第4章 指数与对数 单元测试（含解析）-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

第4章 指数与对数 单元测试
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设，则（ ）
A. B. C. D.
2.求值：（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
3.若，则的值为（ ）
A. B. C. 3 D.
4.复利计算中，本金4万元，每期利率为，存期本利和为4.4万元，若存期，本利和为4.8万元，则利息为（ ）
A. 0.4万元 B. 0.5万元 C. 0.6万元 D. 0.7万元
5.若，，则（ ）
A. 0 B. C. D.
6.若，则的最小值为（ ）
A. 8 B. 6 C. D.
7.已知，且，则的值为（ ）
A. B. 21 C. D. 63
8.若方程的两根为，则的值是（ ）
A. B. 20 C. D.
二、多项选择题:本大题共3小题，每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.若，则下列说法中正确的有（ ）
A. 当为奇数时，的次方根为
B. 当为奇数时，的次方根为
C. 当为偶数时，的次方根为
D. 当为偶数时，的次方根为
10.下列运算正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. （）
11.若，则下列各式中恒等的是（ ）
A.
B.
C.
D.
三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.计算：的值为 。
13.已知是方程的两个实数根，则 。
14.若，且，则 。
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
(1) 计算：；
(2) 化简：（）。
16.(本小题满分15分)已知，且，
求的最小值。
17.(本小题满分15分)
(1) 已知，求的值；
(2) 已知，试用表示。
18.(本小题满分17分)已知集合，集合，若，
求的值。
19.(本小题满分17分)已知，
求证：。
答案解析
一、单项选择题
1.答案：D
解析：原式。
2.答案：C
解析：。
3.答案：C
解析：由得，故。
4.答案：A
5.答案：D
解析：。
6.答案：A
解析：由得，则，利用基本不等式得最小值8。
7.答案：A
解析：由得，得，，故，。
8.答案：A
解析：由韦达定理，，故，。
二、多项选择题
9.答案：AC
解析：当为奇数时，次方根唯一；当为偶数时，次方根为。
10.答案：BC
解析：A中结果为；D中需，这里，正确；B、C正确。
11.答案：ABD
解析：C中应为（正确，换底公式），故ABD正确。
三、填空题
12.答案：
解析：化简后直接计算得14。
13.答案：
解析：令，方程为，根为，即或反之，。
14.答案：
解析：令，方程为，即，解得。
四、解答题
15.(1) 解：
(2) 解：
16.解：令，方程为，即，解得正根，则，，通过二次函数性质求得最小值（具体计算略）。
17.(1) 解：由，得，，故原式。
(2) 解：。
18.解：因为，对数中真数，故，即。
则，。由集合元素互异性，且。又，则，故。
若，则（舍去），此时，验证得，，满足。
若，则，得（舍去）。
综上，，，故。
因此。
19.证明：由，两边除以得：。
取以10为底的对数：，即 ①。
同理，由得： ②。
由①得：，即（）。
由②得：，即（）。
故，交叉相乘得。
若，则①式变为，因，故，同理，此时等式两边均为0，也成立。
综上，得证。