事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
基础性
1．假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2件次品；第二箱内装有10件，其中有3件次品．现从两箱中随机挑选1箱，然后从该箱中随机取1个零件，若取到的是次品，则这件次品是从第一箱中取出的概率为( )
A. B.
C. D.
2．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.38 D．0.56
3．某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%.若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为( )
A．0.23 B．0.47
C．0.53 D．0.77
4．已知A，B，C为三个随机事件且P(A)，P(B)，P(C)>0，则A，B，C相互独立是A，B，C两两独立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(多选)(2024·江苏南师附中月考)已知随机事件A，B发生的概率分别为P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，下列说法正确的有( )
A．若P(AB)＝0.18，则A，B相互独立
B．若A，B相互独立，则P(B|A)＝0.6
C．若P(B|A)＝0.4，则P(AB)＝0.12
D．若A B，则P(A|B)＝0.3
6．(多选)给定事件A，B，C，且P(C)>0，则下列选项正确的是( )
A．若P(A|C)＋P(B|C)＝1，则A，B互为对立事件
B．若P(A)>0，P(B)>0且A，B互斥，则A，B不可能相互独立
C．P(A∪B|C)≤P(A|C)＋P(B|C)
D．若A，B为相互独立事件且P(A)＋P(B)＝1，则P(AB)＝P()
7．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是________．
8．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为________．
综合性
9．(多选)(2024·福建三明三模)假设甲袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，乙袋中有除颜色外完全相同的2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球．下列选项正确的是( )
A．从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为
B．从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为
C．从乙袋中取出的2个球是红球的概率为
D．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为
10．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率．
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001)．
11．为了考查学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱中有2道概念叙述题、2道计算题；乙箱中有2道概念叙述题、3道计算题(所有题目均不相同)．现有A，B两位同学来抽题回答；每位同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每位同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答(不在题目上作答)．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．
(1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，求第二题抽到的是概念叙述题的概率；
(2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答后，误把题目放到了乙箱中，B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一题抽到的是概念叙述题的概率．
创新性
12．通信渠道中可传输的字符为AAAA，BBBB，CCCC三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3.由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为0.6，收到其他字符的概率为0.2，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为ABCA，则传输的字符是AAAA的概率为__________．
13．(2024·上海虹口二模)某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差(零件质量与标准质量之差的绝对值)的样本数据如下表：
质量差(单位：mg) 54 57 60 63 66
件数(单位：件) 5 21 46 25 3
(1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差X～N(μ，σ2)，其中σ2＝16，用作为μ的近似值，求P(56
(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第一条生产线．若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的．现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件．
(ⅰ)求抽取的零件为废品的概率；
(ⅱ)若抽取出的零件为废品，求该废品来自第一条生产线的概率．
参考数据：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.事件的相互独立性、条件概率与全概率公式
基础性
1．假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2件次品；第二箱内装有10件，其中有3件次品．现从两箱中随机挑选1箱，然后从该箱中随机取1个零件，若取到的是次品，则这件次品是从第一箱中取出的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：D 设事件A表示“从第一箱中取一个零件”，事件B表示“取出的零件是次品”，
则P(A|B)＝＝＝，故选D.
2．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( )
A．0.2 B．0.3
C．0.38 D．0.56
解析：C 设甲地降雨为事件A，乙地降雨为事件B，则两地恰有一地降雨为A＋B，
所以P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.故选C.
3．某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%.若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为( )
A．0.23 B．0.47
C．0.53 D．0.77
解析：D 由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，20%，10%，记事件A1，A2，A3分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，
所以P(A1)＝0.7，P(A2)＝0.2，P(A3)＝0.1，又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%，
记事件B为“选到绑带式口罩”，则P(B|A1)＝0.9，P(B|A2)＝0.5，P(B|A3)＝0.4.
由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为P(B)＝0.7×0.9＋0.2×0.5＋0.1×0.4＝0.77.故选D.
4．已知A，B，C为三个随机事件且P(A)，P(B)，P(C)>0，则A，B，C相互独立是A，B，C两两独立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：A 由于A，B，C相互独立，
则P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)，
且P(AB)＝P(A)P(B)，
P(BC)＝P(B)P(C)，P(AC)＝P(A)P(C)；
A，B，C两两独立则满足P(AB)＝P(A)P(B)，P(BC)＝P(B)P(C)，P(AC)＝P(A)P(C)；
故而A，B，C相互独立则有A，B，C两两独立，但是A，B，C两两独立不能得出A，B，C相互独立，A正确．故选A.
5．(多选)(2024·江苏南师附中月考)已知随机事件A，B发生的概率分别为P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，下列说法正确的有( )
A．若P(AB)＝0.18，则A，B相互独立
B．若A，B相互独立，则P(B|A)＝0.6
C．若P(B|A)＝0.4，则P(AB)＝0.12
D．若A B，则P(A|B)＝0.3
解析：ABC 随机事件A，B发生的概率分别为P(A)＝0.3，P(B)＝0.6，
对于A，因为P(AB)＝0.18＝P(A)P(B)＝0.3×0.6，所以A，B相互独立，A正确；
对于B，若A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)＝0.6，B正确；
对于C，若P(B|A)＝＝＝0.4，则P(AB)＝0.12，C正确；
对于D，若A B，则P(A|B)＝＝＝0.5，D错误．故选ABC.
6．(多选)给定事件A，B，C，且P(C)>0，则下列选项正确的是( )
A．若P(A|C)＋P(B|C)＝1，则A，B互为对立事件
B．若P(A)>0，P(B)>0且A，B互斥，则A，B不可能相互独立
C．P(A∪B|C)≤P(A|C)＋P(B|C)
D．若A，B为相互独立事件且P(A)＋P(B)＝1，则P(AB)＝P()
解析：BCD 对于A，由P(A|C)＋P(B|C)＝1表明在事件C发生的前提下，
事件A或事件B发生的概率为1，并不能得出A，B互为对立事件，A错误；
对于B，若P(A)>0，P(B)>0且A，B互斥，
则P(AB)＝0≠P(A)P(B)，所以A，B不可能相互独立，B正确；
对于C，当A，B互斥时，P(A∪B|C)＝P(A|C)＋P(B|C)，
当A，B不互斥时，P(A∪B|C)对于D，若A，B为相互独立事件，
则P(AB)＝P(A)P(B)，
P()＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]
＝1－[P(A)＋P(B)]＋P(A)P(B)＝P(A)P(B)，D正确．故选BCD.
7．某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5∶3，其中甲班中女生占，乙班中女生占.则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是________．
解析： 如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B Ω，
由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.
由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝×＋×＝，
即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为.
8．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为8%，第2台加工的次品率为3%，第3台加工的次品率为2%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的10%，40%，50%，从混放的零件中任取一个零件，如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为________．
解析： 记事件A＝“车床加工的零件为次品”，记事件Bi＝“第i台车床加工的零件”，则P(A|B1)＝8%，P(A|B2)＝3%，P(A|B3)＝2%，P(B1)＝10%，P(B2)＝40%，P(B3)＝50%，任取一个零件是次品的概率为P(A)＝P(AB1)＋P(AB2)＋P(AB3)＝8%×10%＋3%×40%＋2%×50%＝0.03.
如果该零件是次品，那么它是第3台车床加工出来的概率为
P(B3|A)＝＝＝＝.
综合性
9．(多选)(2024·福建三明三模)假设甲袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，乙袋中有除颜色外完全相同的2个白球和2个红球．现从甲袋中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球．下列选项正确的是( )
A．从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为
B．从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为
C．从乙袋中取出的2个球是红球的概率为
D．已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为
解析：ACD 从甲袋中取出2个球有i个红球的事件为Ai，i＝0，1，2，从乙袋中取出2个球是红球的事件为B，
P(A0)＝＝，
P(A1)＝＝，
P(A2)＝＝，
P(B|A0)＝＝，
P(B|A1)＝＝，
P(B|A2)＝＝.
对于A，从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为P(A1)＝，A正确；
对于B，从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为P(A2B)＝P(A2)P(B|A2)＝×＝，B错误；
对于C，从乙袋中取出的2个球是红球的概率P(B)＝P(Ai)P(B|Ai)＝×＋×＋×＝，C正确；
对于D，从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率P(A2|B)＝＝＝＝，D正确．故选ACD.
10．在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间[20，70)的概率．
(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%，该地区年龄位于区间[40，50)的人口占该地区总人口的16%.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，求此人患这种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001)．
解析：(1)平均年龄＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝47.9(岁)．
(2)设A＝“一人患这种疾病的年龄位于区间[20，70)”，
所以P(A)＝1－P()＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89.
(3)设B＝“任选一人年龄位于区间[40，50)”，C＝“从该地区中任选一人患这种疾病”，则由已知得
P(B)＝16%＝0.16，P(C)＝0.1%＝0.001，P(B|C)＝0.023×10＝0.23，
则由条件概率公式可得，从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间[40，50)，此人患这种疾病的概率为
P(C|B)＝＝＝＝0.0014375≈0.0014.
11．为了考查学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱中有2道概念叙述题、2道计算题；乙箱中有2道概念叙述题、3道计算题(所有题目均不相同)．现有A，B两位同学来抽题回答；每位同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每位同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答(不在题目上作答)．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．
(1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，求第二题抽到的是概念叙述题的概率；
(2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答后，误把题目放到了乙箱中，B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一题抽到的是概念叙述题的概率．
解析：(1)设Ai表示“第i次从甲箱中抽到概念叙述题”，i＝1，2，
则P(A1)＝，P(A2|A1)＝，P(A2|1)＝，
所以第二题抽到的是概念叙述题的概率
P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(1)·P(A2|1)＝×＋×＝.
(2)设事件B1表示“A同学从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题”，事件B2表示“A同学从甲箱中取出的两道题都是计算题”，事件B3表示“A同学从甲箱中取出一道概念叙述题一道计算题”，事件C表示“B同学从乙箱中抽取两道题目，第一题抽到的是概念叙述题”，
P(B1)＝＝，
P(B2)＝＝，
P(B3)＝＝＝，
P(C|B1)＝＝，
P(C|B2)＝＝，
P(C|B3)＝＝，
所以P(C)＝P(B1)P(C|B1)＋P(B2)P(C|B2)＋P(B3)P(C|B3)＝×＋×＋×＝.
创新性
12．通信渠道中可传输的字符为AAAA，BBBB，CCCC三者之一，传输三者的概率分别为0.3，0.4，0.3.由于通道噪声的干扰，正确地收到被传输字符的概率为0.6，收到其他字符的概率为0.2，假定字符前后是否被歪曲互不影响．若收到的字符为ABCA，则传输的字符是AAAA的概率为__________．
解析：0.5625 以B表示事件“收到的字符是ABCA”，A1表示事件“传输的字符为AAAA”，A2表示事件“传输的字符为BBBB”，A3表示事件“传输的字符为CCCC”，根据题意有
P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.4，P(A3)＝0.3，
P(B|A1)＝0.6×0.2×0.2×0.6＝0.0144，
P(B|A2)＝0.2×0.6×0.2×0.2＝0.0048，
P(B|A3)＝0.2×0.2×0.6×0.2＝0.0048.
由全概率公式得
P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)
＝0.3×0.0144＋0.4×0.0048＋0.3×0.0048
＝0.00768，
所以P(A1|B)＝
＝＝
＝0.5625.
13．(2024·上海虹口二模)某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差(零件质量与标准质量之差的绝对值)的样本数据如下表：
质量差(单位：mg) 54 57 60 63 66
件数(单位：件) 5 21 46 25 3
(1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差X～N(μ，σ2)，其中σ2＝16，用作为μ的近似值，求P(56(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中全部零件的来自第一条生产线．若两条生产线的废品率分别为0.016和0.012，且这两条生产线是否产出废品是相互独立的．现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件．
(ⅰ)求抽取的零件为废品的概率；
(ⅱ)若抽取出的零件为废品，求该废品来自第一条生产线的概率．
参考数据：若随机变量X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
解析：(1)由题意可知
＝＝60，
则X～N(60，16)，
所以P(56＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)
≈×0.6827＋×0.9545＝0.8186.
(2)(ⅰ)设事件A表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，
事件B1表示“随机抽取一件零件为第一条生产线生产”，
事件B2表示“随机抽取一件零件为第二条生产线生产”，
则P(B1)＝，P(B2)＝，
P(A|B1)＝0.016，P(A|B2)＝0.012，
所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＝×0.016＋×0.012＝0.015.
(ⅱ)因为P(A|B1)＝，
所以P(AB1)＝P(A|B1)P(B1)＝0.016×＝0.012，
所以P(B1|A)＝＝＝0.8.