2026年中考数学二次函数专题复习讲练 专题19 二次函数与圆综合（含答案）

专题19 二次函数与圆综合
第一部分：基础知识储备
圆综合是几何综合的最高提现，本身圆这个章节性质定理推论极其多，综合性也比较强，加之与全等三角形、相似三角形、四边形的结合，使之成为几何的王者。近些年对于圆综合考察难度有所下降。但圆与二次函数的综合则是强强联手，需要扎实掌握这两章节的内容之外，还要学习一些题型和方法。常用到的数学思想方法有分类思想、数学结合思想、化归思想。常考的题型主要有五大类：
一、与圆有关的位置关系
主要是特殊位置关系，直线与圆相切，抓住半径等于圆心和切点的距离即可，经常也会用到垂径定理和勾股定理，复杂一点的计算会用到相似三角形和三角函数。相切的时候经常会产生最值问题，所以求最值的时候要注意一下这个位置关系。
二、等腰三角形和直角三角形存在性问题
这两个问题我们在前面系统的讲过，解决等腰三角形的存在性是两圆一中垂，要学会画圆；其次是直角，直径所对圆周角是直角，要学会画外接圆。
三、阿氏圆
阿氏圆是最值问题非常常见的类型，难度较大，前面系统讲过，本质是利用共边模型构造母子型相似。
四、隐形圆之四点共圆
隐形圆属于比较难的内容，频率很高的主要有两种，一种是四点共圆，一种是定弦定角隐形圆。
条件:如图△ABC和△DBC中,∠A=∠D。结论:A,B,C,D四点在同一个圆上.
【证明】经过A，B，C三点作⊙O，假设点D不在⊙O上则点D在⊙O内或⊙O外.
(1)当点D在⊙O内时,延长BD交⊙O于E,连结EC,则有∠A=∠E,又∵ 这与∠A=∠D相矛盾。∴点D不在⊙O内。
(2)当点D在⊙O外时,不妨设BD交⊙O于E,连结CE,则∠A=∠BEC,又∵∠BEC>∠D
∴∠A>∠D。这与∠A=∠D相矛盾∴点D不在圆外. 所以综合(1)(2),点D在⊙O上. 故点A,B,C,D四点在同一圆上。
除此之外，四点共圆的还有下面这六种情况，建议重点掌握前面三种即可。
1、如下图，如果满足 则A、B、D三点共圆,圆心是C,半径是CA。延长AC,使得BC=
PC,连接PB,则∠ADB=∠APB,则A、B、D、P四点共圆。
2、若平面上A、B、C、D四个点满足∠ABD=∠ACD=90°,则A、B、C、D在以AD中点E为圆心、EA长为半径的圆上(斜边中线等于斜边一半可得EA=EB=EC=ED).如右图，若平面上A、B、C、D四个点满足∠ABC=∠ADC=90°,两个角在线段异侧,A、B、C、D四点共圆。90°是出现频率极高的一种情况,大家要注意。
3、若平面上A、B、C、D四个点满足∠BAC+∠BDC=180°或者∠ACD+∠DBA=180°;或者四边形的一个外角等于它的内对角，则A、B、C、D四点共圆.
4、两条线段被一点分成(内分或外分)两段长的乘积相等，则这两条线段的四个端点共圆.如下左图。
四边形ABCD的对角线AC、BD交于H,若AH·CH=BH·DH,则A、B、C、D四点共圆.
可以发现△ADH∽△BCH，对应角相等可得∠HDA=∠HCB，变成上面第1种情况。这就是相交弦定理基本内容，条件结论互换而已。
5、四边形ABCD的对边BA、CD的延长线交于P,若PA·PB=PD·PC,则A、B、C、D四点共圆。可以发现△PAD∽△PCB，对应角相等可得∠PDA=∠PBC，变成上面第3种情况。这就是割线定理基本内容，条件结论互换而已。
6、如果四边形ABCD是凸四边形,AB·CD+AD·BC=AC·BD,则A、B、C、D四点共圆。
由托勒密不等式,有AB·CD+AD·BC≥AC·BD,当取等时,B、E、D共线,有BE+ED=BD.此时∠ABE=∠ACD，由1可知A、B、C、D四点共圆。本质是构造旋转相似。
五、隐形圆之定弦定角
1、若AB是定线段,P是动点,∠APB=90°,则P在以AB为直径的圆(弧)上,如下左图。
2、若AB是定线段，P点是动点，∠APB=α是一个定值，则P点的轨迹是一个圆(弧)，如中图。
如何确定圆心和半径呢 可以利用外接圆，先做AB中垂线，再在中垂线上找点O，使得∠AOB=2α，O即为圆心。过O作AB垂线交于D，则 所以 (此时α为锐角)。当α为钝角时，如右图，方法同上，可以得到 (不用管这个三角函数怎么化简的，因为属于高一才讲，知道结论是一样的就可以。而且题目中给的角度一般都是锐角，而且是特殊值。不是特殊值，一般会告诉你其三角函数值)
第二部分：典型例题分析
例 1 如图，在平面直角坐标系xOy中，经过C(1，1)的抛物线 顶点为M，与x轴正半轴交于A，B两点.
(1)如图1，连接OC，将线段OC绕点O逆时针旋转使得C落在y轴的正半轴上，求线段OC过的面积；
(2)如图2,延长线段OC至N,使得( 若∠ONA=∠OBN且 求抛物线的解析式；
(3)如图3，已知以直线 为对称轴的抛物线 交y轴于(0,5),交直线l:y=kx+m(k>0)于C，D两点，若在x轴上有且仅有一点P，使. 求k的值.
【解答】(1)线段OC过的面积
设点A、B的坐标分别为：(m,0)、(n,0),
则 则 即
则抛物线的表达式为：y=a(x-m)(x-n),
过点M作 交AB于点H，函数的对称轴为：
则
化简得：
将(1,1)代入y=a(x-m)(x-n)并化简得：
联立①②③并解得：
则抛物线的表达式为
(3)由题意得： 解得： 故抛物线的表达式为：
设点.D(m,n), 而点C(1,1),则
若在x轴上有且仅有一点P，使
则过CD中点的圆R与x轴相切，设切点为P，
则点 则HP=HC,
即
化简得：
解得： (不合题意的值已舍去)，
例 2 如图，直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B.抛物线 经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是第一象限抛物线上的点，连接OP交直线AB于点Q.设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的关系式，并求出PQ与OQ的比值的最大值；
(3)点D是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD，设 外接圆的圆心为M，当 的值最大时，求点M的坐标.
【解答】(1)在 中，令y=0得x=4,令x=0得x=0y=3,,∴点A(4,0)、B(0,3),把A(4,0)、B(0,3)代入 得：解得： ∴抛物线解析式为
(2)如图1，过点P作y轴的平行线交AB于点E，则
则
∵0(3)如图，由抛物线 易求C(-2,0),对称轴为直线x=1,
∵△ODC的外心为点M，∴点M在CO的垂直平分线上，
设CO的垂直平分线与CO交于点N,连接OM、CM、DM,
则
又MO=MD,∴当MD取最小值时,sin∠ODC最大,此时⊙M与直线x=1相切，. ∴点
根据对称性，另一点 也符合题意；
综上所述，点M的坐标为 或
例 3 如图，抛物线 与x轴交于A、B(A左B右),与y轴交于C,直线y=-x+5经过点B、C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为第二象限抛物线上一点，设点P横坐标为m，点P到直线BC的距离为d,求d与m的函数解析式;(3)在(2)的条件下,若∠PCB+∠POB=180°,求d的值.
【解答】(1)∵直线y=-x+5经过点B、C,∴B(5,0),C(0,5),把B、C坐标代入 得到： 解得 ∴二次函数的解析式为
(2)如图1中,作PE⊥BC于E,作PF∥AB交BC于F.
∵PF∥AB,∴点F的纵坐标为 则有
是等腰直角三角形，
(3)如图2中,取BC的中点H,连接PH. ∵∠PCB+∠POB=180°,∴O、B、C、P四点共圆,
整理得： 解得m=0或5或-1或2，∵P在第二象限，
例 4 已知，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 交x轴于A,B,交y轴于C,连接AC、
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)将抛物线向左平移m个单位，使抛物线与 的边有且只有一个交点，求m的值；
(3)点M是位于直线BC上方抛物线上一点，连接MC，MB
① 若满足 (k为常数)的点M有且只有一个，求点M的坐标；
② 在①的条件下，以M为圆心的圆与y轴相切，过⊙M上一点E，作直线BC的垂线，垂足为G，与x轴于点F，当 的值最小时，求E点坐标.
【解答】(1)由 令x=0,得 由 ,即B(4,0),将B(4,0)代入 得： 解得： ∴抛物线的函数表达式是：
(2)由题意，当且仅当抛物线对称轴右侧与x轴交点与A重合时，此时抛物线与△ABC的边恰有一个交点，由 令y=0,则 对称轴 当抛物线平移后，得其与x轴交点为 对称轴为x=-3，∴此时新抛物线向左平移了 个单位长度，故
(3)①平移BC(向上平移)与抛物线切于M，(图中位置)，则此时 恰有一个M，否则：当直线 交抛物线 时，有 故此时有2个M，不成立，由C(0,2),B(4,0)知:BC为 ∴设l方程： 由 联立： 且此方程只有一个根，
∴△=9+3(2-b)=0,得b=5,
将b=5代,入
解得x=2,则 ∴点M的坐标为(2,4);
②作BE切⊙M于点E,作EG⊥BC交BC于G,交x轴于F,则 最小，连接MB，则
作MQ⊥x轴交BE于K,作EP⊥MQ交MQ于P,
∵∠MEK=∠BQK,∠MKE=∠BKQ,ME=BQ=2,
∴△MEK≌△BQK,
∴EK=QK,BK=MK,
∴设EK=QK=x,则BK=MK=4-x,
即 解得
∵EP∥x轴,∴△EPK∽△BQK,
第三部分：针对提高训练
练 1 如图，抛物线 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且(OA=OC,直线y=-x与该抛物线交于E，F两点.
(1)求抛物线的解析式.
(2)P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作 于点H，求PH的最大值.
(3)以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点D，使得 是以CD为直角边的直角三角形 若存在，直接写出D点坐标；若不存在，请说明理由.
练 2 (福建福州九年级期中)如图，抛物线 与直线AB交于A(-4,-4),B(0,4)两点,直线AC: 交y轴与点C，点E是直线AB上的动点，过点 轴交AC于点F，交抛物线于点G.
(1)直接写出抛物线 的解析式为 ；
(2)在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形 求出此时点E，H的坐标；
(3)在(2)的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为圆E上一动点，求 的最小值.
练 3 (浙江南湖二模)定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆.
(1)已知点P(2,2),以P为圆心, 为半径作圆.请判断⊙P是不是二次函数 的坐标圆，并说明理由；
(2)已知二次函数 图象的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求 周长的最小值；
(3)已知二次函数 图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D,连结PC,PD,如图2. 若 ，求a的值.
练 4 (2023江苏苏州)如图，二次函数 的图象与x轴分别交于点A，B(点A在点B的左侧)，直线l是对称轴.点P在函数图象上，其横坐标大于4，连接PA，PB，过点P作 垂足为M，以点M为圆心，作半径为r的圆，PT与⊙M相切，切点为T.
(1)求点A,B的坐标;
(2)若以⊙M的切线长 PT为边长的正方形的面积与 的面积相等，且⊙M不经过点(3，2)，求PM长的取值范围.
专题19：二次函数与圆综合
【练1】解:(1)令x=0,则y=-3a,可知点C(0,-3a),∵OA=OC,∴点A(-3a,0),令( -3a=0,即a(x-1)(x+3)=0,解得: =1,∴点A(-3,0),B(1,0),∴-3a=-3,∴a=1∴抛物线的解析式
(2)过点P作PM⊥y轴交直线EF于点M,∵直线EF的解析式为y=-x,∴∠MOA=45°,∴∠PMH=45°,设点. 点M(x,-x),∴PH= 当 时，PH的值最大为
(3)当∠BCD=90°时,如图2左侧图所示,当点D在BC的右侧时，过点D作DM⊥y轴于点M，则CD=OB=1,OC=3,tan∠BCO=
tan∠CDM=tanα,则 同理 故点
同理当点D在BC的左侧时，点D的坐标 当∠CDB=90°时,如图2右侧图所示，当点D在BC的右侧时，CD=OB=1,则点D(1,-3),当点D在BC的左侧时,由点的对称性，同理可得：点
综上所述，点D的坐标为 或 或(1,-3)或
【练2】解:(1)将点A(-4,-4),B(0,4)代入抛物线解析式可得：解得 抛物线的解析式为
(2)设直线AB解析式为y= kx+b,将A(-4,-4),B(0,4)代入得解得
由题意可得:C(0,-6),设E(a,2a+4),H(0,p),则
∴△ABC为直角三角形,∠BAC=90°.
结合图形可得，以A，E，F，H为顶点的矩形为矩形AFHE，EF为矩形的对角线.由矩形的性质可得，线段AH、FE的中点重合，则
解得a=-2,p=-1∴E(-2,0),H(0,-1),由E点坐标可知，E在x轴上
(3)取EG的中点P,如图2:
由(2)可知,E(-2,0),H(0,-1),A(-4,-4),∴EH
连接CP交圆E于点M,连接EM、AM,∴EM=
又∵∠PEM= PC,当P、C、M三点共线时,等号成立.设P(p,2p 化简得5 解得 或 舍去，P在点(E的左边)， 即 的最小值为
【练3】解: 抛物线与坐标轴的交点A(3,0),B(1,0),C(0,3), ∴⊙P是二次函数 +3的坐标圆.
(2)y=x -4x+4=(x-2) ,∴A(2,0),C(0,4),∴过两点A，C的圆的圆心在线段AC的中垂线上，∴C△POA=PO+PA+OA=PO+PC+2≥OC+2=6,∴△POA周长的最小值为6.
(3)如图所示:连接CD,过P作PE⊥CD于E,PE的反向延长线交AB于F，连接PA
通过图像结合函数及圆的对称性可知：PE与二次函数的对称轴共线， ∴ 令y=0,则 解得：
解得：
【练4】解:(1)令y=0,则 解得： 2,x =4,∴A(2,0),B(4,0).
∴对称轴为x=3. 设P(m,m -6m+8),∵PM⊥l,∴M(3, 连接MT，则 即以切线长PT为边长的正方形的面积为 过点P作PH⊥x轴，垂足为H，则 8,
假设⊙M经过点N(3，2)，则有两种情况：
①如图，当点M在点N的上方
∴M(3,3),∴m -6m+8=3,解得m=5或1,∵
②如图，当点M在点N的下方，
解得
或
综上所述，PM=m-3=2或
∴当⊙M不经过点N(3，2)时，PM长的取值范围为： 或 或PM>2.