专题 4.4 对数函数
一、知识归纳：
1． 1）对数函数的概念
函数 （，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．
（2）特殊的对数函数
常用对数函数 以 为底的对数函数
自然对数函数 以 为底的对数函数
2．对数函数的图象和性质
（，且）
底数
图象
定义域
值域
单调性 在上是 函数 在上是 函数
最值
奇偶性 函数
共点性 图象过定点 ，即时，
函数值特点 时， ； 时， 时， ； 时，
对称性 函数与的图象关于 对称
3．反函数的概念
一般地，指数函数 和对数函数 为反函数．它们的定义域和值域正好互换．
4．对数不等式的解法
（1）形如的不等式，借助函数的单调性求解，如果的取值不确定，需分 与 两种情况讨论.
（2）形如的不等式，应将化为 的形式，再借助函数的单调性求解.
（3）形如的不等式，基本方法是将不等式两边化为 ，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集.
（4）形如的不等式，可用 ，先解，得到的取值范围.然后再解的范围.
自查自纠：
1． 10
2． 增 减 无最大、最小值 非奇非偶 轴
3．
4． 以为底数的对数式 同底的两个对数值 换元法（令）
二、分层检测：
A.基础检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥
【答案】C
【详解】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.故选：C.
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】要使函数有意义，则有解得.所以函数的定义域为.
故选：C
3．设函数，则（ ）
A．在单调递增 B．在单调递减
C．在单调递增 D．在单调递减
【答案】D
【详解】定义域为，所以的递减区间是.故选:D.
4．已知，，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】根据对数函数的单调性及图象平移的知识，知函数的大致图象如图所示，函数图象不经过第四象限．故选：D．
5．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，，，，，.故选：A.
6．对数函数(，且)与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】若，则函数在上单调递减，又函数的图象开口向下，
对称轴为直线，则对称轴在轴左侧，故CD错误；若，则函数在上单调递增，又函数的图象开口向上，且对称轴为直线，则对称轴在轴右侧，故B错误，A正确.故选:A.
7．已知是定义在上的偶函数，当时， ，则不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当时， ，∴f(1)=0，又∵当x∈[0,+∞)时,f(x)为增函数，又是定义在R上的偶函数，故f(x)>0时，x>1，或x< 1，故时,>1,或 < 1，解得：x∈，
故选C
8．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】令，由于函数的值域为，所以，函数的值域包含.①当时，函数的值域为，合乎题意；②当时，若函数的值域包含，则，解得或.综上所述，实数的取值范围是.故选：D.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．已知函数，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】BC
【详解】当时，，解得，满足要求，当时，，解得，满足要求.
故选：BC
10．已知函数在R上存在最小值，则实数m的可能取值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】AB
【详解】当时，函数是单调递减的，，，当时，是单调递增的，，，因函数在R上存在最小值，则当且仅当，解得，
所以实数m的可能取值为-1，0.故选：AB
11．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A，因为，由对数函数的定义域可得，，，A正确；对于BD，，即，构造函数，因为在都是增函数，
所以函数在是增函数，由可得，，，B错误，D正确，对于C，因为，，C正确，故选：ACD.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．函数的单调递增区间为 .
【答案】
【详解】因为，所以函数的定义域为或，令，则，
因为在单调递减，且在单调递减，在单调递增，由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为，故答案为：.
13．函数是的反函数，则函数的图象恒过定点 ．
【答案】
【详解】因为，所以，所以的反函数是，因为是的反函数，所以，因为恒成立，所以的图象恒过定点，故答案为：．
14．已知函数的图象不过第四象限，则实数m的取值范围为 .
【答案】
【详解】由题意，知，所以.故答案为：
B.能力检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知函数，则（ ）
A． B． C．9 D．27
【答案】C
【详解】函数，，故选：C
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】由不等式，可得，解得，又由不等式，即，可得，解得，因为集合是集合的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B.
3．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，即，∴.
故选：B
4．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为当时，，则，且函数在上单调递增，则由可得，利用函数的单调性可得；又是定义在R上的奇函数，故；当时，，则，因，则，
函数在上单调递增且，则由可得，利用单调性可得.综上可得，不等式的解集是.故选：A.
5．已知（，且）在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，所以在单调递减，而（，且）在上单调递增，所以，解得，所以实数a的取值范围为.故选：B．
6．函数的图象与的图象的交点个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】C
【详解】在同一直角坐标系中，作出两个函数与的图象，
由图可知，两函数的图象的交点个数为4.故选：C.
7．已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】函数，则，即，解得，所以的定义域为，且，所以为奇函数，又函数在上单调递减，所以在上单调递减，则在上单调递减，所以不等式，即，等价于，解得，即实数的取值范围是.故选：D
8．马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为8和13时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】当马赫数为8时，速度，解得，即，，当马赫数为13时，速度，解得，即，，所以,.故选：C.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数定义域为 B．时，
C．的解集为 D．
【答案】BD
【详解】由题知，，对于A，函数定义域为，故A错误；对于B，在上单调递减，当时，，故B正确；对于C，在上单调递减，，即，解得，故C错误；对于D，，故D正确.故选：BD
10．若函数满足：当时，的值域为，则称为局部的函数，下列函数中是局部的函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】对于A，在上是增函数，当时，函数值域是，A不是；
对于B，在上单调递增，当时，函数值域是，B是；
对于C，在上单调递减，当时，函数值域是，C不是；
对于D，在上单调递增，当时，函数值域是，D是．
故选：BD
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为 B．在区间上单调递减
C．的值域为 D．图象关于点中心对称
【答案】BC
【详解】对于A，由，得，所以函数的定义域为，所以A错误；对于B，，令，可得该函数在单调递减，又由于函数在定义域内单调递增，所以复合函数在单调递减，所以B正确；对于C，，令，该函数在单调递减，所以，所以，所以函数的值域为，所以C正确；对于D，因为函数的定义域为，所以图象不可能关于点中心对称，所以D错误；故选：BC.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．函数的图像过定点 .
【答案】
【详解】令得，，所以函数过定点，故答案为：.
13． ，若上单调递增，则a的取值范围是 .
【答案】
【详解】设，设，则，，所以，即，所以在时，是增函数，由题意应是增函数，所以，从而，所以，又，，
综上，．故答案为：
14．已知函数（且），在上单调递减，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】因为函数（且），在上单调递减，所以，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.专题 4.4 对数函数
一、知识归纳：
1． 1）对数函数的概念
函数 （，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．
（2）特殊的对数函数
常用对数函数 以 为底的对数函数
自然对数函数 以 为底的对数函数
2．对数函数的图象和性质
（，且）
底数
图象
定义域
值域
单调性 在上是 函数 在上是 函数
最值
奇偶性 函数
共点性 图象过定点 ，即时，
函数值特点 时， ； 时， 时， ； 时，
对称性 函数与的图象关于 对称
3．反函数的概念
一般地，指数函数 和对数函数 为反函数．它们的定义域和值域正好互换．
4．对数不等式的解法
（1）形如的不等式，借助函数的单调性求解，如果的取值不确定，需分 与 两种情况讨论.
（2）形如的不等式，应将化为 的形式，再借助函数的单调性求解.
（3）形如的不等式，基本方法是将不等式两边化为 ，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集.
（4）形如的不等式，可用 ，先解，得到的取值范围.然后再解的范围.
二、分层检测：
A.基础检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤ C．③④ D．②④⑥
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．设函数，则（ ）
A．在单调递增 B．在单调递减
C．在单调递增 D．在单调递减
4．已知，，则函数的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．对数函数(，且)与二次函数在同一坐标系内的图象可能是( )
A． B． C． D．
7．已知是定义在上的偶函数，当时， ，则不等式的解集为
A． B． C． D．
8．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．已知函数，若，则（ ）
A．1 B． C． D．
10．已知函数在R上存在最小值，则实数m的可能取值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
11．若，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．函数的单调递增区间为 .
13．函数是的反函数，则函数的图象恒过定点 ．
14．已知函数的图象不过第四象限，则实数m的取值范围为 .
B.能力检测
（限时30分钟，满分73分）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．已知函数，则（ ）
A． B． C．9 D．27
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．已知（，且）在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．函数的图象与的图象的交点个数为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
7．已知函数，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．马赫数是飞行器的运动速度与音速的比值.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度（单位：）和燃料的质量（单位：）、飞行器（除燃料外）的质量（单位：）的函数关系是.已知当该飞行器所处高空的音速为，最大速度对应的马赫数分别为8和13时，燃料的质量分别为和，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分，共18分）
9．若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数定义域为 B．时，
C．的解集为 D．
10．若函数满足：当时，的值域为，则称为局部的函数，下列函数中是局部的函数的是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为 B．在区间上单调递减
C．的值域为 D．图象关于点中心对称
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．函数的图像过定点 .
13． ，若上单调递增，则a的取值范围是 .
14．已知函数（且），在上单调递减，则的取值范围是 .
