2010上海市十校（高三）数学测试（文科）

2010上海市十校（高三）数学测试（文科）
一、填空题（本大题满分为56分）本大题共14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1.已知椭圆方程为，则该椭圆的长轴长为___________.
2.设集合，则用列举法可表示为_____________________．
3.解关于的方程：，其解集为．
4.已知，若与夹角为钝角，则实数取值范围是__________________.
5.复数满足. 设，则__________.
6.在二项式的展开式中，各项系数之和为,各项二项式系数之和为,且,则展开式中常数项的值为__________.
7.函数的值域是，则集合Ａ.
8.在中，已知，如果三角形有解，则的取值范围是_____________________.
9.若以连续掷两次骰子，分别得到的点数作为点的坐标，则点落在圆内的概率为．
10.已知函数的最大值为,的图像与轴的交点坐标为,其相邻两条对称轴间的距离为,则____________.
11.设函数，点表示原点，点（），是向量与向量的夹角，，设
，则.
12.已知为偶函数，为奇函数，其中为复数，则的值是_________.
13.已知实数、满足方程，当（）时，由此方程可以确定一个偶函数，则抛物线的焦点到点的轨迹上点的距离最大值为__________________.
14.有下列四个命题：
（1）函数在上是减函数；
（2）不等式：的解集为；
（3）已知数列的前项和为，，则数列一定是等比数列；
（4）过点作抛物线的切线，则切线方程可以表示为：．
则正确命题的序号为_________________．
二、选择题：（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.方程所表示的曲线是（ ）.
() 双曲线 () 焦点在轴上的椭圆
() 焦点在轴上的椭圆 () 以上答案都不正确
16.长度分别为的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（ ）.
() () () ()
17.函数与其反函数的图象的交点个数为（ ）．
() 个 () 3个 () 5个 () 无法确定
18.给定正数，其中，若成等比数列，成等差数列，则关于的一元二次方程（ ）．
() 有两个相等实根 () 有两个相异实根
() 有一个实根和一个虚根 () 有两个共轭虚根
三、解答题（本大题满分分）本大题共有5题，解题时要写出必要的解题过程.
19.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
如图，是圆柱体的一条母线，过底面圆的圆心， 是圆上不与点、重合的任意一点，已知棱，， ．
（1）求直线与平面所成的角的大小；
（2）将四面体绕母线转动一周，求的三边在旋转 过程中所围成的几何体的体积．
20.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
设全集，关于不等式（）的解集为．
（1）分别求出当和时的集合；
（2）设集合，若中有且只有三个元素，求实数的取值范围．
21.（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）
如图，已知点是边长为的正三角形的中心，线段经过点，并 绕点转动，分别交边、于点、；设，， 其中，。
（1）求证：；
（2）求面积的最大和最小值，并指出相应的、的值.
22.（本题满分16分，第（1）小题8分，第（2）小题8分，）
己知双曲线的中心在原点，右顶点为（1，0），点、Q在双曲线的右支上，点（，0）到直线的距离为1.
（1）若直线的斜率为且有求实数的取值范围；
（2）当时，的内心恰好是点，求此双曲线的方程.
23.（本题满分18分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
若数列满足：是常数），则称数列为二阶线性递推数列，且定义方程为数列的特征方程，方程的根称为特征根； 数列的通项公式均可用特征根求得：
①若方程有两相异实根，则数列通项可以写成，（其中是待定常数）；
②若方程有两相同实根，则数列通项可以写成，（其中是待定常数）；
再利用可求得，进而求得.
根据上述结论求下列问题：
（1）当，（）时，求数列的通项公式；
（2）当，（）时，若数列为等比数列，求实数的值；
（3）当，（）时，求的值.
2010年高三数学十校联考参考答案（文科）
填空题：（×=分）
1、；2、；3、；4、；5、；6、
7、；8、；9、；10、；11、；12、；13、；14、（3）（4）
二、选择题：（×=分）
15—18：
三、解答题：（满分分）
19、解：因为点在以为直径的圆上，所以，……………2分
因为，，所以，
从而有………………………………4分
所以为直线与平面所成的角，在中，
，所以，
即直线与平面所成的角为。………………………………6分
（2）由题意可知，所求体积是两个圆锥体的体积之差，
，
故所求体积为………………………………12分
20、解：（1）当时，…………………3分
当时，………………………………………………………6分
（2）由可以得到：.
当,解集是;
当时，解集是………………………………8分
(i)当时， ，不合题意；
(ii)当时，………………………………10分
因
=
由，得，即，所以……………12分
当有3个元素时，就满足
可以得到： ………………………………………………14分
21、解：解：（1）如图延长AG交BC与F，G为△ABC的中心
F为BC的中点，则有
，，
　即………………………………3分
D、G、E三点共线
　　………………………………5分
故 ＝3 ………………………………6分
（2）△ABC是边长为1的正三角形
， S＝mn…………………8分
由=3，0＜m1,0n=,　　即。…………………10分
S＝mn＝
设t=m-则m=t+（）S=mn=（t++）……………12分
　易知在为减函数，在为增函数。
t=，即，时，取得最小值，即S取得最小值…………14分
又，取得最大值是，
则S取得最大值，此时或…………………16分
22、设直线的方程为：，…………………2分
由点到直线的距离为可知：
得到，…………………5分
因为，所以，
所以 ，或
所以 或；…………………8分
（2）当时，，
由于点到直线的距离为，所以直线的斜率，……10分
因为点为的内心，故是双曲线上关于轴对称的两点，所以轴，不妨设直线交轴于点，则，
所以点的坐标为，…………………12分
所以两点的横坐标均为，把代入直线的方程：，得，所以两点的坐标分别为：
，…………………14分
设双曲线方程为：，把点的坐标代入方程得到
，…………………15分
所以双曲线方程为：…………………16分
23、解：（1）的特征根方程为：
解得两个相等的实根，…………………3分
所以设通项，
由可得：，所以………6分
（2）由可知特征方程为：， ………8分
所以 ，由得到，
所以 ，…………………9分
因为是等比数列，所以有
或…………………10分
当时，
当时，同理可得
所以 或…………………12分
（3）同样可以得到通项公式：
，…………………14分
所以

即 …………………18分