10.5分式方程（第1课时分式方程及其解法） 教学设计北京版2024八年级 数学上册

10.5分式方程（第1课时分式方程及其解法）教学设计
1.教学内容
本课选自北京版2024·八年级上册第十章《分式》，内容集中于10.5《分式方程》，主要探讨含有未知数的分母情况下如何列、解并检验分式方程。重点在于通过“去分母”将分式方程转化为整式方程，培养学生的代数思维与运算能力。
2.内容解析
本节课首先从比较“整式方程”与“分式方程”出发，引导学生认清分式方程的特征：分母含未知数。其后，通过实例探究“去分母—解整式方程—检验”的步骤，让学生掌握基本解法并认识增根出现的原因。
教学中需强调：
①最简公分母的判断；
②检验环节防止增根；
③方程转化与应用情境结合。
本课有助于帮助学生深化对方程本质的理解，构建从实际问题到方程建模、再到求解的完整思路。
1.教学目标
1、识别分式方程特征（分母含未知数）。
2、掌握分式方程解法（去分母→解整式方程→检验）。
3、理解增根产生原因及检验必要性。
2.目标解析
1 分式方程特征的识别：学生能通过与整式方程的对比，结合分母含有未知数的显著特征快速辨别。
2 分式方程的基本道法：重点在熟练运用最简公分母进行统一“去分母”，再依次转化为整式方程进行移项、合并同类项等常规操作。
3 增根与检验机制：通过明确最简公分母不可为零的核心思想，引导学生理解检验的意义，并自觉养成正确验根的习惯。
学生已基本掌握一元一次方程、整式方程以及最小公倍数、去分母等概念，对一般方程的“通分”操作较为熟悉。对比学习分式方程时，难点主要在辨析含有未知数的分母及增根的出现机制。学生对列方程解决应用题已有初步认知；需要在本节中强化将实际情景转化为方程，尤其关注分母不可为零的约束条件，从而巩固和深化他们的方程建模与解题能力。
知识回顾：
引导学生回忆整式方程的解法（如“去分母→解整式方程”），
以课本中为例，
通分后得到，最终解得。
追问：如果把整式方程中的分母换成含有未知数的表达式，例如把原式改成，它还是整式方程吗？
创设情景，引入新课
结合课本“情景导入”中的长方形花坛面积为，原长为，原宽为。当长增加5米变为且宽变为原来的时，就会出现“分母包含未知数”（如宽）的方程。
引发学生思考：能否继续使用我们所熟悉的整式方程解法？这类分母中含有未知数的方程到底该如何求解？
【设计意图】
通过生活化情境（花坛长、宽变化）和旧知（整式方程）进行对比，引发学生对“分母含未知数该如何处理”的思考，激发学习本节课的兴趣，明确学习方向：认识分式方程并探究其解法。
探究点1：认识分式方程问题引入
问题引入
课本中已有说明：如果在方程中出现“分母含有未知数”，如，那么该方程是否还是整式方程？为什么？
新知导出
让学生观察方程与以往学过的整式方程相比，有何不同？归纳得到：
分母含有未知数。
这种方程称为“分式方程”。
分式方程的一个重要特点：分母不能为零，否则无意义。
【设计意图】
通过类比与整式方程的异同，学生产生“分母含未知数”会导致新的限制条件（分母不能为0），为后续探究“增根”现象埋下伏笔。
探究点2：分式方程的解法与增根问题引入
问题引入
课本示例：
利用一元一次方程的思想，思考如何解分式方程与，前者是整式方程，后者是分式方程，是否可借用“去分母”转换为整式方程的方法？
去分母时应注意什么？为什么会出现增根？
新知导出
解分式方程的步骤：
① 在方程两边都乘以最简公分母，将方程化成整式方程；
② 解这个整式方程；
③ 检验：若代入最简公分母不为0，则解有效；若使分母为0，则舍去，为增根。
④ 写出原方程的根。
简记为“一化二解三检验”。
【设计意图】
借助课本相关方程实例，通过去分母将分式方程转化为整式方程，并对比整式方程强调“检验”环节的重要性，突出“增根”产生原因，培养学生严谨的数学态度和抽象概括能力。
例题巩固
解下列方程：
【解析步骤】
找最简公分母：。
去分母：
.
展开并化简：
检验：将代入原方程，分母，且方程左右相等，故是原方程的解。
【答案总结】
解为，无增根。
【题目】（课本“例1”第小题）
解下列方程：
【解析步骤】
最简公分母：。
去分母：
展开并整理：
检验：将代入原方程，分母，原方程分母无意义，故是增根，应舍去。
【答案总结】
原方程无解。
【设计意图】
通过两道典型例题，突出“去分母”“检验”以及“增根”形成的全过程。学生亲身体验完整的解题思路，进一步巩固分式方程的解法并学会辨别增根，提升应用意识与解决实际问题的能力。
本课时教学到此，学生应初步掌握：
设计意图：此环节紧密围绕“分式方程的定义、解法步骤以及防止增根”三个关键点展开，帮助学生在动手实践与解题中熟练掌握“一化二解三检验”的流程，实现当堂巩固与检测。
1. 下列方程中，不是分式方程的是( )
A.
B.
C.
D.
2. 将分式方程 去分母后得到的整式方程是( )
A.
B.
C.
D.
3. 解分式方程，去分母后得到的整式方程是( )
A.
B.
C.
D.
4. 若关于的分式方程无解，则的值为( )
A. B. C. D.
5. 解方程：.
解：方程两边乘，得
解得
检验：当时，。
因此，原分式方程的解是
6. 已知关于的方程
当时，方程的解为.
当取何值时，此方程无解？
解：去分母，得
解得
由于方程无解，所以
当此方程的解是正数时，求的取值范围。
> 温馨提示：
> - 在做分式方程时，一定要牢牢把握“去分母”和“检验”两个关键环节：先借助最简公分母转化为整式方程，再检验潜在增根。
> - 结合具体题意，往往能更直观地分析出哪些解不符合题意或使分母为零，从而进一步增强对“增根”问题的认识。
分式方程特点：分母含有未知数，需注意分母不为零。
解法步骤：“一化二解三检验”：
两边乘以最简公分母去分母；
求解得到的整式方程；
检验分母是否为零，去掉增根。
核心要点：理解分式方程与整式方程的联系与区别，掌握增根产生的原因和检验的必要性。
课题：分式方程及其解法
学习目标：
识别分式方程； 会用“一化二解三检验”的方法解分式方程； 理解增根并进行检验。
知识结构：
情景导入：列分式方程求解实例
新知探究：分式方程解法
→ 去分母(最简公分母)
→ 解整式方程
→ 检验分母不为0(防增根)
典例与练习：通分、移项、检验
方法口诀：“一分二解三检验，去分母时括号全。”
教材习题：完成课本第10章“分式方程及其解法”对应的练习题，注意检验步骤是否正确。
拓展探究：选做课本后“思考与讨论”中与分式方程建模相关的小组探究题，尝试从实际情境中抽象出分式方程并检验解的合理性。
预习提示：阅读下节内容，了解分式方程与其他方程融合应用的思路。
【设计意图】作业既巩固课堂所学，又通过改编情境题和拓展练习，提升学生的应用能力与思维广度。
本节课的教学目标基本实现，学生通过实际问题情境认识到分式方程的应用价值，较好地理解了“分母含未知数”这一特征。对于分式方程的求解，各组同学在练习中均能按照“去分母—解方程—检验”的思路进行操作，说明概念理解目标已基本达成。但也发现，少部分学生在应用问题中列分式方程时思路尚不够清晰，尤其是设未知量与分母相对应的关系还不熟练。后续可通过分组讨论与情景再现，让学生在构建模型的过程中自主探究、互相启发，从而提升列方程思路与逻辑推理的准确性。