2025-2026学年江苏省淮安市淮阴中学高三(上)段考数学试卷(PDF版,含答案)

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名称 2025-2026学年江苏省淮安市淮阴中学高三(上)段考数学试卷(PDF版,含答案)
格式 pdf
文件大小 1.2MB
资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-10-08 00:00:00

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文档简介

2025-2026学年江苏省淮安市淮阴中学高三(上)段考
数学试卷
一、单选题:本题共 8小题,每小题 5分,共 40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 = ( 1) ( + 2) ( ∈ )为纯虚数,则复数 为( )
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
2.已知 = {1}, = {1,2},设 = {( , )| ∈ , ∈ }, = {( , )| ∈ , ∈ },则 ∩ =( )
A. {(1,1)} B. {(1,1),(1,2),(2,1)}
C. {(1,2),(2,1)} D.
3.在△ 中,角 < 是 < 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.已知 ∈ (0, 3 2 ), = 5,则 sin( 3 ) =( )
A. 4 3 3 B. 3 3 4 C. 4 3 3 D. 4+3 310 10 10 10
5.设 为△ 所在平面内一点,且满足 = 3 ,则( )
A. = 3 2
1
2
B. = 3 2
+ 12

C. = 4 1 D. = 4 3 3 3 +
1
3

6.如果等差数列{ }的前 项和 满足: 3 = 15, 7 = 63,那么 3的值为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7.函数 ( ) = ( + 1) ( 1) + 1, ∈ [ 1,1],下列结论正确的是( )
A. ( )在(0,1)上单调 B. ( )图象对称中心为(0,1)
C. ( )在 = 3 33 处取得极小值 D. ∈ [ 1,1],使得 ( ) = 3 + 1
8.已知函数 ( ) = 3( ∈ ), ( ) = ( ∈ ),则函数 ( )与 ( )图象交点的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、多选题:本题共 3小题,共 18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.若 , 都为正实数,且 + = 2 则( )
A. 的最大值为 1 B. 2 8 + 的最小值为 9
C. 2 + 2的最小值为 2 D. 2 + 2 < 3
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10.若函数 ( ) = 2 2 cos
2
2 2 3sin 2 + 3( > 0)最小正周期为 3 ,则( )
A. ( ) 的图象关于直线 = 4对称
B. ( ) 的图象向右平移2个单位后是奇函数
C. 2将 = 2 ( + 3 )的图象上所有点的横坐标变为原来的3 (纵坐标不变)得到 ( )的图象
D. 函数 = ( )在( 2 , 0)上有唯一的极值点
11.设定义在 上的函数 ( )与 ( )的导函数分别为 ′( )和 ′( ),且 ( + 2) = (2 ) + 2, ′( ) =
′( + 2),且 ( )的图象关于点(1,0)对称,则( )
A. (3) = 3 B. ′(2 ) + ′( + 4) = 0
C. (4 ) = ( + 2) D. ( + 8) ( + 8) = ( ) ( )
三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共 15分。
12.计算:( 5)2 + 2 × ( 5 + 1) = ______.
13.记数列{ }的前 项和为 ,已知 1 = 1, +1 = + 1,则 6的值为______.
14.已知△ 满足 8 2 + 8 2 + 5 2 = 20,则△ 面积的最大值为______.
四、解答题:本题共 5小题,共 77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 1已知 , 为锐角,且 cos( + ) = 10, = 3.
(1)求 2 的值;
(2)求 的值.
16.(本小题 15 分)
已知 > 0 且 ≠ 1,函数 ( ) = 2 3 + 2
6
, ( ) = +1 + .
(1)方程 ( ) = 0 的两根为 1和 2,且 1 2 = 3,求 的值;
(2)当 = 2 时,对任意的 1 ∈ [1,8],都存在 2 ∈ [0, + ∞),使得 ( 1) = ( 2),求 的取值范围.
17.(本小题 15 分)
记△ 的内角 , , 的对边分别为 , , ,已知 sin( + ) = 2 3sin2 2, = 2.
(1)若 = 6,求 边上的高;
(2)如图,过 作 ⊥ ,且∠ = 135°,记∠ =
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①用 表示边 ;
②若△ 的面积为 3,求 的大小.
18.(本小题 17 分)
某校一兴趣小组研制了一种简易摩天轮装置如图,点 距水平桌面 4 分米,摩天轮半径为 2 分米,摩天轮
绕点 逆时针方向做匀速转动,每 2 分钟转一圈,摩天轮上点 的起始位置在最低点处.
(1)开始转动 分钟后,点 距桌面的高度为 ( ),求 ( )的解析式;
(2)某同学进一步改良摩天轮装置,在 处添置以 为圆心的小摩天轮,半径为 1 分米,小摩天轮绕点 按逆
时针方向做匀速转动,每一分钟转一圈,小摩天轮上一点 ,起始位置如图,且 与桌面平行,当点 在最
低点时,同时启动两个摩天轮,求大摩天轮转动一圈过程中,点 距桌面的最大高度.
19.(本小题 17 分)
1
已知函数 ( ) = + .
(1)曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 = 3 + ,求 , 的值;
(2)若 ( )在(0, + ∞)有三个不同的零点 1, 2, 3,求 的取值范围;
(3)在(2)的条件下,记 1 < 2 < 3,证明:2 3 + 1 > 0.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.63
14. 512
15.(1)因为sin2 + cos2 = 1 1 , = cos = 3,且 ∈ (0, 2 ),
所以 = 10 3 1010 , = 10 ,
2 = 2 2 1 = 4则 5;
(2) 2因为 cos( + ) = 10, + ∈ (0, ),
所以 sin( + ) = 1 cos2( + ) = 7 210 ,
10 3 10
由(1)知 = 10 , = 10 ,
所以 = sin( + ) = sin( + ) cos( + )
= 7 2 3 10 2 10 2 510 × 10 10 × 10 = 5 .
16.(1)令 2 3 + 2 = 0,解得log = 1 或log = 2,
解得 2 2 31 = , 2 = ,则 = = 3,所以 =
3 3;
(2)当 = 2 时,函数 ( ) = 22 3 2 + 2 = ( 2
3 2 1
2 ) 4,
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因 ∈ [1,8] 1,那么log2 ∈ [0,3],函数 ( ) ∈ [ 4 , 2],
又因为 ( ) = 6 +1+ 在 ∈ [0, + ∞)上单调递减,那么函数 ( ) ∈ ( , + 3],
根据任意的 1 ∈ [1,8],都存在 2 ∈ [0, + ∞),使得 ( 1) = ( 2),
那么函数 ( )在[1,8]上的值域是 ( )在[0, + ∞)上值域的子集,
< 1
因此 4 ,即 ∈ [ 1, 1 ).
+ 3 ≥ 2 4
17.(1)因为 sin( + ) = 2 3sin2 2,
在△ 中, = sin( + ),可得 = 2 3sin2 2,
即 2 2 2 cos 2 = 2 3sin 2,即 2 2 ( 3sin 2 cos 2 ) = 0.
又 ∈ (0, ) ,2 ∈ (0, 2 ) sin

, 2 ≠ 0,可得 3sin

2 = cos 2,
即 tan 3 2 = 3 ,可得2 = 6,即 = 3,
在△ 中,由正弦定理得sin∠ = sin∠ , = 2, = 6,
6 2 2
即sin = sin∠ ,可得 sin∠ = 2 ,3
又因为 0 < ∠ < ,所以∠ = 3 4或 4,
3 13
又 4 + 3 = 12 > ,
5
所以∠ = 4,所以∠ = 3 4 = 12,
而 sin 5 12 = sin(

4 + 6 ) = sin 4 cos 6 + cos
2 3 2 1 6+ 2
4 sin 6 = 2 × 2 + 2 × 2 = 4 ,
6+ 2
所以 边上高为 ∠ = 2 ∠ = 2 .
故 AC 6+ 2边上的高为 2 ;
(2) 3 ①因为∠ = ,在△ 中,∠ = 4,
∠ = ∠ = 3 所以 2 , 4 ( 2 ) =

4,
2
由正弦定理得sin∠ = sin∠ ,即sin( ) = ,4 sin34

所以 = 2 2sin( 4 );

②在△ 中,∠ = ,∠ = 3, = = 2,
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∠ = sin∠ = sin( 所以 3, 3 ) = sin( + 3 ),
3
由正弦定理得sin =3 sin( +
,得 = ,
3) sin( +3)
所以 1 1△ = 2 = 2 2 2sin(
) × 34 sin( + ) = 3,3
所以 2sin( 4 ) = sin( +

3 ),
即 = 1 32 + 2 ,
化简可得 = 2 + 3.
18.(1)以点 为坐标原点,与桌面平行的直线为 轴,建立平面直角坐标系,
则摩天轮转动的周期
2
1 = = 2,解得 = ,1 1
可得 = 2 (

2 ) = 2 ,所以 ( ) = 2 + 4, ≥ 0;
2
(2)由题意得小摩天轮转动的周期 2 = = 1,2
解得 2 = 2 , = ( 2 , 2 ),
结合 = + ,可得 = 2 2 ,
所以点 到桌面的距离 ( ) = 2 2 + 4, ∈ [0,2],
求导数得 ′( ) = 2 2 + 2 = 2 ( 2 2 + + 1)
= 2 (1 )(2 + 1),
令 ′( ) > 0, > 1 7 112,解得 ∈ (0, 6 ) ∪ ( 6 , 2);令 ′( ) < 0, <
1 7 11
2,解得 ∈ ( 6 , 6 ),
所以 ( )在(0, 7 7 11 116 )上单调递增,在( 6 , 6 )上单调递减,在( 6 , 2)上单调递增,
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7 3 7 3
结合 ( 6 ) = 2 3 + 4, (2) = 2,可得 ( )的最大值为 ( 6 ) = 2 3 + 4,
3
即点 距桌面的最大高度为( 2 3 + 4)分米.
2
19.(1) 1 + +1由题意可得 ′(1) = 3,又 ′( ) = + 1 + 2 = 2 ,
所以 ′(1) = + 1 + 1 = + 2 = 3,解得 = 1,
所以 (1) = 0,即 + 3 = 0,解得 = 3,
所以 = 1, = 3.
2
(2)由(1) ′( ) = + 1 + 1 = + +1 2 2 , ∈ (0, + ∞),
当 = 2 4 ≤ 0,即 2 ≤ ≤ 2 时, ′( ) ≥ 0,所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增,
又 (1) = 0,所以 ( )仅有一个零点,不符合题意;
当 > 2 时, ′( ) > 0,所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增,不合符题意;
< 2 ( ) = 0 =
2 4 + 2 4
当 时,令 ′ ,则 2 或 = 2 ,
2 2
= 4 = + 4记 2 , 2 ,
=
2 2+4
故 4 = 1 > 0,又 < ,所以 0 < < 1 < ,
当 < < 时, ′( ) < 0,函数 ( )在( , )上单调递减,
当 0 < < 时, ′( ) > 0,函数 ( )在(0, )上单调递增,
当 > 时, ′( ) > 0,函数 ( )在( , + ∞)上单调递增,
又 (1) = 0,所以 ( ) < 0,
设 ( ) = + 1 ,
1 1
1 1 1 1 3 ( ) = 2 2 1 ( 2 1)
2
则 ′ 2 2 2 2 = 3 = 3 ,2 2 2 2
所以 ′( ) ≤ 0,函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减,又 (1) = 0,
> 1 ( ) < 0 < 1所以当 时, ,此时 ,
所以当 < 2 时, > ( 1 ),
所以 ( ) = + 1 > (
1
) +
1

1 1
所以 ( ) > ( )( + + ),
< 2 = +
2 4 2
因为 ,所以 2 <
+ 2
2 = < ,
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= 2 ( 2) > ( + 1取 , )(
1
) = 1
1
2 > 0,
又 ( ) < 0,所以存在 3 ∈ ( , 2),使得 ( 3) = 0,
因为 ( ) = + 1 ,
( ) + ( 1 ) = + 1 + 1 1所以 + = 0,
因为 ( 3) = 0 > 1 (
1
, 3 ,所以 ) = 0
1
,即 1 = ,3 3
所以 ( )有三个不同的零点,
综上 ∈ ( ∞, 2);
(3) 1证明:由(2)可知, 1 = , 2 = 1, 3 > 1,3
所以要证明 2 23 + 1 > 0,只需证明 2 3 + > 0,
1
( ) = + 1
3
又 3 3 3 = 0,所以 =
3
3

3
1

故只需证明 2 2 + 3
3 2 1
3 > 0,即证 2 3 3 + 3 > 0,3 3
只需证明 2 1 13 + 33
> 0,
3
( ) = 2 + 1 1设 3 , ≥ 1,
2 3
则 ′( ) = 2
3 1 +2 3
4 + 2 = 4 ,
当 > 1 时, 2 > 1,2 3 > 2,所以 ′( ) > 0 恒成立,
所以 ( )在(1, + ∞)上单调递增,又 (1) = 0,
所以当 > 1 时, ( ) > 0 恒成立,
所以 2 3 + 1 > 0.
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