第1课时 椭圆及其标准方程 学案
学习目标
1．经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，了解椭圆的实际背景.
2.掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程.
3.会用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程． .
情境导入
在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的现象，如图①②所示．
图① 图②
我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径．
问题 (1)那么，你能说说什么是椭圆吗？
(2)椭圆上任意一点的特征是什么？
新知探究
知识点一 椭圆的定义
问题引导
1．取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
2．在上述活动中，如果把细绳拉直后固定住两端点(|F1F2|等于绳长)，那么动点M的轨迹是什么？
知识点总结
椭圆的概念
定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a＞|F1F2|}
1．对定义中限制条件“两个定点”的理解
椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的集合是圆．
2．对定义中限制条件“常数(大于|F1F2|)”的理解
条件 结论
2a＞|F1F2| 动点的轨迹是椭圆
2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2
2a＜|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在
典例探究
例1(1)下列说法中，正确的是( )
A．到点M(－3，0)，N(3，0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆
B．到点M(0，－3)，N(0，3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．到点M(－3，0)，N(3，0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
D．到点M(0，－3)，N(0，3)的距离相等的点的轨迹是椭圆
(2)(教材P109T1改编)若椭圆＋＝1上一点P到右焦点的距离为5，则它到左焦点的距离为( )
A．31 B．15
C．7 D．1
1．判定点的轨迹是否为椭圆，关键是看是否符合椭圆的定义；
2．作为性质运用．椭圆上所有的点一定满足定义中的条件(即到两焦点的距离之和为常数)．
变式训练
1．已知P，Q为椭圆上两点且F1，F2为椭圆的两个焦点，当|PF1|＝4时，|PF2|＝8.求Q在运动过程中，|QF1|·|QF2|的最大值．
知识点二 椭圆的标准方程
问题引导
3．考虑到椭圆的对称性，我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，试利用椭圆的定义推导椭圆方程．
4．如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
知识点总结
椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1 (a＞b＞0) ＋＝1 (a＞b＞0)
焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 c2＝a2－b2
(1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴．
(2)两种椭圆＋＝1，＋＝1(a＞b＞0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同．
(3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上．
典例探究
例2 (2024·长沙一中高二月考)求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，且椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)经过P1(，1)，P2(－，－)两点．
待定系数法求标准方程的步骤
(1)先确定焦点位置；
(2)设出方程；
(3)寻求a，b，c的等量关系；
(4)求a，b的值，代入所设方程．
提醒：当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．
变式训练
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，且椭圆经过点(－，)；
(2)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)．
思维提升
椭圆定义的应用
例3 (1)(教材P106思考改编)已知椭圆E：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为E上一点，若PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为( )
A． B．
C．3 D．5
(2)椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为__________．
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
(3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝b2tan.
变式训练
3．(1)已知点F是椭圆C：＋＝1的左焦点，点P为C上一点，A(1，)，则|PA|＋|PF|的最小值为( )
A． B．
C．4 D．
(2)椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，则∠F1PF2的大小为__________．
课堂小结
1．知识网络
2．特别提醒
(1)求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法．
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，体现分类讨论思想及方程思想．
(3)忽视椭圆定义中a，b，c的关系．
(4)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程．
课堂练习
1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为( )
A．24 B．25
C．30 D．40
2．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
3．已知椭圆的焦点为(0，4)，(0，－4)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
4．已知方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围为________________．第1课时 椭圆及其标准方程 学案
学习目标
1．经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，了解椭圆的实际背景.
2.掌握椭圆的定义及椭圆的标准方程.
3.会用定义法、待定系数法和相关点法求椭圆的标准方程． .
情境导入
在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的现象，如图①②所示．
图① 图②
我们还知道，圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是：任意一点到圆心的距离都等于半径．
问题 (1)那么，你能说说什么是椭圆吗？
(2)椭圆上任意一点的特征是什么？
新知探究
知识点一 椭圆的定义
问题引导
1．取一条定长的细线，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点F1，F2，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么？
提示：画出的轨迹为椭圆．笔尖到两个定点的距离的和等于常数，即绳长．
2．在上述活动中，如果把细绳拉直后固定住两端点(|F1F2|等于绳长)，那么动点M的轨迹是什么？
提示：动点M的轨迹是一条线段(绳子上的任一点)
知识点总结
椭圆的概念
定义：把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距．
集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a＞|F1F2|}
1．对定义中限制条件“两个定点”的理解
椭圆定义中的两个定点F1，F2是指不重合的两点，当F1与F2重合时，相应点的集合是圆．
2．对定义中限制条件“常数(大于|F1F2|)”的理解
条件 结论
2a＞|F1F2| 动点的轨迹是椭圆
2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2
2a＜|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在
典例探究
例1(1)下列说法中，正确的是( )
A．到点M(－3，0)，N(3，0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆
B．到点M(0，－3)，N(0，3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆
C．到点M(－3，0)，N(3，0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆
D．到点M(0，－3)，N(0，3)的距离相等的点的轨迹是椭圆
解析：C 由椭圆定义知C正确．
(2)(教材P109T1改编)若椭圆＋＝1上一点P到右焦点的距离为5，则它到左焦点的距离为( )
A．31 B．15
C．7 D．1
解析：C 在椭圆＋＝1中，a2＝36即a＝6.记椭圆＋＝1的左焦点为F1，右焦点为F2，则|PF2|＝5.由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝12，所以|PF1|＝12－5＝7.故选C．
1．判定点的轨迹是否为椭圆，关键是看是否符合椭圆的定义；
2．作为性质运用．椭圆上所有的点一定满足定义中的条件(即到两焦点的距离之和为常数)．
变式训练
1．已知P，Q为椭圆上两点且F1，F2为椭圆的两个焦点，当|PF1|＝4时，|PF2|＝8.求Q在运动过程中，|QF1|·|QF2|的最大值．
解：由题意|QF1|＋|QF2|＝|PF1|＋|PF2|＝4＋8＝12，
由基本不等式|QF1|·|QF2|≤()2＝()2＝36，
当且仅当|QF1|＝|QF2|＝6时，等号成立，故|QF1|·|QF2|的最大值为36.
知识点二 椭圆的标准方程
问题引导
3．考虑到椭圆的对称性，我们以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系，试利用椭圆的定义推导椭圆方程．
提示：根据椭圆的定义，设点M与焦点F1，F2的距离的和等于2a.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}．
因为|MF1|＝，
|MF2|＝，
所以＋＝2a.①
为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得＝2a－.②
对方程②两边平方，得(x＋c)2＋y2＝4a2－4a＋(x－c)2＋y2，
整理，得a2－cx＝a，③
对方程③两边平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2，
整理，得(a2－c2)x2＋a2y2＝a2(a2－c2)，④
将方程④两边同除以a2(a2－c2)，
得＋＝1，⑤
由椭圆的定义可知2a＞2c＞0，即a＞c＞0，
所以a2－c2＞0.
令b＝，
那么方程⑤就是＋＝1(a＞b＞0)．
4．如图，如果焦点F1，F2在y轴上，且F1，F2的坐标分别是(0，－c)，(0，c)，a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？
提示：＋＝1(a＞b＞0)．
知识点总结
椭圆的标准方程
焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 ＋＝1 (a＞b＞0) ＋＝1 (a＞b＞0)
焦点 (－c，0)，(c，0) (0，－c)，(0，c)
a，b，c 的关系 c2＝a2－b2 c2＝a2－b2
(1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴．
(2)两种椭圆＋＝1，＋＝1(a＞b＞0)的相同点是：它们的形状、大小都相同，都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2；不同点是：两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不同．
(3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上．
典例探究
例2 (2024·长沙一中高二月考)求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，且椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)经过P1(，1)，P2(－，－)两点．
解：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．又c＝4，2a＝10，则a＝5，b2＝a2－c2＝9.
于是所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)法一：①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知，得解得
即所求椭圆的标准方程是＋＝1.
②当焦点在y轴上时，设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，由已知，得解得与a＞b＞0矛盾，此种情况不存在．
综上，所求椭圆的标准方程是＋＝1.
法二：设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)，
故解得
即所求椭圆的标准方程是＋＝1.
待定系数法求标准方程的步骤
(1)先确定焦点位置；
(2)设出方程；
(3)寻求a，b，c的等量关系；
(4)求a，b的值，代入所设方程．
提醒：当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m＞0，n＞0)．
变式训练
2．求适合下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，且椭圆经过点(－，)；
(2)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)．
解：(1)由题知椭圆的焦点在y轴上，
∴设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由椭圆的定义知，
2a＝＋＝2，即a＝，又c＝2，
∴b2＝a2－c2＝6，
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意，椭圆9x2＋5y2＝45化为标准方程＋＝1，知焦点F1(0，2)，F2(0，－2)，设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，
将x＝2，y＝代入，得＋＝1，
解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
思维提升
椭圆定义的应用
例3 (1)(教材P106思考改编)已知椭圆E：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为E上一点，若PF1⊥PF2，则△F1PF2的面积为( )
A． B．
C．3 D．5
解析：C 由椭圆的定义可知，|PF1|＋|PF2|＝4且|F1F2|＝2，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4，又(|PF1|＋|PF2|)2＝16，故|PF1|·|PF2|＝6，所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝3.
(2)椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，一直线过F1交椭圆于A，B两点，则△ABF2的周长为__________．
解析：点A，B都在椭圆上，由椭圆的定义知
|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a.
又|AB|＝|AF1|＋|BF1|，
所以△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a.
故△ABF2的周长为4×5＝20.
答案：20
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化．
(2)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等知识求解．
(3)若椭圆中焦点三角形的顶角∠F1PF2＝θ，则焦点三角形的面积S＝b2tan.
变式训练
3．(1)已知点F是椭圆C：＋＝1的左焦点，点P为C上一点，A(1，)，则|PA|＋|PF|的最小值为( )
A． B．
C．4 D．
解析：D 设椭圆C：＋＝1的右焦点为F′(2，0)．由A(1，)，得|AF′|＝.根据椭圆的定义可得|PF|＋|PF′|＝2a＝6，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋6－|PF′|≥6－|AF′|＝6－＝，当且仅当P，A，F′三点共线时取等号．
(2)椭圆＋＝1的两焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝6，则∠F1PF2的大小为__________．
解析：由＋＝1，知a＝4，b＝3，c＝，
所以|PF2|＝2a－|PF1|＝2，
|F1F2|＝2c＝2，
所以cos∠F1PF2＝
＝，
所以∠F1PF2＝60°.
答案：60°
课堂小结
1．知识网络
2．特别提醒
(1)求解椭圆的标准方程一般有两种方法：一是待定系数法，二是定义法．
(2)用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解，体现分类讨论思想及方程思想．
(3)忽视椭圆定义中a，b，c的关系．
(4)混淆不同坐标系下椭圆的两种标准方程．
课堂练习
1．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|＝4∶3，则△PF1F2的面积为( )
A．24 B．25
C．30 D．40
解析：A ∵|PF1|∶|PF2|＝4∶3，
∴可设|PF1|＝4k，|PF2|＝3k.
由题意可知3k＋4k＝2a＝14，
∴k＝2，∴|PF1|＝8，|PF2|＝6，
∵|F1F2|＝10，＝10，
∴△PF1F2是直角三角形．
∴△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|＝×8×6＝24.
故选A．
2．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，若|AB|＝5，则|AF1|＋|BF1|等于( )
A．9 B．10
C．11 D．12
解析：C 根据椭圆的定义，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，
所以△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝16，
所以|AF1|＋|BF1|＝16－|AB|＝11.
3．已知椭圆的焦点为(0，4)，(0，－4)，椭圆上一点到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：D 依题意，c＝4，2a＝10，∴a＝5.
∴b2＝a2－c2＝25－16＝9，又焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为＋＝1.
4．已知方程＋＝1表示椭圆，则k的取值范围为________________．
解析：由题意可知解得3＜k＜5且k≠4.
答案：(3，4)∪(4，5)
