2026年中考数学二次函数专题复习讲练 专题15 二次函数与阿氏圆（含答案）

专题15 二次函数与阿氏圆
第一部分：基础知识储备
一、阿氏圆
在前面的"胡不归"问题中，我们见识了"kPA+PB"最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的"阿氏圆"问题.
已知平面上两点A、B，则所有满足 的点 P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称"阿波罗尼斯圆"简称"阿氏圆".如图，其中
二、两个定理
1、角平分线定理：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，则
【证明】
过点D分别作AB、AC的垂线分别交于点E、F
∵AD平分∠BAC,∴DE=DF,∴△ABDC=ABCAD
又
2、外角平分线定理：如图，在△ABC中，∠CAE的平分线AD交BC 的延长线于点D，则
【证明】
在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接ED,
则△ACD≌△AED(SAS),
∴CD=ED且AD 平分∠BDE,
即
三、阿氏圆模型证明
“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k(k≠1)，则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”
【证明】
如图， 作∠APB的角平分线交 AB于M 点,
根据角平分线定理，
故M 点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；
作∠APB 外角平分线交直线B于N 点，
根据外角平分线定理，
故N点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB于定点；
∵∠MPN=90°,定边对定角,∴P 点轨迹是以MN 为直径的圆.
四、阿氏圆的一些性质
应用：根据A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心O的位置；
(2)△OPA∽△OBP(母子相似),即可得:OP =OA·OB
应用：根据圆心及半径和A、B中的其中一点，可求得A、B另外一点位置；
应用：已知半径及A、B中的其中一点，即可知道 的值.
五、阿氏圆求加权线段和破解通法
【例题】:如图,在Rt△ABC中, ⊙O的半径为2，P为圆上一动点，求.AP+ BPt的最小值.
【解答】:
第一步：连圆心与动点CP；
第二步：以半径CP为公共边，构造“母子”型相似△CPM∽△CBP；(缩小型内构，扩大型外构)
第三步：线段替换，
第四步：计算CM的长度， 即4=CM×4,∴CM=1;
第五步：
【通用解题步骤总结】
1.提：根据具体题目看是否提系数，若不需要提系数此步省略；
2.连：接动点至圆心0(将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接)，则连接OP、OB；
3.构：以半径OP为公共边构造“母子”型相似，缩小型内构，扩大型外构；即构造 则 k,PC=kBP;
4.算：利用步骤3中的相似平方关系(OP =OC·OB，计算圆心与构造点之间的距离即OC的长；
5.连:连接AC,(1)PA+kPB=PA+PC≥AC,当点P在线段AC上时取最小值,连接AC,与圆交点即为点P;(2)PA-kPB=PA-PC≤AC,当点P在线段AC延长线上时取最大值,连接AC并延长AC与圆交点即为点P；
6.计算AC长度即可.
第二部分：典型例题分析
例 1如图，在直角 中， 圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP,BP. 求①.AP+ BP;②2AP+BP;③ AP+BP;④AP+3BP的最小值.
【解答】①取CE的中点F,连结PF,AF,
,当P在AF上时,AP+PF最小，最小值为AF的长， 的最小值为
的最小值为
③在DC取一点G，使
当P在BG上B, 的最小值为 的最小值为
例2 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C(0，6)，抛物线的顶点坐标为E(2,8),连结BC、BE、CE.
(1)求抛物线的表达式；
(2)判断 的形状，并说明理由；
(3)如图2,以C为圆心, 为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得 的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
【解答】(1)∵抛物线的顶点坐标为E(2，8)，∴设该抛物线的表达式为
∵与y轴交于点C(0,6),∴把点C(0,6)代入得: ∴该抛物线的表达式为
是直角三角形.理由如下：
∵抛物线与x轴分别交于A、B两点，∴令y=0,则 解得：
∴A( ,
∴BE =BC +CE ,∴∠BCE=90°,∴△BCE是直角三角形;
(3)⊙C上存在点P,使得 的值最小且这个最小值为 理由如下：
如图，在CE上截取 (即CF等于半径的一半)，连结BF交⊙C于点P，连结EP，则BF的长即为所求.理由如下：
连结CP,∵CP为半径,
又∵
即
由“两点之间，线段最短”可得：
BF的长即 为最小值.
E(2,8),∴由比例性质,易得
例 3 已知抛物线 与x轴交于点A、B(点A在点B的右侧)，与y轴交于点C.
(1)如图1，点D为抛物线顶点，以点A为圆心，1为半径作⊙A，点E为⊙A上的动点，连接DE、BE，求 的最小值；
(2)如图2，若点H是直线AC与抛物线对称轴的交点，以H为圆心，以1为半径作⊙H，点Q是⊙H上一动点，求 的最小值；
(3)如图3，点D是抛物线上的点，且横坐标为2，过点D作. 轴于点E，点P是以O为圆心，1为半径的⊙O上的动点，连接DP、PE，求 的最大值.
【解答】(1)令y=0,则 解得 将抛物线解析式化为顶点式为 ∴D(1,4),如图，在x轴上截取 则 设抛物线对称轴与x轴交于点P， 且∠EAF=∠BAE,∴△EAF∽△BAE, ∴当D、E、F三点共线时, 即 取得最小值，最小值为DF的长， ∴点E坐标为 的最小值为
(2)由抛物线 可得抛物线对称轴为直线x=1,，设直线AC的解析式为y=kx+b,将A(3,0),C(0,3)代入y=kx+b,易得直线AC的解析式为y=-x+3,∵点H为直线AC与抛物线对称轴的交点,∴点H坐标为(1,2),
如图，连接OH，与⊙H交于点D，在OH上截取 过点N作 轴于点E，设抛物线对称轴与x轴交于点F，连接AN交⊙H于点Q，
∵ ,又∵HQ=1,HD=HQ,
又∵
要使 最小，则QN+AQ取最小值.
即点A、Q、N三点在一条直线上时，值最小，最小值为AN的长，易得直线OH的解析式为y=2x,
∵点N在直线OH上，∴设点N横坐标为x，则其纵坐标为2x，
轴,HF⊥x轴, 解得 ∴点N坐标为 ∵点A的坐标为(3,0),
的最小值为
(3)∵点D是抛物线上的点,且横坐标为2,∴D(2,3),∵C(0,3),∴CD⊥y轴,
∵DE⊥x轴,∴易证四边形OCDE为矩形,∴OE=CD=2,如图,在OA上取一点H,使得 连接DH并延长交⊙O于点P，连接EP，
易得直线DH的解析式为 且
当点P在DH的延长线上时， 的值最大，最大值为DH的长，
的最大值为
第三部分：针对提高训练
练 1 如图1，抛物线 与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m,0)(0(1)求a的值和直线AB的函数表达式；
(2)设 的周长为( 的周长为( 若 求m的值；
(3)如图2，在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为( 连接E'A、E'B,求 的最小值.
练 2 如图，抛物线 与x轴交于A( ，0)，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，且 的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线上的一个动点，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交直线AD于点H.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心， 为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求 的最小值.
练 3 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的对称轴是直线x=2,，与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM=CD时，求点M的坐标；
(3)以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值.
专题15二次函数与阿氏圆
【练1】解:(1)令y=0,则( (x+1)(ax+3)=0,∴x=-1或
∵抛物线 )与x轴交于点A(4,0)
∵A(4,0),B(0,3),设直线AB解析式为y= kx+b,则 解得
∴直线AB解析式为
(2)如图,
∵PM⊥AB,PE⊥OA,∴∠PMN=∠AEN,
∵∠PNM=∠ANE,∴△PNM∽△ANE,∴PNAN=
∵抛物线解析式为
解得m=2或4，经检验x=4是分式方程的增根,∴m=2;
(3)如图，在y轴上取一点.M'使得 连接AM',在.AM'上取一点E'使得OE'=OE.
此时 最小(两点间线段最短，A、M'、E' 共线时),
最小值
【练2】解:(1)由题意 -3),设抛物线的解析式为
把C(0,-3)代入得到 故抛物线的解析式为
如图,
∵PF是对称轴，
∵ ,
∴E(0,3),
在 HA 上取一点 K ,使得 此 时
∴当E、Q、K共线时, 的值最小，最小值
【练3】解:( ∴抛物线的解析式为 ∴抛物线的顶点坐标为(2,4);
(2)连接CM,过点C作CE⊥MN于点E, 令x=0,则y=3,∴C(0,3).令y=0,即 解得 -2.
∴A(-2,0),B(6,0). 设直线BC的解析式为y=kx+b,
将B(6,0),C(0,3)代入y=kx+b,
得 解得 ∴直线BC的解析式为
∵点M在抛物线上,点D在BC上,MN⊥x轴,
∴设点M的坐标为 点D坐标为
∵CM=CD,OC=EN=3,∴MD=2ED=2×
又· 即m(m-2)=0,
解得m=2或m=0(不合题意,舍去),∴m=2,当m=2时,
∴点M的坐标为(2,4).
(3)如图,连接OP,在OC上截取OG,
使得 连接PG,BG,此时OG=
、 即
∴当B,P,G三点共线时,PB+PG的值最小,最小值即为BG的值.
∴2PC+3PB的最小值为