第二章一元二次方程单元复习检测卷（含答案）湘教版2025—2026学年九年级数学上册

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第二章一元二次方程单元复习检测卷湘教版2025—2026学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
3．九年级（1）班学生毕业时，每名同学都要给其他同学写一份毕业留言作为纪念，全班学生共写了份留言．如果全班有名学生，根据题意，列出方程为 （ ）
A． B． C． D．
4．如果2是方程的一个根，那么c的值是（ ）
A．3 B．2 C． D．
5．若方程可配方成的形式，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知是方程的根，则代数式的值为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
7．若关于x的一元二次方程（，a、b为常数）的一个根是，则代数式的值为（ ）
A． B．2025 C． D．2026
8．若关于y的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知是方程的一个根则 ．
10．是关于的方程的两实数根，且，则的值为 ．
11．已知m，n是方程的两根，则 ．
12．若关于的方程的两个根分别为，，则m的值为 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．解下列方程：
(1)； (2)．
14．已知，是一元二次方程的两个实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)是否存在实数k，使得等式成立？如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由．
15．桃子旺季时，某店铺老板平均每天可售出桃子箱，每箱盈利元，当桃子时令快接近尾期，老板为了尽量减少库存，决定适当的降价，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每箱桃子降价元，那么平均每天就可多售出箱．
(1)要使平均每天销售桃子盈利元，那么每箱桃子应降价多少元？
(2)平均每天销售桃子盈利能达到元吗？若能，每箱应该降价多少元？若不能，请说明理由．
16．已知、是方程的两个实数根．
(1)求的值；
(2)求的值．
17．新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数或整式的平方，则此方程叫“美好方程”．
(1)判断下列方程一定是“美好方程”是_______；（直接填序号）
①；②；③；
(2)若关于的一元二次方程方程，
①证明：此方程一定是“美好方程”；
②设方程的两个实数根分别为，，是否存在实数，使得始终在函数的图象上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
18．阅读材料，解答问题：
材料1：为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为，．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法．
材料2：已知实数m，n满足，，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由韦达定理可知，．
根据上述材料，解决以下问题：
(1)【直接应用】解方程：；
(2)【间接应用】已知实数a，b满足：，，且，求的值；
(3)【拓展应用】已知实数x，y满足：，且，求的值．
参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．C
4．A
5．B
6．C
7．B
8．C
二、填空题
9．
10．
11．2
12．1
三、解答题
13．【解】（1）解：，
，
，
或，
，；
（2）解：，，，
，
，
，．
14．【解】（1）解：根据题意得，，
解得；
（2）解：存在，
，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，即，
，
解得，，
经检验，，，是分式方程的解，
，
，
即存在实数，使得等式成立，此时．
15．【解】（1）解：设每箱桃子应降价元，则销售量为箱，每件的利润为元，
故，
解得，，
∵要尽量减少库存，
故选择降价更多的，即每箱桃子应降价元，
（2）解：平均每天销售桃子盈利不能达到元；理由如下：
设每箱桃子降价元时，销售桃子的盈利为元，
故，
整理得，
∵，
故方程无实数根，即平均每天销售桃子盈利不能达到元．
16．【解】（1）解：根据题意得，，
∴，
将代入上式得，
原式；
（2）解：
由（1）得．
17．【解】（1）解：①，，故符合题意；
②，，故不符合题意；
③，，故符合题意；
故选：①③；
（2）解：①证明：，
，
此方程一定是“美好方程”．
②存在，理由如下：
，
，，
始终在函数的图象上，
，
，
∴
则
即存在实数，使得始终在函数的图象上，的值为1．
18．【解】（1）解：令，则有，
∴，
∴，，
∴或，
∴，，，．
（2）∵，
∴或．
①当时，令，，
∴，则，，
∴m，n是方程的两个不相等的实数根，
∴，此时．
②当时，，
此时，
综上：或．
（3）令，，则，，
∵，∴，即，
∴a，b是方程的两个不相等的实数根，
∴，故．
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