第二十一章一元二次方程单元检测卷（含答案）人教版2025—2026学年九年级数学上册
文档属性
| 名称 | 第二十一章一元二次方程单元检测卷（含答案）人教版2025—2026学年九年级数学上册 |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 345.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-08 00:00:00 | ||
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文档简介
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第二十一章一元二次方程单元检测卷人教版2025—2026学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于的方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有1个实数根
3．目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校年给贫困学生每人元补贴，年给贫困学生每人元补贴，设每年发放的资助金额的平均增长率为，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．用配方法解方程 时，原方程变形为（ ）
A． B． C． D．
5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
6．若关于的一元二次方程有一个实数根为1，则（ ）
A． B． C．或 D．
7．已知分别是直角三角形的三边长，为斜边，则关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根
8．若m，n是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．15 B． C． D．29
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若，是方程的两根，则的值为 ．
10．已知，且，则代数式的值为 ．
11．已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是 ．
12．若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．用适当方法解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
14．已知：关于的一元二次方程．
(1)若为方程的一个根，求的值；
(2)求证：无论为何值，方程总有两个实数根．
15．已知关于的一元二次方程 有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设方程的两实根分别为与，若，求的值．
16．某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
(1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
(2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？
17．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”．
(1)判断方程是否是“邻近根方程”；
(2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻近根方程”，求的值；
(3)若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，令，试求t的最大值．
18．定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是
(1)写出一元二次方程的“友好方程”：________；
(2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为_________．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_______，请证明你的结论；
(3)已知关于的方程的两根是．请利用（2）中的结论，直接写出关于的方程的两根．
参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．A
4．A
5．D
6．B
7．A
8．A
二、填空题
9．12
10．11
11．5
12．或
三、解答题
13．【解】（1）解：
移项得，
因式分解得，
∴，或，
∴，；
（2）解：
，
方程有两个不等的实数根
，
∴，；
（3）解：
移项得，
∴，
∴，
∴．
14．【解】（1）解：将代入一元二次方程．
得，
解得：．
（2），
无论为何值，方程总有两个实数根．
15．【解】（1）关于的一元二次方程 有实数根，
，
解得．
（2）方程的两实根分别为与，
，
，
，
即，
解得或，
，
．
16．【解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意，得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
答：2，3两个月的销售量月平均增长率为．
（2）解：∵这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个
∴每降价1元，其销售量增加12个
设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得，(不符合题意，舍去)，
答：这种玩具应降价2元．
17．【解】（1）解：方程是“邻近根方程”，
理由：在方程中，
，
∴，，
∴，
∴方程是“邻近根方程”．
（2）解：，
，
，，
，，
∵关于x的方程（m是常数）是“邻近根方程”，
，即，
∴，
解得：或．
（3）解：∵关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，设两个根为、，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
即t的最大值为．
18．【解】（1）解：根据题意可知的“友好方程”是：，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
解得；
根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数；
故答案为：，互为倒数；
证明：解方程，
当时，．
解方程，
得，
∴
．
故原方程的两根与其“友好方程”的两根互为倒数；
（3）解：关于的方程的两根为．
∵方程的两根是，
∴其“友好方程”的两根为2025．
，即，
将看作整体，则或，
∴．
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第二十一章一元二次方程单元检测卷人教版2025—2026学年九年级数学上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题5分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于的方程根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有1个实数根
3．目前我国建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校年给贫困学生每人元补贴，年给贫困学生每人元补贴，设每年发放的资助金额的平均增长率为，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．用配方法解方程 时，原方程变形为（ ）
A． B． C． D．
5．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
6．若关于的一元二次方程有一个实数根为1，则（ ）
A． B． C．或 D．
7．已知分别是直角三角形的三边长，为斜边，则关于的方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．可能有且只有一个实数根 D．没有实数根
8．若m，n是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A．15 B． C． D．29
二．填空题（每小题5分，满分20分）
9．若，是方程的两根，则的值为 ．
10．已知，且，则代数式的值为 ．
11．已知是一元二次方程的一个根，则另一个根是 ．
12．若关于的一元二次方程有两个实数根，，且，则
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
13．用适当方法解方程：
(1)；
(2)；
(3)．
14．已知：关于的一元二次方程．
(1)若为方程的一个根，求的值；
(2)求证：无论为何值，方程总有两个实数根．
15．已知关于的一元二次方程 有实数根．
(1)求的取值范围；
(2)设方程的两实根分别为与，若，求的值．
16．某商场将进货价为30元的玩具以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种玩具销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变．
(1)求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率；
(2)从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种玩具获利4800元，则这种玩具应降价多少元？
17．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”．
(1)判断方程是否是“邻近根方程”；
(2)已知关于x的方程（m是常数）是“邻近根方程”，求的值；
(3)若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，令，试求t的最大值．
18．定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是
(1)写出一元二次方程的“友好方程”：________；
(2)已知一元二次方程的两根为，它的“友好方程”的两根为_________．根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为_______，请证明你的结论；
(3)已知关于的方程的两根是．请利用（2）中的结论，直接写出关于的方程的两根．
参考答案
一、选择题
1．B
2．C
3．A
4．A
5．D
6．B
7．A
8．A
二、填空题
9．12
10．11
11．5
12．或
三、解答题
13．【解】（1）解：
移项得，
因式分解得，
∴，或，
∴，；
（2）解：
，
方程有两个不等的实数根
，
∴，；
（3）解：
移项得，
∴，
∴，
∴．
14．【解】（1）解：将代入一元二次方程．
得，
解得：．
（2），
无论为何值，方程总有两个实数根．
15．【解】（1）关于的一元二次方程 有实数根，
，
解得．
（2）方程的两实根分别为与，
，
，
，
即，
解得或，
，
．
16．【解】（1）解：设2，3两个月的销售量月平均增长率为x，
依题意，得：，
解得：，(不符合题意，舍去)，
答：2，3两个月的销售量月平均增长率为．
（2）解：∵这种玩具的售价每降价0.5元，其销售量增加6个
∴每降价1元，其销售量增加12个
设这种玩具每个降价y元时，商场四月份销售这种玩具获利4800元，
依题意，得：，
整理，得：，
解得，(不符合题意，舍去)，
答：这种玩具应降价2元．
17．【解】（1）解：方程是“邻近根方程”，
理由：在方程中，
，
∴，，
∴，
∴方程是“邻近根方程”．
（2）解：，
，
，，
，，
∵关于x的方程（m是常数）是“邻近根方程”，
，即，
∴，
解得：或．
（3）解：∵关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，设两个根为、，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
即t的最大值为．
18．【解】（1）解：根据题意可知的“友好方程”是：，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
解得；
根据以上结论，猜想的两根与其“友好方程”的两根之间存在的一种特殊关系为互为倒数；
故答案为：，互为倒数；
证明：解方程，
当时，．
解方程，
得，
∴
．
故原方程的两根与其“友好方程”的两根互为倒数；
（3）解：关于的方程的两根为．
∵方程的两根是，
∴其“友好方程”的两根为2025．
，即，
将看作整体，则或，
∴．
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