2026年中考数学二次函数专题复习讲练 二次函数的实际运用（含答案）

二次函数的实际运用
第一部分：基础知识储备
类型一：商品销售问题，公式如下
(1)利润=售价-进价=进价×利润率
(2)利润率=利润×100%
(3)总利润=总售价-总进价=销售量×(单件售价-单件成本)
要求最大最小值，则只需要根据二次函数区间最值的方法来求解即可，具体参考第三招。
类型二：面积问题
求完长度后一定要检查是否符合题意，比如长度一定要是正数；靠墙围篱笆则长度不能超过墙的长度；表示面积时要注意是否有门等。要熟悉一元二次方程的解法和二次函数最值求法。
类型三和类型四：建筑隧道拱桥问题与抛球喷水等问题
若题目中没有坐标系，建立适当坐标系解题，一般顶点为坐标原点或者顶点在y轴上，把题目中的线段长准确的转化成坐标。关键是要熟悉二次函数的图像性质。
类型五：动点产生的动态图问题
这一类的难点在于分析运动过程，主要方法是分别表示出每一段的函数解析式，判断临界值和最值。
第二部分：典型例题分析
类型一：利润问题
例 1 某超市经销A、B两种商品.商品A每千克成本为20元，经试销发现，该种商品每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的对应值如表所示：
销售单价x(元/千克) 25 30 35 40
销售量y(千克) 50 40 30 20
商品B的成本为6元/千克，销售单价为10元/千克，但每天供货总量只有60千克，且能当天销售完.为了让利消费者，超市开展了“买一送一”活动，即买1千克的商品A，免费送1千克的商品B.
(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数表达式；
(2)设这两种商品的每天销售总利润为w元，求出w(元)与x的函数关系式；
(3)若商品A的售价不低于成本，不高于成本的180%，当销售单价定为多少时，才能使当天的销售总利润最大 最大利润是多少 (总利润=两种商品的销售总额-两种商品的成本)
【解答】(1)设y与x之间的函数表达式为y= kx+b(k≠0),将表中数据(30,40)、(40,20)代入得:
解得：
∴y与x之间的函数表达式为y=-2x+100;
(2)由y≤60,得x≥20,
由y≥0,得x≤50,∴20≤x≤50.
w=(x 20≤
由题意知
时，w随x的增大而增大， 时，w的最大值=408,
答：当销售单价定为36元时，才能使当天的销售总利润最大，最大利润是408元.
类型二：面积问题
例 2 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙(墙的长度为10m)，另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为 xm(如图).
(1)若矩形养殖场的总面积为： 求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大 最大值为多少
【解答】(1)根据题意知：较大矩形的宽为2xm，长为
解得x=2或x=6,
经检验，x=6时，3x=18>10不符合题意，舍去，
答：此时x的值为2；
(2)设矩形养殖场的总面积是
∵墙的长度为10m,
根据题意得：
∴当 时，y取最大值，最大值为
答：当 时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为
类型三：建筑隧道拱桥等问题
例 3 如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图.水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系.
(1)求桥拱顶部O离水面的距离.
(2)如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m.
①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式.
②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值.
【解答】(1)根据题意可知点F的坐标为(6,-1.5),
可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：
将F(6,-1.5)代入 有： 求得
当x=12时， ∴桥拱顶部离水面高度为6m.
(2)①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6，1)，可设其表达式为
将H(0，4)代入其表达式有： 求得
∴右边钢缆所在抛物线表达式为：
，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：
②设彩带的长度为 Lm，
则
∴当x=4时，
答：彩带长度的最小值是2m.
类型四：抛球喷水问题
例 4 如图①，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水.喷水口H离地竖直高度为h(单位：m)，如图②，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度.DE=3m,，竖直高度为EF的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到l的距离OD为d(单位：m).若当h=1.5m,EF=0.5m时，解答下列问题.
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
(2)求出上、下边缘两个抛物线高度差的最大值；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围 .
【解答】(1)由题意得A(2，2)是上边缘抛物线的顶点，设
∵抛物线过点((0,1.5),
∴上边缘抛物线的函数解析式为
当y=0时， 解得 (舍去),
∴喷出水的最大射程OC为6m；
(2)∵对称轴为直线x=2,
∴点(0,1.5)的对称点为(4,1.5),
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
∴点B的坐标为(2,0),
∵上边缘抛物线 在0∴当x=2时，上、下边缘两个抛物线高度差的最大值为2；
∴点F的纵坐标为0.5，
解得
当x>2时，y随x的增大而减小，x>2
∴当2≤x≤6时，要使
则
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x=0时，y=1.5>0.5,
∴当0≤x≤6时，要使
灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是
∴d的最小值为2，
综上所述，d的取值范围是
第三部分：针对提高训练
练 1 如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线.按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是 则铅球推出的水平距离OA的长是 m.
练2 如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，水面下降 米，水面宽8米.
练 3 如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面.安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m.那么喷头高 m时，水柱落点距O点4m.
练4 李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元.根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱.
(1)请求出这种水果批发价y(元/千克)与购进数量x(箱)之间的函数关系式；
(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大 最大利润是多少
练 5 为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙(墙长12m)和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙)，请根据设计方案回答下列问题：
(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度.AE=1m的水池，且需保证总种植面积为 试分别确定CG、DG的长；
(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长 此时最大面积为多少
练 6 甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片.如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA=8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m.
(1)按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；
(2)一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由(假设船底与水面齐平).
(3)如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线 该抛物线在x轴下方部分与桥拱OBA在平静水面中的倒影组成一个新函数图象.将新函数图象向右平移m(m>0)个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，求m的取值范围.
练 7 第24届冬奥会(也称2022年北京冬奥会)于2022年2月4日至2月20日在中国北京举行，北京成为了历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市.冬奥会上跳台滑雪是一项极为壮观的运动.运动员经过助滑、起跳、空中飞行和着陆，整个动作连贯一致，一气呵成，如图，某运动员穿着滑雪板，经过助滑后，从倾斜角(
的跳台A点以速度v 沿水平方向跳出，若忽略空气阻力影响，水平方向速度将保持不变.同时，由于受重力作用，运动员沿竖直方向会加速下落，因此，运动员在空中飞行的路线是抛物线的一部分，已知该运动员在B点着陆,AB=150m. 且 忽略空气阻力，请回答下列问题：
(1)求该运动员从跳出到着陆垂直下降了多少m
(2)以A为坐标原点建立直角坐标系，求该抛物线表达式；
(3)若该运动员在空中共飞行了4s，求他飞行2s后，垂直下降了多少m
练 8 跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分(如图中实线部分所示)，落地点在着陆坡(如图中虚线部分所示)上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高.2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为 hm(h为定值).设运动员从起跳点A起跳后的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系为
(1)c的值为 ;
(2)①若运动员落地点恰好到达K点，且此时 求基准点K的高度h；
②若 时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为 ；
(3)在(2)的条件下，若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由.
【练1】解: ∴当y=0时,0 解得x =-2,x =10,∴OA=10m,故答案为:10.
【练2】解：以水面所在的直线AB为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，O为原点，
由题意可得:AO=OB=3米,C坐标为(0,2),
通过以上条件可设顶点式：
把A点坐标(-3，0)代入抛物线解析式得，
9a+2=0,解得:
所以抛物线解析式为
当x=4时,
∴水面下降 米，故答案为：
【练3】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，
当喷头高2.5m时，可设 将(2.5,0)代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5=0,
整理得2.5a+b+1=0①;喷头高4m时,可设y= ;将(3,0)代入解析式得9a+3b+4=0②，联立可求出 设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为 将(4，0)代入可得 =0,解得h=8. 故答案为:8.
【练4】解:(1)根据题意得:y=8.2-0.2(x-1)=-0.2x+8.4(1≤x≤10,x为整数),
答：这种水果批发价y(元/千克)与购进数量x(箱)之间的函数关系式为y=-0.2x+8.4(1≤x≤10,x为整数)；
(2)设李大爷每天所获利润是w元，
由题意得:w=[12-0.5(x-1)-(-0.2x+8.4)]×
∵-3<0,x为正整数,且
∴x=7时，w取最大值，最大值.为 元),
答：李大爷每天应购进这种水果7箱，才能使每天所获利润最大，最大利润140元.
【练5】解:(1)∵(21-12)÷3=3(m),∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为
设水池的长为 am，则水池的面积为 ∴36-a=32,解得a=4,∴DG=4m,
∴CG=CD-DG=12-4=8(m),即CG的长为8m、DG的长为4m;
(2)设BC长为 xm,则CD长度为21-3x,
∴总种植面积为( ∴当 时，总种植面积有最大值为 即BC应设计为 m总种植面积最大，此时最大面积为
【练6】解:(1)如图②,由题意得:水面宽OA是8m,桥拱顶点B到水面的距离是4m，
结合函数图象可知,顶点B(4,4),点O(0,0),设二次函数的表达式为 将点O(0,0)代入函数表达式，解得： ∴二.次函数的表达式为 即 8);
(2)工人不会碰到头，理由如下：
∵打捞船距O点0.4m，打捞船宽1.2m，工人直立在打捞船中间，
由题意得：工人距O点距离为 将x=1代入 解得： ∴此时工人不会碰到头；
(3)抛物线 在x轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于x轴成轴对称.
如图所示，
新函数图象的对称轴也是直线：x=4,
将新函数图象向右平移m个单位长度，可得平移后的函数图象，
如图上图所示，
∵平移不改变图形形状和大小，∴平移后函数图象的对称轴是直线x=4+m，
∴当m≤x≤4+m或x≥8+m时,y的值随x值的增大而减小，
∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，
得m的取值范围是:①m≤8且4+m≥9,得5≤m≤8,②8+m≤8,得m≤0,
由题意知m>0，∴m≤0不符合题意，舍去，综上所述,m的取值范围是5≤m≤8.
【练7】解：(1)如图，以A为原点，建立平面直角坐标系. 过点B作BD⊥y轴于点D.
在RtΔOBD中,OD=AB·sin37°=150×0.6=90(m),
(2)在Rt△OBD中, =120(m),∴B(-120,-90),
由题意抛物线顶点为(0，0)，经过((-120,-90).
设抛物线的解析式为 则有 ∴抛物线的解析式为y=
(3)当x=-60时，y=-22.5,
∴他飞行2s后,垂直下降了22.5m.
【练8】解:(1)∵起跳台的高度OA为66m,∴A(0,
66),把A(0,66)代入 得：c=66,
66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，
∴y= ∴.基准点K的高度h为21m;
∵运动员落地点要超过K点， 时，y>21,即 解得
(3)他的落地点能超过K点，理由如下：
∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m,∴抛物线的顶点为(25,76),
设抛物线解析式为 把(0,66)代入得: 解得a= ∴抛物线解析式为 76,
当x=75时， >21,∴他的落地点能超过K点.