1.5三角函数的应用 教学设计 2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 1.5三角函数的应用 教学设计 2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 923.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-08 16:47:41 | ||
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文档简介
1.5三角函数的应用 教学设计
一、内容与内容解析
（一）教学内容
本节课是北师大版初中数学九年级（下册）第1章“直角三角形的边角关系”的第5节。内容包括：理解仰角、俯角、方位角等概念，并运用解直角三角形的知识解决与这些概念相关的实际问题。
（二）教学内容解析
地位与作用：本节是上一节"解直角三角形"知识的直接应用和延伸，是将数学知识与实际生活联系的桥梁。
它体现了数学的建模思想，让学生感受到数学的实用价值，是培养学生应用意识和解决实际问题能力的关键一节。
核心素养：通过本节学习，有助于学生发展数学建模（将实际问题抽象为直角三角形模型）、
直观想象（从复杂图形中识别直角三角形）和数学运算（准确进行含三角函数的计算）等核心素养。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：
【教学重点】能够把实际问题转化为数学问题, 能够进行有关三角函数的计算
二、目标与目标解析
（一）教学目标
1. 理解仰角、俯角、方位角等概念，并能在具体问题中准确识别。
2. 能够将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形模型，并运用解直角三角形的知识解决。
3. 体验数学在解决实际测量、航海等问题中的作用，培养应用数学的意识和分析问题、解决问题的能力。
（二）教学目标解析
目标1：学生能准确说出仰角、俯角、方位角的定义，并能在图形中正确标注这些角。
目标2：学生能将实际问题中的文字语言转化为图形语言，抽象出直角三角形模型，
并能选择合适的边角关系进行求解。
目标3：学生能独立完成简单的实际应用题，并能对结果的合理性进行解释，体会数学的应用价值。
三、学生学情分析
已有知识基础：学生已经掌握了直角三角形的边角关系（勾股定理、锐角三角函数），并能熟练地解直角三角形。
可能遇到的困难：理解和区分仰角、俯角、方位角等新的概念，并能在实际情境中正确识别，是学生首先面临的挑战。将复杂的实际情境抽象成简洁的数学图形（直角三角形），即数学建模的过程，对学生来说有一定难度。当实际问题不能直接构成直角三角形时，需要添加辅助线构造直角三角形，这是更高层次的要求。基于以上分析，确定教学难点如下：
【教学难点】数形结合和建模思想的渗透
四、教学策略分析
1. 直观教学策略：通过图片、动画或实物演示，帮助学生直观理解仰角、俯角、方位角的概念，
化抽象为具体。
2. 问题驱动与情境教学策略：围绕生活中的实际问题（如测量山高、楼高等）展开教学，
激发学生的学习兴趣和探索欲望。
3. 建模教学策略：引导学生经历"实际问题 → 数学抽象 → 建立模型 → 求解模型 → 解释应用"
的完整过程，培养建模思想。
4. 分步拆解策略：对于复杂的应用题，引导学生分步分析：先理解题意，再画示意图，然后分析已知条件和所求，最后选择方法求解。
5. 合作探究策略：对于有挑战性的题目，组织学生分组讨论，通过合作交流共同完成建模和求解过程。
五、教学过程分析
（一）复习引入
在Rt ABC 中, ∠C=90°.
(1) 三边的关系是
(2) 锐角的关系是
(3)边角的关系是
特殊角的三角函数值
设计意图：回顾相关知识，唤起先前记忆，为本节的学习奠定基础和创造条件.
（二）主动参与、感悟新知
探究一：船是否会触礁
如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处.之后,货轮继续向东航行.
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗
请先独立思考再与同伴交流
解:要知道舰船继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC= 20海里.设AD=x,则
思考：货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？
根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险.如果小于10海里则有触礁的危险。A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，算出AD的长度，然后与10海里比较.
探究二：塔有多高
小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计,结果精确到1m)
处理方式：(自主解决问题后小组交流并全班展示)
(鼓励学生展示自己的解题过程) (积极思考，先独立完成，后集体交流展示)
解:如图,由题意可知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.
设CD=x,则∠ADC=600,∠BDC=300,
探究三：楼梯加长了多少
某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到0.01 m)
处理方式： (1)若AC代表原楼梯长，则楼高、楼梯在地面上的长度分别是什么？40°的角是哪个角？(2)在楼梯改造过程中，楼高是否发生了变化？
拓展延伸
一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1米, ）.
（三）课堂总结
1、本节课研究了什么问题？
2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？
3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？
【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。
（四）布置作业、巩固提高
1.如图所示,运载火箭从地面L处垂直向上发射,当火箭到达A点时,从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km,仰角是30°,n秒后,火箭到达B点,此时仰角是45°,则火箭在这n秒中上升的高度是 km.(保留准确值)
2.一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成45°夹角,且DB=6m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少
3.周末,小明一家去东昌湖划船,当船划到湖中C点处时,湖边的路灯A位于点C的北偏西64°方向上,路灯B位于点C的北偏东44°方向上.已知每两个路灯之间的距离是50米,求此时小明一家离岸边的距离是多少米 (结果精确到1米,参考数据:sin 64°≈0.9,cos 64°≈0.4,tan 64°≈2.1,sin 44°≈0.7,cos 44°≈0.7,tan 44°≈1.0)
一、内容与内容解析
（一）教学内容
本节课是北师大版初中数学九年级（下册）第1章“直角三角形的边角关系”的第5节。内容包括：理解仰角、俯角、方位角等概念，并运用解直角三角形的知识解决与这些概念相关的实际问题。
（二）教学内容解析
地位与作用：本节是上一节"解直角三角形"知识的直接应用和延伸，是将数学知识与实际生活联系的桥梁。
它体现了数学的建模思想，让学生感受到数学的实用价值，是培养学生应用意识和解决实际问题能力的关键一节。
核心素养：通过本节学习，有助于学生发展数学建模（将实际问题抽象为直角三角形模型）、
直观想象（从复杂图形中识别直角三角形）和数学运算（准确进行含三角函数的计算）等核心素养。基于以上分析，确定本节课的教学重点为：
【教学重点】能够把实际问题转化为数学问题, 能够进行有关三角函数的计算
二、目标与目标解析
（一）教学目标
1. 理解仰角、俯角、方位角等概念，并能在具体问题中准确识别。
2. 能够将实际问题转化为数学问题，构造直角三角形模型，并运用解直角三角形的知识解决。
3. 体验数学在解决实际测量、航海等问题中的作用，培养应用数学的意识和分析问题、解决问题的能力。
（二）教学目标解析
目标1：学生能准确说出仰角、俯角、方位角的定义，并能在图形中正确标注这些角。
目标2：学生能将实际问题中的文字语言转化为图形语言，抽象出直角三角形模型，
并能选择合适的边角关系进行求解。
目标3：学生能独立完成简单的实际应用题，并能对结果的合理性进行解释，体会数学的应用价值。
三、学生学情分析
已有知识基础：学生已经掌握了直角三角形的边角关系（勾股定理、锐角三角函数），并能熟练地解直角三角形。
可能遇到的困难：理解和区分仰角、俯角、方位角等新的概念，并能在实际情境中正确识别，是学生首先面临的挑战。将复杂的实际情境抽象成简洁的数学图形（直角三角形），即数学建模的过程，对学生来说有一定难度。当实际问题不能直接构成直角三角形时，需要添加辅助线构造直角三角形，这是更高层次的要求。基于以上分析，确定教学难点如下：
【教学难点】数形结合和建模思想的渗透
四、教学策略分析
1. 直观教学策略：通过图片、动画或实物演示，帮助学生直观理解仰角、俯角、方位角的概念，
化抽象为具体。
2. 问题驱动与情境教学策略：围绕生活中的实际问题（如测量山高、楼高等）展开教学，
激发学生的学习兴趣和探索欲望。
3. 建模教学策略：引导学生经历"实际问题 → 数学抽象 → 建立模型 → 求解模型 → 解释应用"
的完整过程，培养建模思想。
4. 分步拆解策略：对于复杂的应用题，引导学生分步分析：先理解题意，再画示意图，然后分析已知条件和所求，最后选择方法求解。
5. 合作探究策略：对于有挑战性的题目，组织学生分组讨论，通过合作交流共同完成建模和求解过程。
五、教学过程分析
（一）复习引入
在Rt ABC 中, ∠C=90°.
(1) 三边的关系是
(2) 锐角的关系是
(3)边角的关系是
特殊角的三角函数值
设计意图：回顾相关知识，唤起先前记忆，为本节的学习奠定基础和创造条件.
（二）主动参与、感悟新知
探究一：船是否会触礁
如图,海中有一个小岛A,该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55°的B处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西25°的C处.之后,货轮继续向东航行.
你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗
请先独立思考再与同伴交流
解:要知道舰船继续向东航行途中有无触礁的危险,只要过点A作AD⊥BC的延长线于点D,如果AD>10海里,则无触礁的危险.根据题意可知,∠BAD=550,∠CAD=250,BC= 20海里.设AD=x,则
思考：货轮要向正东方向继续行驶，有没有触礁的危险，由谁来决定？
根据题意，小岛四周10海里内有暗礁，那么货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险.如果小于10海里则有触礁的危险。A到BC所在直线的最短距离为过A作AD⊥BC，D为垂足，即AD的长度.我们需根据题意，算出AD的长度，然后与10海里比较.
探究二：塔有多高
小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往塔的方向前进50m至B处,测得仰角为60°,那么该塔有多高 (小明的身高忽略不计,结果精确到1m)
处理方式：(自主解决问题后小组交流并全班展示)
(鼓励学生展示自己的解题过程) (积极思考，先独立完成，后集体交流展示)
解:如图,由题意可知,∠A=300,∠DBC=600,AB=50m.
设CD=x,则∠ADC=600,∠BDC=300,
探究三：楼梯加长了多少
某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为4 m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？(结果精确到0.01 m)
处理方式： (1)若AC代表原楼梯长，则楼高、楼梯在地面上的长度分别是什么？40°的角是哪个角？(2)在楼梯改造过程中，楼高是否发生了变化？
拓展延伸
一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°，求路基下底的宽（精确到0.1米, ）.
（三）课堂总结
1、本节课研究了什么问题？
2、本节课经历了怎样的研究过程？用到了哪些数学思想？
3、对今后数学研究的启发？你还有哪些疑惑呢？
【设计意图】梳理知识脉络，提炼核心方法，帮助学生形成系统的认知，同时加深对代数式价值的理解。
（四）布置作业、巩固提高
1.如图所示,运载火箭从地面L处垂直向上发射,当火箭到达A点时,从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km,仰角是30°,n秒后,火箭到达B点,此时仰角是45°,则火箭在这n秒中上升的高度是 km.(保留准确值)
2.一灯柱AB被一钢缆CD固定.CD与地面成45°夹角,且DB=6m.现再在CD上方2m处加固另一根钢缆ED,那么,钢缆ED的长度为多少
3.周末,小明一家去东昌湖划船,当船划到湖中C点处时,湖边的路灯A位于点C的北偏西64°方向上,路灯B位于点C的北偏东44°方向上.已知每两个路灯之间的距离是50米,求此时小明一家离岸边的距离是多少米 (结果精确到1米,参考数据:sin 64°≈0.9,cos 64°≈0.4,tan 64°≈2.1,sin 44°≈0.7,cos 44°≈0.7,tan 44°≈1.0)