圆锥曲线：双曲线的定义与方程、离心率问题、弦长问题、面积问题专项训练
考点目录
双曲线的定义与方程 以双曲线为背景的离心率问题
以双曲线为背景的弦长问题 以双曲线为背景的面积问题
1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（25-26高三上·河南南阳·开学考试）已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（25-26高三上·江西·阶段练习）“”是方程“”表示双曲线的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．（2025·陕西渭南·二模）若双曲线的焦距为6，则（ ）
A．5或 B．3 C．5 D．
5．（25-26高三上·重庆·阶段练习·多选）已知双曲线，则（ ）
A． B．双曲线的实轴长为
C．双曲线的渐近线方程为 D．当双曲线的离心率等于其虚轴长时，
6．（24-25高二上·陕西榆林·期末·多选）已知双曲线的方程为，则（ ）
A．
B．的焦点可能在轴上
C．的焦距一定为8
D．的渐近线方程可以为
7．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）双曲线的渐近线方程为，则 .
8．（24-25高二下·北京·期中）双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，焦距为，则双曲线的方程为
9．（2025·山西·三模）已知曲线表示双曲线，则的取值范围是 ．
10．（25-26高三上·上海·开学考试）若双曲线的离心率小于3，则m的取值范围为 .
11．（24-25高二上·天津河西·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率.
12．（24-25高二上·河南驻马店·期末）曲线
(1)若曲线表示双曲线，求的取值范围；
(2)当时，点在曲线上，，，，求点的横坐标.
1．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·湖北·阶段练习）双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）若双曲线一条渐近线的倾斜角角为30°，则该双曲线的离心率e为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2025·江苏宿迁·三模）设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．2 C． D．
5．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．5 D．
6．（25-26高三上·山东济南·开学考试）已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
7．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）双曲线的左、右焦点为，为双曲线上一点，且满足，则双曲线的离心率为 ．
8．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是钝角三角形，则的离心率的取值范围为 ．
9．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，是双曲线的上支上的任意一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
10．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）如图，双曲线C：的右焦点为F，过点F作渐近线的垂线l，垂足为A，且l与另一条渐近线、y轴分别交于B，C，若，则双曲线的离心率为 ．
11．（2025·黑龙江大庆·一模）已知是双曲线的左 右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 .
12．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知为坐标原点，为双曲线的左焦点，过且斜率为的直线与在第二象限交于点，线段的中点为.若，则的离心率为 .
1．（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知双曲线的离心率为，且过点.
(1)求的方程；
(2)直线过且交于两点，若弦的长度为的实轴长的两倍，求的方程.
2．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知双曲线的左焦点为，离心率为2.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于两点，与轴交于点，且是的中点，求.
3．（2025·云南·模拟预测）已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足．
(1)求的方程；
(2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程．
4．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）已知点在双曲线上，过点P且斜率为的直线与C的另一个交点为A，过点P且斜率为的直线与C的另一个交点为B．
(1)求C的方程；
(2)若，求；
(3)求直线AB的斜率．
5．（24-25高二上·四川达州·期末）已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率.
(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程；
(2)过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求.
6．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）彗星是太阳系大家庭里特殊的一族成员，它们以其明亮的尾巴和美丽的外观而闻名，它的运行轨道和行星轨道很不相同，一般为极扁的植圆形、双曲线或抛物线．它们可以接近太阳，但在靠近太阳时，由于木星、土星等行星引力的微绕造成了轨道参数的偏差，使得它轨道的离心率由小于1变为大于或等于1，这使得少数彗星会出现“逃逸”现象，终生只能接近太阳一次，永不复返．通过演示，现有一颗彗星已经“逃逸”为以太阳为其中一个焦点，离心率为2的运行轨道，且彗星距离太阳的最近距离为1．
(1)若焦点的位置在轴，求彗星“逃逸”轨道C的标准方程；
(2)设直线过C的一个焦点，且与C交于两点，当时，求的值．
7．（24-25高二上·天津和平·期中）已知双曲线C：的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线的斜率为，求弦长.
8．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知双曲线与圆相切，且的渐近线方程为.
(1)求的方程；
(2)若的右顶点为，过的右焦点的直线交于两点，且，求.
1．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知双曲线的离心率为为上一点．
(1)求的方程；
(2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的面积.
2．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的离心率为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)已知，若垂直于轴的直线与相交于两点，直线和的另外一个交点为C．
（i）求证：直线过定点；
（ii）过点作直线l交的右支于两点，求的面积的最小值.
3．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为.过点且垂直于轴的直线与交于，两点，其中位于第一象限，且.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率为的直线与交于，两点，求的面积.
4．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知点 到点 和 的距离之差的绝对值等于 为坐标原点，
(1)求点 的轨迹及轨迹方程；
(2)若过点 的直线 与点 的轨迹交于 两点， 的面积为 ，求直线 的方程.
5．（2025·浙江金华·三模）双曲线的离心率为，过左焦点的直线与双曲线的左支、右支分别交于点，当直线与轴垂直时，.
(1)求双曲线的方程；
(2)点满足，其中是坐标原点，求四边形的面积.
6．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点．
(1)若过右焦点，且的最小值为2，求的取值范围；
(2)若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，求四边形的面积的最大值．
7．（2025·河南·三模）在平面直角坐标系中，点P是圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线相交于点Q，记动点Q的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)已知点，若垂直于x轴的直线与C相交于A，B两点，设直线和C的另外一个交点为D．
（ⅰ）求证：直线过定点E；
（ⅱ）过点E作直线l交C于M，N两点（M，N在y轴右侧），求的面积的最小值．
8．（2025·湖南永州·三模）已知双曲线E：（，）的虚轴长为2，离心率为.
(1)求双曲线E的标准方程：
(2)过点的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点，直线BC与直线交于点N.
（ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值：
（ⅱ）记，分别为，的面积，求的取值范围.圆锥曲线：双曲线的定义与方程、离心率问题、弦长问题、面积问题专项训练
考点目录
双曲线的定义与方程 以双曲线为背景的离心率问题
以双曲线为背景的弦长问题 以双曲线为背景的面积问题
1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）曲线，则“”是“曲线C表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】曲线C是双曲线，则，解得，故是曲线C是双曲线的必要不充分条件.
故选：B
2．（25-26高三上·河南南阳·开学考试）已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】当表示双曲线时，均不为0.
若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，此时，,所以,所以
若双曲线的焦点在轴上，则其标准方程为：，此时，,所以,所以
当时，若则表示焦点在轴上的双曲线，
若则表示焦点在轴上的双曲线.
所以“”是“为双曲线方程”的充要条件．
故选：C.
3．（25-26高三上·江西·阶段练习）“”是方程“”表示双曲线的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】若方程表示双曲线，则满足，解得或，
所以“”是方程“”表示双曲线的充分不必要条件.
故选：A.
4．（2025·陕西渭南·二模）若双曲线的焦距为6，则（ ）
A．5或 B．3 C．5 D．
【答案】D
【详解】若双曲线的焦点在轴上，
依题意可得，解得；
若双曲线的焦点在轴上，
依题意可得，解得.
综上可得：.
故选：D.
5．（25-26高三上·重庆·阶段练习·多选）已知双曲线，则（ ）
A．
B．双曲线的实轴长为
C．双曲线的渐近线方程为
D．当双曲线的离心率等于其虚轴长时，
【答案】ABD
【详解】选项A：依题意可得双曲线C的焦点在x轴上，所以所以选项A正确；
选项B、C：对照焦点在x轴上的双曲线的标准方程：，知.所以双曲线的实轴长为；双曲线的渐近线方程为：，即.所以选项B正确，选项C错误；
选项D：双曲线的离心率等于虚轴长时，，则，所以，解得.所以选项D正确.
故选：ABD.
6．（24-25高二上·陕西榆林·期末·多选）已知双曲线的方程为，则（ ）
A．
B．的焦点可能在轴上
C．的焦距一定为8
D．的渐近线方程可以为
【答案】ACD
【详解】由题意得，解得，故A正确；
由前可得双曲线的标准方程为，故双曲线的焦点一定在轴上，故B错误；
双曲线的焦距为，所以C正确；
当时，双曲线的标准方程为，其渐近线方程为，故D正确．
故选:ACD．
7．（24-25高二下·海南海口·阶段练习）双曲线的渐近线方程为，则 .
【答案】
【详解】由双曲线的方程可得：，解得：.
故双曲线的焦点在轴上.
则，.
又因为双曲线的渐近线方程为，
所以，解得：.
故答案为：.
8．（24-25高二下·北京·期中）双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，焦距为，则双曲线的方程为
【答案】
【详解】由题设，若，则渐近线有，故，且，
所以，则，可得，故双曲线方程为.
故答案为：
9．（2025·山西·三模）已知曲线表示双曲线，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】又题意可知，，解得，
故的取值范围是．
故答案为：
10．（25-26高三上·上海·开学考试）若双曲线的离心率小于3，则m的取值范围为 .
【答案】
【详解】由题意知双曲线方程为，所以，，，
因为离心率小于3，所以，所以.
故答案为：
11．（24-25高二上·天津河西·期末）已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求双曲线的顶点，实轴长，虚轴长，焦距，渐近线方程、离心率.
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为双曲线的两个焦点在轴上，
所以设双曲线方程为，
因为双曲线的两个焦点分别为，，
所以，由题意得双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，
故，由双曲线的定义得，解得，
得到，故双曲线的标准方程为.
（2）对于双曲线，其实轴长为，虚轴长为，
焦距为，离心率为,
渐近线方程为，顶点为.
12．（24-25高二上·河南驻马店·期末）曲线
(1)若曲线表示双曲线，求的取值范围；
(2)当时，点在曲线上，，，，求点的横坐标.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）曲线表示双曲线，则，
即，解得.
（2）当时，曲线为双曲线，
点在曲线上，设，则，所以，
因为，
所以，
解得，故点的横坐标为.
1．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知，是双曲线：的两个焦点，过点与轴垂直的直线与双曲线交于、两点，若是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由于是等边三角形，故,
由于通径长，所以 ，
故，进而，故，即，
故，
故选：D
2．（25-26高三上·湖北·阶段练习）双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知，，故离心率.
故选：B.
3．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）若双曲线一条渐近线的倾斜角角为30°，则该双曲线的离心率e为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】由双曲线方程可知，该双曲线的渐近线方程为，
因为双曲线一条渐近线的倾斜角为30°，，
所以，即，
所以，即，即，
所以，，
故选：C.
4．（2025·江苏宿迁·三模）设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】B
【详解】由题意，双曲线的渐近线方程为，
如图，设双曲线的焦距为，以为直径的圆的方程为：，
即，联立，
解得，即由对称性可得，，且，
则，可得，故离心率.
故选：B
5．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】C
【详解】
双曲线的渐近线为，即，
由圆的方程得圆心为，
圆心到渐近线的距离，
又圆与双曲线渐近线相切，圆半径，
，解得，
．
故选：C．
6．（25-26高三上·山东济南·开学考试）已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【详解】
在中，而，则，
所以，故，
所以.
故选：B
7．（25-26高三上·广西南宁·开学考试）双曲线的左、右焦点为，为双曲线上一点，且满足，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【详解】设，由题意可得,代入双曲线方程，
得到，
因为，在中，
，
所以，即
即，解得.
故答案为：.
8．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）已知分别是双曲线的左、右焦点，关于原点对称的两点均在上，，且是钝角三角形，则的离心率的取值范围为 ．
【答案】
【详解】作出示意图如图所示：不妨设在第一象限，
因为关于原点对称的两点均在上，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为，所以，
又，所以，
因为是钝角三角形，所以或为钝角，
若是钝角，由余弦定理可得，
则可得，所以，
所以，所以，所以，
又，所以，即，所以，
当是钝角，由余弦定理可得，
则可得，所以，
所以，所以，所以，
又，所以，即，所以，
所以的离心率的取值范围为.
9．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）已知双曲线的上、下焦点分别为，是双曲线的上支上的任意一点（不在轴上），与轴交于点，的内切圆在边上的切点为，若，则双曲线的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【详解】设该内切圆在，上的切点分别为，
由切线长定理可得，，，
又，，
所以，所以，
所以，故，
所以，
因为，所以，
故，又，
所以.
故答案为：.
10．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）如图，双曲线C：的右焦点为F，过点F作渐近线的垂线l，垂足为A，且l与另一条渐近线、y轴分别交于B，C，若，则双曲线的离心率为 ．
【答案】/
【详解】已知直线，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为.
又直线过点，可得直线的方程为，
联立直线与直线的方程，
解得，则，所以点的坐标为.
在直线的方程中，令，可得，
所以点的坐标为.
因为，所以为的中点，
设点的坐标为， 可得，解得.
因为点在另一条渐近线上，
所以将代入可得：.
化简可得，即，
又因为，所以，则.
所以.
故答案为：.
11．（2025·黑龙江大庆·一模）已知是双曲线的左 右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率的取值范围是 .
【答案】
【详解】设以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，
则到渐近线的距离，，
由，得，即，解得，
即，于是，而，
所以双曲线的离心率的取值范围是．
故答案为：
12．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知为坐标原点，为双曲线的左焦点，过且斜率为的直线与在第二象限交于点，线段的中点为.若，则的离心率为 .
【答案】/
【详解】记的右焦点为，连接,
因为线段的中点为为的中点，所以，
又因为是双曲线上一点，，所以，
由直线的斜率为，可得，
在中，由余弦定理可得，
即，整理得，
解得或（舍去），即的离心率为，
故答案为：
1．（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知双曲线的离心率为，且过点.
(1)求的方程；
(2)直线过且交于两点，若弦的长度为的实轴长的两倍，求的方程.
【答案】(1)
(2)或或
【详解】（1）因为双曲线过，离心率为，所以，
解得，所以双曲线的方程为.
（2）由（1）知双曲线的实轴长为2，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立，得，，
设，则，
所以，解得，
由直线与双曲线渐近线的位置关系可得此时直线与双曲线有两个交点；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，符合题意.
综上所述，直线的方程为或或.
2．（25-26高三上·江西·阶段练习）已知双曲线的左焦点为，离心率为2.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于两点，与轴交于点，且是的中点，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由已知可得，所以，所以，
所以的方程为.
（2）因为是中点，所以点的横坐标为2，所以，
所以直线的斜率，方程为，
由，得，
设，则，
所以.
3．（2025·云南·模拟预测）已知双曲线的左、右顶点分别为，，在上，满足．
(1)求的方程；
(2)过点的直线（与轴不重合）交于，两点．若，求直线的方程．
【答案】(1)；
(2)或．
【详解】（1）由题意，故．解得．
将代入得，所以，
故双曲线的方程为．
（2）过点的直线（与轴不重合），故设直线．
设，联立，整理得：，
且，
故，
故．
即，
则，
即，
解得或，即或：
故的方程为：或．
4．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）已知点在双曲线上，过点P且斜率为的直线与C的另一个交点为A，过点P且斜率为的直线与C的另一个交点为B．
(1)求C的方程；
(2)若，求；
(3)求直线AB的斜率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为点在双曲线上，
所以，解得，
即双曲线的方程为．
（2）（解法一）直线，直线．
联立,得．
因为方程有一个根为2，所以．
同理可得，．
所以．
（解法二）
直线的方程为，直线的方程为．
设．
联立,得，
，所以，
同理可得，．
当时，．，，
．
（3）（解法一）
易知直线的斜率存在，设直线的方程为．
联立，得，
所以．
由，得，
即，
即，
所以，
化简得，即，
所以或．
当时，直线过点，与题意不符，舍去．
综上，直线的斜率为．
(解法二)
直线的斜率
．
5．（24-25高二上·四川达州·期末）已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标，且离心率.
(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程；
(2)过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，求.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题意可得，可得，且焦点在轴上，
所以，
所以双曲线的方程为：；渐近线的方程为：；
（2）过双曲线右焦点且倾斜角为的直线方程为：，
联立双曲线方程可得：，
所以，
则.
6．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）彗星是太阳系大家庭里特殊的一族成员，它们以其明亮的尾巴和美丽的外观而闻名，它的运行轨道和行星轨道很不相同，一般为极扁的植圆形、双曲线或抛物线．它们可以接近太阳，但在靠近太阳时，由于木星、土星等行星引力的微绕造成了轨道参数的偏差，使得它轨道的离心率由小于1变为大于或等于1，这使得少数彗星会出现“逃逸”现象，终生只能接近太阳一次，永不复返．通过演示，现有一颗彗星已经“逃逸”为以太阳为其中一个焦点，离心率为2的运行轨道，且彗星距离太阳的最近距离为1．
(1)若焦点的位置在轴，求彗星“逃逸”轨道C的标准方程；
(2)设直线过C的一个焦点，且与C交于两点，当时，求的值．
【答案】(1)
(2)4
【详解】（1）由题意知，彗星“逃逸”轨道的标准方程为双曲线，
双曲线的焦点在上，设其方程为，
因为双曲线的离心率为2，可得，即，
又因为彗星距离太阳的最近距离为1，可得，
解得，可得，
所以彗星“逃逸”轨道的标准方程.
（2）不妨设直线过双曲线左焦点的直线方程为，
联立，消去得，，
当时，由韦达定理可得，
所以
又，所以，解得，经检验，
所以.
7．（24-25高二上·天津和平·期中）已知双曲线C：的焦距为且左右顶点分别为，，过点的直线与双曲线C的右支交于M，N两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线的斜率为，求弦长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为双曲线的焦距为，所以，即，
又，所以，解得，
则双曲线的方程为.
（2）由题意，直线的方程为，
联立，消去y并整理得，
设，，此时，
由韦达定理得，，
所以.
8．（24-25高二上·广东深圳·期中）已知双曲线与圆相切，且的渐近线方程为.
(1)求的方程；
(2)若的右顶点为，过的右焦点的直线交于两点，且，求.
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）根据题意可得，即；
所以双曲线的标准方程为
（2）如下图所示：
易知双曲线右焦点的坐标为，
设直线，代入，得，
整理得
设.则
由，
所以，即可得，
解得
此时.
所以，
因此
1．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知双曲线的离心率为为上一点．
(1)求的方程；
(2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题得:，
解得，
所以双曲线的方程为：.
（2）设，如图所示：
由题得直线的方程为，
联立得：，
整理得：，
所以，
所以
所以
又因为点到直线的距离为：
，
所以的面积为.
2．（25-26高三上·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的离心率为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)已知，若垂直于轴的直线与相交于两点，直线和的另外一个交点为C．
（i）求证：直线过定点；
（ii）过点作直线l交的右支于两点，求的面积的最小值.
【答案】(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【详解】（1）因为双曲线的离心率为，
所以，所以，
所以的方程为，代入点，解得，
所以的方程为；
（2）（i）方法一：设，则，
因为三点共线，所以.
当轴时，三点不共线，所以斜率不为0，
设的方程为.
联立双曲线，得，
所以，
又，所以，
即，
，化简得.
显然，，所以，直线恒经过定点.
方法二：设，则，直线，
联立双曲线，
得，
，
且，
由，则直线，
整理得，
又，
，显然直线过定点，得证；
（ii）由直线过点，与双曲线右支交于，故斜率必不为0，
可设，联立双曲线，
整理得，
则.
与的右支交于两点，其中一条渐近线的斜率为，所以，
.
令，则，
令，则，
在上单调递减，
则，此时，即，
的面积的最小值为.
3．（24-25高二下·河南鹤壁·期末）已知双曲线的左顶点为，右焦点为.过点且垂直于轴的直线与交于，两点，其中位于第一象限，且.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率为的直线与交于，两点，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题可知，设.
因为直线与轴垂直，所以直线的方程为，与的方程联立得，
由，可知是等腰直角三角形，所以，
即，解得（负值舍去），所以，
所以的方程为.
（2）由（1）可得，，
由得，
设，，且，则，.
所以.
由（1）可得，，
又，
所以.
4．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知点 到点 和 的距离之差的绝对值等于 为坐标原点，
(1)求点 的轨迹及轨迹方程；
(2)若过点 的直线 与点 的轨迹交于 两点， 的面积为 ，求直线 的方程.
【答案】(1)双曲线，
(2)
【详解】（1）设点 到 和 的距离分别为 和 ,根据题意：
两点 、 的距离为4,而 ,符合双曲线的定义,因此轨迹为双曲线，
,得 ； ,得 ； ，
双曲线的标准方程为:，
（2）当斜率不存在时，直线与曲线没有交点，不满足题意.
当斜率存在时，设直线的方程为，
联立，得.
展开整理得， ，
设，，由韦达定理（），.
根据弦长公式
先求
.
所以.
原点到直线的距离.
已知.
即. 化简得.
两边平方整理得，即.
得，因为，所以，.
也满足.
所以直线的方程为.
5．（2025·浙江金华·三模）双曲线的离心率为，过左焦点的直线与双曲线的左支、右支分别交于点，当直线与轴垂直时，.
(1)求双曲线的方程；
(2)点满足，其中是坐标原点，求四边形的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由直线与轴垂直时，，故，故，
又离心率为，则，所以，
双曲线的方程为：.
（2）设直线l的方程是，，.
由得，
，.
因为，所以，从而.
所以，，消去得，解得，
它满足，.
,
故到直线的距离为，
所以，
由于，所以,
6．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知直线与双曲线交于两点．
(1)若过右焦点，且的最小值为2，求的取值范围；
(2)若，且，过弦的中点分别作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足为，求四边形的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）若与双曲线交于两支两点，则，与轴重合时，
若与双曲线交于右支两点，则，解得，
综上可知：
（2）时，双曲线方程为：，渐近线，垂直，
易知四边形为矩形，
若的斜率不存在，由，可设，
代入，可得：，不妨取，
则，渐近线的距离为，
所以，
若的斜率存在，
设直线AB的方程为，
联立方程得，
整理为： ①
故 ②
③
由，
平方得
将式②、③代入得 ④
设，于是， ⑤
. ⑥
因为双曲线的两条渐近线相互垂直，所以四边形是矩形，
其面积S等于点P到渐近线距离的乘积，
于是：
将式⑤、⑥代入上式得
由式④代入化简得，因为，
所以且，
所以
综上四边形的面积的最大值为.
7．（2025·河南·三模）在平面直角坐标系中，点P是圆上任意一点，点的坐标为，线段的垂直平分线与直线相交于点Q，记动点Q的轨迹为曲线C．
(1)求C的方程；
(2)已知点，若垂直于x轴的直线与C相交于A，B两点，设直线和C的另外一个交点为D．
（ⅰ）求证：直线过定点E；
（ⅱ）过点E作直线l交C于M，N两点（M，N在y轴右侧），求的面积的最小值．
【答案】(1)；
(2)（i）证明见解析；（ii）.
【详解】（1）由在线段的垂直平分线上，则，
点是圆上任意点，则，，
所以，
所以的轨迹是以为焦点，实轴长为4的双曲线，
对应双曲线参数为，则轨迹方程为；
（2）（i）设，则，直线，
联立双曲线，得，
，且，，
由，则，
整理得，
又，，
所以，显然直线过定点，得证；
（ii）由直线过点，与双曲线右支交于，故斜率必不为0，
所以，可设，，联立双曲线，
整理得，，则，
则，，
，
令，则，
又在上单调递减，则，此时，即，
所以最小.
8．（2025·湖南永州·三模）已知双曲线E：（，）的虚轴长为2，离心率为.
(1)求双曲线E的标准方程：
(2)过点的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点，直线BC与直线交于点N.
（ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值：
（ⅱ）记，分别为，的面积，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）
【详解】（1）已知双曲线的虚轴长为，则，解得.
又因为离心率，且，把代入可得.
由可得，将其代入中，得到.
解得，所以双曲线的标准方程为.
（2）（ⅰ）当斜率为0时：
已知，BC方程.
令，则，解得，所以.
.
当斜率不为0时：
设AB方程，与联立：
把代入得.
由韦达定理得，.
因为直线交左右两支，有，解得.
BC方程，令，得，即.
则，经化简得，
把，代入.
先看分子：
再看分母：
此时.
因为，，约分后可得.
（ⅱ）当斜率为0时，因为，两三角形相似，.
当斜率不为0时，不妨设，，，所以.
.
，代入与的值得.
因为，所以，结合，解得.
所以.
综上，取值范围是.
