2010上海市十校（高三）数学测试（理科）

2010上海市十校（高三）数学测试（理科）
一、填空题（本大题满分为56分）本大题共14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1.已知椭圆方程为，则该椭圆的长轴长为___________.
2.已知，若与夹角为钝角，则实数取值范围是__________________.
3.设，则用列举法可表示为_________________.
4.复数满足，设，则__________.
5.在二项式的展开式中，各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且,则展开式中常数项的值为__________.
6.已知函数的最大值为3,的图像与轴的交点坐标为,其相邻两条对称轴间的距离为,则____________.
７．已知，，则关于的方程的解集为________.
8. 函数（Ａ）的值域是，则集合Ａ＝___________.
9.在中，已知，如果三角形有解，则的取值范围是___________________.
10.甲、乙两队比赛，每局甲胜的概率为，乙胜的概率也是，则在一次五局三胜制的比
赛中，甲队以获胜的概率是_______.
11.设函数，点表示原点，点（），是向量与向量的夹角，，
设，则.
12.已知为偶函数，为奇函数，其中为复数，则的值是_________.
13.已知实数、满足方程，当（）时，由此方程可以确定一个偶函数，则抛物线的焦点到点的轨迹上点的距离最大值为__________________.
14.有下列四个命题：
（1）一定存在直线，使函数的图像与函数的图像关于直线对称；
（2）不等式：的解集为；
（3）已知数列的前项和为，，则数列一定是等比数列；
（4）过抛物线上的任意一点的切线方程一定可以表示为
．
则正确命题的序号为_________________．
二、选择题：（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
15.方程所表示的曲线是（ ）.
() 双曲线 () 焦点在x轴上的椭圆
() 焦点在y轴上的椭圆 () 以上答案都不正确
16.长度分别为的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是（ ）.
() () () ()
17.给定正数，其中，若成等比数列，成等差数列，则关于的一元二次方程（ ）.
() 有两个相等实根 () 有两个相异实根
() 有一个实根和一个虚根 () 有两个共轭虚根
18.有个小球，将它们任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，再将其中一堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，如此下去，每次都任选一堆，将这堆小球任意分成两堆，求出这两堆小球球数的乘积，直到不能再分为止，则所有乘积的和为（ ）.
() () () ()
三、解答题（本大题满分分）本大题共有5题，解题时要写出必要的解题过程.
19.（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）
如图，是圆柱体的一条母线，过底面圆的圆心 ，是圆上不与点、重合的任意一点，已知棱， ，．
（1）求直线与平面所成的角的大小；
（2）将四面体绕母线转动一周，求的三边在旋 转过程中所围成的几何体的体积．
20.（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题8分）
设全集，关于的不等式（）的解集为．
（1）分别求出当和时的集合；
（2）设集合，若中有且只有三个元素，求实数的取值范围．
21.（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）
如图，已知点是边长为的正三角形的中心，线段经过点，并绕点 转动，分别交边、于点、；设，，其中，．
（1）求表达式的值，并说明理由；
（2）求面积的最大和最小值，并指出相应的、的值．
22.（本题满分16分，第（1）小题8分，第（2）小题8分）
己知双曲线的中心在原点，右顶点为（1，0），点、Q在双曲线的右支上，点 （，0）到直线的距离为1．
（1）若直线的斜率为且有,求实数的取值范围；
（2）当时，的内心恰好是点，求此双曲线的方程．
23.（本题满分18分，第（1）小题6分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）
若数列满足：是常数），则称数列为二阶线性递推数列，且定义方程为数列的特征方程，方程的根称为特征根； 数列的通项公式均可用特征根求得：
①若方程有两相异实根，则数列通项可以写成，（其中是待定常数）；
②若方程有两相同实根，则数列通项可以写成，（其中是待定常数）；
再利用可求得，进而求得．
根据上述结论求下列问题：
（1）当，（）时，求数列的通项公式；
（2）当，（）时，求数列的通项公式；
（3）当，（）时，记，若能被数整除，求所有满足条件的正整数的取值集合．
2010年高三数学十校联考参考答案（理科）
填空题：（×=分）
1、；2、；3、；4、；5、；6、
7、；8、；9、；10、；11、
12、；13、；14、（3）（4）
二、选择题：（×=分）
15—18：
三、解答题：（满分分）
19、解：因为点在以为直径的圆上，所以，……………2分
因为，，所以，
从而有………………………………4分
所以为直线与平面所成的角，在中，
，所以，
即直线与平面所成的角为。………………………………6分
（2）由题意可知，所求体积是两个圆锥体的体积之差，
，
故所求体积为………………………………12分
20、解：（1）当时，…………………3分
当时，………………………………………………………6分
（2）由可以得到：.
当,解集是;
当时，解集是………………………………8分
(i)当时， ，不合题意；
(ii)当时，………………………………10分
因
=
由，得，即，所以……………12分
当有3个元素时，就满足
可以得到： ………………………………………………14分
21、解：解：（1）如图延长AG交BC与F，G为△ABC的中心
F为BC的中点，则有
，，
　即………………………………3分
D、G、E三点共线
　　
故 ＝3 ………………………………6分
（2）△ABC是边长为1的正三角形，
， S＝mn…………………8分
由=3，0＜m1,0S＝mn＝
设t=m-则m=t+（）S=mn=（t++）……………12分
　易知在为减函数，在为增函数。
t=，即，时，取得最小值，
即S取得最小值…………………14分
又，取得最大值是，
则S取得最大值，此时或…………………16分
22、设直线的方程为：，…………………2分
由点到直线的距离为可知：
得到，…………………5分
因为，所以，
所以 ，或
所以 或；…………………8分
（2）当时，，
由于点到直线的距离为，所以直线的斜率，……10分
因为点为的内心，故是双曲线上关于轴对称的两点，所以轴，不妨设直线交轴于点，则，
所以点的坐标为，…………………12分
所以两点的横坐标均为，把代入直线的方程：，得，所以两点的坐标分别为：，
设双曲线方程为：，把点的坐标代入方程得到
，…………………15分
所以双曲线方程为：…………………16分
23、解：（1）由可知特征方程为：
， …………………3分
所以 设 ，由得到，
所以 ； …………………6分
（2）由可以得到
设，则上述等式可以化为：…………………8分
，所以对应的特征方程为：
，…………………10分
所以令 ，由可以得出
所以…………………11分
即 …………………12分
（3）同样可以得到通项公式………14分
所以

即 …………………14分
即 ，…………………16分
因此除以的余数，完全由除以的余数确定，
因为 所以 ，
，，
，，
，，
，，
由以上计算及可知，数列各项除以的余数依次是：
它是一个以为周期的数列，从而除以的余数等价于除以的余数，所以，，
即所求集合为：…………………18分