2025-2026学年江苏省淮安市淮阴中学高三（上）段考数学试卷（PDF版，含答案）

2025-2026学年江苏省淮安市淮阴中学高三（上）段考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 = ( 1) ( + 2) ( ∈ )为纯虚数，则复数 为( )
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
2.已知 = {1}， = {1,2}，设 = {( , )| ∈ ， ∈ }， = {( , )| ∈ ， ∈ }，则 ∩ =( )
A. {(1,1)} B. {(1,1)，(1,2)，(2,1)}
C. {(1,2)，(2,1)} D.
3.在△ 中，角 < 是 < 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.已知 ∈ (0, 3 2 )， = 5，则 sin( 3 ) =( )
A. 4 3 3 B. 3 3 4 C. 4 3 3 D. 4+3 310 10 10 10
5.设 为△ 所在平面内一点，且满足 = 3 ，则( )
A. = 3 2
1
2
B. = 3 2
+ 12

C. = 4 1 D. = 4 3 3 3 +
1
3

6.如果等差数列{ }的前 项和 满足： 3 = 15， 7 = 63，那么 3的值为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
7.函数 ( ) = ( + 1) ( 1) + 1， ∈ [ 1,1]，下列结论正确的是( )
A. ( )在(0,1)上单调 B. ( )图象对称中心为(0,1)
C. ( )在 = 3 33 处取得极小值 D. ∈ [ 1,1]，使得 ( ) = 3 + 1
8.已知函数 ( ) = 3( ∈ )， ( ) = ( ∈ )，则函数 ( )与 ( )图象交点的个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 ， 都为正实数，且 + = 2 则( )
A. 的最大值为 1 B. 2 8 + 的最小值为 9
C. 2 + 2的最小值为 2 D. 2 + 2 < 3
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10.若函数 ( ) = 2 2 cos
2
2 2 3sin 2 + 3( > 0)最小正周期为 3 ，则( )
A. ( ) 的图象关于直线 = 4对称
B. ( ) 的图象向右平移2个单位后是奇函数
C. 2将 = 2 ( + 3 )的图象上所有点的横坐标变为原来的3 (纵坐标不变)得到 ( )的图象
D. 函数 = ( )在( 2 , 0)上有唯一的极值点
11.设定义在 上的函数 ( )与 ( )的导函数分别为 ′( )和 ′( )，且 ( + 2) = (2 ) + 2， ′( ) =
′( + 2)，且 ( )的图象关于点(1,0)对称，则( )
A. (3) = 3 B. ′(2 ) + ′( + 4) = 0
C. (4 ) = ( + 2) D. ( + 8) ( + 8) = ( ) ( )
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.计算：( 5)2 + 2 × ( 5 + 1) = ______．
13.记数列{ }的前 项和为 ，已知 1 = 1， +1 = + 1，则 6的值为______．
14.已知△ 满足 8 2 + 8 2 + 5 2 = 20，则△ 面积的最大值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 1已知 ， 为锐角，且 cos( + ) = 10， = 3．
(1)求 2 的值；
(2)求 的值．
16.(本小题 15 分)
已知 > 0 且 ≠ 1，函数 ( ) = 2 3 + 2
6
， ( ) = +1 + ．
(1)方程 ( ) = 0 的两根为 1和 2，且 1 2 = 3，求 的值；
(2)当 = 2 时，对任意的 1 ∈ [1,8]，都存在 2 ∈ [0, + ∞)，使得 ( 1) = ( 2)，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 sin( + ) = 2 3sin2 2， = 2．
(1)若 = 6，求 边上的高；
(2)如图，过 作 ⊥ ，且∠ = 135°，记∠ =
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①用 表示边 ；
②若△ 的面积为 3，求 的大小．
18.(本小题 17 分)
某校一兴趣小组研制了一种简易摩天轮装置如图，点 距水平桌面 4 分米，摩天轮半径为 2 分米，摩天轮
绕点 逆时针方向做匀速转动，每 2 分钟转一圈，摩天轮上点 的起始位置在最低点处．
(1)开始转动 分钟后，点 距桌面的高度为 ( )，求 ( )的解析式；
(2)某同学进一步改良摩天轮装置，在 处添置以 为圆心的小摩天轮，半径为 1 分米，小摩天轮绕点 按逆
时针方向做匀速转动，每一分钟转一圈，小摩天轮上一点 ，起始位置如图，且 与桌面平行，当点 在最
低点时，同时启动两个摩天轮，求大摩天轮转动一圈过程中，点 距桌面的最大高度．
19.(本小题 17 分)
1
已知函数 ( ) = + ．
(1)曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 = 3 + ，求 ， 的值；
(2)若 ( )在(0, + ∞)有三个不同的零点 1， 2， 3，求 的取值范围；
(3)在(2)的条件下，记 1 < 2 < 3，证明：2 3 + 1 > 0．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.63
14. 512
15.(1)因为sin2 + cos2 = 1 1 ， = cos = 3，且 ∈ (0, 2 )，
所以 = 10 3 1010 ， = 10 ，
2 = 2 2 1 = 4则 5；
(2) 2因为 cos( + ) = 10， + ∈ (0, )，
所以 sin( + ) = 1 cos2( + ) = 7 210 ，
10 3 10
由(1)知 = 10 ， = 10 ，
所以 = sin( + ) = sin( + ) cos( + )
= 7 2 3 10 2 10 2 510 × 10 10 × 10 = 5 ．
16.(1)令 2 3 + 2 = 0，解得log = 1 或log = 2，
解得 2 2 31 = ， 2 = ，则 = = 3，所以 =
3 3；
(2)当 = 2 时，函数 ( ) = 22 3 2 + 2 = ( 2
3 2 1
2 ) 4，
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因 ∈ [1,8] 1，那么log2 ∈ [0,3]，函数 ( ) ∈ [ 4 , 2]，
又因为 ( ) = 6 +1+ 在 ∈ [0, + ∞)上单调递减，那么函数 ( ) ∈ ( , + 3]，
根据任意的 1 ∈ [1,8]，都存在 2 ∈ [0, + ∞)，使得 ( 1) = ( 2)，
那么函数 ( )在[1,8]上的值域是 ( )在[0, + ∞)上值域的子集，
< 1
因此 4 ，即 ∈ [ 1, 1 ).
+ 3 ≥ 2 4
17.(1)因为 sin( + ) = 2 3sin2 2，
在△ 中， = sin( + )，可得 = 2 3sin2 2，
即 2 2 2 cos 2 = 2 3sin 2，即 2 2 ( 3sin 2 cos 2 ) = 0．
又 ∈ (0, ) ，2 ∈ (0, 2 ) sin

， 2 ≠ 0，可得 3sin

2 = cos 2，
即 tan 3 2 = 3 ，可得2 = 6，即 = 3，
在△ 中，由正弦定理得sin∠ = sin∠ ， = 2， = 6，
6 2 2
即sin = sin∠ ，可得 sin∠ = 2 ，3
又因为 0 < ∠ < ，所以∠ = 3 4或 4，
3 13
又 4 + 3 = 12 > ，
5
所以∠ = 4，所以∠ = 3 4 = 12，
而 sin 5 12 = sin(

4 + 6 ) = sin 4 cos 6 + cos
2 3 2 1 6+ 2
4 sin 6 = 2 × 2 + 2 × 2 = 4 ，
6+ 2
所以 边上高为 ∠ = 2 ∠ = 2 ．
故 AC 6+ 2边上的高为 2 ；
(2) 3 ①因为∠ = ，在△ 中，∠ = 4，
∠ = ∠ = 3 所以 2 ， 4 ( 2 ) =

4，
2
由正弦定理得sin∠ = sin∠ ，即sin( ) = ，4 sin34

所以 = 2 2sin( 4 )；

②在△ 中，∠ = ，∠ = 3， = = 2，
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∠ = sin∠ = sin( 所以 3， 3 ) = sin( + 3 )，
3
由正弦定理得sin =3 sin( +
，得 = ，
3) sin( +3)
所以 1 1△ = 2 = 2 2 2sin(
) × 34 sin( + ) = 3，3
所以 2sin( 4 ) = sin( +

3 )，
即 = 1 32 + 2 ，
化简可得 = 2 + 3．
18.(1)以点 为坐标原点，与桌面平行的直线为 轴，建立平面直角坐标系，
则摩天轮转动的周期
2
1 = = 2，解得 = ，1 1
可得 = 2 (

2 ) = 2 ，所以 ( ) = 2 + 4， ≥ 0；
2
(2)由题意得小摩天轮转动的周期 2 = = 1，2
解得 2 = 2 , = ( 2 , 2 )，
结合 = + ，可得 = 2 2 ，
所以点 到桌面的距离 ( ) = 2 2 + 4， ∈ [0,2]，
求导数得 ′( ) = 2 2 + 2 = 2 ( 2 2 + + 1)
= 2 (1 )(2 + 1)，
令 ′( ) > 0, > 1 7 112，解得 ∈ (0, 6 ) ∪ ( 6 , 2)；令 ′( ) < 0, <
1 7 11
2，解得 ∈ ( 6 , 6 )，
所以 ( )在(0, 7 7 11 116 )上单调递增，在( 6 , 6 )上单调递减，在( 6 , 2)上单调递增，
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7 3 7 3
结合 ( 6 ) = 2 3 + 4， (2) = 2，可得 ( )的最大值为 ( 6 ) = 2 3 + 4，
3
即点 距桌面的最大高度为( 2 3 + 4)分米．
2
19.(1) 1 + +1由题意可得 ′(1) = 3，又 ′( ) = + 1 + 2 = 2 ，
所以 ′(1) = + 1 + 1 = + 2 = 3，解得 = 1，
所以 (1) = 0，即 + 3 = 0，解得 = 3，
所以 = 1， = 3．
2
(2)由(1) ′( ) = + 1 + 1 = + +1 2 2 ， ∈ (0, + ∞)，
当 = 2 4 ≤ 0，即 2 ≤ ≤ 2 时， ′( ) ≥ 0，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
又 (1) = 0，所以 ( )仅有一个零点，不符合题意；
当 > 2 时， ′( ) > 0，所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，不合符题意；
< 2 ( ) = 0 =
2 4 + 2 4
当 时，令 ′ ，则 2 或 = 2 ，
2 2
= 4 = + 4记 2 ， 2 ，
=
2 2+4
故 4 = 1 > 0，又 < ，所以 0 < < 1 < ，
当 < < 时， ′( ) < 0，函数 ( )在( , )上单调递减，
当 0 < < 时， ′( ) > 0，函数 ( )在(0, )上单调递增，
当 > 时， ′( ) > 0，函数 ( )在( , + ∞)上单调递增，
又 (1) = 0，所以 ( ) < 0，
设 ( ) = + 1 ，
1 1
1 1 1 1 3 ( ) = 2 2 1 ( 2 1)
2
则 ′ 2 2 2 2 = 3 = 3 ，2 2 2 2
所以 ′( ) ≤ 0，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减，又 (1) = 0，
> 1 ( ) < 0 < 1所以当 时， ，此时 ，
所以当 < 2 时， > ( 1 )，
所以 ( ) = + 1 > (
1
) +
1
，
1 1
所以 ( ) > ( )( + + )，
< 2 = +
2 4 2
因为 ，所以 2 <
+ 2
2 = < ，
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= 2 ( 2) > ( + 1取 ， )(
1
) = 1
1
2 > 0，
又 ( ) < 0，所以存在 3 ∈ ( , 2)，使得 ( 3) = 0，
因为 ( ) = + 1 ，
( ) + ( 1 ) = + 1 + 1 1所以 + = 0，
因为 ( 3) = 0 > 1 (
1
， 3 ，所以 ) = 0
1
，即 1 = ，3 3
所以 ( )有三个不同的零点，
综上 ∈ ( ∞, 2)；
(3) 1证明：由(2)可知， 1 = , 2 = 1, 3 > 1，3
所以要证明 2 23 + 1 > 0，只需证明 2 3 + > 0，
1
( ) = + 1
3
又 3 3 3 = 0，所以 =
3
3
，
3
1

故只需证明 2 2 + 3
3 2 1
3 > 0，即证 2 3 3 + 3 > 0，3 3
只需证明 2 1 13 + 33
> 0，
3
( ) = 2 + 1 1设 3 ， ≥ 1，
2 3
则 ′( ) = 2
3 1 +2 3
4 + 2 = 4 ，
当 > 1 时， 2 > 1，2 3 > 2，所以 ′( ) > 0 恒成立，
所以 ( )在(1, + ∞)上单调递增，又 (1) = 0，
所以当 > 1 时， ( ) > 0 恒成立，
所以 2 3 + 1 > 0．
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