可得 x= 2+ 6 y= 6- 2， 时，不等式取等，
4
x-4y 2
即 的最大值为 ，
x2+16y2 8
2
故答案为： ．
8
四、解答题 (本大题共 5小题，共计 77分．请在答题卡指定区域作答解答时应写出文字说明、证
明过程或演算步骤)
15. 已知全集U=R，集合A= x|x2-4x+3≤0 ，B= x|2(1)分别求A∩B，A∪ UB ；
·5·
(2)若A∩C= ，求 a的取值范围.
【答案】(1)A∩B={x|2< x≤ 3}，A∪ UB ={x x ≤ 3或 x≥ 4}; (2) -∞,-1 ∪ 3 ,+∞2
【小问 1详解】
已知全集U=R，集合A={x|x2- 4x+ 3≤ 0}， B={x|2< x< 4}，
∴A={x|x2- 4x+ 3≤ 0}= {x|1≤ x≤ 3}，
所以A∩B={x|2< x≤ 3}， UB={x|x≤ 2或 x≥ 4} ，
所以A∪ UB ={x x ≤ 3 或 x≥ 4}.
【小问 2详解】
若 A∩C= ，
①当 C= 时， 2a> a+ 2 a> 2，此时A∩C= ；
≠ 2a≤a+2 2a≤a+2②当 C 时， + < 或 ，a 2 1 2a>3
解得：a<-1 或 3 < a≤ 2 ，此时A∩C= .
2
综上所述，若 A∩C= ，则 a 3的取值范围为 -∞,-1 ∪ ,+∞2
16. 命题 p: x∈ x∣-1≤x≤ 2 ，使得 x2- k- 1≤ 0恒成立，命题 q: x∈ x∣0≤x≤1 ，2x- 2≥ k2
- 3k成立．
(1)若 p为真命题，求实数 k的取值范围；
(2)若命题 p和 q有且仅有一个为真，求实数 k的取值范围．
【答案】(1) 1,+∞ ； (2) 0,1 ∪ 3,+∞ .
【小问 1详解】
若 p为真命题，则当 x∈ x∣-1≤x≤ 2 时，k≥ x2- 1恒成立，即 k≥ x2-1 max，
由二次函数性质可知，当 x= 2时，x2- 1取得最大值 1，即 k≥ 1，
所以，实数 k的取值范围为 1,+∞ .
【小问 2详解】
若 q为真命题，则当 x∈ x∣0≤x≤1 时， 2x-2 2max≥ k - 3k，
由一次函数性质可知，当 x= 1时，2x- 2取得最大值 0，即 k2- 3k≤ 0，
解得 0≤ k≤ 3，即 q为真命题时，实数 k的取值范围为 0,3 .
记A= 1,+∞ ,B= 0,3 ，
则命题 p和 q有且仅有一个为真时，实数 k的取值范围为 RA ∩B ∪ RB ∩A ，
因为 RA= -∞,1 , RB= -∞,0 ∪ 3,+∞ ，
所以 RA ∩B= 0,1 , RB ∩A= 3,+∞ ，
所以 RA ∩B ∪ RB ∩A = 0,1 ∪ 3,+∞ .
17. ax-1已知关于 x的不等式 + < 0的解集为P，不等式 x-1 < 1的解集为Q.x 1
(1) a= 1若 ，求P
2
(2) 1若P= -∞,-1 ∪ - ,+∞ ，求 a的值；2
(3)若“x∈Q”是“x∈P”的充分非必要条件，求实数 a的取值范围.
·6·
【答案】(1)P= (-1，2) (2)a=-2 (3) -∞, 1 2
【小问 1详解】
1
a= 1 ax-1
x-1
因为 ，所以不等式 < 0可化为 2 < 0，
2 x+1 x+1
也即 (x- 2) (x+ 1)< 0，解得：-1< x< 2，故P= (-1，2)
【小问 2详解】
ax-1 < 0 ax-1由不等式 + 可化为 ax-1 x+1 < 0，因为关于 x的不等式 < 0的解集为P=x 1 x+1
-∞,-1 ∪ - 1 ,+∞ ，2
1
所以-1和- 是方程 (ax- 1) (x+ 1) = 0的两根，
2
所以 a=-2.
【小问 3详解】
因为不等式 x-1 < 1可化为：-1< x- 1< 1，解得：0< x< 2，所以Q= (0,2),又因为“x∈Q”是
“x∈P”的充分非必要条件，所以Q是P的真子集，
当 a= 0时，P= (-1，+∞)，满足题意；
当 a> 0时，P= -1 1， ，要使Q是P 1 1的真子集，则有 ≥ 2，所以 0< a≤ ；a a 2
当-1< a< 0时，P= -∞ 1， ∪ (-1, +∞)，满足Q是P的真子集，a
当 a=-1时，P= (-∞，-1) ∪ (-1, +∞)，满足Q是P的真子集，
当 a<-1 1时，P= (-∞，-1) ∪ ,+∞ ，满足Q是P的真子集，a
综上所述：实数 a的取值范围为 -∞, 1 2 .
18. 某单位有员工 1000名，平均每人每年创造利润 10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，
调整出 x 3x x∈N * 名员工从事第三产业，调整出的员工平均每人每年创造利润为 10 a- 万元500
a>0 ，剩余员工平均每人每年创造的利润可以提高 0.2x%．
(1)若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少
名员工从事第三产业？
(2)在 (1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则 a的
取值范围是多少？
【答案】(1)500 (2) 0,5
【小问 1详解】
由题意得：10 1000-x 1+0.2x% ≥ 10× 1000，
即 x2- 500x≤ 0，又 x> 0，
所以 0< x≤ 500．即最多调整 500名员工从事第三产业．
【小问 2详解】
3x
从事第三产业的员工创造的年总利润为 10 a- x万元，500
1
从事原来产业的员工的年总利润为 10 1000-x 1+ x 万元，500
·7·
则 10 a- 3x x≤ 10 1000-x 1+ 1 x ，500 500
2
ax- 3x ≤ 1000+ 2x- x- 1所以 x2，
500 500
2x2
所以 ax≤ + 1000+ x，
500
2x 1000
即 a≤ + + 1恒成立，
500 x
2 x+ 1000因为 ≥ 2 2x 1000 = 4 2x = 1000，当且仅当 ，即 x= 500时等号成立．
500 x 500 x 500 x
所以 a≤ 5，又 a> 0，所以 0< a≤ 5，
即 a的取值范围为 0,5 ．
19. 法国数学家佛郎索瓦 韦达于 1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关
系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内
容为：“对于一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0 a≠0 ，它的两根 α、β有如下关系：α+ β=- b ,αβ=
a
c
．”
a
b c
韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数 α和 β满足如下关系：α+ β=- ,αβ= ，那么这两
α a
个数 α和 β是方程 ax2+ bx+ c= 0 a≠0 的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和
与积的关系构造一元二次方程
例如：m+n=-3,mn= 2，那么m和n是方程 x2+ 3x+ 2= 0的两根．请应用上述材料解决以下问
题：
(1)已知m、n是两个不相等的实数，且满足m2- 2m= 4，n2- 2n= 4 1 1，求 + 的值；
m n
(2)已知实数 a、b满足 ab+ a+b = 13，a2b+ ab2= 42，求 a2+ b2的值；
(3) x x已知 x1，x2是二次函数 f x = 4kx2- 4kx+ k+ 1的两个零点，且 k∈ Z，求使 1 + 2 的值为整x2 x1
数的所有 k的值．
【答案】(1) - 1 (2)22或 37 (3) - 5, -3, -2
2
小问 1详解】
由m2- 2m= 4，n2- 2n= 4，m≠n，
可将m,n可看作方程 x2- 2x- 4= 0的两个不相等的实数根，
由韦达定理，m+n= 2,mn=-4，
1 + 1 = m+n 2所以 = - =-
1
；
m n mn 4 2
【小问 2详解】
由 ab+ a+b = 13，a2b+ ab2= ab a+b = 42，
可将 ab,a+ b可看作方程 x2- 13x+ 42= 0的两个实数根，
由 x2- 13x+ 42= 0解得 x= 6或 a= 7，
则有 ab= 6,a+ b= 7或 ab= 7,a+ b= 6，
① 当 ab= 6,a+ b= 7时，a2+ b2= a+b 2 - 2ab= 49- 12= 37；
·8·
② 当 ab= 7,a+ b= 6时，a2+ b2= a+b 2 - 2ab= 36- 14= 22．
所以 a2+ b2的值为 22或 37．
【小问 3详解】
由题意和韦达定理，可得 k≠ 0，x1+ x2= 1,x1x2= k+1 ，4k
且Δ= 4k 2 - 4× 4k k+1 =-16k> 0，解得 k< 0，
x 2 2 21 x2 x1+x2 x1+x2 -2x x x +x 2+ = = 1 2 = 1 2 故 - 2= 4k - 2= 4k+4-4 - 2= 2- 4
x2 x1 x1x2 x1x2 x1x2 k+1 k+1 k+1
x1 + x因 2 = 2- 4+ ∈ Z，又 k∈ Z，故 k+ 1必为-4的因数，x2 x1 k 1
则 k+ 1的值可能为-4, -2, -1,1,2,4，
则实数 k的值可能为-5, -3, -2,0,1,3，又 k< 0，
故 k的所有取值为-5, -3, -2．
·9·