第一章 空间向量与立体几何 综合培优测试卷（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2025-2026高中数学选择性必修第一册第一章综合培优测试卷
空间向量与立体几何
满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在试卷上
一、单选题（共40分）
1．（本题5分）已知向量，若三点共线，则（ ）
A． B． C．2 D．8
2．（本题5分）已知向量，则向量在向量上的投影为（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题5分）如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则=（ ）
A． B．
C． D．
4．（本题5分）已知在空间四边形中，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（本题5分）已知正三棱锥的底面的边长为，是空间中任意一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（本题5分）如图，在棱长为2的正方体中，E、F分别为棱的中点，G为面对角线上的一个动点，则下列选项中不正确的是（ ）
A．三棱锥的体积为定值
B．线段上存在点G，使平面EFG
C．线段上存在点G，使平面平面
D．设直线FG与平面所成角为，则的最大值为
7．（本题5分）已知直四棱柱的底面为矩形，，，，平面，，则三棱锥的体积为（ ）
A． B．5 C．4 D．
8．（本题5分）记空间中的一些点构成的集合为为原点，且对任意，都存在不全为零的实数，使得，若，则下列结论可能成立的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
二、多选题（共18分）
9．（本题6分）已知点，，向量，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
10．（本题6分）正方体的棱长为2，为的中点，则（ ）
A． B．与所成角余弦值为
C．面与面所成角正弦值为 D．与面的距离为
11．（本题6分）已知正四棱台的各个顶点都在球的表面上，，，，是线段上一点，且，下列选项正确的（ ）
A．当时，过点作球的截面的最小面积
B．当时，多面体
C．到平面距离是2
D．与平面的夹角正弦值是
三、填空题（共15分）
12．（本题5分）已知两个平面，的法向量分别是和，若，则 ．
13．（本题5分）正四面体的棱长为6，点是该正四面体内切球球面上的动点，当取得最小值时，的面积为 .
14．（本题5分）已知直三棱柱，，，点为此直三棱柱表面上一动点，且，当取最小值时，的值为 .
四、解答题（共77分）
15．（本题13分）如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点．

(1)求的值；
(2)求证：；
16．（本题15分）如图，在梯形ABCD中，，，，E为边AD上的点，，，将沿直线CE翻折到的位置，且，连接PA，PB．
(1)证明：；
(2)Q为线段PA上一点，且，若二面角的大小为，求实数λ的值．
17．（本题15分）如图所示，多面体中，∥∥，平面平面，，且，，.
(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.
18．（本题17分）如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点P不在平面ABC内）（如图2），点F在线段PB上（不含端点）．
(1)证明：；
(2)若．
（ⅰ）当点F为线段PB的中点时，求直线PB与平面ACF所成角的大小；
（ⅱ）设平面ACF与平面PBC的夹角为，求的取值范围．
19．（本题17分）如图1，在梯形中，，是线段上的一点，，，将沿翻折到的位置.
(1)如图2，若二面角为直二面角，，分别是，的中点，若直线与平面所成角为，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的取值范围；
(2)我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，点为线段的中点，，分别在线段，上（不包含端点），且为，的公垂线，如图3所示，记四面体的内切球半径为，证明：.
《2025-2026高中数学选择性必修第一册第一章综合培优测试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A A A C A B AC AD
题号 11
答案 ABC
1．A
【难度】0.94
【知识点】空间向量平行的坐标表示
【分析】根据三点共线得向量共线，然后根据向量共线的坐标形式列式计算即可.
【详解】因为三点共线，所以与共线，又向量，
所以，所以，所以.
故选：A
2．B
【难度】0.94
【知识点】空间向量夹角余弦的坐标表示
【分析】向量在向量上的投影为
【详解】因为，所以，
所以向量在向量上的投影为
故选:B.
3．A
【难度】0.85
【知识点】从平面向量到空间向量、空间向量的加减运算
【分析】根据空间向量的加减法运算法则，直接写出向量的表达式，即可得答案.
【详解】
=,
故选：A.
4．A
【难度】0.85
【知识点】空间向量的加减运算、空间向量加减运算的几何表示
【分析】
根据得到G为CD的中点，再利用平行四边形法则得到，最后代入计算即可.
【详解】因为，故G为CD的中点，如图，
由平行四边形法则可得，
所以.
故选：A.
5．A
【难度】0.65
【知识点】空间向量的加减运算、求空间向量的数量积
【分析】设中点为，连接，设中点为，连接，，，利用转化法求向量数量积的最值即可.
【详解】设中点为，连接，设中点为，连接，，，
则，
，
当与重合时，取最小值0，
此时有最小值.
故选：.
6．C
【难度】0.65
【知识点】锥体体积的有关计算、空间位置关系的向量证明、线面角的向量求法
【分析】对于A选项，利用等体积法判断；对于B、C、D三个选项可以建立空间直角坐标系，利用空间向量求解
【详解】对于A，易得平面平面，所以到平面的距离为定值，又为定值，所以三棱锥即三棱锥的体积为定值，故A正确．
对于B,如图所示,以为坐标原点, 为轴, 为轴, 为轴, 建立空间直角坐标系,则，,，，，
所以，，，，
设（），则，
所以，，
若平面，所以即，
解得，
所以当为线段上靠近的四等分点时，平面，故B正确；
对于C，设平面的法向量，
则，取，则，则，
设平面的法向量,
则，取,则，则,
若平面平面，则，
设,即,解得，，不合题意，
线段上不存在点,使平面/平面，故C错误；
对于D，平面的法向量为，则，
因为，
所以，
所以的最大值为，故D正确
故选：C
7．A
【难度】0.4
【知识点】锥体体积的有关计算、空间向量与立体几何综合
【详解】如图，以为坐标原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系.

则，，，，，，
则，，，，.
设平面的法向量为，则,
令，可得．
设，，则，
由可知，解得，则，即．
又在中,为的中点，所以为的重心，则，
故．
故选：A.
8．B
【难度】0.4
【知识点】空间向量的坐标运算
【分析】根据题意，利用，逐项得到关于的方程组，检验是否满足题意即可得解.
【详解】对于A选项，设，，，
设存在实数，，使得，
即，
则，解得，不满足条件，故A错误；
对于B选项，设，，，
设存在实数，，使得，
即，
则，令，则，，
满足存在不全为零的实数，，的条件，故B正确；
对于C选项，设，，，
设存在实数，，使得，
即，
则，解得，不满足条件，故C错误；
对于D选项，设，，，
设存在实数，，使得，
即，
则，解得，不满足条件，故D错误；
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解题设给出的定义，从而逐项列式检验即可得解.
9．AC
【难度】0.85
【知识点】空间向量的坐标表示、空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示
【分析】由题知，再依次求模可判断A，B选项，根据向量垂直的坐标表示解方程即可判断CD选项.
【详解】解：因为点，，所以，
所以，故A正确，B错误；
若，则，得，故C正确，D错误．
故选：AC
10．AD
【难度】0.65
【知识点】空间位置关系的向量证明、异面直线夹角的向量求法、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法
【分析】本题建立空间直角坐标系，利用空间向量可解决线线垂直、异面直线所成的角的相关问题、二面角的相关问题，以及解决空间一点到面的距离问题.
【详解】根据题意建立如图所示的空间直角坐标系
正方体的棱长为2，易求、、、、、、、、.
选项A：因为，，所以
所以，故A正确.
选项B：因为，，所以，设异面直线和所成的角为，则：，故B不正确.
选项C：易求平面的法向量.
设平面的法向量为，易求,，
由，令，则.
设平面与平面所成角为，则,
，即，故选项C不正确.
选项D：因为平面的法向量为，，
设到平面的距离为，向量与法向量的夹角为，
则：,故选项D正确.
故选：AD.
11．ABC
【难度】0.4
【知识点】多面体与球体内切外接问题、求点面距离、线面角的向量求法
【分析】先确定球的半径，然后建立空间直角坐标系.对于A，利用垂直截面时，截面面积最小求解即可；对于B，利用等体积法求解即可；对于C，将平面转化为面求解即可；对于D，利用空间向量求解线面角即可.
【详解】
设正四棱台上下底面所在圆面的半径分别为，圆心为，连接，，
过作的垂线垂足为，过作的垂线垂足为，
可得，,即，
且正四棱台的高,
设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，
可得，，故或，
即或，解得,
故，即为球心.
易得，两两垂直，故以为原点，建如图所示空间直角坐标系，
则
故，
对于A，当时，，故，
故，
过点作球的截面，当垂直截面时，截面面积最小，
此时截面半径为,
最小面积，故A正确；
对于B，当时，，
故,
故B正确；
对于C，到平面距离即到平面的距离，
易知垂直平面，
故到平面的距离为，故C正确；
对于D，设平面的法向量为，
则令，解得.
设与平面的夹角正弦值是，
则，故D错误.
故选：ABC
12．4
【难度】0.94
【知识点】空间向量平行的坐标表示、平面法向量的概念及辨析
【分析】由，可得两平面的法向量也平行，从而列方程可求出的值，进而可求得答案
【详解】解：因为两个平面，的法向量分别是和，且，
所以，解得，
所以，
故答案为：4
13．
【难度】0.65
【知识点】锥体体积的有关计算、求空间向量的数量积
【分析】利用等体积法求得正面体内切球的半径为，取的中点为，利用向量的运算得到，易知当的长度最小时，取得最小值，由是的中点，则三点共线求解.
【详解】解：由正四面体的棱长为6，则其高为，
则其体积为，
设正四面体内切球的半径为，
则，解得，
如图，

取的中点为，
则，
显然，当的长度最小时，取得最小值，
设正四面体内切球的球心为，可求得，
则球心到点的距离，
所以内切球上的点到点的最小距离为，
是的中点，三点共线，
，
在中，边上的高为.
.
故答案为：
14．/
【难度】0.4
【知识点】空间向量的数乘运算、空间向量与立体几何综合
【分析】首先由可得是在以为球心半径为4的球面上，进而得到其在平面的交线，故取值最小时，，，三点共线，利用平面几何的运算可计算出在上的投影，进而得到答案.
【详解】由可得是在以为球心半径为4的球面上，
由于，，
取值最小时，其在平面内，
其在平面的交线为如图所示的圆弧.
故取值最小时，，，三点共线，
通过点往作垂线，垂足为，则，
则，故，
代入解得，从而，
因此
.
故答案为：.
关键点点睛：本题考查立体几何中点的轨迹问题，解题关键是找到点在平面的运动轨迹．进而得到取值最小时，，，三点共线，然后通过点往作垂线，垂足为，进而可计算出在上的投影，进而得到答案.
15．(1)
(2)证明见解析
【难度】0.85
【知识点】求空间向量的数量积
【分析】（1）由向量的线性运算及数量积的运算律计算即得；
（2）计算得到即可证明.
【详解】（1）正方体中，，，
有，，
所以.
（2）证明：正方体中，，，
有，，
因为M和N分别是和的中点，则N为的中点，
所以且，即，
则有，
所以．
16．(1)证明见解析；
(2).
【难度】0.85
【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面角的向量求法、已知面面角求其他量
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得平面PAE，然后利用面面垂直的判定定理及性质定理可得平面，进而可得平面POC，即得；
（2）利用坐标法，根据面面角的向量求法结合条件即得.
【详解】（1）因为，所以，，又，PE、平面PAE，
所以平面PAE，平面ABCE，
所以平面平面PAE．
在梯形ABCD中，，所以，
所以在四棱锥中，．
因为，所以为正三角形．
取AE中点O，连接PO，OB，OC，易得，，
因为平面平面PAE，平面平面，平面可得平面，平面,
所以．
又，，，所以四边形OBCE为正方形，所以，
又，OC、平面POC，
所以平面POC，因为平面POC，所以;
（2）由（1）知OA，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，以OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则：，，，，
由得，
则，，设平面QBC的一个法向量为，
故即，令，得，，
所以，
易知平面ABC的一个法向量为，
所以，
解得或（舍）．
所以实数的值为．
17．(1)证明见解析；
(2).
【难度】0.65
【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法
【分析】(1)由题意可得四边形为平行四边形，利用∥，由∥，，可得，平面平面，得平面，即可证明.
（2）由题意可证明故，，两两垂直，建立坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：∵∥且，所以四边形为平行四边形，
所以∥，
又∥，，
∴，
又平面平面，且平面平面，
∴平面，平面，
∴.
（2）解：连接，，
因为，，
所以，
又，所以，
因为，且，
所以平面，
因为∥，所以平面，
又因为平面，
所以，
故，，两两垂直，
因为，，所以.
如图所示建系，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，
直线与平面所成角正弦值为：
.
18．(1)证明见解析；
(2)（ⅰ）直线PB与平面所成角为;（ⅱ）.
【难度】0.4
【知识点】线面垂直证明线线垂直、线面角的向量求法、面面角的向量求法
【分析】（1）取中点为，由题意可得，再结合线面垂直的判定定理及性质定理即可证明；
（2）（i）以为原点建立直角坐标系，求以及平面的法向量，利用即可；（ii）利用二面角的向量求法可得，令，则，可得，所以，即可求解.
【详解】（1）证明：取中点为，连接，
因为，
所以，
又因为，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（2）（i）因为为等腰三角形，，即，所以，
因为为等边三角形，所以，
故，，因，则，即，
又因，所以两两互相垂直，
以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系，
，F为线段PB的中点，
则，，
设平面的法向量为，
则，
取，得，
所以，
设直线PB与平面所成角为，则，
又，则，
所以直线PB与平面所成角为，
（ii）设平面的法向量为，
，
则，
取，得，
设，所以，
所以，
则平面的法向量为，
则，
取，得，
所以
，
令，则，
所以，
因为时，，
所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查线面角、二面角的向量求法，关键是需要建立空间直角坐标系，由（1）知平面，所以需证明，设，
以为基底来表示与，结合题意即可证明，可得两两互相垂直，从而以为原点，为基底，建立空间直角坐标系.
19．(1)
(2)证明见解析
【难度】0.15
【知识点】多面体与球体内切外接问题、线面角的向量求法、面面角的向量求法
【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，根据求出的范围，将平面与平面所成锐二面角的余弦值表示为的函数，再求范围.
（2）是四面体的表面积，可证， ，从而证得结论.
【详解】（1）由题意知，
而，是的中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
在平面内作的垂直作为轴，所以轴，
如图以E为坐标原点，分别以分别为轴正半轴建立空间直角坐标系：
因为，设，
所以，，，，，
则 ，，
所以，，
，，.
设平面的法向量，
由得，取，
，解得.
设平面的法向量，
由得，取，
设平面与平面所成锐二面角为，则
，
所以平面与平面所成锐二面角余弦值的取值范围是.
（2）是四面体的表面积，，令与面所成角为，
，
，
因为是公垂线，上的点和上的点的最短距离是，
（取不到等号，）
，
，
.
【点睛】关键点点睛：的证明关键是利用公垂线的性质由得到，从而根据建立不等式证明结论.