第三章函数的概念与性质全章综合测试
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
1．下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（ C ）
A．A＝B＝Z，对应关系
B．A＝{x|x＞0，x∈R}，B＝R，对应关系f：x→y＝±x
C．A＝B＝R，对应关系f：x→y＝x2
D．A＝B＝R，对应关系
【解析】
A：因为集合A是整数集合，其中奇数除以2的结果不是整数，y不是x的函数；B：显然2∈A，此时y＝±2，有两个不同的实数与之对应，不符合函数的定义，y不是x的函数；C：因为任意一个实数的平方是一个确定的实数，符合函数的定义，y是x的函数；D：因为0∈A，但是没有意义，y不是x的函数．
2．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ B ）
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D．
【解析】
∵原函数的定义域为（﹣1，0），∴﹣1＜2x+1＜0，解得﹣1＜x．∴则函数f（2x+1）的定义域为．
3．下列函数中，不满足f（2x）＝2f（x）的是（ D ）
A．f（x）＝|x| B．f（x）＝x﹣|x| C．f（x）＝x+1 D．f（x）＝﹣x
【解析】
f（x）＝|x|，f（2x）＝|2x|＝2|x|＝2f（x），故满足条件；f（x）＝x﹣|x|，f（2x）＝2x﹣|2x|＝2（x﹣|x|）＝2f（x），故满足条件；f（x）＝x+1，f（2x）＝2x+1≠2（x+1）＝2f（x），故不满足条件；f（x）＝﹣x，f（2x）＝﹣2x＝2（﹣x）＝2f（x），故满足条件
4．函数的单调递增区间为（ C ）
A． B．（﹣∞，﹣1] C． D．
【解析】
对于函数，应有2x2﹣x﹣3≥0，求得x≤﹣1或x，故函数的定义域为（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）．再根据二次函数y＝2x2﹣x﹣3的性质，可得函数f（x）的增区间为[，+∞）．
5．已知函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2） xm﹣2是幂函数，且在（0，+∞）上递增，则实数m＝（ C ）
A．﹣1 B．﹣1或3 C．3 D．2
【解析】
由题意知：m2﹣2m﹣2＝1，即（m+1）（m﹣3）＝0，解得m＝﹣1或m＝3，∴当m＝﹣1时，m﹣2＝﹣3，则f（x）＝x﹣3在（0，+∞）上单调递减，不合题意；当m＝3时，m﹣2＝1，则f（x）＝x在（0，+∞）上单调递增，符合题意，∴m＝3
6．已知函数，满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有成立，则实数a的取值范围是（ C ）
A． B． C．（﹣∞，2] D．[﹣1，2]
【解析】
解：由已知，f（x）在R上单调递增，所以，解得，
所以实数a的取值范围是．
7．函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y＝f（x+2）是偶函数，则下列结论正确的是（ D ）
A．f（1）＜f（）＜f（） B．f（）＜f（1）＜f（）
C．f（）＜f（）＜f（1） D．f（）＜f（1）＜f（）
【解析】
函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，∴函数y＝f（x+2）在（﹣2，0）上是增函数；
又函数y＝f（x+2）为偶函数，∴函数y＝f（x+2）在（0，2）上是减函数，即函数y＝f（x）在（2，4）上为减函数；则函数y＝f（x）的图象如图所示，由图知：f（2）＞f（）＞f（1）＞f（）成立．
8．已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）在区间（﹣1，0]上单调递增，若实数a满足f（a）﹣f（1﹣a）≤0，则实数a的取值范围是（ C ）
A．[，+∞） B．（﹣∞，] C．（0，] D．（0，）
【解析】
根据题意，函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）在区间（﹣1，0]上单调递增，则f（x）在（﹣1，1）上是增函数，f（a）﹣f（1﹣a）≤0 f（a）≤f（1﹣a） ，解可得：0＜a，即a的取值范围为（0，]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列函数f（x）与g（x）表示同一函数的是（ CD ）
A．f（x）＝x﹣1， B．f（x）＝x2，
C． D．
【解析】
对于A：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x≠0}，故f（x），g（x）不是同一函数，故A错误；对于B：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是[0，+∞），故f（x），g（x）不是同一函数，故B错误；对于C：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是R，且g（x）x2＝f（x），故f（x），g（x）是同一函数，故C正确；对于D：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是R，且g（x）＝f（x），故f（x），g（x）是同一函数，故D正确．
10．定义在R上的函数f（x）满足f（0）＝f（x）+f（﹣x），f（x+2）＝﹣f（x），且f（x）在[﹣1，0]上是增函数，则下列结论正确的是（ ABC ）
A．f（2）＝f（0） B．f（x）在[1，2]上是减函数
C．f（x）的图象关于点（﹣2，0）对称 D．f（x）的图象关于直线x＝2对称
【解析】
根据题意，依次分析选项：对于A，函数f（x）满足f（0）＝f（x）+f（﹣x），令x＝0，可得f（0）＝f（0）+f（0），变形可得f（0）＝0，又f（x+2）＝﹣f（x），令x＝0，有f（2）＝﹣f（0）＝f（0），A正确，对于B，由于f（0）＝f（x）+f（﹣x）＝0，即f（﹣x）＝﹣f（x），故f（x）是奇函数，若f（x）在[﹣1，0]上是增函数，则f（x）在[0，1]上也是增函数，则有f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），故f（x）关于x＝1对称，所以f（x）在[1，2]上是减函数，B正确，对于C，由f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）＝﹣f（﹣x） f（x+4）+f（﹣x）＝0，故f（x）关于（2，0）对称，结合f（x）为奇函数，故f（x）的图象关于（﹣2，0）对称，故C正确，对于D，因为f（x+2）＝﹣f（x），所以f（3）＝﹣f（1），又f（x）在[1，2]上是减函数，所以f（1）＞f（2）＝0，故f（3）＝﹣f（1）＜f（1），即f（3）≠f（1），则x＝2不是f（x）的对称轴，故D错误．
11．设函数，给出下列四个结论：正确的是（ ACD ）
A．函数f（x）的值域是R
B． x1，x2∈（﹣2，+∞），（x1≠x2），有
C．若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（﹣3，+∞）
D． x0＞0，使得f（﹣x0）＝f（x0）
【解析】
根据题意作出f（x）的图象：对于选项A：由函数图象可知f（x）的值域是R，故A正确；对于选项B：例如x1＝0，x2＝1，可得，故B错误；对于选项C：不妨设x1＜x2＜x3，由函数图象可知x1+x2＝﹣4，因为f（﹣2）＝﹣1，则﹣1＜f（x3）＜0，即，解得x3＞1，可得x1+x2+x3＝﹣4+x3＞﹣4+1＝﹣3，所以x1+x2+x3的取值范围是（﹣3，+∞），故C正确；对于选项D：将y＝f（x），x＜0的图象关于y轴对称可得y＝g（x）的图象，由图象可知：，y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有交点，所以 x0＞0，使得f（﹣x0）＝f（x0），故D正确．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12．已知函数的定义域为R，求实数k的取值范围 _ ．[）
【解析】
的定义域为R，则，解得，故实数k的取值范围为[）．
13．已知函数，若f（0）是f（x）的最小值，则实数a的取值范围为 ．[0，4]
【解析】
因在上单调递减，在上单调递增，所以为使f（0）是f（x）的最小值，则需，即2+2+3a≥a2，得﹣1≤a≤4，若0≤a≤4，则f（x）＝（x﹣a）2在（﹣∞，0）上单调递减，此时f（0）是最小值，符合题意；若﹣1≤a＜0，则f（x）＝（x﹣a）2在（﹣∞，a）上单调递减，在（a，0）上单调递增，此时f（0）不是最小值，不符合题意；综上可得，实数a的取值范围为[0，4]．
14．a为实数，函数f（x）＝|x2﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当a＝ 时，g（a）的值最小．22
【解析】
对函数f（x）＝|x2﹣ax|＝|（x）2|分下面几种情况讨论：①当a≤0时，f（x）＝x2﹣ax在区间[0，1]上单调递增，∴f（x）max＝g（1）＝1﹣a；②当0＜a≤22时，，f（1）＝1﹣a，∵（1﹣a）2＜0，∴f（x）max＝g（1）＝1﹣a；
③当22＜a≤1时，f（x）max＝g（a）；综上所述，g（a），
∴g（a）在（﹣∞，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，∴g（a）min＝g（）；
④当1＜a＜2时，g（a）＝f（）；⑤当a≥2时，g（a）＝f（1）＝a﹣1；综上，当a时，g（a）min＝3﹣2．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知函数．
（1）求；
（2）若f（a）＝1，求实数a的值；
（3）作出函数y＝f（x）在[﹣2，2）区间内的图像．
【解析】
（1）易知；
（2）当a＞1时，a2﹣3＝1，解得a＝2或a＝﹣2（舍），当a≤1时，2a+1＝1，解得a＝0，满足要求，
综上可得a＝2或0；
（3）由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示：
16．（本小题满分15分）已知函数，f（1）＝2．
（1）判断该函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明．
【解析】
（1）由f（1）＝2可得a＝﹣1，所以，易知定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称且满足，所以为奇函数；
（2）函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，证明如下：任取 x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，
则，由x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞1，因此可得f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
即f（x）在（1，+∞）上是增函数．
17．（本小题满分15分）为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本5万元，当年产量x（单位：万件）低于10万件时，流动成本W（x）x2+3x（万元），当年产量x（单位：万件）不低于10时，W（x）＝8x50（万元）．经调研，每件水果箱售价为7元，每年加工的水果箱能全部售完．
（1）求年利润f（x）关于年产量x（单位：万件）的函数关系式；（注：年利润＝年销售额﹣固定成本﹣流动成本）
（2）求年产量x（单位：万件）为多少时，年利润f（x）取得最大值，并求出f（x）的最大值．
【解析】
（1）当0＜x＜10时，f（x）＝7x﹣（x2+3x）﹣5x2+4x﹣5，当x≥10时，f（x）＝7x﹣（8x50）﹣5＝45﹣（x），所以利润函数为；
（2）当0＜x＜10时，，此时x＝8，f（x）max＝11；
当x≥10时，，当且仅当，即x＝12时取得等号．
因为11＜21，所以年产量为12万件时，年利润f（x）取得最大值21万元．
18．（本小题满分17分）已知函数f（x）的定义域为R+，对任意的a，b∈R+，都有f（a）+f（b）＝f（ab）．当0＜x＜1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值，并证明：当x＞1时，f（x）＜0；
（2）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3）若f（2）＝﹣1，求不等式f（ax2+x﹣ax+1）+1＜0的解集．
【解析】
（1）对于函数f（x），其定义域为R+，且对任意的a，b∈R+，都有f（a）+f（b）＝f（ab），
令a＝b＝1，有f（1）+f（1）＝f（1），变形可得：f（1）＝0，下面证明当x＞1时，f（x）＜0：
因为0＜x＜1时，f（x）＞0，而当x＞1时，有，则，令，得，所以，结论成立；
（2）根据题意，f（x）在其定义域上单调递减，证明如下：
不妨设0＜x1＜x2，则，故有，令，则，所以，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）在R+上单调递减；
（3）由f（ax2+x﹣ax+1）+1＜0，得f（ax2+x﹣ax+1）＜﹣1，又f（2）＝﹣1，所以f（ax2+x﹣ax+1）＜f（2），由（2）知f（x）在R+上单调递减，所以ax2+x﹣ax+1＞2，所以ax2+（1﹣a）x﹣1＞0，
所以（ax+1）（x﹣1）＞0，当a＞0时，不等式为，由于1，则此时解集为；当a＝0时，不等式为x﹣1＞0，此时解集为（1，+∞）；当a＜0时，不等式为，若a＝﹣1时，则，此时解集为 ，若﹣1＜a＜0时，则，此时解集为，
若a＜﹣1时，则，此时解集为，综上所述：a＜﹣1时，不等式的解集为，a＝﹣1时，不等式的解集为 ，﹣1＜a＜0时，不等式的解集为，当a＝0时，不等式的解集为（1，+∞），a＞0时，不等式的解集为．
19．（本小题满分17分）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数值y的取值区间恰为[，]，就称区间[a，b]为f（x）的一个“倒域区间”．定义在[﹣2，2]上的奇函数g（x），当x∈[0，2]时，g（x）＝﹣x2+2x．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”；
（3）若函数g（x）在定义域内所有“倒域区间”上的图象作为函数y＝h（x）的图象，是否存在实数m，使集合{（x，y）|y＝h（x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素．
【解析】
（1）当x∈[﹣2，0）时，g（x）＝﹣g（﹣x）＝﹣[﹣（﹣x）2+2（﹣x）]＝x2+2x
g（x）
（2）设1≤a＜b≤2，∵g（x）在x∈[1，2]上递减，∴，整理得，解得．∴g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为[1，]．
（3）∵g（x）在x∈[a，b]时，函数值y的取值区间恰为[，]，其中a≠b，a、b≠0，
∴，∴a、b同号，只考虑0＜a＜b≤2或﹣2≤a＜b＜0，当0＜a＜b≤2时，根据g（x）的图象知，g（x）最大值为1，1，a∈[1，2），∴1≤a＜b≤2，由（2）知g（x）在[1，2]内的“倒域区间”为[1，]；当﹣2≤a＜b＜0时间，g（x）最小值为﹣1，1，b∈（﹣2，﹣1]，∴﹣2≤a＜b≤﹣1，同理知g（x）在[﹣2，﹣1]内的“倒域区间”为[，﹣1]．h（x）依题意，抛物线与函数h（x）的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限．因此，m应当使方程x2+m＝﹣x2+2x，在[1，]内恰有一个实数根，并且使方程x2+m＝x2+2x，在[，﹣1]内恰有一个实数根，由方程2x﹣2x2＝m在[1，]内恰有一根知﹣2≤m≤0；由方程x2+m＝x2+2x在[，﹣1]内恰有一根知﹣1m≤﹣2，综上，存在实数m＝﹣2，满足条件．第三章函数的概念与性质全章综合测试
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。
1．下列从集合A到集合B的对应关系，其中y是x的函数的是（ ）
A．A＝B＝Z，对应关系
B．A＝{x|x＞0，x∈R}，B＝R，对应关系f：x→y＝±x
C．A＝B＝R，对应关系f：x→y＝x2
D．A＝B＝R，对应关系
2．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（ ）
A．（﹣1，1） B． C．（﹣1，0） D．
3．下列函数中，不满足f（2x）＝2f（x）的是（ ）
A．f（x）＝|x| B．f（x）＝x﹣|x| C．f（x）＝x+1 D．f（x）＝﹣x
4．函数的单调递增区间为（ ）
A． B．（﹣∞，﹣1] C． D．
5．已知函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2） xm﹣2是幂函数，且在（0，+∞）上递增，则实数m＝（ ）
A．﹣1 B．﹣1或3 C．3 D．2
6．已知函数，满足：对任意x1，x2∈R，当x1≠x2时，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．（﹣∞，2] D．[﹣1，2]
7．函数y＝f（x）在（0，2）上是增函数，函数y＝f（x+2）是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（1）＜f（）＜f（） B．f（）＜f（1）＜f（）
C．f（）＜f（）＜f（1） D．f（）＜f（1）＜f（）
8．已知函数f（x）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且f（x）在区间（﹣1，0]上单调递增，若实数a满足f（a）﹣f（1﹣a）≤0，则实数a的取值范围是（ ）
A．[，+∞） B．（﹣∞，] C．（0，] D．（0，）
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列函数f（x）与g（x）表示同一函数的是（ ）
A．f（x）＝x﹣1， B．f（x）＝x2，
C． D．
10．定义在R上的函数f（x）满足f（0）＝f（x）+f（﹣x），f（x+2）＝﹣f（x），且f（x）在[﹣1，0]上是增函数，则下列结论正确的是（ ）
A．f（2）＝f（0） B．f（x）在[1，2]上是减函数
C．f（x）的图象关于点（﹣2，0）对称 D．f（x）的图象关于直线x＝2对称
11．设函数，给出下列四个结论：正确的是（ ）
A．函数f（x）的值域是R
B． x1，x2∈（﹣2，+∞），（x1≠x2），有
C．若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是（﹣3，+∞）
D． x0＞0，使得f（﹣x0）＝f（x0）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12．已知函数的定义域为R，求实数k的取值范围 ．
13．已知函数，若f（0）是f（x）的最小值，则实数a的取值范围为 ．
a为实数，函数f（x）＝|x2﹣ax|在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当a＝
时，g（a）的值最小．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分13分）
已知函数．
（1）求；
（2）若f（a）＝1，求实数a的值；
（3）作出函数y＝f（x）在[﹣2，2）区间内的图像．
16．（本小题满分15分）已知函数，f（1）＝2．
（1）判断该函数的奇偶性，并说明理由；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明．
17．（本小题满分15分）为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本5万元，当年产量x（单位：万件）低于10万件时，流动成本W（x）x2+3x（万元），当年产量x（单位：万件）不低于10时，W（x）＝8x50（万元）．经调研，每件水果箱售价为7元，每年加工的水果箱能全部售完．
（1）求年利润f（x）关于年产量x（单位：万件）的函数关系式；（注：年利润＝年销售额﹣固定成本﹣流动成本）
（2）求年产量x（单位：万件）为多少时，年利润f（x）取得最大值，并求出f（x）的最大值．
18．（本小题满分17分）已知函数f（x）的定义域为R+，对任意的a，b∈R+，都有f（a）+f（b）＝f（ab）．当0＜x＜1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值，并证明：当x＞1时，f（x）＜0；
（2）判断f（x）的单调性，并证明你的结论；
（3）若f（2）＝﹣1，求不等式f（ax2+x﹣ax+1）+1＜0的解集．
19．（本小题满分17分）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数值y的取值区间恰为[，]，就称区间[a，b]为f（x）的一个“倒域区间”．定义在[﹣2，2]上的奇函数g（x），当x∈[0，2]时，g（x）＝﹣x2+2x．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”；
（3）若函数g（x）在定义域内所有“倒域区间”上的图象作为函数y＝h（x）的图象，是否存在实数m，使集合{（x，y）|y＝h（x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素．
