安徽省阜阳市2025-2026学年高二上学期月考数学练习卷（含解析）

2025-2026学年安徽省阜阳市高二（上）月考数学练习卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过，两点的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.设x，，向量，，且，，则( )
A. B. 3 C. D. 4
3.已知平面的一个法向量为，点在平面内.若点P的坐标为，则直线PA与平面所成的角为( )
A. B. C. D.
4.如图，在三棱锥中，平面ABC，，且，则在方向上的投影向量为( )
A.
B.
C.
D.
5.设，，若点在线段AB上，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.如图，二面角等于，A，B是棱l上两点，BD，AC分别在半平面，内，，，且，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.下列命题正确的是( )
A. 若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则直线
B. 若，则存在唯一的实数，使
C. 若空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为
D. 若向量，的夹角为钝角，则实数t的取值范围为
8.如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点包括端点
①当点P为中点时，异面直线与BD所成角为
②三棱锥中，点P到面的距离为定值
③过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为
④直线与面所成角的正弦值的范围为
以上命题为真命题的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是( )
A. 两条不重合直线，的方向向量分别是，，则
B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C. 直线l的方向向量，平面的法向量是，则
D. 直线l的方向向量，平面的法向量是，则
10.下面四个结论正确的是( )
A. 若A，B，C三点不共线，面ABC外的任一点O，有，则M，A，B，C四点共面
B. 有两个不同的平面，的法向量分别为，且，，则
C. 已知为平面的一个法向量，为直线l的一个方向向量，若，，则l与所成角为
D. 已知向量，，若，则，为钝角
11.已知正方体的棱长为1，，，其中，，则下列说法中正确的有( )
A. 若平面，则
B. 若平面ABCD，则
C. 存在，，使得
D. 存在，使得对于任意的，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是______.
13.已知空间直角坐标系中，点，，若，，则 .
14.在三棱锥中，，，平面ABC，点M，N分别为AC，PB的中点，，Q为线段AB上的点，使得异面直线PM与CQ所成的角的余弦值为，则为______.
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题12分
如图，在矩形ABCD和ABEF中，，，，，，，记，，
将用表示出来；
当时，求MN与AE夹角的余弦值.
16.本小题12分
如图，在五面体中，平面ABCD，平面ABCD是梯形，，，，E平分
求证：平面平面PBC；
若二面角的余弦值为，求直线PA与平面ACE所成角的正弦值.
17.本小题12分
如图，在五面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，，
Ⅰ求证：；
Ⅱ若H为CD的中点，M为BH的中点，，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线CF与平面ADE所成角的正弦值.
条件①：；
条件②：
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分，
18.本小题12分
如图所示，直角梯形ABCD中，，，，四边形EDCF为矩形，，平面平面
Ⅰ求证：平面ABE；
Ⅱ求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；
Ⅲ在线段DF上是否存在点P，使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为，若存在，求出线段BP的长，若不存在，请说明理由．
19.本小题12分
图1是直角梯形ABCD，，，四边形ABCE是边长为4的菱形，并且，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图
求证：平面平面ABED；
在棱上是否存在点P，使得P到平面的距离为，若存在，则的值；
在的前提下，求出直线EP与平面所成角的正弦值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由斜率公式可得，
故经过，两点的直线的倾斜角为
故选：
先利用斜率公式求出斜率，进而可得倾斜角．
本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：x，，向量，，且，，
可得，，解得，，
则，
则，
故选：
利用空间向量的垂直与共线，列出方程组求解即可．
本题考查空间向量的垂直与共线，向量的模的求法，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题可得，
因为平面的一个法向量为，
所以，
设直线PA与平面所成的角为，
则，
因为，
所以
故选：
根据线面夹角的向量表示运算求解．
本题考查向量法求直线与平面所成的角，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为平面ABC，，所以，，
故以A为坐标原点，AB，AC，PA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
令，，，
则，，，，
则，，
所以在方向上的投影向量为
故选：
以A为坐标原点，AB，AC，PA所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，从而求得在方向上的投影向量．
本题考查空间向量的投影向量，考查直观想象的核心素养，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查直线的斜率，属于基础题．
根据题意，设，设，分析k的几何意义，结合直线斜率公式分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，设，设，
则k的几何意义为线段AB上任意一点P与点M连线的斜率，
而，，
如图：必有或，即或，
则的取值范围是
故选：
6.【答案】C
【解析】解：因为二面角为，A，B为棱l上的两点，AC，BD分别在半平面、内，，，
所以，，，，
又，
所以
故选：
由已知条件和空间向量加法可得，再根据向量模和数量积的关系可得以，即可得出答案．
本题考查二面角，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：A选项，注意到，但选项信息无法判断直线是否在平面内，故A错误；
B选项，注意到当时，若，则不存在，使，故B错误；
C选项，在上的投影向量为，
故C正确；
D选项，向量，的夹角为钝角，则且不共线，
得，故D错误．
故选：
A直线与平面平行，需满足直线方向向量与平面法向量垂直且直线不在平面内，据此可得答案．
B注意到当时不满足题目描述；
C由投影向量计算公式可判断选项正误；
D两向量夹角为钝角，需满足两向量数量积小于0，且两向量不共线，据此可判断选项正误．
本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：对于①中，由题意可得：且
为平行四边形，则，
点P为中点，，，
异面直线与BD所成角为，故①正确；
又P为线段上，则点P到平面的距离为定值，
设点P到面的距离为h，为等边三角形，
，
，
，解得，故②正确；
过点P平行于平面的平面被正方体所截的截面为，
此时三角形为边长为的等边三角形，
其面积为，故③正确；
设直线与平面所成角为，
则，
，则为，故④正确；
故选：
根据线线垂直求线线角，面面平行的性质定理，线面角的概念，可求解．
本题考查等体积法求解点面距，线面角的求解，三棱锥的外接球问题，化归转化思想，属中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：对于A，两条不重合直线，的方向向量分别是，，则，所以，故A正确；
对于B，两个不同的平面，的法向量分别是，，
则，所以，故B正确；
对于C，直线l的方向向量，平面的法向量是，所以，所以或，故C错误；
对于D，直线l的方向向量，平面的法向量是，则，所以，故D错误．
故选：
运用空间线线平行，线面平行，线面垂直，面面垂直的向量证明方法，结合向量平行垂直的坐标结论，逐个判断即可．
本题考查的知识点：向量的坐标运算，法向量，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查空间向量平行共线的坐标表示，空间向量共面定理，直线与平面所成的角，属于中档题．
由四点共面的向量表示判断A，由两平面平行的向量表示判断B，由直线与平面所成角的定义判断C，由两向量所成角为钝角的条件判断
【解答】
解：对于A，，
，A，B，C四点共面，故A正确；
对于B，
，，
，与不平行，故B错误；
对于C，若，
则l与所成角为，故C正确；
对于D，
，，
若，
则，
若，反向，
则，，
，解得，
当且时，
为钝角，故D错误，
故选：
11.【答案】AD
【解析】解：以D为原点，DA，DC，所在直线为x，y，z建立空间直角坐标系，如图所示：
正方体的棱长为1，，，则，
面，为C点，
设，
又，
，，，，
又因为点面，，，
若平面，则，故A正确；
平面ABCD的法向量，，
，，
，，
平面ABCD，，，，故B错误；
，
若，，，
令，，
易得，，，
在无解，故C错误；
，，，，解得，
所以存在，使得对于任意的，都有，故D正确．
故选：
建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，根据共面向量定理可判断选项A，利用直线方向向量和面法向量垂直可判断线面平行，可判断选项B，通过向量求得模长，根据条件判断方程是否有解，可判断C，向量数量积为0，可判断
本题主要考查棱柱的结构特征，点、线、面的位置关系，空间向量法的应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：直线l的斜率，
，
则直线l的倾斜角的取值范围是
故答案为：
利用倾斜角与斜率的关系、正切函数的单调性即可得出．
本题考查了倾斜角与斜率的关系、正切函数的单调性，属于基础题．
13.【答案】或
【解析】【分析】
本题考查向量的共线定理，属于基础题．
因为，所以或，利用向量的坐标表示求解．
【解答】
解：由题知，且，
若，，
所以或
故答案为：或
14.【答案】
【解析】解：如图，在三棱锥中，，，所以，
因为平面ABC，以B为原点，BA，BC，BP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
可知，，，
因为，所以，
所以，则，设，且，则，
可知，
所以，，
，
因为异面直线PM与CQ所成的角的余弦值为，
所以，
解得或舍去，所以
故答案为：
建立空间直角坐标系，设，利用异面直线夹角的向量公式即可求解．
本题主要考查异面直线所成角的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
15.【答案】解：因为，，，
记，
所以，且，，
由空间向量的线性运算法则，
可得
；
当时，，，
，
所以，
所以MN与AE的夹角的余弦值为
【解析】本题考查空间向量线性运算法则、向量的模、数量积等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
利用空间向量的加减运算法则化简即得；
分别求得，，利用向量数量积的运算律求得，，利用空间向量的夹角公式计算即得结果．
16.【答案】证明：由题意，，
，，
又平面ABCD，平面ABCD，，
，PC，平面PBC，
平面PBC，
又平面ACE，
平面平面PBC；

【解析】证明：由题意，，
，，
又平面ABCD，平面ABCD，，
，PC，平面PBC，
平面PBC，
又平面ACE，
平面平面PBC；
分别以CB，CA，CP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，设，，
则，，，，
，，
设平面EAC的一个法向量为，
则，则，
取，则，
平面PAC的一个法向量为，
，
解得，
，又，
，
直线PA与平面ACE所成角的正弦值
证明出，从而可证明平面PAC，然后可得证面面垂直；
建立空间直角坐标系，由二面角的向量法求得PC的长，再由线面角的向量法求得结论．
本题考查面面垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ因为四边形ABCD是正方形，
所以，
又平面CDEF，平面CDEF，
所以平面CDEF，
又平面平面，平面ABFE，
所以，
Ⅱ选取条件①：
取AD的中点N，AB的靠近点B的四等分点P，
连接MN，MP，NE，
因为N是AD中点，M是HB中点，
所以，，
因为，所以，
又，且，
所以平面NME，
又因为平面MME，
所以，
又且BH与AD是相交线，所以平面ABCD，
又NM，平面ABCD，
所以，，
如图，建立空间直角坐标系，
由题意得，，，，，，
所以，，，
设平面ADE的法向量，
则，则，
令，则，于是，
设直线CF与平面ADE所成角为，
则，
所以CF与平面ADE所成角的正弦值为；
选取条件②：，
在中，，，
，则，
于是，，
因为，，
于是，，
所以，又，，且BH，平面ABCD，
所以平面ABCD，
取AD的中点N，取AB的靠近点B的四等分点P，
连接MN，MP，如图建系，
下同条件①，可得CF与平面ADE所成角的正弦值为
【解析】Ⅰ先证出平面CDEF，即可得证；
Ⅱ取条件①：先证明平面NME，进而证出平面ABCD，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式求解即可；
取条件②：由，在中，，，利用余弦定理求出MA，进而得出平面ABCD，再建立空间直角坐标系，同条件①，可得CF与平面ADE所成角的正弦值．
本题考查空间线面位置关系的应用，属于中档题．
18.【答案】Ⅰ证明：四边形EDCF为矩形，，
平面平面ABCD，平面平面，
平面EDCF，平面
由题意，以D为原点，DA所在直线为x轴，
过D作平行于AB直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
则，，，，
，，
设平面ABE的法向量为，
则，，取，则，
所以平面ABE的一个法向量为，
又，，；
又平面ABE，平面ABE；
解：Ⅱ，，
设平面BEF的法向量为，
则，取，则，
则平面BEF的一个法向量为，
由Ⅰ知平面ABE的一个法向量为，
设平面ABE与平面EFB所成锐二面角为，
，
平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值是；
Ⅲ设，；，
，又平面ABE的一个法向量为，
设直线BP与平面ABE所成角为，
，
，
化简得，解得或；
当时，，；
当时，，；
综上，
【解析】本题主要考查利用向量方法解决立体几何的问题，属于较难题.
Ⅰ取D为原点，DA所在直线为x轴，过D作平行于AB的直线为y轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面ABE的法向量与向量，根据证明，从而证明平面ABE；
Ⅱ求平面BEF的法向量，再计算平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值；
Ⅲ设，，求向量与平面ABE的法向量所成角的余弦值，列出方程解方程得的值，从而求出的值．
19.【答案】证明：作出示意图如下：
取BE的中点F，连接AF，，
易得，均为等边三角形，
所以，，且，
因为，所以，
所以，又，
所以平面ABED，又平面，
所以平面平面ABED；
存在，；

【解析】证明：作出示意图如下：
取BE的中点F，连接AF，，
易得，均为等边三角形，
所以，，且，
因为，所以，
所以，又，
所以平面ABED，又平面，
所以平面平面ABED；
以F为坐标原点，FA所在直线为x轴，FB所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，
设，，，
即，
解得：，
故，
设平面的法向量为，
则，
则，取，
其中
则，
解得：或舍去，
所以存在点P，使得P到平面的距离为，此时；
由可得，
所以直线EP与平面所成角的正弦值为：
作出辅助线，得到，，且，由勾股定理逆定理求出，从而证明出线面垂直，面面垂直；
建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求解出点P的坐标，
根据可得，利用空间向量求线面夹角．
本题考查立体几何的综合应用，属中档题．