第二十二章 一元二次方程 单元测试基础卷（含答案）2025-2026学年华东师大版九年级上册
文档属性
| 名称 | 第二十二章 一元二次方程 单元测试基础卷（含答案）2025-2026学年华东师大版九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 722.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-08 16:13:30 | ||
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文档简介
第二十二章 一元二次方程单元测试基础卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．1 B． C． D．2
3．股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（ ）
有没有这样的数，先算这个数的平方， 再减去这个数的3倍，最后加上4， 运算结果和这个数相同
A．1 B．2 C． D．2或
5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．将一元二次方程 配方后为（ ）
A． B． C． D．
7．对于一元二次方程（，，为常数，且，下列说法：①若，则方程必有一根为；②当时，方程至少有一个根为；③若方程的两根为和，则必有成立；④若，则方程一定有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若一元二次方程的一个根为m，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即]为例说明，构造如图，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下面四个构图中，能正确说明方程的解法的构图是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，是方程的两根，则的值为（ ）
A． B．0 C．10 D．14
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
11．若是一元二次方程，则的取值范围是 ．
12．刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如，把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数5，则的值是 ．
13．两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少，则大、小两个正方形的边长依次是 ．
14．如图，在的方格纸中有一格点，若的面积为，则这张方格纸的面积等于 ．
15．关于x的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若n是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是 ．（写出所有正确说法的序号）
三、解答题
16．解方程．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．已知一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
18．某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
(1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
(2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？
19．图是老师设计的一个流程图，根据流程图，按要求完成下列问题．
(1)若输出的值为，求输入的值；
(2)若输出的值相同，求输入的值．
20．已知方程：，解决以下问题：
(1)不解方程判断此方程的根的情况；
(2)请按要求分别解这个方程：
①配方法；
②因式分解法．
(3)这些方法都是将解 转化为解 ；
(4)尝试解方程：．
21．关于的方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
22．新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”．
(1)判断下列方程一定是“美好方程”是_______；（直接填序号）
①；②；③；
(2)若关于的一元二次方程方程，
①证明：此方程一定是“美好方程”；
②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图象上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
23．阅读材料，解答问题：
材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)【直接应用】解方程：；
(2)【间接应用】已知实数a，b满足：，，且，求的值；
(3)【拓展应用】已知实数x，y满足：，且，求的值．
试卷第4页，共5页
试卷第1页，共5页
《第二十二章 一元二次方程单元测试基础卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A B A D D A C D
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程．
根据一元二次方程的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．，不是一元二次方程；
B．，是一元二次方程；
C．，不是一元二次方程；
D．，不是一元二次方程；
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式．
根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解．
【详解】解：一元二次方程的一次项系数是．
故选：B
3．A
【分析】本题主要考查了增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道题的关键在于理解：价格上涨后是原来价格的倍．股票一次跌停就跌到原来价格的，再从的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨，第一天涨为，第二天涨为，据题意列出方程．
【详解】解：设这两天此股票股价的平均增长率为
∴，
即，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
根据题意建立方程，解方程即可．
【详解】解：设这个数为，根据题意得方程：
移项整理为：
因式分解得：
解得：．
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式．
【详解】解：，
，
，
．
故选：D．
7．D
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式、方程根的定义等知识．
①与②根据方程的根的定义和解方程即可作出判断；根据根与系数关系即可判断③；根据一元二次方程根的判别式即可判断④．
【详解】解：①∵，
∴，
∴方程必有一根为；
∴①正确；
②当时，则一元二次方程变为，
则，
∴或，
解得或，
∴方程至少有一个根为；
故②正确；
③若方程的两根为和，
∴，
∴，
故③正确；
④若，则．
∴方程的判别式为,
∵，，
∴，
∴方程一定有两个不相等的实数根；
故④正确；
综上可知，①②③④正确；
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据m是方程的一个根，可得，再代入代数式计算即可求得．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
9．C
【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．
根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．
【详解】解：方程，即的拼图如图所示
中间小正方形的边长为，其面积为9，
大正方形的面积：，
其边长为7，
因此，C选项所表示的图形符合题意，
故选：C．
10．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程的解使方程成立的未知数的值是解题的关键．
由一元二次方程的解、根与系数的关系可得，，即，再对代数式变形后整体代入求值即可．
【详解】解：∵，是方程的两根，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
11．
【分析】本题考查了由一元二次方程的定义求参数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
由一元二次方程的定义，列出关于参数的不等式求解．
【详解】解：∵是一元二次方程，
∴，解得：，
故答案为：．
12．或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解新定义的运算方法是解题的关键．
根据新定义得到一元二次方程，再由配方法求解即可．
【详解】解：由题意得，，
，
，
，
∴或，
故答案为：或．
13．，
【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设小正方形边长为，根据题意则大正方形边长为，根据大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少列方程求解即可．
【详解】解：设小正方形边长为，则大正方形边长为，由题意得：
，
整理得：，
解得，（舍），
则大正方形边长为：．
故答案为：，．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用。
先设正方形网格中小正方形的边长为，根据大正方形与的面积关系，列方程求解，即可得到方格纸的面积．
【详解】解：设正方形网格（小正方形）的边长为x，则
，
整理得 ，
∴方格纸的面积．
故答案为：．
15．①②④
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根等知识，完全平方公式，提公因式，证明，即可判断①，证明，即可判断②；根据一元二次方程根的定义得到，则或，即可判断③；由题意可得，即可判断④．
【详解】解：①对于方程，
，
若，则，
则，
即，
∴方程一定有两个不相等的实数根；故①正确；
②由①可知，，
若，则，即，则，
∴，
∴方程没有实数根；故②正确；
③若n是方程的一个根，则，即，
则或，即或，故③错误；
④若是方程的一个根，
则，
∵，
∴两边同除以得，
，
即，
∴是方程的一个根．
故④正确；
综上可知，①②④正确，
故答案为：①②④．
16．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查解一元二次方程：
（1）利用十字相乘法因式分解即可求解；
（2）利用求根公式即可求解；
（3）利用十字相乘法因式分解即可求解；
（4）利用直接开平方法即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
，
；
（3）
；
（4）
．
17．；方程的根为
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式等于0求出的值，再利用直接开平方法解方程即可得．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴这个一元二次方程根的判别式，
解得．
∴这个一元二次方程为，即，
∴方程的根为．
18．(1)2，3两个月的销售量月平均增长率为
(2)这种玩具应降价2元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，根据设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，进行列方程，再解方程，即可作答．
（2）设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，结合在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个，进行列方程，再解方程，即可作答．
【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意，得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
答：2，3两个月的销售量月平均增长率为．
（2）解：∵这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个
∴每降价1元，其销售量增加12个
设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得，(不符合题意，舍去)，
答：这种玩具应降价2元．
19．(1)
(2)或
【分析】（）由流程图可得，进而得到，解方程即可求解；
（）由题意得，解方程即可求解；
本题考查了程序计算，解一元二次方程，看懂流程图是解题的关键．
【详解】（1）解：由流程图可得，，
∵输出的值为，
∴，
解得，
∴输入的值为；
（2）解：由题意得，，
整理得，，
解得，，
∴输入的值为或．
20．(1)有两个不相等的实数根
(2)①，，见解析；②，，见解析
(3)一个一元二次方程；两个一元一次方程
(4)，，
【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，根据判别式判断一元二次方程根的情况，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）先写出，，，再代入判别式求解；
（2）①用配方法求解；
②用因式分解法求解．
（3）这些方法都是将解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程；
（4）用因式分解法求解．
【详解】（1）解：，
，，，
，
所以方程有两个不相等的实数根；
（2）解：①配方法：，
移项，得：，
两边都加上4，，
即，
所以，
解得：，；
②因式分解法：，
方程左边分解因式，得，
所以或，
解得：，；
（3）解：这些方法都是将解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程，
故答案为：一个一元二次方程，两个一元一次方程；
（4）解：，
方程左边分解因式，得，
所以或或，
解得：，，．
21．(1)，且
(2)不存在实数，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握以上公式．
（1）整理原方程，再利用根的判别式列出不等式，求解即可；
（2）利用根与系数的关系列出代数式进行整理判断即可．
【详解】（1）解：由整理得，，
根据题意得，
解得，且；
（2）解：不存在实数，理由如下：
令方程的两个根分别为，
则，
∴，
所以，不存在实数．
22．(1)①③
(2)①证明见解析；②存在，的值为
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案；
（2）①计算出根的判别式，即可证明结论；②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值．
【详解】（1）解：①，，故符合题意；
②，，故不符合题意；
③，，故符合题意；
故选：①③；
（2）解：①证明：，
，
此方程一定是“美好方程”．
②存在，理由如下：
，
，，
始终在函数的图象上，
，
，
∴
则
即存在实数，使得始终在函数的图象上，的值为1．
23．(1)，，，
(2)或
(3)
【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数关系，阅读材料正确进行换元是解决问题的关键．
（1）类比材料中方法，将换元为解方程即可．
（2）分情况讨论：①，②，再类比材料中内容换元解方程即可．
（3）令，，将原方程转化为一元二次方程，利用根与系数关系求解即可．
【详解】（1）解：令，则有，
∴，
∴，，
∴或，
∴，，，．
（2）∵，
∴或．
①当时，令，，
∴，则，，
∴m，n是方程的两个不相等的实数根，
∴，此时．
②当时，，
此时，
综上：或．
（3）令，，则，，
∵，∴，即，
∴a，b是方程的两个不相等的实数根，
∴，故．
答案第12页，共13页
答案第13页，共13页
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程的一次项系数是（ ）
A．1 B． C． D．2
3．股票每天的涨、跌幅均不超过，即当涨了原价的后，便不能再涨，叫涨停；当跌了原价的后，便不能再跌，叫跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为，则满足的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，根据小明与的对话，在深度思考后，给出的答案是（ ）
有没有这样的数，先算这个数的平方， 再减去这个数的3倍，最后加上4， 运算结果和这个数相同
A．1 B．2 C． D．2或
5．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．将一元二次方程 配方后为（ ）
A． B． C． D．
7．对于一元二次方程（，，为常数，且，下列说法：①若，则方程必有一根为；②当时，方程至少有一个根为；③若方程的两根为和，则必有成立；④若，则方程一定有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．若一元二次方程的一个根为m，则的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即]为例说明，构造如图，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下面四个构图中，能正确说明方程的解法的构图是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，是方程的两根，则的值为（ ）
A． B．0 C．10 D．14
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
11．若是一元二次方程，则的取值范围是 ．
12．刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对进入其中时，会得到一个新的实数．例如，把放入其中，就会得到．现将实数对放入其中，得到实数5，则的值是 ．
13．两个正方形，小正方形的边长比大正方形的边长的一半多，大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少，则大、小两个正方形的边长依次是 ．
14．如图，在的方格纸中有一格点，若的面积为，则这张方格纸的面积等于 ．
15．关于x的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若n是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是 ．（写出所有正确说法的序号）
三、解答题
16．解方程．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
17．已知一元二次方程有两个相等的实数根，求m的值及方程的根．
18．某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
(1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
(2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？
19．图是老师设计的一个流程图，根据流程图，按要求完成下列问题．
(1)若输出的值为，求输入的值；
(2)若输出的值相同，求输入的值．
20．已知方程：，解决以下问题：
(1)不解方程判断此方程的根的情况；
(2)请按要求分别解这个方程：
①配方法；
②因式分解法．
(3)这些方法都是将解 转化为解 ；
(4)尝试解方程：．
21．关于的方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)是否存在实数，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
22．新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”．
(1)判断下列方程一定是“美好方程”是_______；（直接填序号）
①；②；③；
(2)若关于的一元二次方程方程，
①证明：此方程一定是“美好方程”；
②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图象上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
23．阅读材料，解答问题：
材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)【直接应用】解方程：；
(2)【间接应用】已知实数a，b满足：，，且，求的值；
(3)【拓展应用】已知实数x，y满足：，且，求的值．
试卷第4页，共5页
试卷第1页，共5页
《第二十二章 一元二次方程单元测试基础卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B A B A D D A C D
1．B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程．
根据一元二次方程的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．，不是一元二次方程；
B．，是一元二次方程；
C．，不是一元二次方程；
D．，不是一元二次方程；
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是掌握一元二次方程一般形式．
根据一元二次方程一般形式的定义，即可求解．
【详解】解：一元二次方程的一次项系数是．
故选：B
3．A
【分析】本题主要考查了增长率的定义及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，这道题的关键在于理解：价格上涨后是原来价格的倍．股票一次跌停就跌到原来价格的，再从的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能，所以至少要经过两天的上涨才可以．设平均每天涨，第一天涨为，第二天涨为，据题意列出方程．
【详解】解：设这两天此股票股价的平均增长率为
∴，
即，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
根据题意建立方程，解方程即可．
【详解】解：设这个数为，根据题意得方程：
移项整理为：
因式分解得：
解得：．
故选：B．
5．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查解一元二次方程—配方法，根据配方法可以将题目中的方程写成完全平方的形式．
【详解】解：，
，
，
．
故选：D．
7．D
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式、方程根的定义等知识．
①与②根据方程的根的定义和解方程即可作出判断；根据根与系数关系即可判断③；根据一元二次方程根的判别式即可判断④．
【详解】解：①∵，
∴，
∴方程必有一根为；
∴①正确；
②当时，则一元二次方程变为，
则，
∴或，
解得或，
∴方程至少有一个根为；
故②正确；
③若方程的两根为和，
∴，
∴，
故③正确；
④若，则．
∴方程的判别式为,
∵，，
∴，
∴方程一定有两个不相等的实数根；
故④正确；
综上可知，①②③④正确；
故选：D．
8．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据m是方程的一个根，可得，再代入代数式计算即可求得．
【详解】解：∵m是方程的一个根，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
9．C
【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．
根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．
【详解】解：方程，即的拼图如图所示
中间小正方形的边长为，其面积为9，
大正方形的面积：，
其边长为7，
因此，C选项所表示的图形符合题意，
故选：C．
10．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程的解使方程成立的未知数的值是解题的关键．
由一元二次方程的解、根与系数的关系可得，，即，再对代数式变形后整体代入求值即可．
【详解】解：∵，是方程的两根，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
11．
【分析】本题考查了由一元二次方程的定义求参数，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
由一元二次方程的定义，列出关于参数的不等式求解．
【详解】解：∵是一元二次方程，
∴，解得：，
故答案为：．
12．或
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解新定义的运算方法是解题的关键．
根据新定义得到一元二次方程，再由配方法求解即可．
【详解】解：由题意得，，
，
，
，
∴或，
故答案为：或．
13．，
【分析】本题考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设小正方形边长为，根据题意则大正方形边长为，根据大正方形的面积比小正方形的面积的2倍少列方程求解即可．
【详解】解：设小正方形边长为，则大正方形边长为，由题意得：
，
整理得：，
解得，（舍），
则大正方形边长为：．
故答案为：，．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用。
先设正方形网格中小正方形的边长为，根据大正方形与的面积关系，列方程求解，即可得到方格纸的面积．
【详解】解：设正方形网格（小正方形）的边长为x，则
，
整理得 ，
∴方格纸的面积．
故答案为：．
15．①②④
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根等知识，完全平方公式，提公因式，证明，即可判断①，证明，即可判断②；根据一元二次方程根的定义得到，则或，即可判断③；由题意可得，即可判断④．
【详解】解：①对于方程，
，
若，则，
则，
即，
∴方程一定有两个不相等的实数根；故①正确；
②由①可知，，
若，则，即，则，
∴，
∴方程没有实数根；故②正确；
③若n是方程的一个根，则，即，
则或，即或，故③错误；
④若是方程的一个根，
则，
∵，
∴两边同除以得，
，
即，
∴是方程的一个根．
故④正确；
综上可知，①②④正确，
故答案为：①②④．
16．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查解一元二次方程：
（1）利用十字相乘法因式分解即可求解；
（2）利用求根公式即可求解；
（3）利用十字相乘法因式分解即可求解；
（4）利用直接开平方法即可求解．
【详解】（1）
；
（2）
，
；
（3）
；
（4）
．
17．；方程的根为
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．根据一元二次方程根的判别式等于0求出的值，再利用直接开平方法解方程即可得．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴这个一元二次方程根的判别式，
解得．
∴这个一元二次方程为，即，
∴方程的根为．
18．(1)2，3两个月的销售量月平均增长率为
(2)这种玩具应降价2元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，根据设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，进行列方程，再解方程，即可作答．
（2）设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，结合在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个，进行列方程，再解方程，即可作答．
【详解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意，得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
答：2，3两个月的销售量月平均增长率为．
（2）解：∵这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个
∴每降价1元，其销售量增加12个
设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得，(不符合题意，舍去)，
答：这种玩具应降价2元．
19．(1)
(2)或
【分析】（）由流程图可得，进而得到，解方程即可求解；
（）由题意得，解方程即可求解；
本题考查了程序计算，解一元二次方程，看懂流程图是解题的关键．
【详解】（1）解：由流程图可得，，
∵输出的值为，
∴，
解得，
∴输入的值为；
（2）解：由题意得，，
整理得，，
解得，，
∴输入的值为或．
20．(1)有两个不相等的实数根
(2)①，，见解析；②，，见解析
(3)一个一元二次方程；两个一元一次方程
(4)，，
【分析】本题考查了解一元二次方程—配方法，根据判别式判断一元二次方程根的情况，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
（1）先写出，，，再代入判别式求解；
（2）①用配方法求解；
②用因式分解法求解．
（3）这些方法都是将解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程；
（4）用因式分解法求解．
【详解】（1）解：，
，，，
，
所以方程有两个不相等的实数根；
（2）解：①配方法：，
移项，得：，
两边都加上4，，
即，
所以，
解得：，；
②因式分解法：，
方程左边分解因式，得，
所以或，
解得：，；
（3）解：这些方法都是将解一个一元二次方程转化为解两个一元一次方程，
故答案为：一个一元二次方程，两个一元一次方程；
（4）解：，
方程左边分解因式，得，
所以或或，
解得：，，．
21．(1)，且
(2)不存在实数，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是掌握以上公式．
（1）整理原方程，再利用根的判别式列出不等式，求解即可；
（2）利用根与系数的关系列出代数式进行整理判断即可．
【详解】（1）解：由整理得，，
根据题意得，
解得，且；
（2）解：不存在实数，理由如下：
令方程的两个根分别为，
则，
∴，
所以，不存在实数．
22．(1)①③
(2)①证明见解析；②存在，的值为
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一元二次方程的解法是解题关键．
（1）先计算根的判别式，再判断完全平方数（式），即可得到答案；
（2）①计算出根的判别式，即可证明结论；②利用因式分解法解一元二次方程，得到，，再根据一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值．
【详解】（1）解：①，，故符合题意；
②，，故不符合题意；
③，，故符合题意；
故选：①③；
（2）解：①证明：，
，
此方程一定是“美好方程”．
②存在，理由如下：
，
，，
始终在函数的图象上，
，
，
∴
则
即存在实数，使得始终在函数的图象上，的值为1．
23．(1)，，，
(2)或
(3)
【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数关系，阅读材料正确进行换元是解决问题的关键．
（1）类比材料中方法，将换元为解方程即可．
（2）分情况讨论：①，②，再类比材料中内容换元解方程即可．
（3）令，，将原方程转化为一元二次方程，利用根与系数关系求解即可．
【详解】（1）解：令，则有，
∴，
∴，，
∴或，
∴，，，．
（2）∵，
∴或．
①当时，令，，
∴，则，，
∴m，n是方程的两个不相等的实数根，
∴，此时．
②当时，，
此时，
综上：或．
（3）令，，则，，
∵，∴，即，
∴a，b是方程的两个不相等的实数根，
∴，故．
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