22.1二次函数的图象和性质（一）讲义 2025-2026学年人教版九年级数学上册

二次函数的图象与性质（一）讲义2025-2026学年
人教版九年级上册
【知识梳理】
知识点一：二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数.
　　若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.
知识点二：二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质
二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值
y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0
y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0
知识点三：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质
函数
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标 (0，c) (0，c)
对称轴 y轴 y轴
函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大.
最大（小）值 当时， 当时，
知识点四：二次函数与之间的关系；（上加下减）.
的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.
【典型例题与巩固练习】
考点一：二次函数的概念
【典型例题】
例1.下列函数中，是关于x的二次函数的是________(填序号)．
(1)y＝-3x2；(2)；(3)y＝3x2-4-x3；(4)；
(5)y＝ax2+3x+6；(6)．
【巩固训练】
1.下列函数一定是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2.下列函数中， 属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1
【典型例题】
例2.如果函数是二次函数，求m的值．
【巩固训练】
1.函数是二次函数，则m的值为（ ）
A．1或 B．1 C．或3 D．3
2．若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（ ）
A．2 B． C． D．
3.如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是 ．
考点二：二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质
【典型例题】
例3．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝a1x2，②y＝a2x2，③y＝a3x2的图象，比较a1，a2，a3的大小是 ．
【巩固训练】
1．抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（　　）
A．y=x2 B．y=﹣3x2 C．y=﹣x2 D．y=2x2
2.二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则 ．
3.不计算比较大小：函数的图象左侧上有两点A（a，15），B（b，0.5），则a b．
考点三：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
【典型例题】
例4．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．
(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；
(2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；
(3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________．
【巩固训练】
1.下列关于二次函数的图像与性质的描述，正确的是( )
A．该函数图像经过原点 B．该函数图像在对称轴右侧部分是上升的
C．该函数图像的开口向下 D．该函数图像可由函数的图像平移得到
2.抛物线的开口方向是（ ）
A．向下 B．向上 C．向左 D．向右
3.二次函数的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【综合训练】
1．下列函数：①; ②; ③; ④,是二次函数的有:( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．在平面直角坐标系中，抛物线y=2x2的开口方向是（　　）
A．向上 B．向下 C．向左 D． 向右
3．抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标、对称轴是（　　）
A．（0，3），x＝3 B．（0，﹣3），x＝0 C．（3，0），x＝3 D．（3，0），x＝0
4.二次函数y＝﹣x2﹣4的图象经过的象限为（　　）
A．第一象限、第四象限 B．第二象限、第四象限
C．第三象限、第四象限D．第一象限、第三象限、第四象限
5．下列关于二次函数，下列说法正确的是（ ）．
A．它的开口方向向下 B．它的顶点坐标是
C．当时，随的增大而增大 D．当时，有最小值是3
6．二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________．
7．已知y＝+3是x的二次函数，则m＝_____．
8.已知抛物线经过 三点，则、、的大小关系是______；（用“<”连接）
【答案】
二次函数的图象与性质（一）讲义2025-2026学年
人教版九年级上册
【知识梳理】
知识点一：二次函数的概念
一般地，形如y=ax2+bx+c（a≠0，a, b, c为常数）的函数是二次函数.
　　若b=0，则y=ax2+c； 若c=0，则y=ax2+bx； 若b=c=0，则y=ax2.
以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式.
知识点二：二次函数y=ax2(a≠0)的图象与性质
二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：
函数 　 图象 开口方向 顶点坐标 对称轴 函数变化 最大（小）值
y=ax2 a>0 向上 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而增大； 　　x<0时，y随x增大而减小. 　当x=0时，y最小=0
y=ax2 a<0 向下 （0，0） y轴 　　x>0时，y随x增大而减小； 　　x<0时，y随x增大而增大. 　当x=0时，y最大=0
知识点三：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象的性质
函数
图象
开口方向 向上 向下
顶点坐标 (0，c) (0，c)
对称轴 y轴 y轴
函数变化 当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小. 当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大.
最大（小）值 当时， 当时，
知识点四：二次函数与之间的关系；（上加下减）.
的图象向上（c＞0）【或向下（c＜0）】平移│c│个单位得到的图象.
【典型例题与巩固练习】
考点一：二次函数的概念
【典型例题】
例1.下列函数中，是关于x的二次函数的是________(填序号)．
(1)y＝-3x2；(2)；(3)y＝3x2-4-x3；(4)；
(5)y＝ax2+3x+6；(6)．
【答案】(1)、(4)；
【巩固训练】
1.下列函数一定是二次函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
2.下列函数中， 属于二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
3．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1
【答案】A
【典型例题】
例2.如果函数是二次函数，求m的值．
【答案】 根据题意，得 解得m＝0．
【巩固训练】
1.函数是二次函数，则m的值为（ ）
A．1或 B．1 C．或3 D．3
【答案】D
2．若函数是y关于x的二次函数时，则k的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
3.如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是 ．
【答案】
考点二：二次函数y=ax2（a≠0）的图象及性质
【典型例题】
例3．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝a1x2，②y＝a2x2，③y＝a3x2的图象，比较a1，a2，a3的大小是 ．
【答案】a1＞a2＞a3
【巩固训练】
1．抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（　　）
A．y=x2 B．y=﹣3x2 C．y=﹣x2 D．y=2x2
【答案】A
2.二次函数与的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则 ．
【答案】2；
3.不计算比较大小：函数的图象左侧上有两点A（a，15），B（b，0.5），则a b．
【答案】＜.
考点三：二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象及性质
【典型例题】
例4．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．
(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；
(2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；
(3)抛物线，当x________时，随x的增大而减小；当x________时，函数y有最________值，其最________值是________．
【答案】 (1)下； l ； (2)向下； y轴； (0，1)； (3)＞0； ＝0； 大； 大 ； 1.
【巩固训练】
1.下列关于二次函数的图像与性质的描述，正确的是( )
A．该函数图像经过原点 B．该函数图像在对称轴右侧部分是上升的
C．该函数图像的开口向下 D．该函数图像可由函数的图像平移得到
【答案】C
2.抛物线的开口方向是（ ）
A．向下 B．向上 C．向左 D．向右
【答案】A
3.二次函数的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【综合训练】
1．下列函数：①; ②; ③; ④,是二次函数的有:( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
2．在平面直角坐标系中，抛物线y=2x2的开口方向是（　　）
A．向上 B．向下 C．向左 D． 向右
【答案】A
3．抛物线y＝x2﹣3的顶点坐标、对称轴是（　　）
A．（0，3），x＝3 B．（0，﹣3），x＝0 C．（3，0），x＝3 D．（3，0），x＝0
【答案】B
4.二次函数y＝﹣x2﹣4的图象经过的象限为（　　）
A．第一象限、第四象限 B．第二象限、第四象限
C．第三象限、第四象限D．第一象限、第三象限、第四象限
【答案】C
5．下列关于二次函数，下列说法正确的是（ ）．
A．它的开口方向向下 B．它的顶点坐标是
C．当时，随的增大而增大 D．当时，有最小值是3
【答案】D
6．二次函数y=3x﹣5x2+1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为________．
【答案】﹣5、3、
7．已知y＝+3是x的二次函数，则m＝_____．
【答案】-1
8.已知抛物线经过 三点，则、、的大小关系是______；（用“<”连接）
【答案】