5.1 投影 教学设计 2025-2026学年北师大版（2012）数学九年级上册

初中数学北师大版（2012）九年级上册
1 投影
课标分析
根据《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求，本课"投影"内容属于"图形与几何"领域，重点培养学生空间观念和几何直观。课标要求学生通过观察、操作等活动，理解中心投影( )和平行投影( )的概念，区分正投影( )的特点。通过"做一做"等实践活动，发展学生运用投影原理解释日常现象的能力，如分析影子长短变化与光源位置的关系。课标强调通过"议一议"等合作探究活动，让学生理解同一物体在不同时刻的投影变化规律，以及不同物体在同一时刻投影的比例关系，培养数学建模和推理能力。
教材分析
本节课通过生活中的影子现象引入投影的概念，介绍了中心投影与平行投影的基本特征，结合太阳光与灯光下物体影子的变化规律，帮助学生理解不同光源对投影形状和大小的影响，并通过观察、操作、讨论等活动认识正投影的特点。教学过程以问题驱动、动手实践和合作交流为主线，引导学生在具体情境中探究投影的性质。本节内容与图形的变化及后续的视图与投影知识密切相关，为学习三视图、空间几何体的投影表示等奠定基础。本节课有助于发展学生的空间观念、几何直观和推理能力，提升观察分析与抽象概括能力，增强数学应用意识，为今后学习立体几何和工程制图相关内容做好铺垫。
学情分析
七年级学生已学习了直线、射线、线段、角及简单平面图形的性质，具备初步的空间观念和几何直观能力，为理解投影现象提供了基础，同时，该阶段学生处于具体运算向形式运算过渡期，能进行一定的抽象思维但依赖直观经验，对生活中的影子现象有丰富感知但缺乏数学抽象概括能力，本节课要求学生通过观察手电筒与太阳光下物体影子的变化规律，区分中心投影与平行投影，理解投影面、正投影等基本概念，并能判断不同光源下的影子特征，帮助学生发展几何直观、空间想象能力和归纳推理能力，体会数学与生活的联系，提升观察、操作与合作交流的能力，为进一步学习三视图与立体几何奠定基础。
教学目标
了解投影的概念，能识别生活中的投影现象，掌握投影面、中心投影与平行投影的基本特征，通过观察与操作活动发展直观想象和几何直观核心素养，提升空间观念与动手实践能力。
探究光源位置、物体摆放对影子形状与大小的影响，理解中心投影中影子变化规律，培养实验探究意识和归纳推理能力，增强对图形变化的感知与分析能力。
区分太阳光与灯光下的投影类型，能判断正投影与斜投影，通过比较不同投影特点发展逻辑思维和批判性思维，提高数学抽象与模型思想核心素养。
应用平行投影中影长与物高关系解决简单问题，经历测量与推理过程，强化数形结合思想，提升数据分析和实际应用能力，促进数学与生活联系的理解。
重点难点
重点：理解投影、中心投影、平行投影及正投影的概念；能区分不同投影。
难点：掌握中心投影与平行投影的特征，根据投影判断光源类型。
课前任务
1.知识回顾：
上节课我们学习了视图相关知识，请大家回顾什么是主视图、左视图和俯视图，并简单画出一个正方体的三种视图，检查对视图的掌握情况。
2.预习教材：
翻开课本，阅读投影这部分内容，了解投影、中心投影、平行投影及正投影的概念。阅读时，圈出中心投影和平行投影的特点，将不同投影的定义记录在预习笔记上，对不明白的地方做好标记。
3.问题思考：
生活中哪些现象是中心投影，哪些是平行投影？比如路灯下人的影子、太阳光下旗杆的影子分别属于哪种投影？思考两者区别，课上与同学交流。
课堂导入
同学们，大家在旅游时应该都拍过不少照片吧。那大家有没有注意到，在不同时间拍照，人物或景物的影子会有不同。比如早上太阳刚升起和中午太阳当空时，物体影子的长度和方向差别很大。再想想，在夜晚路灯下，随着人与路灯距离的变化，影子也会发生改变。这些影子的变化都蕴含着数学知识。今天，我们就一起走进“投影”的世界，探究物体在光线照射下形成影子的规律，看看不同情况下影子会有怎样奇妙的变化，让我们一起揭开投影的神秘面纱。
投影
探究新知
知识精讲
同学们，让我们一起来观察生活中的投影现象。看这张图片：
当太阳光照射在窗框、长椅等物体上时，会在墙壁或地面上留下影子。这种物体在光线照射下形成的影子现象，我们称之为投影（），影子所在的平面就叫做投影面。
现在请大家动手做一个小实验：取一些长短不等的小棒和三角形、矩形纸片，用手电筒照射它们。观察以下两种情况：
固定手电筒位置，改变小棒或纸片的摆放位置和方向时，影子会发生什么变化？
固定小棒或纸片，改变手电筒的摆放位置和方向时，影子又会发生什么变化？
通过实验我们可以发现，像手电筒、路灯和台灯这样从一个点发出的光线形成的投影，我们称之为中心投影（ ）。让我们来看这个例子：
这是一个广场中央有一盏路灯的场景。在中心投影中，影子的长度不仅与物体本身的高度有关，还与物体和光源的相对位置有关。
（二）师生互动
教师提问：同学们，根据我们刚才的实验和观察，如果两个身高相同的人站在同一盏路灯下，他们的影子长度一定相同吗？为什么？
学生思考后回答：不一定相同，因为影子长度还取决于他们与路灯的距离。如果两人与路灯的距离不同，影子长度就会不同。
教师追问：很好！那么身高不同的两个人，在路灯下的影子有没有可能一样长呢？请大家结合实验现象思考一下。
学生讨论后回答：有可能。比如一个高个子离路灯较远，一个矮个子离路灯较近，他们的影子长度可能会相同。
（三）设计意图
通过观察生活中的投影现象和动手实验，帮助学生建立对投影概念的直观认识。引导学生发现中心投影的特点，理解影子长度与物体高度、光源位置之间的关系。培养学生的观察能力、动手实践能力和逻辑思维能力，让学生体会数学与生活的密切联系，激发学习兴趣。通过师生互动，促进学生深入思考投影现象背后的数学原理，为后续学习平行投影打下基础。
新知应用
例1题目：确定图中路灯灯泡所在的位置。
解答：
我们观察图，图中有两根竖直立在地面上的木杆，它们在路灯照射下形成了各自的影子。我们的任务是根据这些影子来确定路灯灯泡的实际位置。
步骤一：理解中心投影的原理
路灯的光线是从一个点（灯泡）向四周发散出去的，这种投影方式叫做中心投影。在中心投影中，物体顶端与其影子顶端的连线一定经过光源（即灯泡）的位置。
步骤二：连接木杆顶端与影子顶端
我们取第一根木杆：
找到它的顶端（木杆最上面一点），
再找到它影子的顶端（影子最远的一端），
用直尺画一条直线，连接这两个点。
同样地，对第二根木杆也进行相同操作：
连接它的顶端和它影子的顶端，得到另一条直线。
步骤三：找两条直线的交点
由于这两条光线都从同一个灯泡发出，并照射到木杆顶端后投射出影子，因此这两条连线都应该经过灯泡的位置。
所以，这两条直线的交点就是灯泡所在的位置。
如图所示，两线相交于点，则点就是我们要找的路灯灯泡的位置。
总结
1.题目考查内容
①中心投影的基本概念；
②利用物体与其影子的关系确定光源位置；
③几何作图能力与空间想象能力的应用。
2.题目求解要点
①掌握中心投影的特点：所有光线从同一点（光源）发出；
②明确“物体顶端”与“影子顶端”的连线必过光源；
③通过作两条这样的连线并求其交点，即可确定光源位置；
④作图要准确，注意对应关系不能错位。
探究新知
（一）知识精讲
首先，我们通过实际操作来认识平行投影。请同学们取若干长短不等的小棒及三角形、矩形纸片，观察它们在太阳光下的影子变化。当固定投影面时，改变小棒或纸片的摆放位置和方向，可以发现它们的影子形状和大小都会发生变化；而当固定小棒或纸片时，改变投影面的位置和方向，影子的形状和位置也会随之改变。
太阳光线可以看作平行光线，由平行光线形成的投影称为平行投影。观察图(1)(2)：
其中图(2)展示了一种特殊的平行投影情况：当平行光线与投影面垂直时，这种投影称为正投影。正投影在工程制图中有着重要的应用。
接下来观察图5-5中的三幅图：
这是在北方某地某天上午不同时刻拍摄的同一棵树。通过比较可以发现，随着时间变化，同一物体的影子长度会发生变化，这是因为太阳高度角在改变。同时，在同一时刻，不同高度的物体，其影子长度与物体高度成正比关系。
（二）师生互动
教师提问：同学们，观察图：
这两棵小树的影子是由太阳光线还是灯光光线形成的？为什么？
学生回答：应该是太阳光线，因为两棵树的影子方向一致，符合平行光线的特点。如果是灯光，由于光源较近，会产生发散的光线，影子方向会不一致。
教师追问：很好！那么在图中：
如何判断这个影子是在太阳光下还是灯光下形成的？请画出同一时刻旗杆的影子。
学生思考后回答：可以通过观察影子的平行性来判断。太阳光下影子应该是平行的，而灯光下影子会发散。旗杆的影子应该与图中其他物体的影子保持平行关系。
（三）设计意图
通过实物观察和图片分析，帮助学生建立平行投影的直观认识，理解平行投影与正投影的区别。培养学生观察自然现象、分析图形特征的能力，通过对比不同条件下的影子变化，掌握平行投影的基本特性。引导学生从生活实际出发理解数学概念，培养空间想象能力和逻辑推理能力，体会数学与日常生活的密切联系。
新知应用
例2：某校墙边有甲、乙两根木杆，已知乙木杆的高度为1.5 m。
(1) 某一时刻甲木杆在阳光下的影子如图5-6所示。你能画出此时乙木杆的影子吗？
(2) 在图5-6中，当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？
(3) 在(2)的情形下，如果测得甲、乙木杆的影子长分别为1.24 m和1 m，那么你能求出甲木杆的高度吗？
解答：
(1) 如何画出乙木杆此时的影子？
由于太阳光是平行光，因此同一时刻所有物体的投影方向相同，即光线是一组平行线。
图中已给出甲木杆（设为 ）及其影子 ，说明光线方向由点 指向 。
因此，我们可以连接 得到一条代表太阳光线方向的线段。
接下来，从乙木杆顶端 出发作一条与 平行的直线（因为太阳光平行），这条直线就是光线的方向。
这条平行线会与地面（或墙的延长线所在的直线）相交于某一点 。
那么，从乙木杆底部 到 的线段 就是乙木杆此时的影子。
所以，作图步骤如下：
连接 ，确定光线方向；
过点 作 的平行线；
该平行线与地面（即过点 的水平线）交于点 ；
线段 即为乙木杆的影子。
(2) 当乙木杆移动到什么位置时，其影子刚好不落在墙上？
当前乙木杆靠近墙，它的影子一部分落在墙上，一部分可能延伸到地面。
要使影子“刚好不落在墙上”，意味着影子的顶端恰好到达墙根处（即墙与地面的交点）。
此时，整个影子都落在地面上，没有部分投射在竖直的墙上。
我们可以将乙木杆和它对应的光线、影子构成的三角形整体平移，直到影子顶端 移动到墙根位置。
平移过程中保持光线方向不变（仍与 平行），这样就能找到乙木杆应放置的新位置。
实际上，这是利用了平行投影的几何不变性：只要光线方向固定，物体与其影子之间的相对关系保持一致，可以通过平移调整位置。
(3) 已知甲、乙木杆影长分别为 1.24 m 和 1 m，求甲木杆高度
此时满足条件：两根木杆都在阳光下，且影子全部落在地面上（正投影情况）。
太阳光线平行，因此两个直角三角形相似：
是甲木杆与其影子构成的直角三角形；
是乙木杆与其影子构成的直角三角形；
其中：
：甲木杆高度（未知）
m：乙木杆高度（已知）
m：甲影长
m：乙影长
因为太阳光线平行，所以 ，又都是直角三角形，故：
根据相似三角形对应边成比例：
解这个方程：
所以，甲木杆的高度为 米。
总结
1.题目考查内容
① 平行投影的基本性质（太阳光下影子方向一致）；
② 利用平行线作图确定影子位置；
③ 相似三角形在实际问题中的应用（测量高度）；
④ 图形平移思想在投影问题中的运用。
2.题目求解要点
① 明确太阳光为平行光源，因此同一时刻所有物体的投影光线互相平行；
② 通过已知物体的影子确定光线方向，再用平行线作出另一物体的影子；
③ 当影子完全落在地面时，物高与影长成正比，可构造相似三角形求解；
④ 解题过程遵循“观察→建模→作图→推理→计算”的数学应用路径，体现数学建模思想。
板书设计
投影
定义：物体在光线照射下在平面留影子，影子所在平面为投影面
中心投影
定义：从一个点发出光线形成的投影
平行投影
定义：平行光线形成的投影
正投影：平行光线与投影面垂直的投影
教学反思
本节课围绕投影现象展开，通过生活实例引入中心投影与平行投影的概念，结合“做一做”和“议一议”活动引导学生动手操作、观察比较，探究影子变化规律，理解投影类型及其特征。教学设计符合《义务教育数学课程标准》对空间观念和几何直观的要求，注重学生探究能力的培养。整体教学目标基本达成，学生能区分中心投影与平行投影，并能根据影子判断光源类型。成功之处在于联系生活实际，激发学习兴趣，活动设计层次清晰；不足之处在于部分学生在光线方向判断上存在困难，需增加图示分析与互动反馈环节以强化理解。