第22章 二次函数——待定系数法求二次函数的解析式 讲义 2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

待定系数法求二次函数的解析式讲义
2025-2026学年人教版九年级上册
【知识梳理】
知识点一：二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；
(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；
(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．
知识点二：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，
或，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
要点诠释：
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．
【典型例题与巩固练习】
类型一：一般式求二次函数解析式
【典型例题】
例1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式.
【巩固训练】
1.已知：抛物线经过A（0，），B（1，），C（，）三点，求它的顶点坐标及对称轴．
2．已知抛物线 的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和（5，0），试求该抛物线的表达式。
3．如图，已知二次函数的图象过点和点，对称轴为直线．
（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；
（2）结合图象，当时，直接写出x的取值范围．
类型二：顶点式求二次函数解析式
【典型例题】
例2.已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5），求该函数的关系式.
【巩固训练】
1.抛物线 y＝a(x－2) ＋3 过点 (0,7)，则 a＝__________。
2.已知抛物线的顶点为且过，求其解析式．
3．已知某二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．
（1）求该函数的解析式；
（2）若该函数的图象与x轴相交于点E、F，与y轴相交于点C，求△EFC的面积．
类型三：交点式求二次函数解析式
【典型例题】
例3.已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C．
(1)求二次函数解析式；
(2)求△ABC的面积．
【巩固训练】
1.抛物线 y＝ax +bx+c 过 (0,1)、(1,0)、(2,1)，则 a＝__________。
2.抛物线与 x 轴交于 (2,0)、(6,0)，且过 (4,－4)，则解析式为 __________。
3.抛物线与x轴交于(1,0)、(3,0)，且过(0,6)，求解析式．
【综合训练】
1.抛物线 y＝ax +bx+c 过 (0,1)、(1,0)、(2,1)，则解析式为（ ）
A. y=x -2x+1 B. y=x -x+1 C. y=x -2x+1 D. y=x -x+1
2.已知抛物线顶点为 (3,4)，且过 (0,－5)，则解析式为 __________。
3.抛物线与 x 轴交于 (－1,0)、(5,0)，且过 (0,－5)，则解析式为 __________。
4.抛物线顶点为(2,-3)，且过点(0,1)，求解析式．
5．已知抛物线经过点．
（1）求a，b的值．
（2）若是抛物线上不同两点，且，求m的值．
【答案】
待定系数法求二次函数的解析式讲义
2025-2026学年人教版九年级上册
【知识梳理】
知识点一：二次函数解析式常见有以下几种形式 ：
(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；
(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；
(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．
知识点二：确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下
第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，
或，其中a≠0；
第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；
第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；
第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．
要点诠释：
在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为；③当已知抛物线与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时，可设函数的解析式为．
【典型例题与巩固练习】
类型一：一般式求二次函数解析式
【典型例题】
例1.已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式.
【答案】
设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：
解得　　
∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5.
【巩固训练】
1.已知：抛物线经过A（0，），B（1，），C（，）三点，求它的顶点坐标及对称轴．
【答案】设(a≠0)，据题意列，解得，
所得函数为
对称轴方程：，顶点.
2．已知抛物线 的对称轴为x=2，且经过点（1，4）和（5，0），试求该抛物线的表达式。
【答案】解：根据抛物线对称轴为直线x=2，且抛物线过点（5，0），可知抛物线与x轴另一交点为（-1，0），则设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-5），将点（1，4）代入，得4=a×2×（-4），解得a=- ，则抛物线解析式为y=- （x+1）（x-5）=- x2+2x+
3．如图，已知二次函数的图象过点和点，对称轴为直线．
（1）求该二次函数的关系式和顶点坐标；
（2）结合图象，当时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：根据题意得：
，解得：，
所以二次函数关系式为y=-x2+2x+3，
因为y=-（x-1）2+4，
所以抛物线的顶点坐标为（1，4）；
（2）解：x＜0或x＞2
类型二：顶点式求二次函数解析式
【典型例题】
例2.已知二次函数的图象以A（－1，4）为顶点，且过点B（2，－5），求该函数的关系式.
【答案】
设该函数解析式为y=a(x+1)2+4(a≠0).因为函数经过点（2，－5），
则：a(2+1)2+4=-5，解得a=-1所以该函数的关系式为y=-(x+1)2+4，即y=-x2-2x+3.
【巩固训练】
1.抛物线 y＝a(x－2) ＋3 过点 (0,7)，则 a＝__________。
[答案]1
2.已知抛物线的顶点为且过，求其解析式．
【答案】解：设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+2，
把（0，-1）代入得a （0+1）2+2=-1，解得a=-3，
所以抛物线的解析式为y=-3（x+1）2+2．
3．已知某二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．
（1）求该函数的解析式；
（2）若该函数的图象与x轴相交于点E、F，与y轴相交于点C，求△EFC的面积．
【答案】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+4，
把（2，﹣5）代入得a 9+4＝﹣5，
解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4或y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵函数的图象与x轴相交于点E、F，则令y＝0，
即﹣x2﹣2x+3＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣3．
∴EF＝4．
∵二次函数与y轴相交于C，令x＝0，则y＝3，
∴C（0，3）．
∴S△EFC＝＝＝6．
类型三：交点式求二次函数解析式
【典型例题】
例3.已知抛物线经过(3，5)，A(4，0)，B(-2，0)，且与y轴交于点C．
(1)求二次函数解析式；
(2)求△ABC的面积．
【答案】
解：(1)设抛物线解析式为(a≠0)，将(3，5)代入得，
∴ ．
∴ ．
即．
(2)由(1)知C(0，8)，
∴ ．
【巩固训练】
1.抛物线 y＝ax +bx+c 过 (0,1)、(1,0)、(2,1)，则 a＝__________。
[答案]1
2.抛物线与 x 轴交于 (2,0)、(6,0)，且过 (4,－4)，则解析式为 __________。
[答案]y＝x －8x＋12
3.抛物线与x轴交于(1,0)、(3,0)，且过(0,6)，求解析式．
【答案】解：设交点式y=a(x-1)(x-3)，
代入(0,6)：6=a(-1)(-3) 3a=6 a=2
展开得y=2x -8x+6
【答案】y=2x -8x+6
【综合训练】
1.抛物线 y＝ax +bx+c 过 (0,1)、(1,0)、(2,1)，则解析式为（ ）
A. y=x -2x+1 B. y=x -x+1 C. y=x -2x+1 D. y=x -x+1
[答案]B
2.已知抛物线顶点为 (3,4)，且过 (0,－5)，则解析式为 __________。
[答案]y＝－(x－3) ＋4
3.抛物线与 x 轴交于 (－1,0)、(5,0)，且过 (0,－5)，则解析式为 __________。
[答案]y＝x －4x－5
4.抛物线顶点为(2,-3)，且过点(0,1)，求解析式．
【答案】解：设顶点式y=a(x-2) -3，
代入(0,1)：1=a(-2) -3 4a=4 a=1
∴y=(x-2) -3
【答案】y=(x-2) -3
5．已知抛物线经过点．
（1）求a，b的值．
（2）若是抛物线上不同两点，且，求m的值．
【答案】 解：（1）把点（-1，6），（2，3）代入y=ax2+bx+1得，
，
解得：；
（2）由（1）得函数解析式为y=2x2-3x+1，
把x=1代入y=2x2-3x+1得，y1=0，
∵y2-y1=36，
∴y2=36，
则2m2-3m+1=36，
解得：m=或m=5．