第22章二次函数（单元测试·含解析）2025-2026学年数学九年级上册人教版

第22章二次函数（单元测试）2025-2026学年数学九年级上册人教版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．二次函数的一次项系数是（ ）
A．1 B．5 C．2 D．
2．抛物线与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线的开口方向和顶点坐标分别是（ ）
A．开口向上，顶点 B．开口向下，顶点
C．开口向上，顶点 D．开口向下，顶点
5．抛物线的对称轴是（ ）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
6．抛物线过，，三点，，，大小关系是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数的图象经过原点，则的值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
8．如图，正方形的边长为，动点沿运动，运动到点时停止，动点从点出发，在线段上运动，运动到点时停止，两点同时出发，以相同的速度运动．设点运动的路程为，的面积为，则下列图象中能表示与的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
9．对于二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．抛物线开口向上，顶点为，，抛物线与x轴交于点，，，，则下列结论中，正确的结论有（ ）
①；②；③.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
11．写出一个对称轴是y轴的抛物线解析式 ．
12．二次函数的最小值为 ．
13．若点，在抛物线上，且，则a的取值范围为 .
14．若将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新抛物线，则的值为 ．
15．如图所示，二次函数的图像与一次函数的图像交于，两点，当时，自变量的取值范围是 ．
16．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，下列结论：①；②（m为任意实数）；③若是抛物线上不同的两个点，则．其中正确的结论有 ．（填序号）

三、解答题
17．已知二次函数．
(1)求该函数图像的顶点坐标和对称轴；
(2)当x取何值时，y随x增大而减小？
18．某商场销售一种商品，每件进价为30元，售价为40元时，每天可售出500件．市场调查发现：售价每上涨1元，日销售量减少10件．
(1)设售价上涨x元，写出日销售利润 y元与 x的函数关系式；
(2)当售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
19．二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为，与轴、轴分别交于点和点．
(1)求抛物线的函数表达式，并根据图象直接写出当时，的取值范围．
(2)平移该二次函数的图象，使点恰好落在点的位置上，求平移后图象与坐标轴的交点．
20．已知抛物线经过点，且与x轴交于A、B两点．设k是抛物线与x轴交点的横坐标．
(1)求c的值；
(2)求k的值；
(3)求的值．
21．如图，已知抛物线与x轴相交于两点，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，试求面积的最大值；
(3)点E是线段上异于B，C的动点，过点E的直线轴于点N，交抛物线于点M．当为直角三角形时，求点M的坐标．
22．在一场篮球赛中，队员甲面对面传球给乙，出手后篮球的高度y（）与飞出的水平距离x（）满足．
(1)这次传球的出手高度是__________，篮球飞行的最大高度是__________；
(2)队员乙在篮球飞行方向上距甲6处，他的最大摸高是3，他在原地能接到球吗？如能接到，请计算说明：如不能，他应该前进或后退多少米才能接到？
23．【项目】小车沿斜面运动中路程与时间的关系．
图1是小车从斜面上静止滑下的实验装置，斜面刻度值单位为分米．小温和小明共同填写了如下实验记录表．
（秒） 0 2 3 …
（分米） 0 4 9 …
(1)小温发现，路程与时间可采用一次函数，反比例函数，二次函数中的一种进行刻画，请通过实验数据在图2中描点画图，判断可以采用的函数模型，并求出关于的函数表达式．
(2)若斜面足够长，请通过计算说明小车在斜面上第一个秒和第二个秒通过的路程．
(3)小明说：把单位时间设为1秒，还可以研究第秒内通过的路程（分米）与第秒之间的函数关系．请写出路程（分米）与第秒之间的函数关系，并通过计算说明理由．
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《第22章二次函数（单元测试）2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A B A C B D B D
1．B
【分析】本题主要考查了求二次函数中某项的系数．先找出二次函数中的一次项，根据系数的定义即可解答．
【详解】解：二次函数的一次项为，其系数为5．
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数，决定抛物线与x轴的交点个数：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．
先计算判别式的值可判断抛物线与x轴的交点个数，而抛物线与y轴一定有一个交点，于是可判断抛物线的图象与坐标轴的交点个数．
【详解】解：∵，
∴抛物线与x轴有两个交点，
∵时，，
∴抛物线与y轴的交点为，
∴抛物线的图象与坐标轴的交点个数是3，
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．
根据图象开口方向，对称轴位置，与轴交点位置即可判断．
【详解】因为抛物线的图象开口向上，所以；
因为顶点在第二象限，所以对称轴，因为，所以；
因为图象与轴交点在正半轴，所以，
故选：A．
4．B
【分析】本题主要考查了二次函数的知识，理解并掌握二次函数的图像与性质是解题关键．
二次项系数，函数图像开口向下，结合抛物线的解析式即可得到它的顶点坐标，据此解答即可．
【详解】，开口向下；
顶点横坐标，即，代入得，顶点，
故选：B．
5．A
【分析】本题考查二次函数的顶点式，对称轴，掌握相关知识是解决问题的关键．抛物线 的对称轴为直线解答即可．
【详解】解：抛物线 的对称轴为直线，
∴的对称轴为直线 ．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及二次函数的性质，牢记“当时，抛物线开口向上，离对称轴越远的点，函数值越大；当时，抛物线开口向下，离对称轴越远的点，函数值越小”是解题的关键．利用二次函数的性质，结合各点到对称轴的距离，即可得出结论．
【详解】解：，，
抛物线的对称轴为直线，开口向下，
离对称轴越远的点，函数值越小．
又，
，
．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据抛物线过原点，得关于m的方程，求解即可．
【详解】解：∵函数的图象经过原点，
∴当时，，
即，
解得：，
故选：B．
8．D
【分析】分点在上运动和在上运动两种情况，结合三角形面积公式分析与的函数关系．
【详解】解：当点在上运动（）时，
∵ 正方形边长为，动点、速度相同，运动路程都为，
∴ ，
过作于，是等腰直角三角形，，
∴ ，此为二次函数，图象开口向下．
当点在上运动（）时，过作于，是等腰直角三角形，，
∵ ，
∴ ，此为二次函数，图象开口向上，
当点在上运动（）时，
，此为一次函数，且随的增大而增大．
观察选项，只有选项符合．
故选：．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质、二次函数的性质、一次函数的性质、动点问题的函数图象，熟练掌握正方形的性质、三角形面积公式以及分段分析函数关系是解题的关键．
9．B
【分析】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．
先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，对称轴，再由当时，y随x的增大而减小，得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【详解】解：∵，且，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
∴m的取值范围为．
故选：B
10．D
【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的系数与图像的关系是解题的关键．根据抛物线的开口方向、顶点坐标、与轴交点等性质，结合二次函数的系数关系，对三个结论逐一分析判断．
【详解】解：∵ 抛物线开口向上，
∴ ，
∵ 顶点横坐标为，即，
∴ ，
∵，，
∴，
∴ ，
∴ ，故①正确，
∵ ，
∴ ，故②正确，
∵ 抛物线与轴交于，，
∴ 当时，；当时，，
∴ ，即，，故③正确，
故选：．
11．
【分析】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
根据二次函数的性质写出一个符合题意的函数解析式即可．
【详解】解：抛物线的解析式为．
故答案为：．（答案不唯一）
12．
【分析】本题考查二次函数函数值的最值问题，首先结合对称轴和开口方向判断二次函数的增减性，再结合给定的自变量的范围，判断最小值的位置．
【详解】解：二次函数，
其二次项系数，
二次函数开口向上，对称轴，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大，
自变量的范围，
在时，取最小值．
故答案为：．
13．/
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握对称轴的特点，二次函数图象的性质等知识是解题的关键．由抛物线解析式得其对称轴为直线，再根据得点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，进而可得关于a的不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∵点，在抛物线上，且，
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴，即，
∴，
解得，
故答案为：.
14．1
【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移规则：上加下减，左加右减；根据平移规则求得h与k的值，即可求解．
【详解】解：∵将抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到新抛物线，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：1．
15．
【分析】本题考查了二次函数与一次函数，不等式组，因式分解，掌握知识点是解题的关键．
先分别求出二次函数与一次函数的解析式，再令，当时，求出，继而当时，即，推断出，求解即可．
【详解】解：将，分别代入得
，
解得，
∴二次函数，
将代入得
，
解得，
∴一次函数，
令，当时，
，
即，
解得，
∵当时，
即，
，
∴，
即或（无解）
解得．
故答案为：．
16．②
【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数的图象和性质，根据图象判断的符号，可判断①，最值判断②，对称性判断③．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴，
∴，
∴，故①错误；
当时，函数有最大值为，
∴，
∴（m为任意实数），故②正确；
若是抛物线上不同的两个点，则点关于对称轴对称，
∴，故③错误；
故答案为：②．
17．(1)，
(2)时，y随x的增大而减小
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，将函数解析式一般式化为顶点式为解题关键．
（1）将抛物线的一般式化为顶点式，就可以确定对称轴，顶点；
（2）根据对称轴左右两侧图象的上升和下降趋势确定函数的增减性．
【详解】（1）解：，
，
顶点，对称轴；
（2），对称轴，抛物线开口向下，
当时，y随x的增大而减小．
18．(1)
(2)当售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元
【分析】本题考查了二次函数的应用，理解题意，正确得出二次函数的解析式是解此题的关键．
（1）设售价上涨元，则售价为，销量为，再根据利润每件商品的利润销售量即可得解；
（2）根据二次函数的性质即可得解．
【详解】（1）解：设售价上涨元，则售价为，销量为，
由题意可得：利润： ；
（2）解：，
∵，
∴当时，由最大值为，此时售价为元
故当售价定为元时，日销售利润最大，最大利润是元．
19．(1)；当时，
(2)新抛物线与坐标轴的交点为，，
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，平移变换等知识．
（1）设抛物线的顶点式为，再由抛物线过，可求出，即可得函数解析式，根据抛物线轴对称性的特点可求出抛物线与x轴的另一交点，借助二次函数的图象求出时，x的取值范围即可；
（2）由题意点C平移到A，抛物线向左平移2个单位，向上平移4个单位，由此可得抛物线的顶点坐标，进而可得解析式，然后求出平移后图象与坐标轴的交点．
【详解】（1）解：设抛物线的顶点式为，
抛物线过，
，
解得．
，即．
关于直线的对称点为，
当时，；
（2）解：平移后点落在处，可知抛物线向左平移2个单位，向上平移4个单位，
则新图象顶点为，
由顶点式，可得，
当时，；
当时，，
新抛物线与坐标轴的交点为，，．
20．(1)；
(2)，；
(3)
【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数与方程的关系、代数式求值等，属于综合题目，灵活运用代数计算是解题的关键．
（1）将点代入直接求解；
（2）由（1）可知，抛物线的解析式为，由题意得，利用公式法即可求解；
（3）将函数转化为方程，即可表示出，，代入原式即可求解．
【详解】（1）解：∵将点代入得：
∴；
（2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为，
∵k是抛物线与x轴交点的横坐标，
∴，
，
∴，
∴，；
（3）解：由题可知，，则，
∴
则
．
21．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定，二次函数的性质等知识点，正确用坐标差表示线段的长是解题的关键．
（1）将点代入关系式求得a、b的值即可解答；
（2）如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D，设点P的横坐标为m，则，求出，再根据二次函数的最值即可；
（3）分和两种情况，分别根据等腰直角三角形的性质以及二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：抛物线与x轴相交于两点，
则，解得：，
∴抛物线的关系式为．
（2）解：∵抛物线与y轴相交于点C，即当时，，
∴点．
设直线的关系为，
将点B，点C的坐标分别代入得：
，解得：，
∴．
如图1：过点P作轴，垂足为M，交于点D，
设点P的横坐标为m，则，
∴，
∴
，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，的最大值为．
（3）解： 如图2，当时，轴，
∴点C与点M关于对称轴直线对称，
∴点．
如图3，当，过点M作轴，垂足为F，
∵，
∴，
∴，
∴．
设，则点，
∴，解得：（不合题意，舍去），，
∴点．
综上所述，点M的坐标为或．
22．(1)；4
(2)不能，前进或后退
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
（1）对于出手高度，令代入函数求值；求最大高度，将二次函数化为顶点式来确定．
（2）先求时的值，与比较判断能否接到；若不能，令，解出的值，再与比较确定前进或后退的距离．
【详解】（1）解：令，代入得
，
将化为顶点式得
，
∴ 篮球飞行的最大高度是．
故答案依次为：；．
（2）解：当时，
∵ ，
∴ 他在原地不能接到球．
令，则，
两边同乘得：，
，
，
解得，，
∴他应该后退能接到球或他应该前进能接到球．
23．(1)采用的二次函数模型，
(2)第一个5秒通过的路程为分米，第二个5秒通过的路程为分米
(3)
【分析】本题考查了画二次函数图象、用待定系数法求二次函数解析式、根据自变量求函数值，求一次函数解析式等知识点，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）在图中描点画图，即可判断采用的函数模型，再利用待定系数法求出关于的函数表达式即可；
（2）先求出小车在斜面上第一个秒通过的路程，再算出小车在斜面上第二个秒通过的路程，作差即可得答案；
（3）根据第秒通过的路程等于前秒通过的路程减去前秒通过的路程列式化简即可解答．
【详解】（1）解：将题中给出的实验数据在图中描点，依次连接各点，如图所示：
这条线不是直线，所以不是一次函数，
这条线过原点，所以不是反比例函数，
所以可以采用的函数模型是二次函数，
设路程与时间的函数关系式为：，
将，，代入，得，
解得，
∴路程与时间的函数关系式为．
（2）解：当时，（分米），
当时，（分米），
∴第个秒小车通过的路程为（分米）．
（3）解：∵，
∴第秒通过的路程．
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