华东师大版九年级上册数学2025-2026学年第二十二章 一元二次方程 单元测试培优卷（含答案）

华东师大版九（上）2025-2026学年 第二十二章一元二次方程单元测试培优卷
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
一、单选题
1．某同学自主学会了某个几何模型，并把它分享给班里其他同学，第一次教会了若干名同学，第二次会做该模型的每名同学又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这个模型．若设1人每次都能教会x名同学，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．关于的方程，下列解法完全正确的是（　　）
甲 乙 丙 丁
两边同时除以， 得 整理得， ， ， ， ． 整理得， 配方得， ， ， ． 移项， ， 或，．
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．阿拉伯数学著作《算术之钥》书中记载着一道颇受阿拉伯人喜爱的数学题：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到10个石榴，问这群人共有多少人 设这群人共有x人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．对于一元二次方程（，，为常数，且，下列说法：①若，则方程必有一根为；②当时，方程至少有一个根为；③若方程的两根为和，则必有成立；④若，则方程一定有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．已知，是关于的方程的两个根，则的值为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
7．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）
A．且 B． C．且 D．
8．有一题目：“若，判断关于x的方程的根的情况．”
嘉嘉答：“有两个不相等的实数根．”
淇淇答：“有两个相等的实数根．”
则正确的是（ ）
A．只有嘉嘉答的对 B．只有淇淇答的对
C．嘉嘉和淇淇的答案合在一起才完整 D．嘉嘉和淇淇的答案合在一起也不完整
9．已知一元二次方程的两个根分别是菱形的一对角线长和边长，则该菱形的周长为（ ）
A． B．或 C． D．
10．三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A． B．或 C．或 D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题
11．2025年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）掀起足球热，“苏超”常规赛采用单循环制，即每两队之间只进行一场比赛，若该联赛有队伍x支，预计常规赛共比赛78场，则 ．
12．在中，，，，点M从点A开始向点B以的速度运动，同时，点N从点B开始向点C以的速度运动，当点N运动到点C后停止，点M也随之停止运动．若使的面积为，则点M运动的时间是 ．
13．用换元法解方程时，设，则原方程可化为 ．
14．已知是方程的一个根则 ．
15．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若是方程的一个根，则一定有成立；③若，则它有一个根是；④若一元二次方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根，其中正确的是 （填序号）．
三、解答题
16．乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火纷飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离．电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据．（注：票房是指截至发布日期的所有售票累计收入）
影片《万里归途》的部分统计数据
发布日期 10月8日 10月11日 10月12日
发布次数 第1次 第2次 第3次
票房 10亿元 12.1亿元
(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？
(2)若保持每次累计票房增长的百分率不变，请求第4次发布后的票房收入？
17．学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个1米宽的通道，两个场地分别留出一个1米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为45米，设实验田的长为米．
(1)的长为________米（用含的式子表示）；
(2)若实验田（矩形）的面积为180平方米，求的值；
(3)通过计算说明该实验田的面积能否为240平方米．
18．已知关于的方程．
(1)若该方程有一个根为3，求方程的另一根；
(2)求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
19．已知关于的方程有两个实数根．
(1)求的取值范围；
(2)当取最大整数值时，方程与有一个相同的根，求的值；
(3)若方程的两个根均为正整数，直接写出的值．
20．用适当的方法解下列方程．
(1)；
(2)．
21．已知关于的一元二次方程中，．
(1)解：∵，．
∴，
∴______，此时______．
(2)若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，请求出方程的根．
22．如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的倍（为正整数），则称这样的方程为“倍根方程”．例如：方程的两个根分别是2和4，则这个方程就是“二倍根方程”；方程的两个根分别是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
(1)根据上述定义，是“___________倍根方程”；
(2)若关于的方程是“二倍根方程”，求的值；
(3)直线与轴交于点，直线过点，且与相交于点．若一个五倍根方程的两个根为和，且点在的内部（不包含边界），求的取值范围．
23．阅读以下材料，并解决相应的问题．
三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，说明如下：
将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形，图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：，
∵x表示边长，
∴，即．
注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根！
(1)尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，
第一步：将原方程变为，即x（__________________）；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（请在画图区画出示意图，标明各边长）；
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：______________；解得原方程的一个根为______________
(2)反思：这种构造图形解一元二次方程体现的数学思想是_________（从“①分类讨论，②数形结合，③演绎”三个选项中选择最恰当的一项的序号填空）．
试卷第6页，共6页
试卷第1页，共6页
《华东师大版九（上）2025-2026学年 第二十二章一元二次方程单元测试培优卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D C D B C C A B
1．D
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键．
设1人每次都能教会x名同学，根据两次教会全班36人，再根据题意列出关于x的一元二次方程即可．
【详解】解：设1人每次都能教会x名同学，
根据题意得：．
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、分式的求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
由根与系数的关系可得，，根据分式的运算法则得到，再整体代入数据即可求解．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴．
故选：D．
3．D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．依次分析甲、乙、丙、丁四种解法，根据解一元二次方程的方法（因式分解法、公式法、配方法）判断每一种解法的正误．
【详解】解：甲的解法是两边同时除以，但没有考虑的情况，此时不能直接除，会遗漏这个解．故甲项错误．
原方程整理得，化为一般式应为，此时，，，而乙中，后续计算也错误．故乙项错误．
配方时，，应配方为，即，而丙中配方错误，后续求解也错误．故丙项错误．
移项得，提取公因式得，根据“若两个数的乘积为，则至少其中一个数为”，可得或，解得，．故丁项正确．
故选：D．
4．C
【分析】本题考查一元二次方程的应用，利用倒序相加的方法求出的和，根据题意即可列出方程．
【详解】解：设这群人共有人，则这群人摘的石榴数依次为，设总的石榴数为S，
则①，
又∵②
∴由得，
∴，
又∵平均每人分得10个石榴，
∴总石榴数S也可表示为，
因此方程为，
故选：C．
5．D
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数关系、根的判别式、方程根的定义等知识．
①与②根据方程的根的定义和解方程即可作出判断；根据根与系数关系即可判断③；根据一元二次方程根的判别式即可判断④．
【详解】解：①∵，
∴，
∴方程必有一根为；
∴①正确；
②当时，则一元二次方程变为，
则，
∴或，
解得或，
∴方程至少有一个根为；
故②正确；
③若方程的两根为和，
∴，
∴，
故③正确；
④若，则．
∴方程的判别式为,
∵，，
∴，
∴方程一定有两个不相等的实数根；
故④正确；
综上可知，①②③④正确；
故选：D．
6．B
【分析】本题考查一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系．
由一元二次方程的解和一元二次方程根与系数的关系可得出，，然后将变形成，然后代入求解即可．
【详解】解：∵m，n是关于x的方程的两个根，
，
∴，
∴
，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有实数根得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，
∴且，
∴且；
故选C．
8．C
【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简及根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
根据题意，先求出k的取值范围，再利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【详解】解：由题知，
∵，
∴，
解得：，
∵关于x的方程为，
则，
又∵，
∴，
则此方程有两个实数根，
显然只有C选项符合题意．
故选：C
9．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程，三角形三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先解一元二次方程可得两根，再分成当对角线为，菱形边长为时，和对角线为，菱形边长为时两种情况考虑，可得菱形的边长为，进而可求解．
【详解】解：解一元二次方程，
可得：，，
∵方程两个根分别是菱形的一对角线长和边长，
∴当对角线为，菱形边长为时，，符合要求，
当对角线为，菱形边长为时，，不符合要求，
∴根据三角形三边关系，可得菱形的边长为，
∴菱形的周长为：．
故选：A．
10．B
【分析】此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想，小心别漏解．
由，可利用因式分解法求得的值，然后分别从时，是等腰三角形；与时，是直角三角形去分析求解即可求得答案．
【详解】，
解得：，，
当时，则三角形是等腰三角形，如图：，，是高，
，，
，
当时，如图，，，，
，
是直角三角形，，
．
故选：B．
11．13
【分析】本题考查列一元二次方程解决实际问题，设该联赛有队伍x支，则比赛场数为，列出方程并解方程即可得到答案．
【详解】解：设该联赛有队伍x支，则每支球队会与除本身外的支球队进行比赛，故总共有场比赛，但考虑到重复计数问题（如“A队与B队比赛”和“B队与A队比赛”重复计算），故实际的比赛场数为，
由题可知，
解得，（不符合题意，舍去），
故答案为：13．
12．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意得，，根据题意列出一元二次方程解题即可．
【详解】解：，，
当运动时间为时，，
则，
根据题意可得，
即，
整理得：，
解得（舍去），
则当的面积是时，点M运动的时间是．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了换元法求分式方程，根据换元法及完全平方公式求解．
【详解】解：原方程可化为：，即：，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查一元二次方程的解，代数式求值，掌握相关知识是解决问题的关键．因为是方程的一个根，可得，整体代入所求代数式计算即可．
【详解】解：是方程的一个根，
，
，
，
故答案为：．
15．①③④
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义、根的判别式，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．根据一元二次方程的根的定义、根的判别式等知识，对每个说法逐一进行分析判断．
【详解】解：①若，则是方程的一个根，所以方程有实数根，故，①正确．
②若是方程的一个根，则，当时，；当时，，则不一定等于，②错误．
③若，则当时，，所以它有一个根是，③正确．
④若一元二次方程有两个不相等的实数根，则，即．对于方程，其判别式，因为，，所以，故方程必有两个不相等的实数根，④正确．
故答案为：①③④．
16．(1)；
(2)亿元
【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设平均每次累计票房增长的百分率是x，利用第3次累计票房=第1次累计票房×（1+平均每次累计票房增长的百分率），列出一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）利用第4次累计票房=第3次累计票房×（1+平均每次累计票房增长的百分率），即可得出答案．
【详解】（1）解：设平均每次累计票房增长的百分率是x，
根据题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
答：平均每次累计票房增长的百分率是；
（2）解：（亿元）
即第4次累发布后的票房收入为亿元．
17．(1)
(2)10
(3)不能
【分析】本题考查了列代数式、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
（1）根据题意列出，计算整式的加减即可得；
（2）根据题意建立方程，解方程求出的值，再根据位置的墙最大可用27米，位置的墙最大可用15米即可得；
（3）根据题意建立方程，利用一元二次方程根的判别式求解即可得．
【详解】（1）解：由题意得：（米），
故答案为：．
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得或，
当时，，不符合题意，舍去；
当时，，符合题意；
答：的值为10．
（3）解：假设该实验田的面积能为240平方米，
则，
整理得：，
这个方程根的判别式为，方程没有实数根，假设不成立，
答：该实验田的面积不能为240平方米．
18．(1)
(2)见解析
【分析】本题考查的是一元二次方程根的定义、一元二次方程根与系数的关系及根的判别式．
（1）根据方程根的定义，把代入方程，求出的值，再由一元二次方程根与系数的关系得到方程的另一根；
（2）根据一元二次方程的根的判别式列出关于m的代数式，再由完全平方式的非负性证明即可．
【详解】（1）解：由题意得，将代入，
则，
解得，
∴方程为，
设另一个根为，则由一元二次方程根与系数的关系得：
解得，
∴另一个根为；
（2）解：，
∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根
19．(1)
(2)
(3)5或8或9
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．
（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可得；
（2）先得出，再求出方程的解，代入方程求解即可得；
（3）根据一元二次方程的根与系数的关系可得，，再根据方程的两个根均为正整数分类讨论，代入计算即可得．
【详解】（1）解：∵关于的方程有两个实数根，
∴这个方程根的判别式，
解得．
（2）解：当取最大整数值时，则，
∴方程为，
解得，
∵方程与有一个相同的根，
∴，
解得．
（3）解：设关于的方程的两个根为，
∴，，
∵这个方程的两个根均为正整数，
∴①当时，，
②当时，，
③当时，，
④当时，，
⑤当时，，
综上，的值为5或8或9．
20．(1)，
(2)，
【分析】（）利用因式分解法解答即可；
（）利用因式分解法解答即可；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
，
即，
或，
解得，；
（2）解：，
，
或，
解得，．
21．(1)；
(2)
【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式以及二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数非负和判别式与根的关系是解题的关键．先根据二次根式的被开方数非负求出c、b的值，再结合判别式求出a，进而求解方程的根．
【详解】（1）解：根据二次根式的性质：被开方数必须是非负数，所以对于和，需要满足：
，
∴，
∴，
将代入得
；
（2）解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴
将，代入判别式，得
，
解得，
此时方程为，
即，
解得．
22．(1)四
(2)10或82
(3)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一次函数与几何综合，正确理解“倍根方程”的定义是解题的关键．
（1）利用因式分解法求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义求解即可；
（2）先解关于的方程得，由题意可得或，再代入求解即可；
（3）利用待定系数法求出直线解析式为；再根据题意可得，则可得点P在直线上，求出直线与直线的交点坐标，直线与直线的交点坐标，根据点在的内部（不包含边界），结合函数 图象即可得到答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得，
∵，
∴是“四倍根方程”；
（2）解：解关于的方程得，
∵关于的方程是“二倍根方程”，
∴或，
当时，；
当时，；
综上，的值为10或82；
（3）解：设直线解析式为，
把代入到中得，
∴，
∴直线解析式为；
∵一个五倍根方程的两个根为和，
∴，
∴点P的坐标为，
∴点P在直线上，
联立，解得，
联立，解得，
∵点在的内部（不包含边界），
∴．
23．(1)；；
(2)②
【分析】本题主要考查了根据阅读材料给出解决某一问题的特殊方法，解题的关键是理解新方法的本质，明确新方法的具体操作步骤，同时要借助数形结合思想，找到解决的问题与示例之间的关联．
（1）根据赵爽的解法解方程的一般步骤即可求解．
（2）在整个解决问题的过程中，体现了“数”与“形”的结合，进而可得出答案．
【详解】（1）解：第一步：将原方程变为，即；
第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形，如图所示：
第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：，解得原方程的一个根为；
故答案为：，，；
（2）解：反思：这种构造图形解一元二次方程体现的数学思想是数形结合，
故答案为：②.
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