第二章一元二次方程单元检测卷（含答案）湘教版2025—2026学年九年级数学上册

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第二章一元二次方程单元检测卷湘教版2025—2026学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值为（ ）
A． B． C．2 D．不能确定
2．电影《南京照相馆》取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，自上映以来，全国票房连创佳绩.据不完全统计，某市一天的票房收入约为200万元，第三天的票房收入约为600万元，设票房收入每天平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．一个直角三角形的两条直角边长是一元二次方程的两根，则该直角三角形的斜边长为（ ）
A． B．2 C．3 D．
5．关于x的一元二次方程的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
6．如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
7．已知关于的一元二次方程的一个根为5，则它的另一个根以及实数的值为（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
8．若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．已知方程的两根分别是和，则代数式的值为 ．
10．一元二次方程化成的形式，则的值为 ．
11．若实数，则的值为 ．
12．若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．解方程：
(1)； (2)； (3)．
14．如图，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果两点同时出发，设运动时间为秒．
(1)当为何值时，为等腰三角形？
(2)是否存在某时刻，使线段恰好把的面积平分？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．
15．综合与实践
随着国家对地摊经济的支持，各地的夜市逐渐火爆．太原某小型夜市为改善环境，融入地方特色，对夜市摊位摆放位置进行升级改造，改造后的布局如图所示．已知在矩形中，，，阴影部分为夜市摆摊位，其余部分是等宽的人行过道，摊位的总面积为．
(1)人行过道的宽是多少米？
(2)该夜市有个摊位对外出租，每个摊位的月租金为元时，摊位刚好全部租完．夜市升级改造后对每个摊位的月租金进行适当调整，每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位．
①设每个摊位的月租金上涨元，则该夜市可以租出多少个摊位？
②在尽可能让利于摊主的条件下，当每个摊位的月租金为多少元时，该夜市的月租金总收入为元？
16．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：此一元二次方程恒有实数根．
(2)无论为何值，该方程有一根为定值，请求出此方程的定值根．
17．已知关于的方程．
(1)若方程有两个实数根，求实数的取值范围；
(2)若方程有两个实数根，，且，求的值．
18．阅读材料：
材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值．
解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ；
(2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ；
(3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ；
(4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ．
参考答案
一、选择题
1．C
2．A
3．C
4．A
5．A
6．A
7．A
8．C
二、填空题
9．
10．
11．6
12．
三、解答题
13．【解】（1）解：
或
∴，；
（2）解：
或
∴，；
（3）解：，
∴a＝1，，c＝2，
∴，
∴，
∴，．
14．【解】（1）解：依题意得：，，
，
当为等腰三角形时，，
，
解得：，
当时，为等腰三角形；
（2）解：不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分；理由如下：
依题意得：，
，
，
，
，
方程无实根，
不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分．
15．【解】（1）解：设人行过道的宽是，则阴影部分可合成长为米，宽为米的长方形，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
又∵，
∴，
∴．
答：人行过道的宽是5米；
（2）①每个摊位的月租金每上涨元，就会少租出个摊位
设每个摊位的月租金上涨元，
∴该夜市可以租出个摊位
② 设月租金记为元，则总月租金为，
由题意可得方程
解得或；
因为尽可能让利于摊主，应取较小的，此时每个摊位的月租金为(元) ．
16．【解】（1）证明∵
∴此一元二次方程恒有实数根．
（2），
，
其中根与的取值无关，
所以此方程的定值根为．
17．【解】（1）解：（1）由题意可知，，
若方程有两个实数根，则，即，
解得．
（2）∵一元二次方程有两个实数根，，
由根与系数关系可知：，，
∵，
∴即，
∴，
∴，
解得：．
18．【解】（1）解：∵一元二次方程的两个根为，，
∴，．
故答案为：，；
（2）解：∵一元二次方程的两根分别为m、n，
∴，，
∴
；
（3）解：∵实数s、t满足，
∴s、t可以看作方程的两个根，
∴，，
∵
，
∴或，
当时，
，
当时，
，
综上分析可知，的值为或．
（4）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴
解得
∵关于的一元二次方程
∴，
∵
∴
∴
解得
综上所述，．
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