第四章 指数函数与对数函数 单元测试（含解析）-2025-2026学年高一上学期数学人教（A）版必修第一册

第四章 指数函数与对数函数
单元测试
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.化简 的结果是( )
A. B. C. D.
2.（2025浙江省G5联盟期中）已知函数,且 的图象恒过定点
,则函数 的图象不经过( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.（2025江苏泰州兴化中学期末）已知是函数的零点, 是函
数的零点,则 的值所在的区间为( )
A. B. C. D.
4.（2025湖南长沙检测）函数 的图象大致为( )
5.（2024广州市越秀区期末）若 ,则( )
A. B. C. D.
6.（2025江西南昌期中）已知关于的函数在 上单调
递增,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.（2025湖北武汉期末）已知函数.若, , ,则,, 的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.（2025福建福州二中期中）已知函数是偶函数, ,
在上的解析式为,,则与 的图象交点个数为
( )
A.104 B.100 C.52 D.50
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.（2024山东省实验中学阶段练习）下列比较大小关系正确的是( )
A. B.
C. D.
10.（2025黑龙江哈尔滨期末）已知函数,且 ,则下
列结论正确的是( )
A.若,则 是增函数
B.若,则方程的解为和
C.若,则的值域为
D.若有最大值,则实数的取值范围是
11.（2025重庆名校联盟期中）对于任意两个正数,,记曲线与直线 , ,轴围成的曲边梯形的面积为,并约定和 ,德国数学家莱布尼茨最早发现.关于 ,下列说法正确的是
( )
A. B.
C. D.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.（2025福建莆田二中月考）已知当时,有解,则实数 的取值范围
是_______.
13.（2025陕西汉中期末）“打水漂”是一种游戏:按一定方式投掷石片,使石片在水面上实现多次弹跳,弹跳次数越多越好.小乐同学在玩“打水漂”游戏时,将一石片按一定方式投掷出去,石片第一次接触水面时的速度为 ,然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素,假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的 ,若石片接触水面时的速度低于 ,石片就不再弹跳,沉入水底,则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为___.参考数据:,,
14.（2024天津市南开中学期末）已知函数 若方程有3个不等的实根,则实数 的取值范围是______；函数 的零点个数是___.（本题第一空2分,第二空3分）
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）（2025天津市南开区质检）计算:
（1） ；
（2） .
16.（15分）（2025江苏镇江扬中二中期中）已知 , }.
（1） 求 ；
（2） 已知函数, ____.请从,中选一个补充在横线上,求函数的最大值并求函数取最大值时 的值.
注：若选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
17.（15分）（2025北京清华大学附属中学期末）俄罗斯航天之父齐奥尔科夫斯基于1903年推导出火箭的理想速度公式为,其中为火箭的初始质量, 为火箭燃烧完毕熄火后的剩余质量,称为火箭的质量比, 为火箭的发动机的喷气速度.100多年来,所有的大小火箭都遵循齐奥尔科夫斯基公式的基本规律.已知某型号火箭的发动机的喷气速度为第一宇宙速度 .
（1） 当该型号火箭的质量比为10时,求该型号火箭的理想速度；
（2） 经过材料更新和技术改进后,某型号火箭的发动机的喷气速度提高到了原来的2倍, 质量比缩小为原来的,若要使火箭的理想速度至少增加 ,求在材料更新和技术改进前质量比的最小整数值.参考数据：,,
18.（17分）（2024江西南昌二中阶段练习）已知函数,函数 的图象与
的图象关于直线 对称.
（1） 若函数在上单调递减,求实数 的取值范围；
（2） 不等式在上恒成立,求实数 的取值范围.
19.（17分）（2025江西上饶期末）已知函数和的定义域分别为和 ,若对任
意的,都存在个不同的实数,,, ,,使得（其中 ,
2,3, ,,,则称为的“ 重覆盖函数”.
（1）（ⅰ） 判断是否为, 的“2重覆盖函数”？请说明理
由.
（ⅱ） 设是,的“重覆盖函数”,求 的值.
（2） 若为, 的“2重覆盖函
数”,求实数 的取值范围.
参考答案
1.B【解析】 由题意,得,即,所以
.
2.C【解析】 ,且 的图象恒过定点 ,
,, 为减函数,且图象过点
, ,大致图象如图所示,
由图象可知，函数 的图象不经过第三象限.
3.C【解析】 因为,在 内均单调递增,
可知函数在定义域内单调递增,且, ,
可知函数存在唯一零点 ,（零点存在定理）
注意到,即 ,
且是函数的零点,可得,即 ,
结合选项可知的值所在的区间为 .
4.B【解析】 记,函数的定义域是 ,
,所以函数为偶函数,其图象关于 轴对称,故D错误；
当且时,,,即,图象在 轴下方,故A,C错误.
5.D【解析】 因为 ,
所以 ,
即,即,,所以 .
6.A【解析】 由题意,函数在上单调递减,而函数
在上单调递增,则函数在 上单调递减（判断复合函
数单调性口诀:“同增异减”）,且对于 恒成立,
则解得 .
7.D【解析】 因为的定义域为,且,可知 为偶函数,
则 ,
又因为当时,在 内单调递增,
且, ,
可知,所以 .
8.B【解析】 由题意可得是以4为周期的周期函数,且与 的图象都关于直线
对称,由,求得或,从而可得两函数图象在 上有交
点,再结合图象和周期可求得结果.
因为函数是偶函数,所以,所以的图象关于直线 对称.令,则,得,所以 ,所以
,所以,所以 是以4为周期的周期函数.
因为在上的解析式为,的图象关于直线对称,所以 的图象
如图所示,
的图象关于直线对称,的值域为 ,
当时,,令,得 ,
当时,,令,得 ,
因为 ,由图象可知两函数图象在每个周期内都有2个交点,
所以与的图象交点个数为 .
9.AC【解析】 由幂函数在上为增函数,得 .
又指数函数为减函数,则,从而 .
,, ,（消除底数差异,利用对数函数单
调性比较大小）
又对数函数在上单调递增,则 ,
结合反比例函数在上单调递减,则 ,
即 .
10.AD【解析】 由,得
由,得在上单调递增；由,得在 上单
调递增.
当时,,,,则 是增函数.
,则若,则时, ,解得
（舍去）；时,,解得 （舍去）.
,则
,则函数在上单调递增,即 ；
,则函数在上单调递增,即 ,
故的值域为 .
当时,在 上单调递增,无最大值.
当时,在上单调递增,在上单调递减,即 有可能存在最大值.
当时,易知,当时,,若 有最
大值,则,解得.故的取值范围是 .
11.ABC【解析】 由题意得,所以 .
当时, ；（画出图形,根据所围曲边梯形的面
积关系得到）
当时, ；
当时, ；
当或时, 也成立.
综上所述, .
,,所以 ；
,
且,所以 ；
如图,因为,所以 ,
即 ；
取, ,则
.
12.
【解析】 因为当时, ,
当时,在上单调递增,且 ,
显然 无解,故舍去；
当时,在上单调递减,且 ,
要使当时,有解,只需解得 ；
综上，可得实数的取值范围是 .
13. 4 【解析】 设这次“打水漂”石片的弹跳次数为,由题意得,即 ,得.因为,所以,故 .
14. 、4【解析】 作出 的大致图象如图.
若方程有3个不等的实根,（等价于函数与 的图象有3个不同的交
点）由图象可得实数的取值范围是 .
令,则,可得,且,作出直线 ,如图,
结合图象可知方程的一个根,另一个根 ,
当时,与的图象有1个交点（内横）,所以 有1个实根,
当时,与的图象有3个交点,所以 有3个不等实根,
综上所述, 共有4个零点.
15.（1）【答案】
.（6分）
（2）【答案】
.（13分）
16.（1）【答案】由题意得则解得,所以
.（4分）
（2）【答案】 由题意得,则,所以 .（6分）
.
若选①：.函数, ,（10分）
令,则,,所以当时, ,此时
.所以当时, 取得最大值0.（15分）
若选②：.函数, ,（10分）
令,则,,所以当时, ,此
时,得,所以当时,取得最大值 .（15分）
17.（1）【答案】依题意, .（3分）
（2）【答案】 技术改进前的理想速度 ,
技术改进后的理想速度 ,（7分）
要使火箭的理想速度至少增加 ,
则,即 ,（10分）
因此 ,
即,所以 ,
所以在材料更新和技术改进前质量比的最小整数值为7.（15分）
18.（1）【答案】依题意 ,
在 上单调递减,（3分）
令,则在上单调递增,且对 恒成立.
（4分）
且,.故的取值范围为 .（6分）
（2）【答案】 依题意有,且, .（8分）
不等式在 上恒成立,
即在 上恒成立,（12分）
,即在上恒成立,当 时不等式成立,当
时,,在上恒成立, ,（15分）
令,,则 ,
而在上单调递增,, .
综上,的取值范围为 .（17分）
19.（1）（ⅰ）【答案】不是, 的“2重覆盖函数”,（2分）
理由如下:不妨取,则 ,
令,解得 ,仅1解,不符合定义,
所以不是, 的“2重覆盖函数”.（4分）
（ⅱ）【答案】 ,则,令 ,
所以 ,
令,则,,且 ,
,
所以总有两个不相等的正根, ,
又因为,所以,,, ,四个根互不相等且非零,
所以是,的“4重覆盖函数”,故 .（9分）
（2）【答案】 当,由指数函数性质可知 单调递增,
所以 ,
因为为, 的“2重覆数函数”,
即, 总有两个不同的实根.（11分）
当时,在 上单调递增,所以 ,如图1,
此时,的图象恒有一个交点,所以 恒有一个实根,
故当时, 也需恒有一个实根；（13分）
当时, ,如图2,
此时,的图象恒有一个交点,所以 恒有一个实根, 符合要求；
当时, 是开口向下的二次函数且有最大值,
所以, 恒有一个实根不成立,故不满足要求；
当时, 图象的对称轴为 .
若,即,在上单调递减,在 上单调递增,要满足条件,
则,解得，又 ，所以不等式无解；（15分）
若,即,在 上单调递减,
,要满足条件, 则,解得 ,所以
.
综上所述,的取值范围是 .（17分）