2026年中考数学二次函数专题复习讲练 专题14 二次函数与胡不归（含答案）

专题14 二次函数与胡不归
第一部分：基础知识储备
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归 胡不归 …”(“胡”同“何”)，而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家
为解决以上问题，我们从特殊角度开始探究.
引例1：已知点C为直线l上的一动点，在直线l上找一点C使 最小；
【解析】
步骤1：以点A为顶点，在直线l的下方(点B的异侧)构造一个30°角，过点C作垂线交于点D；
步骤2:在Rt△ACD中 即
步骤
步骤4：过点B作AD的垂线交于点E，交直线l于点C ，此时 最小，最小为BE的长.
引例2：已知点C为直线l上的一动点，在直线l上找一点C使 最小；
【解析】
步骤1：以点A为顶点，在直线l的下方(点B的异侧)构造一个45°角，过点C作垂线交于点D；
步骤2:在Rt△ACD中 即
步骤3:
步骤4：过点B作AD的垂线交于点E，交直线l于点C ，此时 最小，最小为BE的长.
引例3：已知点C为直线l上的一动点，在直线l上找一点C使 最小；
【解析】
步骤1：以点A为顶点，在直线l的下方(点B的异侧)构造一个60°角，过点C作垂线交于点D；
步骤2:在Rt△ACD中 即
步骤3:
步骤4：过点B作AD的垂线交于点E，交直线l于点C ，此时 最小，最小为BE的长.
引例4：已知点C为直线l上的一动点，在直线l上找一点C使kAC+BC(0【解析】
步骤1：以点A为顶点，在直线l的下方(点B的异侧)构造一个角α，使得sinα=k过点C作垂线交于点D；
步骤2:在Rt△ACD中 即CD=ACsinα=kAC
步骤3:kAC+BC=CD+BC;
步骤4：过点B作AD的垂线交于点E，交直线l于点C ，此时kAC+BC最小，最小为BE的长.
【模型归纳】
即PA+k·PB型的最值问题，如下图，A，B为定点，P为射线BM上一点，求PA+k·PB的最小值及确定P点的位置
分析:关键是转化k·PB的大小,构造∠NBM,使sin∠NBM=k,过P作PQ⊥BN与点Q,此时PQ=PB·sin∠NBM=k·PB,求PA+k·PB的最小值转化为求PA+PQ的最小值,则过A作AQ⊥BN与点Q交BM于点P，此时AQ即为最小值，P为所求点.
本质：垂线段最短
【解题策略】“胡不归”模型中涉及到两个定点，一个动点，且动点在直线上运动。
第1步：在系数不为1的线段的定端点处作一个角(另一个定点的异侧)，使其的正弦值等于此线段的系数即sinα=k.题目中有时候为了降低难度，题目中有隐含的角，其正弦值就是k，这个要注意去计算一下；没有这个角就需要凭空构造，注意方向。
第2步：过动点作上一步的角的边的垂线，构造直角三角形，利用三角函数进行线段转化；
第3步：根据两点之间线段最短，找到最小值的位置.最后利用面积法、三角函数、相似、勾股进行求解即可。
注意：当k大于1时需要变换(提取k)
第二部分：典型例题分析
例 1 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点 C(4，0)，其对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD， 的最小值为 .
【解答】如图所示，连接AB，作. 于H,交OB于P,此时 最小，理由：因为 所以 所以 所以 所以 所以此时 最小，在 中，因为 所以 所以 所以 最小值为：
例 2 如图，抛物线 与x轴交于A(3,0)、B(-1,0)两点,与y轴交于点C(0,3),其顶点为点D,连结AC.
(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上取一点E，点F为抛物线上一动点，使得以点A、C、E、F为顶点、AC为边的四边形为平行四边形，求点F的坐标；
(3)在(2)的条件下，将点D向下平移5个单位得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，求PF+ 的最小值.
【解答】(1)∵抛物线 经过A(3,0)、B(-1,0),C(0,3),
解得 ∴抛物线的解析式为
∴顶点D的坐标为(1,4);
(2)设直线AC的解析式为y= kx+b,
把A(3,0),C(0,3)代入,得
∴直线AC的解析式为y=-x+3,
过点F作FG⊥DE于点G,
∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以AC为边的平行四边形，
∴AC=EF,AC∥EF,
∵OA∥FG,
∴∠OAC=∠GFE,
∴△OAC≌△GFE(AAS),
∴OA=FG=3,
设 则
∴FG=|m-1|=3,
∴m=-2或m=4,
当m=-2时,
当m=4时,
综上所述,满足条件点F的坐标为(-2,-5)或(4,-5);
(3)由题意,. 关于对称轴直线x=1对称，连接. 交对称轴于点H，连接. ，过点 作 于点N，交对称轴于点P，连接 .则
在 中，
，则在. 中，
为最小值，
的最小值为
第三部分：针对提高训练
练 1 如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过点 其对称轴与x轴交于点E，顶点坐标为D.
(1)求二次函数的表达式；
(2)若M为y轴上的一个动点，连接ME，求 的最小值.
练 2 已知:如图,点A(1,0),B(3,0),D(2,-1),C是y轴上的点,且(OC=3.
(1)过点A作. ,垂足为M,连接AD、BD,求证:四边形ADBM为正方形;
(2)设Q为线段OC上的一动点，问： 是否存在最小值 若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由.
二次函数与胡不归
【练1】解：(1)将点A、B、C的坐标代入抛物线表达
式得 解得
故抛物线的表达式为
(2)如图,连接BC,作EH⊥BC于H,交OB于M,此时 最小.
理由： ME=MH+EM=EH,
∴此时 最短,在Rt△CEH中,∵∠CHE 的最小值为
【练2】解: (1)由点 A、D 的坐标得, AD =
同理可得， 而AB=3-1=2,故. ，故△ABD为等腰直角三角形，
由B、C的坐标知,OB=OC,则∠CBO=45°,则∠DBM= ∠CBO +∠ABD = 90°=∠ADB =∠AMB,
故四边形 ADBM为矩形,而AD=BD,∴四边形ADBM为正方形;
(2)存在,理由:在x轴取点A'(-1,0),连接A'C,过点A作AH⊥A'C于点H,交y轴于点Q,则点Q是所求点，
理由：由点A'、C的坐标得，OA'=1,OC=3,则 则
则 AH为最小，
则
而直线AH过点A(1，0)，故其表达式为 1),令x=0,则 故点Q的坐标为 则 由点A、Q的坐标得,AQ=
的最小值