2026年中考数学二次函数专题复习讲练 专题16 二次函数线段数量关系问题（含答案）

专题16 二次函数线段数量关系问题
第一部分：基础知识储备
一、线段中点坐标公式
平面直角坐标系中,点A(x ,y ),点B(x ,y ),则线段AB的中点坐标为:
二、两点间距离公式
如右图,已知:A(x ,y ),B(x ,y ),
则
所以由勾股定理可得：
所以 (两点距离公式)
三、基本思路
若是已知或者求解两线段倍数关系，常见的思路如下：
1、设点坐标，利用方程函数思想，联立一次函数二次函数，得到新的一元二次方程，根据韦达定理，表示出相关线段。建立方程或者式子化简求值。这个技能在前面已经讲过了。
2、线段比例问题，也可以考虑构造相似三角形，找到两条线段所在三角形，证明相似或者转化线段来求解。
3、若题目中出现等角，考虑利用等角的三角函数值相同来建立等式。
4、若求线段比例最值，则考虑用同一个字母分别表示出线段，化简式子利用函数思想求解。
第二部分：典型例题分析
例 1 如图，已知二次函数 5(a,b是常数,a>0)的图象与x轴交于点.A(-1,0)和点B(5,0).动直线y=t(t为常数)与抛物线交于不同的两点P、Q(点P在Q的左侧).
(1)求抛物线的解析式；
(2)动直线 y=t与y轴交于点C,若(CQ=3CP,，求t的值；
(3)将抛物线 在x轴下方的部分沿x轴翻折，若动直线y=t与翻折后的图像交于点M、N，点M、N能否是线段PQ的三等分点 若能，求PQ的长度；若不能，请说明理由.
【解答 在抛物线上， 解得： ∴二次函数关系式为y
(2)当y=t在x轴的上方，如图，
抛物线的对称轴 与直线y=t交于点H，. ，根据抛物线的对称性可得，PH=QH,∵CQ=3CP,∴PH=CH=2,QH=2CH=4,∴CQ=6,∴点Q的坐标为(6,t),∵点Q在抛物线 上，代入得，
当y=t在x轴的上方，如图，
此时，根据抛物线的对称性可得，C ,∴点P的坐标为(1，t)，∵点P在抛物线 上，代入得， 综上所述，t=-8或7;
(3)点M、N可以是线段PQ的三等分点，此时
抛物线 的顶点坐标为D(2,-9),将抛物线 在x轴下方的部分沿x轴翻折，∴点E与点D关于x轴对称，点E的坐标为(2，9)，∴翻折后的抛物线解析式为：y= ∵直线y=t与抛物线 交于P，Q两点， 解得： ∴点P的坐标为 点Q的坐标为 ∵直线y=t与抛物线 交于M，N两点， 解得： ∴点M的坐标为 点N的坐标为 要使点M、N是线段PQ的三等分点，则PM=MN 解得：
例2已知:抛物线y=a(x+m)(x-3m)(a>0,m>0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的右边),与y轴交于点C，直线l：y=kx+b经过点B，且与该抛物线有唯一公共点，平移直线l交抛物线于M、N两点(点M、N分别位于x轴下方和上方)
(1)若
①直接写出点A，点B的坐标和抛物线的解析式；
②如图1,连接AM、AN,取MN的中点P,连接PB,求证:PB⊥AB;
(2)如图2,连接MC. 若MC∥x轴,求 的值.
【解答】(1)由题意得： 解得 令y=0,解得x=-1或x=3,∴A(3,0),B(-1,0),抛物线的解析式
②证明：设
即
解得 又∵MN∥l,
∴设
即
∴PB⊥AB;
(2)解:
对称轴：
∵MC∥x轴
当y=0时, 即A(3m,0),B(-m,0).
得 即
由于直线与抛物线有唯一公共点B，所以 且b= mk,解得k=-4am,∴y=-4amx+b,又∵MN∥l,∴设MN:y=-4amx+t
即(
过N作NG⊥x轴于G,过M作MH⊥x轴交x轴于H,交AN于P,设.
当x=2m时, 当x=0时,
在△AHM和△AHP中< AM
又∵
例 3 (湖北青山三模)已知抛物线 与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，在与y轴交于点C，顶点为D.
(1)如图1，当△ABD为等边三角形时，求k的值；
(2)点E为x轴下方抛物线 上一动点.
①如图2，抛物线的对称轴DH交x轴于点H，直线AE交y轴于点M，直线BE交对称轴DH于点N，求 的值；
②如图3,若k =1,点F在x轴上方的抛物线上,EF交x轴于G,且∠FBA=∠EBA,FM⊥x轴于M,求证:FM =2MG.
【解答】(1)令y=0,则x=1或3,∴A(1,0)、B(3,0),∴AB=2,∵△ABD为等边三角形,∴AB=BD=AD=2,过点D作DP⊥x轴,则有:
A ), 解得：
(2)①设 AE解析式为:y= mx+n,BE解析式为y= sx+t由(1)知A(1,0),B(3,0),把A,E代入y= mx+n得: 解得， ∴AE解析式为y=k(p-3)x-k(p-3),∵当x=0时,y=k(p-3),
∴MO=k(3-p),同理:BE解析式为y=k(p-1)x-3k(p-1),∵D(2,-k),当x=2时,y=-k(p-1),∴HN=k(p-1),又
②过点E作EL⊥x轴于L,设
设直线EF解析式为 ∴.联立方程组
FBA=∠EBA,
又B(3,0),
xF),
∴ b)=0,
∴(a+2)(3a+b)=0,∴a=-2或3a+b=0,当3a+b=0时直线EF经过点B,不合题意,∴a=-2,
第三部分：针对性提高训练
练 1 (江苏镇江)如图①，直线l经过点(4，0)且平行于y轴，二次函数 (a、c是常数，a<0)的图象经过点M(-1，1)，交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点.
(1)当a=-1时,求点N的坐标及 的值；
(2)随着a的变化， 的值是否发生变化 请说明理由；
(3)如图②,E是x轴上位于点B右侧的点,BC=2BE,DE交抛物线于点F. 若FB=FE,求此时的二次函数表达式.
练 2 (广东惠州一模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴分别交于A(-3,0),，B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点E(-1,4),，对称轴交x轴于点F.
(1)请直接写出这条抛物线和直线AE、直线AC的解析式；
(2)连接AC、AE、CE,判断 的形状，并说明理由；
(3)如图2，点D是抛物线上一动点，它的横坐标为m，且-3①DG、GH、HK这三条线段能否相等 若相等，请求出点D的坐标；若不相等，请说明理由；
②在①的条件下，判断CG与AE的数量关系，并直接写出结论.
专题16：二次函数线段数量关系
【练1】解:(1)分别过点M、N作ME⊥CD于点E,NF⊥DC于点F,
∵ME∥FN∥x轴,
∴△DME∽△DAC,△DCB∽△DFN,∴MEC= 则 将M(-1，1)代入上式并解得：c=4，∴抛物线的表达式为： 则点D(1,5),N(4,-4),则ME=2,DE=4,DC=5,FN=3,DF=9,∴ 解得：
(2)不变,理由: 过点M(-1,1),则a+2a+c=1,解得： 2ax+(1-3a),∴点D(1,1-4a),N(4,1+5a),∴ME=2,DE=-4a,由(1)的结论得:AC=
(3)过点F作FH⊥x轴于点H,则FH∥l,则△FHE∽△DCE,
∵FB=FE,FH⊥BE,∴BH=HE,∵BC=2BE,则CE=6HE,∵CD=1-4a,∴FH= - 将点F的坐标代入y=ax -2ax+(1-3a)=a(x+1)(x-3)+1得:
解得： 故
【练2】解：(1)抛物线的表达式为：
故a+4=3,解得:a=-1,故抛物线的表达式为:y 将点A、E的坐标代入一次函数表达式并解得：直线AE的表达式为：y=2x+6；同理可得:直线AC的表达式为:y=x+3;
(2)点A、C、E的坐标分别为:(-3,0)、(0,3)、(-1,4),则. 故 则△ACE为直角三角形；
(3)①设点D、G、H的坐标分别为:
(x,-x -2x+3)、(x,2x+6)、(x,x+3),
则
HK=x+3;GH=2x+6-x-3=x+3;
当DG=HK时, 解得:x=-2或-3(舍去-3),故x=-2,当x=-2时,DG=HK=GH=1,故DG、GH、HK这三条线段相等时,点D的坐标为:(-2,3);
故AE=2CG.