2025-2026学年北师大版八年级数学上册第一次月考测试卷（第一-二章） （含答案）

2025-2026学年八年级数学上册第一次月考测试卷（第一-二章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．3，4，6 B．5，12，13 C．9，16，25 D．1，2，3
2．在实数0，，，， (相邻两个1之间依次多一个 0) 中， 无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在 ABC中，的对边分别是，则下列条件中不能说明 ABC是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若，则的值是（　　）
A．0 B．1 C． D．2
6．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． ABC的面积为10 D．点A到直线的距离是2
7．如图，a，b，c是数轴上A、B、C对应的实数，化简结果是（ ）
A． B． C． D．
8．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将 ABC按如图所示方式折叠，使点A与点B重合，折痕为，则CE:CB的值是（ ）
A． B． C． D．
9．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为9，则最后输出的y值是（ ）
A． B． C．3 D．
10．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（ ）
A．5 B．6 C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算： ， ．
12．如图，M、N、P、Q是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的点是

13．若与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，则 ．
14．如图，长宽高分别为3、2、1的长方体木块上有一只小虫从顶点出发沿着长方体的外表面爬到顶点，则它爬行的最短路程是 ．
15．如图，在中，，，，E为上一点，且，平分交于D．若P是上的动点，则的最小值等于 ．
16．在 ABC中，，以为边，向 ABC外作等腰直角三角形，则 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．（1）计算： （2）求x的值：
18．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，小正方形的顶点称为格点．
(1)请在网格中画出格点三角形，使，，；
(2)求 ABC的面积．
19．已知，b是9的算术平方根，的立方根是．
(1)求a，b，c的值；
(2)若，求的平方根．
20．如图，四边形中，，，为上一点，，．
(1)求证：；
(2)若，，求线段的长．
21．定义：若两个含二次根式的代数式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭（è）二次根式．
问题解决：
(1)若a与是关于6的共轭二次根式，则__；
(2)若与是关于26的共轭二次根式，求m的值
22．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点N，M到的距离为240米．假设所有管道的材质相同．
(1)求B，N之间的距离；
(2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确．
23．观察下列各式：
，
，
，
……
(1)填空：______；
(2)请用含字母的等式写出你发现的规律为______；
(3)计算：．
24．小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，于是进行了以下探索：
若设（其中均为整数），则有，所以．
这样小明就找到一种把类似的式子化为平方式的方法．
请你依照小明的方法解决下列问题：
(1)若，则______，______；
(2)若，当均为整数时，用含的式子分别表示，得______，______；
(3)若，当均为正整数时，求的值．
25．勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．人们对勾股定理的证明趋之若鹜，如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形 ABC和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，（），，显然．
(1)请用a，b，c分别表示出四边形的面积，（提示：）梯形，的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理．
(2)如图3，网格中小正方形边长为1，
①点P为已给网格中格点上的点，求的最大值为______．
②请利用“等面积法”解决问题：连接小正方形的三个顶点，可得 ABC，则边上的高的长度为______．
(3)如图4，在 ABC中，是边上的高，，，，求的长．
参考答案
一、选择题
1．B
【分析】本题考查了勾股数．解题的关键是理解勾股数的定义：有a，b，c三个正整数，满足，称为勾股数．据此求解即可．
【详解】解：A．，不能构成勾股数，故该选项错误；
B．，能构成勾股数，故该选项正确；
C．，不能构成勾股数，故该选项错误；
D．，不能构成勾股数，故该选项错误．
故选B．
2．B
【分析】此题主要考查了无理数，算术平方根，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可求解．
【详解】解：，，
在实数0，，，， (相邻两个1之间依次多一个 0) 中，
无理数有，(相邻两个1之间依次多一个 0) ，共2个，
故选：B ．
3．C
【分析】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系是解题的关键
根据勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系分析各选项是否满足直角三角形的条件即可．
【详解】解：分析各选项如下：
选项A、∵展开得即符合勾股定理逆定理，故是直角三角形；
选项B、∵
∴．
又∵三角形内角和为，
∴，故是直角三角形；
选项C、设,
则,不能构成三角形，故该选项符合题意；
选项D、设则．
∵，
∴，解得，则，故是直角三角形．
故选：C．
4．D
【分析】本题考查二次根式的混合运算，根据二次根式的加减乘除运算逐一判断即可．
【详解】解：A、和的被开方数不相同，不能合并，故本选项的计算错误；
B、和的被开方数不相同，不能合并，故本选项的计算错误；
C、，故本选项的计算错误；
D、，故本选项的计算正确．
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．根据算术平方根和完全平方的非负性得到，，求出的值，再根据算术平方根的定义即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、利用网格求三角形的面积，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．根据勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式计算，判断即可．
【详解】解：A、由勾股定理得：，A选项正确，不符合题意；
B、，
，
，B选项正确，不符合题意；
C、，C选项错误，符合题意；
D、设点A到直线的距离为h，
则，即，
，D选项正确，不符合题意，
故选：C．
7．C
【分析】本题考查实数的运算，立方根，实数与数轴，熟练掌握相关运算法则及性质是解题的关键．由数轴可得，则，，利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质化简并计算即可．
【详解】解：由数轴可得，
则，，
原式
，
故选：C．
8．C
【分析】本题主要考查折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、勾股定理是解题的关键．由题意易得，由折叠的性质可得，设，则，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：由题意，得，
由翻折的性质得，
设，则，
在直角三角形中，，
即，
解得，
∴，
∴．
故选：C．
9．A
【分析】本题考查实数的分类及运算，判断每步计算结果是否为无理数是解题的关键．根据已知判断每一步输出结果即可得到答案．
【详解】解：由所示的程序可得：9的算术平方根是3，3是有理数，取3的算术平方根，是无理数，则输出，
∴开始输入的x值为9，则最后输出的y值是．
故选：A．
10．D
【分析】本题主要考查勾股定理的证明， 完全平方公式的应用，三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
根据题意由4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以为边长的正方形面积减去两个直角三角形的面积，建立方程求解出的值，再利用完全平方公式变形即可解答．
【详解】解：已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，
根据题意：，，
则，
，，
，
（负值舍去），即，
故选：D．
二、填空题
11． 2
【分析】本题主要考查立方根和算术平方根，直接根据立方根和算术平方根的定义求解即可．
【详解】解：；
；
故答案为：；2．
12．点
【分析】此题主要考查了估算无理数的大小以及实数与数轴，正确得出的取值范围是解题关键．先求出的范围，再求出的范围，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴表示的点是Q点．
故答案为：点．
13．5
【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，掌握以上知识是解答本题的关键；
本题根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解．
【详解】解：∵与都是最简二次根式、并且是同类二次根式，
∴，，
解得：，，
此时被开方数，，被开方数相同，满足同类二次根式的条件。
∴，
故答案为：5；
14．
【分析】本题考查“平面展开﹣最短路径问题”，解题关键是将立体图形根据要求变成平面图形处理．
根据题意，将长方体的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．
【详解】解：由题意有以下路线
路线一，如图1，
路线二，如图2，
路线三，如图3，
∵，
∴最短距离为．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查轴对称最短问题，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．作点E关于的对称点，连接交于，连接，由对称可得，所以，且当、、依次共线时的值最小，最小值为，作于H，利用等面积法和勾股定理求出即可．
【详解】解：如图，作点E关于的对称点，连接交于，连接，
由对称可得，
∴，且当、、依次共线时的值最小，最小值为，作于H．
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．或
【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟悉在任何一个直角三角形中，两直角边长的平方之和等于斜边长的平方是解答此题的关键．
本题需要分三种情况讨论，分别为①时，②，③，再根据勾股定理分别计算出的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴ ABC为直角三角形，，
（1）当时，过D点作的垂线交的延长线于E，如图
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（2）当时，过点D作的垂线，交延长线于E，如图，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）当时，过D点作的垂线，垂足分别为E、F，如图
∵，
∴，
在 ADE和 BDF中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：或或．
三、解答题
17．（1）解：原式
．
（2）解：，
移项得，
两边同时除以，可得．
所以，
当时，解得；
当时，解得，
综上，或．
18．（1）解：如图，
理由：由网格可得，，，
∴ ABC即为所求作；（位置不唯一）
（2）解：．
19．（1）解：因为，b是9的算术平方根，的立方根是，
所以，
所以．
（2）解：因为，，
所以，
所以．
因为25的平方根是，
所以的平方根是．
20．（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴．
在与中，
，
∴，
∴；
（2）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，，
∴，
在和中，
由勾股定理可知：，，
∴，
即，
∴，解得，
∴线段的长为5．
21．（1）解：∵a与是关于6的共轭二次根式，
∴
∴，
故答案为：；
（2）解：∵与是关于26的共轭二次根式，
∴，
∴，
∴．
22．（1）解：∵，
∴．
在中，，
由勾股定理得，
即B，N之间的距离为180米；
（2）解：∵，
∴．
在中，
由勾股定理得．
∵，，，
∴，
∴，即，
∴是垂线段，
∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确．
23．（1）解：，
故答案为：．
（2）解：，
，
，
，
，
第n个等式可表示为：，
故答案为：．
（3）解：原式
．
24．（1）解：
∴，
故答案为：7，4；
（2）解：，
∴，
故答案为：，；
（3）解：
∴，
∴．
∵均为正整数，
∴或．
当时，；
当时，，
即的值为28或12．
25．（1）证明：如图，设与交于点G，
，，，，，
，
，
，
∴S四边形ABCD =S梯形AEDC+ S 三角形EBD ，
，
化简，得；
（2）解：①点P与格点图左上角或左下角的点的距离最大，的最大值．
故答案为：．
②设边上的高为h，
，
，
，
边上的高为．
故答案为：．
（3）解：设，
，
，
在中，
∵AB=4，，是边上的高，
，
在中，
∵AC=5，，
，
，
解得，
．