函数的概念与性质：函数的单调性专项训练
考点目录
单调性的定义与证明 单调性的应用：利用单调性求最值与值域
单调性的应用：利用单调性解不等式 单调性的应用：复合函数的单调性
单调性的应用：分段函数的单调性 单调性的应用：二次函数的单调性
抽象函数的单调性
1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为在上是减函数，，所以，A正确；又，所以，，B，C正确，D错误．
2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）设函数的定义域为，则“”是“不是减函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】首先，若，则函数必定不是减函数，所以“不是减函数”，所以“”是“不是减函数”的充分条件；
其次，若不是减函数，则至少存在一组，使得，但并不一定是，这一组.
比如，在上单调递减，在上单调递增，所以函数不是减函数，但是,所以“不是减函数”不能推出“”，即“”不是“不是减函数”的必要条件.
故“”是“不是减函数”的充分不必要条件.
故选：A
3．（24-25高一上·北京·期中）设函数
(1)求函数的图象与直线交点的坐标；
(2)当，求函数的最小值；
(3)判断在上的单调性，并用定义证明.
【答案】(1)和
(2)7
(3)在上单调递增，证明见解析
【详解】（1）与相交处有，
∴，即，解得或，
因此交点为和.
（2）当时，，当且仅当时取等号.
因此函数的最小值为7.
（3）在上单调递增.
证明：对任意，若，则
，
因为，所以，所以，
又因为，所以.
因此在上单调递增.
4．（24-25高一上·四川德阳·期中）设函数.
(1)求，，；
(2)判断函数在的单调性并证明.
【答案】(1)，，；
(2)在单调递增，证明见解析
【详解】（1），，；
（2）在上单调递增，证明如下：
任取，且，
则，
因为，且，
所以，，故，即.
所以在上单调递增.
5．（24-25高一上·浙江衢州·期中）已知函数，且满足，.
(1)求和的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明.
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
【详解】（1）函数满足，，
可得，解之.
（2），在上单调递增，
设任意，且，
则，
由，可得，
又，，，
则，则，
则在上单调递增.
6．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数，且，．
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明．
(3)若对，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)
【详解】（1）由题意可得，解得，
故；
（2）在上单调递增，证明如下：
令，则，
由，故，，即，
故在上单调递增；
（3）由在上单调递增，
则当时，有，
即.
7．（24-25高一上·天津西青·期末）已知函数，不等式的解集为或.
(1)求函数的解析式；
(2)设，判断在区间上的单调性，并用定义法证明.
【答案】(1)
(2)在区间上单调递增，证明见解析
【详解】（1）由题意得：是的两根，
故，解得，
；
（2）在上单调递增，证明如下：
，
任取，且，
，
又，，
，
，
，
在区间上单调递增.
1．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数.
(1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)最大值为1，最小值为.
【详解】（1）证明：任取，且，
则
因为，，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递增.
（2）由（1）知在区间上单调递增，
所以，，
所以函数在区间上的最大值为1，最小值为.
2．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）已知函数经过，两点.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明；
(3)当时，，求实数m的最小值.
【答案】(1)
(2)在上单调递减，证明见解析
(3)
【详解】（1），，
，解得，.
（2）在上单调递减，证明如下：
任取，，且，
则，
，，且，
，，，
，即，
所以函数在上单调递减.
（3）由（2）知在上单调递减，
函数在上的最大值为，
由知，，
所以m的最小值为.
3．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数，．
(1)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给与证明；
(2)求函数，的最大值和最小值．
【答案】(1)在上单调递增，证明见解析
(2)，
【详解】（1）在上单调递增，证明如下：
设任意的且，则
，
因为且，所以，，，
所以，所以，即，
所以在上单调递增；
（2）由（1）可知在上单调递增，
所以，.
4．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)证明：函数在上单调递减.
(3)求函数在的最值
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)最小值为2，最大为.
【详解】（1）因为，，
令，则，所以，则，解得，
可得，令，则，
则，,
函数的解析式为．
（2）任取，且，
则，
，且，
，即，
函数在上单调递减．
（3）由（1）任取，且，
则，则，
即函数在上单调递增．
故在上单调递减，在上单调递增，
又，.
故在的最小值为2，最大为.
5．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数.
(1)判断并证明在上的单调性；
(2)求函数在上的值域.
【答案】(1)在上单调递减.证明见详解.
(2)
【详解】（1）在上单调递减.
证明：任取，
∵，∴，，，
∴，
∴在上单调递减.
（2）由（1）可知在上单调递减，
∴
∴在的值域：
6．（24-25高一下·安徽滁州·期末）已知函数.
(1)用函数单调性的定义证明：在上单调递增.
(2)若，函数.
（i）证明：的图象关于直线对称；
（ii）求在上的值域（用含的式子表示）.
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）见解析
【详解】（1），任取，且，
则
因为，且，所以，，，
所以，即，故在上单调递增.
（2）（i）由题意得，
，
故，故的图象关于直线对称.
（ii）由于的图象关于直线对称，所以只需研究区间，
由（1）知在上单调递增，令，则，整理得
，又，解得.
当时，在单调递增，的值域为；
当时，，
所以在单调递减，在单调递增，的值域为；
当时，，在单调递减，又，
的值域为.
7．（24-25高二下·浙江宁波·期末）设函数，函数.
(1)若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围；
(2)若存在，使得成立，求实数的最大值.
【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）对于任意的，总存在，使得，
即，
其中，，
当且仅当，即时，等号成立，
故，
因为是减函数，所以当时，，
所以，解得.
（2）时，可得，，
即，
因为，分离参数可得
，
由题意，不等式在存在解集，则
因为，
当且仅当，即时等号成立，所以，解得，
所以的最大值为1.
1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为函数是定义在上的增函数，
由，得，
解得，即，
故选：B
2．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，解不等式得.
故选：D
3．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因是定义在R上的增函数，故由可得
，即，解得.
故答案为：.
4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数．
(1)试用函数单调性定义证明函数在R上单调递增；
(2)求不等式的解集．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）
设，
则
，
因为，所以
又因为，，
，
所以，
所以函数在R上单调递增；
（2）由（1）知，函数在R上单调递增，
因为，所以，
可得，
所以，即的解集为.
5．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知函数.
(1)用单调性的定义证明函数在区间上是单调递增；
(2)求关于的不等式的解集.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）任取，且，
则
∵，∴，
则，即，
∴在上是增函数．
（2）由题可知，解得.
故不等式的解集为.
6．（24-25高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数，且．
(1)求；
(2)根据定义证明函数在区间上单调递增；
(3)在区间上，若函数满足，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）∵，
∴，
∴.
（2）由于，
证明：，且，
则
，
∵，
∴，
∴，即，
故在上单调递增.
（3）∵在上单调递增，所以，
∴， ，
∴.
1．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】要使函数有意义，则，
即，解得或，
函数定义域为.
令，则，在上单调递减，
对称轴为，开口向上，
在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数“同增异减”原则，可知的单调递减区间是.
故选：D.
2．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于函数，由可得或
所以，函数的定义域为，
因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数，
外层函数在上为增函数，
由复合函数的单调性可知，函数的减区间为.
故选：A.
3．（24-25高一上·福建泉州·期中）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由得或.
令，则.
幂函数在上单调递减，
二次函数对称轴为直线，函数在上单调递减，在上单调递增，
根据复合函数单调性可得函数的单调递增区间为.
故选：A.
4．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】对于函数，有，即，解得，
所以，函数的定义域为，
因为内层函数在上单调递增，在上单调递减，
且内层函数在上为增函数，
由复合函数法可知，函数的递减区间为.
故选：A.
5．（24-25高一上·北京·期中）函数的值域是 ；单调递减区间是 ．
【答案】
【详解】令，解得或，故定义域为，
，故值域为，
由于在上单调递增，
而在上单调递减，在上单调递增，
由复合函数单调性满足同增异减可知，单调递减区间为.
故答案为：，.
6．（23-24高一上·河南新乡·期末）已知函数在上是减函数，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递减.
由解得.
故答案为：
7．（24-25高一上·山东青岛·期中）函数的单调递增区间是 ．
【答案】（区间开闭都行）
【详解】令，解得，即函数的定义域为，
令，其图象开口向下，对称轴为，
则在上单调递增，在上单调递减，
且在定义域内单调递增，
可得在上单调递增，在上单调递减，
所以的单调递增区间为.
故答案为：.
8．（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的单调递减区间是 ．
【答案】
【详解】对于函数，有，解得，
所以，函数的定义域为，
因为内层函数在上为减函数，在上为增函数，且，
外层函数在上为减函数，
所以，函数的单调递减区间为.
故答案为：.
1．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．[0，1]
【答案】B
【详解】由条件可知，在区间上单调递减，则，即，
且在分界点处满足，得，
所以.
故选：B
2．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数若，，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意知的最小值为，故，即．
当时，，不合题意；
当时，在上的最小值为，
为使为全局最小值，还需在上，
此时的下确界为3，故需，
解得，
综上，实数的取值范围为
故选：D．
3．（25-26高三上·山西·阶段练习）已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意，在上单调递减，即在和上单调递减，且，
则，解得.
故选：A.
4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为对任意，当时，都有成立，
所以函数在上单调递增，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
5．（2025·宁夏中卫·三模）已知函数，在上单调递增，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【详解】由函数在上单调递增，
可得，即，解得，
故答案为：
6．（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【详解】已知函数，
当时，单调递增，所以最大值为；
当且时，在上单调递增；
所以要使函数在上单调递增，
则，解得或(舍去).
故答案为：.
7．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数的最小值为，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】若，则，在上是减函数，不是最小值，不合题意；
若，则时，是增函数，因此时，，函数无最小值；
若，则时，是减函数，，
时，，因此在时是增函数，
由得，所以，
当时，，的最小值是，不是，不合题意，
综上，的取值范围是．
故答案为：
8．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数是上的增函数，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题意可得,
解得．
故答案为：
1．（25-26高二上·湖南永州·开学考试）已知
(1)若在上单调，求实数的取值范围；
(2)若，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，在上单调递减，符合题意；
当时，的图象对称轴是，注意到，
而在上单调，则，解得；
当时，注意到对称轴，满足在上单调；
综上，.
（2）①当时，在上单调递减，，
②当时，的图象开口方向向上，且对称轴为，
（ⅰ）当，即时，对称轴，
则在上递减，在上递增，
；
（ⅱ）当，即时，在上递减，
；
③当时，的图象开口方向向下，且对称轴，在轴的左侧，
则在上单调递减，故；
综上所述，.
2．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数，且，的最小值为．
(1)求a，b的值；
(2)记在上的最大值为，求的最小值．
【答案】(1)，
(2)0
【详解】（1）因为，，
所以，解得，
所以，当且仅当时等号成立，
又的最小值为，所以 ，解得．
（2）由（1）知，其图象的对称轴为直线，
因在上的最大值为，
则当，即时，；
当，即时，，
所以
当时，；
当时，（仅当时等号成立），
所以的最小值为0．
3．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知二次函数的两个零点分别是和3.
(1)求b、c的值；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明；
(3)求函数在内的值域.
【答案】(1)；
(2)在上单调递增，证明见解析；
(3).
【详解】（1）由题意得，解得；
（2）在上单调递增，证明如下：
由（1）知，令，
所以
，
而，则，所以，
综上，在上单调递增.
（3）由，则在上单调递减，在上单调递增，
且，，故在的值域为.
4．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知二次函数.
(1)当时，解不等式；
(2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时，
不等式，即，即，解得或，
所以不等式的解集为；
（2）因为在区间上单调递增，
则或，解得或，
所以实数的取值范围为.
5．（24-25高一上·北京通州·期中）已知二次函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若在区间上单调递增，求的最小值；
(3)求关于的不等式的解集.
【答案】(1)
(2)2
(3)答案见解析
【详解】（1）因为，不等式为.
对于方程，解得.
所以不等式的解集为.
（2）因为，所以开口向上.
因为在区间上单调递增，
所以.解得.所以的最小值为2.
（3）因为，
所以，即.
当，即时，解得，或；
当，即时，解得；
当，即时，解得或.
综上所述，当时，不等式解集为或；
当时，不等式解集为；
当时，不等式解集为或.
6．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知二次函数的值域为.
(1)判断此函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
(2)求出在上的最小值，并求的值域.
【答案】(1)函数在上为增函数，证明见解析
(2)，的值域为
【详解】（1）解：因为二次函数的值域为，则，解得，
二次函数在上为增函数，证明如下：
任取、，且，即，
则
，
因为，则，，则，
所以，，即，
所以，函数在上为增函数.
（2）解：因为二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
当时，即当时，函数在上为增函数，则，
当时，即当时，函数在上为减函数，在上为减函数，
此时，.
综上所述，，
因为函数在上为增函数，则，
因此，函数的值域为.
1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数满足任意的实数，都有，且当时，．
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性并证明．
【答案】(1)
(2)在上单调递增，证明见解析
【详解】（1）由题意，对任意的实数，都有，
令，则，所以．
（2）在上单调递增．
证明如下：设且，则
，
因，则，故，
所以，即，
所以在上单调递增．
2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知定义在上的函数对任意正数都有，当时，，
(1)求的值；
(2)证明：用定义证明函数在上是增函数；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）在等式中，
令，可得，解得；
（2）因为，则，
任取，则，
由时，，可得，
则，即，
因此，函数在上是增函数．
3．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知函数对任意的，都有，且当时，.
（1）判断并证明的单调性；
（2）若，解不等式．
【答案】（1）函数在R上单调递增；（2）
【详解】（1）任取且，
∵，
∴，
即，
因为，∴，
∴，
∴在上单调递增，
（2）， ∴，
∴，
∴，
解得：.
所以原不等式的解为.
4．（24-25高一上·新疆·期中）已知定义在上的函数满足对任意的，恒成立.当时，，且.
(1)判断的单调性并证明，
(2)求不等式的解集.
【答案】(1)在上单调递增，证明见解析
(2)
【详解】（1）在上单调递增.
证明如下：
设，则.
因为当时，，所以.
因为，所以，
则，即，
故在上单调递增；
（2）因为，所以，即.
因为，所以，则等价于
，即，
即，
由（1）可知在上单调递增，则，
解得，即不等式的解集是.
5．（24-25高一上·重庆万州·期中）定义在上的函数，满足，且当时，.
(1)求的值；
(2)求证：在上是增函数；
(3)解不等式：.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
(3)
【详解】（1）将代入可得，解得
（2）设，则，则，
，即，
则在为增函数；
（3）由可得，
因为在上是增函数，所以，解得，
故不等式的解集为
6．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数对任意的，都有，且当时，．
(1)求证：是上的增函数；
(2)若，，解不等式．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）设，且，则，即，
∴，
∴，
∴是上的增函数；
（2）∵，
∴，取，则，
∵，
∴，
于是等价于，
由（1）知是上的增函数，
∴，解得或，
∴原不等式的解集为.函数的概念与性质：函数的单调性专项训练
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单调性的定义与证明 单调性的应用：利用单调性求最值与值域
单调性的应用：利用单调性解不等式 单调性的应用：复合函数的单调性
单调性的应用：分段函数的单调性 单调性的应用：二次函数的单调性
抽象函数的单调性
1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若函数在上是减函数，且，则下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）设函数的定义域为，则“”是“不是减函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（24-25高一上·北京·期中）设函数
(1)求函数的图象与直线交点的坐标；
(2)当，求函数的最小值；
(3)判断在上的单调性，并用定义证明.
4．（24-25高一上·四川德阳·期中）设函数.
(1)求，，；
(2)判断函数在的单调性并证明.
5．（24-25高一上·浙江衢州·期中）已知函数，且满足，.
(1)求和的值；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明.
6．（24-25高一上·广东东莞·期中）已知函数，且，．
(1)求的解析式；
(2)判断在上的单调性，并用定义证明．
(3)若对，恒成立，求实数的取值范围．
7．（24-25高一上·天津西青·期末）已知函数，不等式的解集为或.
(1)求函数的解析式；
(2)设，判断在区间上的单调性，并用定义法证明.
1．（24-25高一上·广东汕头·期中）已知函数.
(1)函数单调性的定义证明：函数在上单调递增；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值.
2．（24-25高一上·广西柳州·阶段练习）已知函数经过，两点.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数在上的单调性并用定义进行证明；
(3)当时，，求实数m的最小值.
3．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数，．
(1)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给与证明；
(2)求函数，的最大值和最小值．
4．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知函数，且.
(1)求函数的解析式；
(2)证明：函数在上单调递减.
(3)求函数在的最值
5．（24-25高一上·宁夏银川·期中）已知函数.
(1)判断并证明在上的单调性；
(2)求函数在上的值域.
6．（24-25高一下·安徽滁州·期末）已知函数.
(1)用函数单调性的定义证明：在上单调递增.
(2)若，函数.
（i）证明：的图象关于直线对称；
（ii）求在上的值域（用含的式子表示）.
7．（24-25高二下·浙江宁波·期末）设函数，函数.
(1)若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围；
(2)若存在，使得成立，求实数的最大值.
1．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数是定义在的增函数，则满足的x取值范围（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·北京·开学考试）已知函数是定义在上的增函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知是定义在R上的增函数，且，则的取值范围是 ．
4．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数．
(1)试用函数单调性定义证明函数在R上单调递增；
(2)求不等式的解集．
5．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）已知函数.
(1)用单调性的定义证明函数在区间上是单调递增；
(2)求关于的不等式的解集.
6．（24-25高一上·浙江嘉兴·期中）已知函数，且．
(1)求；
(2)根据定义证明函数在区间上单调递增；
(3)在区间上，若函数满足，求实数的取值范围．
1．（24-25高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·福建泉州·期中）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·福建厦门·期中）函数的单调递减区间是（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25高一上·北京·期中）函数的值域是 ；单调递减区间是 ．
6．（23-24高一上·河南新乡·期末）已知函数在上是减函数，则的取值范围是 .
7．（24-25高一上·山东青岛·期中）函数的单调递增区间是 ．
8．（24-25高一上·广东深圳·期中）函数的单调递减区间是 ．
1．（25-26高三上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．[0，1]
2．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数若，，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·山西·阶段练习）已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·宁夏中卫·三模）已知函数，在上单调递增，则实数a的取值范围为 .
6．（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
7．（24-25高一下·湖北·阶段练习）已知函数的最小值为，则实数a的取值范围是 ．
8．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数是上的增函数，则的取值范围是 ．
1．（25-26高二上·湖南永州·开学考试）已知
(1)若在上单调，求实数的取值范围；
(2)若，求的最小值.
2．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数，且，的最小值为．
(1)求a，b的值；
(2)记在上的最大值为，求的最小值．
3．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知二次函数的两个零点分别是和3.
(1)求b、c的值；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明；
(3)求函数在内的值域.
4．（24-25高一上·甘肃兰州·期末）已知二次函数.
(1)当时，解不等式；
(2)若在区间上单调递增，求实数的取值范围.
5．（24-25高一上·北京通州·期中）已知二次函数.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若在区间上单调递增，求的最小值；
(3)求关于的不等式的解集.
6．（24-25高三上·福建宁德·阶段练习）已知二次函数的值域为.
(1)判断此函数在上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；
(2)求出在上的最小值，并求的值域.
1．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知函数满足任意的实数，都有，且当时，．
(1)求的值；
(2)判断在上的单调性并证明．
2．（24-25高一上·山东菏泽·阶段练习）已知定义在上的函数对任意正数都有，当时，，
(1)求的值；
(2)证明：用定义证明函数在上是增函数；
3．（24-25高一上·浙江杭州·阶段练习）已知函数对任意的，都有，且当时，.
（1）判断并证明的单调性；
（2）若，解不等式．
4．（24-25高一上·新疆·期中）已知定义在上的函数满足对任意的，恒成立.当时，，且.
(1)判断的单调性并证明，
(2)求不等式的解集.
5．（24-25高一上·重庆万州·期中）定义在上的函数，满足，且当时，.
(1)求的值；
(2)求证：在上是增函数；
(3)解不等式：.
6．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习）已知函数对任意的，都有，且当时，．
(1)求证：是上的增函数；
(2)若，，解不等式．
