3.1.1椭圆的标准方程 讲义（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线与方程
3.1椭圆
3.1.1椭圆的标准方程
讲义
理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的推导过程，能根据条件熟练写出椭圆的标准方程；
认识椭圆的几何图形，并能根据标准方程说出其焦点位置、顶点坐标、对称轴和范围；
理解椭圆离心率的概念及其对椭圆形状的影响；
能够运用椭圆的定义和标准方程解决简单的实际问题。
重点：
1、椭圆的定义及其标准方程（两种形式）。
2、椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）。
难点：
1、椭圆标准方程的推导与化简（特别是对根式的处理和无理方程的化简技巧）。
2、椭圆两种标准方程的区别与联系（如何根据焦点位置选择方程）。
3、椭圆离心率的几何意义及其对形状影响的理解。
4、利用椭圆的定义解决轨迹问题。
椭圆的标准方程：
一、题型1：椭圆的定义及辨析
1．已知为两定点，，动点满足，则动点的轨迹是（）
A.椭圆 B. 直线 C.圆 D. 线段
2. 如果动点满足，则点的轨迹是（）
A.椭圆 B. 双曲线 C.抛物线 D. 线段
3. 设为定点，，动点满足，则动点的轨迹是（）
A.椭圆 B. 直线 C.圆 D. 线段
答案：1.D 2.D 3. A
二、题型2：利用椭圆定义求方程
1. 椭圆的两个焦点是，椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是（）
A. B.
C. D.
2.平面内点到距离之和是10，则动点的轨迹方程是（）
A. B.
C. D.
3. 方程的化简结果是（）
A. B.
C. D.
答案：1.C 2.B 3.B
三、题型3：判断方程是否表示椭圆
1. 椭圆的焦距为4，则的值为（）
A. 或-1 B. 或-1 C. D. -1
2. （多选）已知椭圆，则（）
A.的长轴长为
B. 当时，的焦点在轴上
C. 的焦距可能为4
D. 的短轴长与长轴长的平方和为定值
3. 曲线与的关系是（）
A.有相等的焦距，相同的焦点 B.有不等的焦距，相同的焦点
C.有不等的焦距，不同的焦点 D. 有相等的焦距，不同的焦点
答案：1.D 2.BCD 3. D
四、题型4：根据椭圆方程求参数
1. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则（）
A. B. C. D. 或
2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
答案：1.C 2.A
五、题型5：椭圆中的轨迹方程问题
1. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段，为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（）
A. B.
C. D.
2. 已知周长为16的中，点，则点的轨迹方程为（）
A. B.
C. D.
3. 在平面直角坐标系中，已知两点，点为动点，且直线与的斜率之积为，则点的轨迹方程为（）
A. B.
C. D.
答案：1.A 2.C 3.B
六、题型6：椭圆中焦点三角形面积问题
1.设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（）
A.8 B.6 C.4 D. 2
2. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的面积为（）
A. B. C. D.
答案：1. B 2.C