鲁教版九年级数学上、下册综合自我评估检测（含答案）

上、下册综合自我评估
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是 （　　）
A. y = B. y = C. y = x2 D. y =
2. 如图，在△ABC中，∠C = 90°，BC = a，AC = b，AB = c，下列选项正确的是 （　　）
A. sin A = B. cos B =
C. tan A = D. tan B =
3. 一个盒子中装有标号为1，2，3的三个小球，这些球除标号外都相同.从中随机摸出两个小球，则摸出的小球标号之和大于4的概率为 （　　）
A. B. C. D.
4. 图①是由6个相同的小正方体组成的几何体，移动其中一个小正方体，变成图②所示的几何体，则移动前后 （　　）
A. 主视图改变，俯视图改变 B. 主视图不变，俯视图改变
C. 主视图不变，俯视图不变 D. 主视图改变，俯视图不变
5. 如图，已知⊙O的直径CD = 8，AB是⊙O的弦，AB ⊥ CD，垂足为M，OM = 2，则AB的长为 （　　）
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
6. 二次函数y = kx2 - k与反比例函数y = （k ≠ 0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是 （　　）
7. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得∠A = 88°，∠C = 42°，AB = 60，则点A到BC的距离为 （　　）
A. 60sin 50° B.
C. 60cos 50° D. 60tan 50°
8. 【跨学科】某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图①所示，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图②所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率P的最大值为 （　　）
A. 160 W B. 180 W C. 200 W D. 220 W
9. 如图，点A在反比例函数y = 的图象上，过点A作AB ⊥ x轴于点B，AC ⊥ y轴于点C，以点O为位似中心把四边形OBAC放大得到四边形OB′A′C′，且相似比为2∶3，则经过点A′的反比例函数的表达式为 （　　）
A. y = B. y = - C. y = D. y = -
10. 如图，AB为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点，AB = 8，BD与半圆O相切于点B，P为上一动点（不与点A，M重合），直线PC交BD于点D，BE ⊥ OC于点E，延长BE交PC于
点F，下列结论：①的长为π；②∠DBE = 45°；③△BCF ∽ △PCB；④CF·CP为定值.其中正确的个数是 （　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若反比例函数y = 的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是　　　　　　.
12. 写一个你喜欢的实数m的值：　　　　　　，使得“关于x的方程x2 - x - m = 0有两个不等的实数根”是必然事件.
13. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD，AC，则sin∠CAD的值为　　　　　　.
14. 将一个棱长为6 cm的正方体的一个角割去一个棱长为3 cm的小正方体，得到的几何体如图所示，则该几何体主视图的面积为　　　　　　cm2.
15. 如图，在△ABC中，AB = AC = 2，∠A = 90°，以点A为圆心，AB的长为半径作弧；再以BC为直径作半圆，则阴影部分的面积为　　　　　　.
16. 如图，抛物线y = x2 - 2x - 3交x轴于A，B两点（点A在点B的右侧），交y轴于点C，D是线段AC的中点，P是线段AB上一个动点，△APD沿DP折叠得△A′PD，则线段A′B的最小值是_______.
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. （6分）计算：3tan 30° - tan245° + 2sin 60°.
18. （7分）如图，一次函数y1 = - x + 2的图象与反比例函数y2 = （k ≠ 0）的图象交于点A（- 1，m），B（n， - 1）．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）当y1 ＞ y2时，求出x的取值范围.
19. （8分）“覆巢无完卵，国破家亦残.岳母忍刺字，千秋大义传.”是一段穿越千年的历史佳话和一笔宝贵的母教文化遗产.河南汤阴县是岳飞故里，某学校组织学生开展公益宣传活动，成立了“岳” “母”“刺”“字”四个宣传队.
（1）如果小华从这四个宣传队中任意选择一个宣传队参加，那么选到“岳”队的概率是　　　　　　；
（2）如果小华和小丽每人随机选择参加其中一个宣传队，求他们恰好选到同一个宣传队的概率.
20. （8分）一个圆柱体形零件，削去了占底面圆的四分之一部分的柱体（如图），现已画出了主视图与俯视图.
（1）请将此零件的左视图画出来；
（2）若此零件底面圆的半径r = 2 cm，高h = 3 cm，求此零件的表面积.
21. （9分）如图，在△ABC中，AB = AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点F，交AC于点E.
（1）求证：DE ⊥ AC；
（2）若AE = 6，FB = 4，求⊙O的半径.
22. （10分）根据以下素材，探索完成任务：
素材 1 一圆形喷泉池的中央安装了一个喷水装置OA，通过调节喷水装置OA的高度，从而实现喷出水柱竖直方向的升降，但不改变水柱的形状.为了美观在半径为2.1米的喷泉池四周种植了一圈宽度均相等的花卉（图中的阴影部分）.
素材 2 从喷泉口A喷出的水柱成抛物线形，如图是该喷泉喷水时的一个截面示意图，已知喷水口A离地面高度为0.72米，喷出的水柱在离喷水口水平距离为0.3米处离地面最高，高度为0.75米.
问题解决
任 务 （1）建立模型 以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，根据素材2求抛物线的函数表达式；
（2）利用模型 为了提高对水资源的利用率，在欣赏喷泉之余也能喷灌四周的花卉，确定喷水口A升高的最小值；
（3）分析计算 喷泉口A升高的最大值为米，为能充分喷灌四周花卉，请对花卉的种植宽度提出合理的建议.
23. （11分）图①所示是我国古代提水的器具桔槔，创造于春秋时期.它选择大小两根竹竿，大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上，大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿下端悬挂水桶.其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井；当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里.图②所示是桔槔的示意图，大竹竿AB = 6 m，O为AB的中点，支架OD垂直地面EF.
（1）当水桶在井里时，∠AOD = 120°，求此时支点O到小竹竿AC的距离；（2）如图③，当水桶提到井口时，大竹竿AB旋转至A1B1的位置，小竹竿AC移至A1C1的位置，此时∠A1OD = 143°，求点A上升的高度．
（结果精确到0.1 m，参考数据： ≈ 1.73，sin 37° ≈ 0.60，cos 37° ≈ 0.80，tan 37° ≈ 0.75）
24. （13分）如图①，在平面直角坐标系中，已知抛物线y = x2 + bx + c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB = OC = 4.
（1）求抛物线的表达式；
（2）在第一象限内抛物线上是否存在点M，使∠BCM = 15°？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）如图②，若D是抛物线在第二象限上的点，过点D作DF ⊥ x轴于点F，过点A，B，D的圆与DF交于点E，求△ABE的面积.
上、下册综合自我评估 参考答案
一、1. D　2. D　3. D　4. B　5. D　6. A　7. A　8. D　9. C　10. C
二、11. k＜5　12. 1（答案不唯一）　13. 14. 36　15. 2　16.
三、17. 解：原式 = 3 × - 1 + 2 × = - 1 + = 2 - 1.
18. 解：（1）当x = - 1时，y1 = - （ - 1） + 2 = 3.所以m = 3.所以A（ - 1，3）.
把A（ - 1，3）代入y2 = ，得 = 3，解得k = - 3.所以反比例函数的表达式为y2 = - .
（2）令y1 = - 1，则 - x + 2 = - 1，解得x = 3.所以B（3， - 1）.
由图象可得，当y1 > y2时，x的取值范围是x < - 1或0 < x < 3.
19. 解：（1）
（2）把“岳”“母”“刺”“字”四个宣传队分别记为A，B，C，D，画树状图如下：
由图可知，共有16种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有4种，所以P（小华和小丽恰好选到同一个宣传队） = = .
20. 解：（1）如图，即为所求作.
（2）两底面扇形的面积为2 × π 22 = 6π（cm2），侧面积为 × 3 = （9π + 12）cm2，所以此零件的表面积为6π + 9π + 12 = （15π + 12）cm2.
21. （1）证明：连接OD，AD.因为AB为⊙O的直径，所以∠ADB = 90°.所以AD ⊥ BC.
因为AB = AC，所以BD = DC.
因为OA = OB，所以OD为△ABC的中位线.所以OD ∥ AC.
因为直线EF为过点D的⊙O的切线，所以OD ⊥ EF.所以DE ⊥ AC.
（2）解：设⊙O的半径为r，则OD = r，FO = 4 + r，FA = 4 + 2r.因为OD ∥ AC，所以△FOD ∽ △FAE.所以.所以，解得r = - 3（不合题意，舍去）或r = 4.所以⊙O的半径为4．
22. 解：（1）由题意，得顶点为（0.3，0.75），所以设抛物线的函数表达式为y = a（x - 0.3）2 + 0.75.
把A（0，0.72）代入y = a（x - 0.3）2 + 0.75，得0.09a + 0.75 = 0.72，解得a = - .所以抛物线的函数表达式为y = - + .
（2）由题意，得喷泉池的半径为2.1米.
令x = 2.1，则y = - + = - 0.33，所以喷水口升高的最小值为 = 0.33（米）.
（3）当抛物线y = - + 向上平移个单位长度时，y = - + + .
令y = 0，即 - + + = 0，解得x = 2.3或x = - 1.7（舍去）.所以2.3 - 2.1 = 0.2（米）.所以建议花卉的种植宽度为0.2米.
23. 解：（1）过点O作OG ⊥ AC，垂足为G，所以∠AGO = 90°.
由题意，得AC ∥ OD，所以∠DOG = ∠AGO = 90°.
因为∠AOD = 120°，所以∠AOG = ∠AOD - ∠DOG = 30°.
因为O为AB的中点，所以OA = AB = 3（m）.在Rt△AOG中，OG = AO·cos 30° ≈ 2.6（m）.
所以此时支点O到小竹竿AC的距离约为2.6 m.
（2）设OG交A1C1于点H.
由题意，得OG ⊥ A1C1，OD∥A1C1，OA1 = OA = 3 m，所以∠A1 = 180° - ∠A1OD = 180° - 143° = 37°.
在Rt△OA1H中，A1H = OA1·cos 37° ≈ 3 × 0.80 = 2.4（m）.
在Rt△AOG中，AG = AO·sin 30° = 1.5（m），所以A1H - AG = 2.4 - 1.5 = 0.9（m）.所以点A上升的高度约为0.9 m.
24. 解：（1）因为OB = OC = 4，所以B（4，0），C（0， - 4）.
把B（4，0），C（0， - 4）代入y = x2 + bx + c，得解得所以抛物线的表达式为y = x2 - x - 4.
（2）在第一象限内抛物线上存在点M，使∠BCM = 15°.理由如下：
因为OB = OC，∠BOC = 90°，所以△BOC是等腰直角三角形.所以∠OBC = ∠OCB = 45°.
因为∠BCM = 15°，所以∠OCM = 30°.
过点M作MH ⊥ y轴，垂足为H.
设点M的坐标为，则MH = p，CH = .
在Rt△CMH中，tan∠HCM = ，即，解得p = 0（舍去）或p = .
所以.
（3）令y = 0，得x2 - x - 4 = 0，解得x = - 2或x = 4.所以A（- 2，0）.所以AB = 6.
设过点A，B，D的圆的圆心为点G.
因为GA = GB，所以点G在线段AB的垂直平分线上.
设G（1，t），同理可得点G在线段DE的垂直平分线上.
因为DE ⊥ x轴于点F，所以设D（m，n），则E（m，2t - n）.
所以S△ABE = AB·EF = × 6（2t - n） = 3（2t - n）.
因为GD2 = GA2，所以（1 - m）2 + （t - n）2 = （ - 2 - 1）2 + （0 - t）2，整理，得m2 - 2m + 1 + n2 - 2tn - 9 = 0①.
因为点D在抛物线上，所以m2 - m - 4 = n，得m2 = 2m + 2n + 8②.
将②代入①,得n2 - 2tn + 2n = 0.
因为n ≠ 0，所以n - 2t + 2 = 0，即2t - n = 2.所以S△ABE = 3（2t - n） = 6.