新课标人教a版第四章圆与方程教案4.2.1.2直线与圆的位置关系

教学，重要的不是教师的“教”，而是学生的“学”
heda2007@
4、2、1、2直线与圆的位置关系
学案编写者：黄冈实验学校数学教师孟凡洲
一、【学习目标】
1、能熟练的解决对称、切线、最值问题；2、深刻的理解 数形结合的思想；
3、能解决圆与直线的综合问题，培养学生解决综合问题的能力及信心.
【教学效果】：教学目标的给出有利于学生从整体上把握课堂.
二、【自学内容和要求及自学过程】
1、对称问题（关于圆的线对称、点对称问题）
例1:求与圆关于直线对称的圆的方程.
结论：方法1:先求出圆的圆心关于直线对称的的坐标，因为对称圆的大小没有改变，只是位置发生了改变，所以有了对称圆的圆心，问题就解决了.具体步骤：把圆化成标准形式，得，圆心的坐标是，设与点关于直线对称的点，则有，且.解此方程组得，所以圆心，所以我们要求的对称圆的方程为.值得我们注意的是这种方法是我们解决圆的对称问题的特殊的方法，他只能运用于关于圆的对称问题中，而不适合所有的对称问题.下面我们介绍一下方法2，这种方法我们把它称作解决对称问题的万能法则.
方法2：具体步骤：点为圆上的点，设关于直线的对称点为，则我们很容易列出方程组，且
，我们可以解出方程组，得到下面的数据：
，因为在圆上，所以我们可以把数据代入，得，根据习惯，得到我们所求的对称圆的方程为
值得我们每位学生和老师注意的是，这两种方法是我们每个学生都必须掌握的，这是难点，也是重点.
引申:若此题改为求与圆关于点A（0，-1）对称的圆的方程.应该怎么求？
【教学效果】：对称问题是贯穿高中数学的一个重要问题和考点.
2、圆的切线问题（过圆上一点和圆外一点的切线方程）
例2：求过圆上一点的圆的切线方程.
结论：设，所求切线的斜率为，则由圆的切线垂直于过切点的半径，得：,所以所求方程为，则我们通过化简整理可以得到下式，又点在圆上，所以有，当时仍然成立，所以过圆上一点的圆的切线方程为
练习：已知圆的方程是，那么我们试着求一下经过圆上一点的方程.
例3：从点向圆引切线，求切线方程.
结论：把点代入，得29>4，所以点在圆外.设切线斜率为k，则切线方程为，即，又圆心坐标为（2，0），r=2，因为圆心到切线的距离等于半径，即，得到k=21/20,所以切线方程为21x-20y+16=0.当直线的斜率不存在时还有一条切线是x=4.
思考：通过对例3的学习，你从中有什么收获？你对解决此类题目的步骤，有所了解吗？能自己总结归纳一下吗？
【教学效果】：求切线也是一个考点，要求学生能熟练的解决此类问题.
3、与直线、圆有关的最值问题
例4：已知实数满足方程.<1>求的最大值和最小值；<2>的最小值.
结论：<1>方程表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆.设=k，即y=kx，则根据数形结合，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时，表示直线与圆相切，此时取得最大值和最小值.由，所以的最大值为，最小值为—.<2>设y-x=b,则y=x+b，由数形结合，根据点到直线的距离公式得：，即.当且仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵截距b取得最小值.所以y-x的最小值为.
引申：例4中已知条件不变，求的最大值、最小值.
【教学效果】：最值问题也是容易在创新性题目中出现，是中等偏上难度的题目，常用的是数形结合的思想.
3、【作业】
1、必做题：完成练习、引申题目；
2、选做题：总结本节课学习的主要内容，把所讲的例题在草纸上演算一遍.
四、【小结】
本节课主要学习了圆的对称问题、切线问题、和最值问题，学习完这节课之后要完成能熟练的解决这三种问题的学习目标以及初步具备解决综合问题的能力.
五、【教学反思】
这节课讲了三个重要的类型题，主要以学生的自学理解为主，老师的讲解为辅，老师要注意组织好学生的课堂学习.
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新课标人教A版高一数学教案
编写者：孟凡洲 QQ：191745313