鲁教版九年级数学自我评估检测（含答案）
文档属性
| 名称 | 鲁教版九年级数学自我评估检测（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 482.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-07 21:35:49 | ||
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文档简介
九年级下册自我评估
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1. 某商家搞营销活动，顾客买商品后抽奖券，中奖概率为0.2.对“中奖概率为0.2”这句话，下列理解正确的是 （ ）
A. 抽1张奖券肯定不会中奖
B. 抽10张奖券肯定会中2张奖
C. 抽1张奖券也可能会中奖
D. 抽10张奖券至少中1张奖
2. 如图，AB是⊙O的直径，D，E是上的两点，连接AD，BE并延长交于点C，连接OD，OE.若∠C = 70°，则∠DOE的度数是 （ ）
A. 42° B. 40° C. 38° D. 35°
3. 下列命题中正确的是 （ ）
A. 平分弦的直径垂直于弦
B. 三角形的三个顶点确定一个圆
C. 圆心角的度数等于它所对弧上的圆周角度数的一半
D. 相等的圆周角所对的弧相等
4. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E = 40°，则∠CDB的度数为 （ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
5. 如图，在半圆ACB中，AB = 6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则BC的长是 （ ）
A. π B. 2π C. 4π D. 3
6. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接PO并延长与⊙O交于点C，D.若CD = 12，PA = 8，则sin∠ADB的值为 （ ）
A. B. C. D.
7. 如图，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色就可以配成紫色，则可以配成紫色的概率是 （ ）
A. B. C. D.
8. 如图，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，连接OD，OC，以下结论错误的是 （ ）
A. AD + BC = CD B. ∠DOC = 90°
C. S梯形ABCD = CD OA D. OA2 = DE CD
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 40°，AB = 6，斜边AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，当BE = BC时，的长为 （ ）
A. π B. π C. π D. π
10. 如图，动点P在线段AB上（不与点A，B重合），AB = 1.分别以AB，AP，BP为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y，线段AP的长为x.当点P从点A移动到点B时，y的值随x值的变化而变化，则阴影面积的最大值是 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为，则布袋里红球有 个.
12. 已知圆锥的高为8 cm，母线长为10 cm，则其侧面展开图的面积为 cm2.（结果保留π）
13. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，是以点O为圆心，OA长为半径的圆弧，N是AB的中点，MN ⊥ AB.“会圆术”给出的长l的近似值计算公式：l = AB + .当OA = 4，∠AOB = 60°时，l的值为 .
14. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想数字，把乙所猜数字记为b，且a，b都只能取0，1，2，若a，b满足 ≤ 1，则称甲、乙两人“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，这两人“心有灵犀”的概率为 .
15. 如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为1，直线l的表达式为y = x + t.若直线l与半圆有交点，则t的取值范围是 .
16. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，在AC边上取点O为圆心画圆，使⊙O经过A，B两点，下列结论：①AO = 2CO；②AO = BC；③以点O为圆心，OC长为半径的圆与AB相切；④延长BC交⊙O于点D，则A，B，D是⊙O的三等分点.其中正确的结论是 .（填序号）
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. （6分）若⊙O的半径是12 cm，OP = 8 cm，求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离.
18. （7分）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，F是的中点，连接CF，EF.
（1）请直接写出∠CFE = °；
（2）求证：EF = CF.
19. （8分）【跨学科】如图①，实验室中存放有A，B两组溶液（均为无色），A组溶液中的两种酸性溶液分别为稀盐酸（HCl）和稀硫酸（H2SO4），B组溶液中的两种碱性溶液分别为氢氧化钠溶液（NaOH）和氢氧化钙溶液（Ca（OH）2）.
（1）彤彤从A组溶液中随机选择一瓶溶液，则选中稀盐酸（HCl）的概率为 ；
（2）下面是小杰求“从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液（CaCl2）”的概率的部分过程，帮他补全图②所示的树状图并完成求解.（提示：稀盐酸与氢氧化钙溶液反应可生成氯化钙溶液）
20. （8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC = 8，BC = 6.
（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，垂足为E，交劣弧AC于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值.
21. （9分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE ⊥ CD于点E.
（1）若∠EAC = 25°，求∠ACD的度数；
（2）若OB = 2，BD = 1，求CE的长.
22. （10分）【新定义】如图①，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，满足∠APC = ∠BPD，则称∠CPD是的“幸运角”.
（1）如图②，AB是⊙O的直径，弦CE ⊥ AB，D是上一点，连接DE交AB于点P，连接CP.
①∠CPD是的“幸运角”吗？请说明理由.
②设的度数为n，请用含n的式子表示的“幸运角”度数.
（2）如图③，在（1）的条件下，若直径AB = 10，的“幸运角”为90°，DE = 8，求CE的长.
23. （11分）某体育馆有A，B两个入口（每个入口有3个通道可同时通行），C，D，E三个出口（其中C，D出口有2个通道，E出口有1个通道），每个通道在规定时间内可通行100人.规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开.甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入.
（1）求甲从A口进入，C口离开的概率；
（2）求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率；
（3）学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C，D，E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由.
24. （13分）如图①，在⊙O中，H是直径AB上的一点，过点H作弦CD ⊥ AB，E是的中点，过点E作BD的平行线交DC延长线于点F，连接BE，交CD于点G.
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：BD + EF = DF；
（3）如图②，连接DE，若 = k，则当k为何值时，线段DE = EF？
九年级下册自我评估 参考答案
一、1. C 2. B 3. B 4. A 5. D 6. A 7. A 8. D 9. B 10. D
二、11. 1 12. 60π 13. 11 - 4 14. 15. - 1 ≤ t ≤ 16. ①③④
三、17. 解：因为点P到圆心的距离OP < r，所以点P在圆内.所以点P到圆上各点的距离中最短距离为12 - 8 = 4（cm），最长距离为12 + 8 = 20（cm）.
18. （1）72
（2）证明：因为五边形ABCDE是正五边形，所以AE = BC.所以 = .
因为F是的中点，所以 = .所以 + = + ，即 = .所以EF = CF.
19. 解：（1）
（2）补全树状图如下：
由树状图可知，共有4种结果，且每种结果出现的可能性相等，其中从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液的结果有1种，所以P（从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液） = .
20. 解：（1）如图，即为所求作.
（2）因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB = 90°.在Rt△ABC中，AC = 8，BC = 6，所以AB = 10.
因为OD ⊥ AC，所以AE = CE = AC = 4.又因为OA = OB，所以OE是△ABC的中位线.所以OE = BC = 3.所以点O到AC的距离为3.
在Rt△CDE中，DE = OD - OE = 5 - 3 = 2，CE = 4，所以CD = .所以sin∠ACD = = = .
21. 解：（1）因为AE ⊥ CD，所以∠E = 90°.所以∠ACD = ∠E + ∠EAC = 90° + 25° = 115°.
（2）因为CD是⊙O的切线，所以OC ⊥ DE.所以∠OCD = 90°.因为OC = OB = 2，BD = 1，所以OD = OB + BD = 3.所以CD = = .因为∠OCD = ∠E = 90°，所以OC∥AE.所以 = ，即 = ，解得CE = .
22. 解：（1）①∠CPD是的“幸运角”.理由：记CE交AB于点 F.因为AB是⊙O的直径，CE ⊥ AB，所以CF = EF.所以CP = EP.所以∠APC = ∠EPA.因为∠BPD = ∠EPA，所以∠APC = ∠BPD.所以∠CPD是的“幸运角”.
②因为的度数为n，所以∠E = .
因为CP = EP，所以∠C = ∠E = .所以∠CPD = ∠C + ∠E = n.所以的“幸运角”度数为 n.
（2）连接CO，DO.因为的“幸运角”为90°，即∠CPD = ∠CPE = 90°，所以∠COD = 90°.因为AB = 10，所以OC = OD = AB = 5.所以CD2 = = 5.设CP = EP = x，则 PD = 8 - x.在Rt△CPD中，CP2 + PD2 = CD2，即x2 + （8 - x）2 = 50，解得x1 = 1，x2 = 7.所以CP = EP = 1或7.所以CE = = 或7.
23. 解：（1）画树状图如下：
由树状图可知，共有6种结果，且每种结果出现的可能性相等，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，所以P（甲从A口进入，C口离开） = .
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有8种结果，且每种结果出现的可能性相等，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，所以P（甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆） = = .
（3）七年级走E出口，八、九年级走C，D出口.
理由：因为七年级80人，八年级150人，九年级160人，C，D出口有2个通道，E出口有1个通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八、九年级走C，D出口的方案，能够在规定时间内使所有同学都有序离开.
24. （1）证明：如图，连接EO并延长交BD于点M.因为E是的中点，EM过圆心O，所以EM ⊥ BD.因为EF∥BD，所以OE ⊥ EF.所以EF是⊙O的切线.
（2）证明：如图，连接ED.因为E是的中点，所以 = .所以∠BDE = ∠DBE.因为CD ⊥ AB，所以 = .所以∠BDC = ∠BED.因为∠GBD = ∠DBE，所以∠BGD = ∠BDE =
∠GBD.所以BD = GD.因为EF∥
BD，所以∠FEG = ∠DBE = ∠BGD =
∠FGE.所以EF = FG.所以BD + EF = GD + FG = DF.
（3）解：因为∠BDC = ∠BED，∠GBD = ∠DBE，所以△BGD ∽ △BDE.所以 = .所以 = = k.设BG = a，则BD = ka，BE = k2a.因为DE = EF，所以∠F = ∠EDF.因为EF∥BD，所以∠F = ∠BDC.因为∠BED = ∠BDC，所以∠EDF = ∠BED.所以EG = DG.因为DG = BD = ka，所以EG = ka.所以BE = BG + EG = （k + 1）a.所以k2a = （k + 1）a，解得k1 = ，k2 = （舍去）.所以当k = 时，DE = EF.
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1. 某商家搞营销活动，顾客买商品后抽奖券，中奖概率为0.2.对“中奖概率为0.2”这句话，下列理解正确的是 （ ）
A. 抽1张奖券肯定不会中奖
B. 抽10张奖券肯定会中2张奖
C. 抽1张奖券也可能会中奖
D. 抽10张奖券至少中1张奖
2. 如图，AB是⊙O的直径，D，E是上的两点，连接AD，BE并延长交于点C，连接OD，OE.若∠C = 70°，则∠DOE的度数是 （ ）
A. 42° B. 40° C. 38° D. 35°
3. 下列命题中正确的是 （ ）
A. 平分弦的直径垂直于弦
B. 三角形的三个顶点确定一个圆
C. 圆心角的度数等于它所对弧上的圆周角度数的一半
D. 相等的圆周角所对的弧相等
4. 如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠E = 40°，则∠CDB的度数为 （ ）
A. 25° B. 30° C. 35° D. 40°
5. 如图，在半圆ACB中，AB = 6，将半圆ACB沿弦BC所在的直线折叠，若恰好过圆心O，则BC的长是 （ ）
A. π B. 2π C. 4π D. 3
6. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，连接PO并延长与⊙O交于点C，D.若CD = 12，PA = 8，则sin∠ADB的值为 （ ）
A. B. C. D.
7. 如图，用圆中两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏，若其中一个转盘转出红色，另一个转盘转出蓝色就可以配成紫色，则可以配成紫色的概率是 （ ）
A. B. C. D.
8. 如图，AB为半圆O的直径，AD，BC分别切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，连接OD，OC，以下结论错误的是 （ ）
A. AD + BC = CD B. ∠DOC = 90°
C. S梯形ABCD = CD OA D. OA2 = DE CD
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC = 40°，AB = 6，斜边AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点，连接CD与AB交于点E，当BE = BC时，的长为 （ ）
A. π B. π C. π D. π
10. 如图，动点P在线段AB上（不与点A，B重合），AB = 1.分别以AB，AP，BP为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y，线段AP的长为x.当点P从点A移动到点B时，y的值随x值的变化而变化，则阴影面积的最大值是 （ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 一个不透明的布袋里装有2个白球，1个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同，从中任意摸出1个球，是白球的概率为，则布袋里红球有 个.
12. 已知圆锥的高为8 cm，母线长为10 cm，则其侧面展开图的面积为 cm2.（结果保留π）
13. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中记录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图，是以点O为圆心，OA长为半径的圆弧，N是AB的中点，MN ⊥ AB.“会圆术”给出的长l的近似值计算公式：l = AB + .当OA = 4，∠AOB = 60°时，l的值为 .
14. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想数字，把乙所猜数字记为b，且a，b都只能取0，1，2，若a，b满足 ≤ 1，则称甲、乙两人“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏，这两人“心有灵犀”的概率为 .
15. 如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径为1，直线l的表达式为y = x + t.若直线l与半圆有交点，则t的取值范围是 .
16. 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，∠A = 30°，在AC边上取点O为圆心画圆，使⊙O经过A，B两点，下列结论：①AO = 2CO；②AO = BC；③以点O为圆心，OC长为半径的圆与AB相切；④延长BC交⊙O于点D，则A，B，D是⊙O的三等分点.其中正确的结论是 .（填序号）
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17. （6分）若⊙O的半径是12 cm，OP = 8 cm，求点P到圆上各点的距离中最短距离和最长距离.
18. （7分）如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，F是的中点，连接CF，EF.
（1）请直接写出∠CFE = °；
（2）求证：EF = CF.
19. （8分）【跨学科】如图①，实验室中存放有A，B两组溶液（均为无色），A组溶液中的两种酸性溶液分别为稀盐酸（HCl）和稀硫酸（H2SO4），B组溶液中的两种碱性溶液分别为氢氧化钠溶液（NaOH）和氢氧化钙溶液（Ca（OH）2）.
（1）彤彤从A组溶液中随机选择一瓶溶液，则选中稀盐酸（HCl）的概率为 ；
（2）下面是小杰求“从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液（CaCl2）”的概率的部分过程，帮他补全图②所示的树状图并完成求解.（提示：稀盐酸与氢氧化钙溶液反应可生成氯化钙溶液）
20. （8分）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC = 8，BC = 6.
（1）尺规作图：过点O作AC的垂线，垂足为E，交劣弧AC于点D，连接CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值.
21. （9分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CD，交AB的延长线于点D，过点A作AE ⊥ CD于点E.
（1）若∠EAC = 25°，求∠ACD的度数；
（2）若OB = 2，BD = 1，求CE的长.
22. （10分）【新定义】如图①，C，D是半圆ACB上的两点，若直径AB上存在一点P，满足∠APC = ∠BPD，则称∠CPD是的“幸运角”.
（1）如图②，AB是⊙O的直径，弦CE ⊥ AB，D是上一点，连接DE交AB于点P，连接CP.
①∠CPD是的“幸运角”吗？请说明理由.
②设的度数为n，请用含n的式子表示的“幸运角”度数.
（2）如图③，在（1）的条件下，若直径AB = 10，的“幸运角”为90°，DE = 8，求CE的长.
23. （11分）某体育馆有A，B两个入口（每个入口有3个通道可同时通行），C，D，E三个出口（其中C，D出口有2个通道，E出口有1个通道），每个通道在规定时间内可通行100人.规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开.甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入.
（1）求甲从A口进入，C口离开的概率；
（2）求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率；
（3）学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C，D，E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由.
24. （13分）如图①，在⊙O中，H是直径AB上的一点，过点H作弦CD ⊥ AB，E是的中点，过点E作BD的平行线交DC延长线于点F，连接BE，交CD于点G.
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求证：BD + EF = DF；
（3）如图②，连接DE，若 = k，则当k为何值时，线段DE = EF？
九年级下册自我评估 参考答案
一、1. C 2. B 3. B 4. A 5. D 6. A 7. A 8. D 9. B 10. D
二、11. 1 12. 60π 13. 11 - 4 14. 15. - 1 ≤ t ≤ 16. ①③④
三、17. 解：因为点P到圆心的距离OP < r，所以点P在圆内.所以点P到圆上各点的距离中最短距离为12 - 8 = 4（cm），最长距离为12 + 8 = 20（cm）.
18. （1）72
（2）证明：因为五边形ABCDE是正五边形，所以AE = BC.所以 = .
因为F是的中点，所以 = .所以 + = + ，即 = .所以EF = CF.
19. 解：（1）
（2）补全树状图如下：
由树状图可知，共有4种结果，且每种结果出现的可能性相等，其中从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液的结果有1种，所以P（从两组中各随机选一瓶溶液滴入同一试管中能够反应生成氯化钙溶液） = .
20. 解：（1）如图，即为所求作.
（2）因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB = 90°.在Rt△ABC中，AC = 8，BC = 6，所以AB = 10.
因为OD ⊥ AC，所以AE = CE = AC = 4.又因为OA = OB，所以OE是△ABC的中位线.所以OE = BC = 3.所以点O到AC的距离为3.
在Rt△CDE中，DE = OD - OE = 5 - 3 = 2，CE = 4，所以CD = .所以sin∠ACD = = = .
21. 解：（1）因为AE ⊥ CD，所以∠E = 90°.所以∠ACD = ∠E + ∠EAC = 90° + 25° = 115°.
（2）因为CD是⊙O的切线，所以OC ⊥ DE.所以∠OCD = 90°.因为OC = OB = 2，BD = 1，所以OD = OB + BD = 3.所以CD = = .因为∠OCD = ∠E = 90°，所以OC∥AE.所以 = ，即 = ，解得CE = .
22. 解：（1）①∠CPD是的“幸运角”.理由：记CE交AB于点 F.因为AB是⊙O的直径，CE ⊥ AB，所以CF = EF.所以CP = EP.所以∠APC = ∠EPA.因为∠BPD = ∠EPA，所以∠APC = ∠BPD.所以∠CPD是的“幸运角”.
②因为的度数为n，所以∠E = .
因为CP = EP，所以∠C = ∠E = .所以∠CPD = ∠C + ∠E = n.所以的“幸运角”度数为 n.
（2）连接CO，DO.因为的“幸运角”为90°，即∠CPD = ∠CPE = 90°，所以∠COD = 90°.因为AB = 10，所以OC = OD = AB = 5.所以CD2 = = 5.设CP = EP = x，则 PD = 8 - x.在Rt△CPD中，CP2 + PD2 = CD2，即x2 + （8 - x）2 = 50，解得x1 = 1，x2 = 7.所以CP = EP = 1或7.所以CE = = 或7.
23. 解：（1）画树状图如下：
由树状图可知，共有6种结果，且每种结果出现的可能性相等，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，所以P（甲从A口进入，C口离开） = .
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有8种结果，且每种结果出现的可能性相等，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，所以P（甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆） = = .
（3）七年级走E出口，八、九年级走C，D出口.
理由：因为七年级80人，八年级150人，九年级160人，C，D出口有2个通道，E出口有1个通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八、九年级走C，D出口的方案，能够在规定时间内使所有同学都有序离开.
24. （1）证明：如图，连接EO并延长交BD于点M.因为E是的中点，EM过圆心O，所以EM ⊥ BD.因为EF∥BD，所以OE ⊥ EF.所以EF是⊙O的切线.
（2）证明：如图，连接ED.因为E是的中点，所以 = .所以∠BDE = ∠DBE.因为CD ⊥ AB，所以 = .所以∠BDC = ∠BED.因为∠GBD = ∠DBE，所以∠BGD = ∠BDE =
∠GBD.所以BD = GD.因为EF∥
BD，所以∠FEG = ∠DBE = ∠BGD =
∠FGE.所以EF = FG.所以BD + EF = GD + FG = DF.
（3）解：因为∠BDC = ∠BED，∠GBD = ∠DBE，所以△BGD ∽ △BDE.所以 = .所以 = = k.设BG = a，则BD = ka，BE = k2a.因为DE = EF，所以∠F = ∠EDF.因为EF∥BD，所以∠F = ∠BDC.因为∠BED = ∠BDC，所以∠EDF = ∠BED.所以EG = DG.因为DG = BD = ka，所以EG = ka.所以BE = BG + EG = （k + 1）a.所以k2a = （k + 1）a，解得k1 = ，k2 = （舍去）.所以当k = 时，DE = EF.