3.1.2椭圆的几何性质 讲义（含答案）-2025-2026学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线与方程
3.1椭圆
3.1.2椭圆的几何性质
讲义
理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程的推导过程，能根据条件熟练写出椭圆的标准方程；
认识椭圆的几何图形，并能根据标准方程说出其焦点位置、顶点坐标、对称轴和范围；
理解椭圆离心率的概念及其对椭圆形状的影响；
能够运用椭圆的定义和标准方程解决简单的实际问题。
重点：
1、椭圆的定义及其标准方程（两种形式）。
2、椭圆的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）。
难点：
1、椭圆标准方程的推导与化简（特别是对根式的处理和无理方程的化简技巧）。
2、椭圆两种标准方程的区别与联系（如何根据焦点位置选择方程）。
3、椭圆离心率的几何意义及其对形状影响的理解。
4、利用椭圆的定义解决轨迹问题。
椭圆的几何性质：
一、题型1：根据椭圆的标准方程研究其几何性质
1．已知椭圆的左焦点为，上关于原点对称的两点，若的最小值为，则的离心率为（）
A. B. C. D.
2.椭圆上的点的横、纵坐标的范围分别为（）
A. B.
C. D.
答案：1.D 2.C
二、题型2：根据椭圆的几何性质求其标准方程
1. 离心率为与椭圆共焦点的椭圆方程为（）
A. B.
C. D.
2.过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为（）
A. B.
C. D.
3.与椭圆有相同焦点，且满足半轴长为的椭圆方程是（）
A. B.
C. D.
答案：1.B 2.D 3.B
三、题型3：求椭圆离心率的值
1. 已知直线与椭圆交于两点，以线段为直径的圆过椭圆的左焦点，若，则该椭圆的离心率是（）
A. B. C. D.
2. 设是椭圆的左、右焦点，过的直线与交于两点，若，，则该椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
3. 椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线交椭圆于，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
答案：1.C 2.D 3. D
四、题型4：求椭圆的离心率的最值或范围
1. 设分别为椭圆的左、右顶点，若在椭圆上存在异于点的点，使得，其中为坐标原点，则椭圆离心率的取值范围为（）
A. B. C. D.
2. 已知椭圆上一点关于原点对称的点为，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（）
A. B. C. D.
答案：1.D 2.A
五、题型5：根据椭圆离心率求参数
1. 已知椭圆的离心率为，则为（）
A.3 B.
C.2 D.
2. 已知焦点在轴上的椭圆离心率为，则实数等于（）
A. 6 B. 7 C.8 D.9
3. 已知椭圆的离心率为，则为（）
A.2 B. 4
C. D.
答案：1.C 2.C 3.A