2025年春青岛版数学九年级下册5.5 确定二次函数的表达式 课件(共12张PPT)

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第5章 对函数的再探索
5.5 确定二次函数的表达式
情 境 导 入
1.二次函数表达式的一般形式是什么
二次函数表达式的顶点式是什么
3.若二次函数y=ax +bx+c(a≠0)与x轴两交点为(x1,0),(x2,0)则其函数表达式可以表示成什么形式
y=ax +bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)
y=a(x-h)2+k (a≠0)
y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
5.5 确定二次函数的表达式
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解：
所以设所求的二次函数为　y=a(x＋1)2-6.
由条件，得
( 2 , 3 )在抛物线上代入上式，得
3=a（2+1）2-6, 得 a=1.
所以这个抛物线表达式为 y=(x＋1)2-6,
即 y=x2+2x－5.
因为二次函数图像的顶点坐标是（－1，－6），
例1 已知抛物线的顶点为(－1，－6），并且图像经过点（2，3）求抛物线的表达式？
5.5 确定二次函数的表达式
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解：
设所求的二次函数为　y=ax2+bx+c,
将A,B,C三点坐标代入,得
a-b+c=6,
16a+4b+c=6,
9a+3b+c=2,
解得
所以这个二次函数表达式为
a=1,
b=-3,
c=2.
y=x2-3x+2
已知点A（－1,6），B（4,6）和C（3,2），求经过这三点的二次函数表达式.
o
x
y
例2
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解：
所以设所求的二次函数为y=a(x＋1)(x－1）.
由条件,得
已知抛物线与X轴交于A（－1，0），B（1,0）,并经过点M（0,1），求抛物线的表达式？
y
o
x
点M( 0,1 )在抛物线上,
所以a(0+1)(0-1)=1,
得 a=-1.
故所求的抛物线表达式为 y=- (x＋1)(x-1),
即 y=－x2+1.
例3
因为函数过A（－1，0），B（1,0）两点.
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例4 二次函数y=ax2+bx+c的图象过点A(0,5),　B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式.
解: ∵ 二次函数的对称轴为直线x=3.
∴设二次函数表达式为y=a(x-3)2+k.
图象过点A(0,5),B(5,0)两点，
∴ 5=a(0-3)2+k, a=1,
0=a(5-3)2+k. k=-4.
∴ 二次函数的表达式 y= (x-3)2-4
即 y=x2-6x+5.
小结: 已知顶点坐标（h,k）或对称轴方程x=h 时优先选用顶点式.
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例5 已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当x=3时,有最大值4，试确定这个二次函数的解析式.
解法1：（利用一般式）
设二次函数解析式为 y=ax2+bx+c (a≠0)
由题意,得
解方程组,得
∴ 二次函数的解析式为 y= -7x2+42x-59.
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解法2：（利用顶点式）
∵当x=3时，有最大值4.∴顶点坐标为(3,4).
设二次函数解析式为 y=a(x-3)2+4.
∵函数图象过点（4，-3）,
∴a(4-3)2+4=-3,
∴a=-7.
∴ 二次函数的解析式为 y= -7(x-3)2+4.
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1、 求二次函数的解析式的一般步骤：
一设、二列、三解、四还原.
2、求二次函数解析式常用方法：
（1）已知图象上三点或三点的对应值，通常选择一般式.
（2）已知图像的顶点坐标或对称轴和最值，通常选择顶点式.
（3）已知图像与x轴两个交点坐标，通常选择交点式 .
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1、根据下列条件，求二次函数的解析式.
(1)图象经过(0，0)， (1，-2) ， (2，3) 三点；
(2)图象的顶点(2，3)， 且经过点(3，1) ；
(3)图象经过(-1，0)， (3，0) ，（0, 3）.
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2、已知二次函数对称轴为x=2，且过（3，2）、（-1,10）两点，求二次函数的表达式.
3、已知二次函数极值为2，且过（3，1）、（-1,1）两点，求二次函数的表达式.
解：设y=a(x-2)2-k
解：设y=a(x-h)2+2
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课 堂 小 结
求二次函数表达式的一般方法：
　已知图象上三点或三对的对应值，
通常选择一般式
　已知图象的顶点坐标、对称轴或和最值
通常选择顶点式
　已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2，
通常选择交点式.
y
x
o
确定二次函数的表达式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式.
5.5 确定二次函数的表达式