3.1 不等式的性质
第一课时 不等关系与不等式
1.下列说法正确的是（ ）
A.某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000”
B.小明的身高为x，小华的身高为y，则小明比小华矮可表示为“x＞y”
C.变量x不小于a可表示为“x≥a”
D.变量y不超过a可表示为“y≥a”
2.在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm，人跑开的速度为每秒 4 m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火索的长度x（cm）应满足的不等式为（ ）
A.4×≥100 B.4×≤100
C.4×＞100 D.4×＜100
3.若y1＝2x2－2x＋1，y2＝x2－4x－1，则y1与y2的大小关系是（ ）
A.y1＞y2 B.y1＝y2
C.y1＜y2 D.不能确定
4.已知a＞0，b＞0，M＝＋，N＝，则（ ）
A.M ＞N B.M＝N
C.M＜N D.不能确定
5.将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为x m，若两段绳子长度之差不小于1 m，则x所满足的不等关系为（ ）
A. B.2x－5≥1或5－2x≥1
C. D.
6.（多选）若a＝2x2－8x＋11，b＝x2－6x＋9，c＝1－，则（ ）
A.b＞a B.a＞c
C.ac＞bc D.b＞c
7.某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2分，不答得零分.某同学有一道题未答，设这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系： .（不用化简）
8.某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则可用含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为 .
9.若x∈R，则与的大小关系为 .
10.已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小.
11.已知0＜a1＜1，0＜a2＜1，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是（ ）
A.M＜N B.M ＞N
C.M＝N D.无法确定
12.若a＜0，b＜0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为（ ）
A.p＜q B.p≤q
C.p＞q D.p≥q
13.如图所示的两种广告牌，其中图①是由两个等腰直角三角形构成的，图②是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母a，b的不等式表示出来为 .
14.（1）已知a≥1，试比较M＝－和N＝－的大小；
（2）已知a＞0，b＞0，试比较＋与＋的大小.
15.（多选）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.张阿姨和李阿姨是邻居，经常结伴去买菜.张阿姨喜欢用第一种方式买猪肉，李阿姨喜欢用第二种方式买猪肉，已知两次买猪肉的单价分别为每斤X元和Y元（X≠Y），则下列选项正确的是（ ）
A.张阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤元
B.李阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤元
C.张阿姨的购买方式更实惠
D.李阿姨的购买方式更实惠
16.有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数和学生人数.
第一课时 不等关系与不等式
1.C 对于A，x应满足x≤2 000，故A错误；对于B，x，y应满足x＜y，故B错误；C正确；对于D，y与a的关系可表示为“y≤a”，故D错误.
2.C 导火索燃烧的时间为秒，人在此时间内跑的路程为4× m.由题意可得4×＞100.
3.A y1－y2＝x2＋2x＋2＝（x＋1）2＋1＞0，故y1＞y2.
4.A 易知M＞0，N＞0，因为M2－N2＝（＋）2－（）2＝2＞0，所以M＞N.
5.D 由题意，可知另一段绳子的长度为（5－x）m.因为两段绳子的长度之差不小于1 m，所以即
6.BD 因为a＝2x2－8x＋11，b＝x2－6x＋9，所以a－b＝（x－1）2＋1＞0，故a＞b，又b＝（x－3）2≥0，c＝1－＜0，所以ac－bc＝c（a－b）＜0，即ac＜bc.故A、C错，B、D正确，故选B、D.
7.5x－2（19－x）≥80，1≤x≤19，x∈N＋
解析：这个学生至少答对x题，成绩才能不低于80分，即5x－2（19－x）≥80，1≤x≤19，x∈N＋.
8.｜x－500｜≤1 解析：∵某商品包装上标有重量500±1克，若用x表示商品的重量，则－1≤x－500≤1，∴｜x－500｜≤1.
9.≤ 解析：∵－＝＝≤0.∴≤.
10.解：因为x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2（a－b）＋a－b＝（a－b）（a2＋1），
所以当a＞b时，x－y＞0，所以x＞y；
当a＝b时，x－y＝0，所以x＝y；
当a＜b时，x－y＜0，所以x＜y.
11.B ∵0＜a1＜1，0＜a2＜1，∴－1＜a1－1＜0，－1＜a2－1＜0，∴M－N＝a1a2－（a1＋a2－1）＝a1a2－a1－a2＋1＝a1（a2－1）－（a2－1）＝（a1－1）（a2－1）＞0，∴M ＞N，故选B.
12.B 根据题意，得p－q＝＋－a－b＝＋＝（b2－a2）·＝＝.因为a＜0，b＜0，所以a＋b＜0，ab＞0.若a＝b，则p－q＝0，此时p＝q；若a≠b，则p－q＜0，此时p＜q.综上所述，p≤q.
13.（a2＋b2）＞ab 解析：由题图可知，题图①广告牌的面积S1＝（a2＋b2），题图②广告牌的面积S2＝ab，观察题图得S1＞S2，即（a2＋b2）＞ab.
14.解：（1）因为a≥1，
所以M＝－＞0，N＝－＞0.
所以＝＝.
因为＋＞＋＞0，
所以＜1，所以M＜N.
（2）法一（作差法） （＋）－（＋）＝（－）＋（－）＝＋＝＝.
∵a＞0，b＞0，∴＋＞0，＞0，（－）2≥0，
∴≥0，∴＋≥＋.
法二（作商法） ＝
＝＝
＝＝1＋≥1.
∵a＞0，b＞0，∴＋＞0，＋＞0，
∴＋≥＋.
15.ABD 设用第一种方式买猪肉时，每次购买这种物品的数量为a（a＞0），用第二种方式买猪肉时，每次购买这种物品所花的钱数为b（b＞0）.对于A项，张阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤为＝，故A项正确；对于B项，李阿姨两次买猪肉的平均单价为每斤＝＝，故B项正确；对于C项，因为－＝＝，且X＞0，Y＞0，X≠Y，所以有－＞0，所以＞，故C项错误；对于D项，由C解析知，＞，故D项正确，故选A、B、D.
16.解：设宿舍有x间，则学生有（4x＋19）人，依题意，得解得＜x＜.∵x∈N＋，
∴x＝10，11或12，学生人数分别为59，63，67.故宿舍间数和学生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人.
2 / 23.1 不等式的性质
第一课时 不等关系与不等式
新课程标准解读 核心素养
1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 数学抽象、逻辑推理
2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小 数学运算
（1）如图，某城市的高楼有高、有矮，有的高度相同.
（2）我们经常看到如图标志.
【问题】 它们的含义是什么？量与量之间的关系有哪些？
知识点 实数大小比较的基本事实
文字表示 符号表示
如果a－b是正数，那么 a－b＞0
如果a－b等于0，那么 a－b＝0
如果a－b是负数，那么 a－b＜0
提醒 （1）利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值是多少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形式；（2）对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小；（3）对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小.
【想一想】
在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任意两个实数都能比较大小.（ ）
（2）实数m不大于－2，用不等式表示为m≥－2.（ ）
2.大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系 .
3.设M＝x2，N＝2x－1，则M与N的大小关系是 .
题型一 用不等式（组）表示不等关系
【例1】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
尝试解答
通性通法
数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系.用不等式（组）表示实际问题中的不等关系时：（1）要先读懂题，设出未知量；（2）抓关键词，找到不等关系；（3）用不等式表示不等关系.思维要严密、规范.
【跟踪训练】
某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管数量的3倍.怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
题型二 作差法比较大小
【例2】 已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小.
尝试解答
【母题探究】
（变条件）若a＞0，b＞0，a5＋b5与a3b2＋a2b3的大小关系又如何？
通性通法
比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号.作差法比较实数的大小的一般步骤是：作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方式的形式或一些易判断符号的因式积的形式.
【跟踪训练】
已知x＜1，试比较x3－1与2x2－2x的大小.
题型三 不等关系的实际应用
【例3】 某单位职工去北京瞻仰伟大领袖毛主席遗容，需包车前往.甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.
尝试解答
通性通法
1.“最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论.
2.这是一道与不等式有关的实际应用问题，解答时要有设有答，步骤完整.
【跟踪训练】
某公司有20名技术人员，计划开发A，B两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：
电子 器件种类 每件需要人员数 每件产值（万元/件）
A类 7.5
B类 6
今制订计划欲使总产值最高，则A类电子器件应开发 件，最高产值为 万元.
1.某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是（ ）
A. B.
C. D.
2.完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人需满足的关系式是（ ）
A.5x＋4y＜200 B.5x＋4y≥200
C.5x＋4y＝200 D.5x＋4y≤200
3.设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则（ ）
A.a＞b B.a＜b
C.a≥b D.a≤b
4.若x＝（a＋3）（a－5），y＝（a＋2）（a－4），则x与y的大小关系是 .
5.若0＜x＜1，则x，，，x2中最小的是 .
第一课时 不等关系与不等式
【基础知识·重落实】
知识点
a＞b a＞b a＝b a＝b a＜b a＜b
想一想
提示：是.
自我诊断
1.（1）√ （2）×
2.T≤40 解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思.
3.M≥N
【典型例题·精研析】
【例1】 解：提价后销售的总收入为x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x≥20.
跟踪训练
解：设截得500 mm的钢管x根，截得600 mm的钢管y根.根据题意，应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4 000 mm；
（2）截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负.
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
【例2】 解：∵a3＋b3－（a2b＋ab2）＝（a3－a2b）＋（b3－ab2）
＝a2（a－b）＋b2（b－a）
＝（a－b）（a2－b2）＝（a－b）2（a＋b）.
当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，（a－b）2＞0，a＋b＞0，a3＋b3＞a2b＋ab2.
综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
母题探究
解：（a5＋b5）－（a3b2＋a2b3）＝a5－a3b2＋b5－a2b3
＝a3（a2－b2）＋b3（b2－a2）＝（a2－b2）（a3－b3）
＝（a－b）2（a＋b）（a2＋ab＋b2）.
∵a＞0，b＞0，
∴（a－b）2≥0，a＋b＞0，a2＋ab＋b2＞0.
∴a5＋b5≥a3b2＋a2b3.
跟踪训练
解：∵（x3－1）－（2x2－2x）＝x3－2x2＋2x－1
＝（x3－x2）－（x2－2x＋1）＝x2（x－1）－（x－1）2
＝（x－1）（x2－x＋1）＝（x－1），
又∵＋＞0，x－1＜0，
∴（x－1）＜0，∴x3－1＜2x2－2x.
【例3】 解：设该单位职工有n人（n∈N＋），全票价为x元，坐甲车队的车需花y1元，坐乙车队的车需花y2元.
由题意，得y1＝x＋x·（n－1）＝x＋nx，y2＝nx.
因为y1－y2＝x＋nx－nx＝x－nx
＝x，
当n＝5时，y1＝y2；
当n＞5时，y1＜y2；
当n＜5时，y1＞y2.
所以当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠.
跟踪训练
20 330 解析：设应开发A类电子器件x件，则开发B类电子器件（50－x）件.根据题意，得＋≤20，解得x≤20.由题意，得总产值y＝7.5x＋6（50－x）＝300＋1.5x≤330，当且仅当x＝20时，y取最大值330.所以欲使总产值最高，A类电子器件应开发20件，最高产值为330万元.
随堂检测
1.D “不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过”即“＞”，∴x≥95，y＞380，z＞45.
2.D 由题意x，y满足的不等式关系为500x＋400y≤20 000，即5x＋4y≤200.
3.C a－b＝（3x2－x＋1）－（2x2＋x）＝x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，所以a≥b.
4.x＜y 解析：x－y＝（a＋3）（a－5）－（a＋2）（a－4）＝（a2－2a－15）－（a2－2a－8）＝－7＜0，所以x＜y.
5.x2 解析：因为0＜x＜1，所以＞1，0＜＜1，0＜x2＜1，因为＝＜1，＝x＜1，所以x＜，x2＜x即x2＜x＜＜.
2 / 3(共53张PPT)
第一课时
不等关系与不等式
新课程标准解读 核心素养
1.能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系 数学抽象、逻辑
推理
2.初步学会作差法、作商法比较两实数的大小 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
（1）如图，某城市的高楼有高、有矮，有的高度相同.
（2）我们经常看到如图标志.
【问题】 它们的含义是什么？量与量之间的关系有哪些？
知识点 实数大小比较的基本事实
文字表示 符号表示
如果 a － b 是正数，那么 a － b ＞0
如果 a － b 等于0，那么 a － b ＝0
如果 a － b 是负数，那么 a － b ＜0
a ＞b
a ＞ b
a ＝ b
a ＝ b
a ＜ b
a ＜ b
提醒 （1）利用作差法比较大小，只需判断差的符号，至于差的值
是多少无关紧要，通常将差化为完全平方的形式或多个因式的积的形
式；（2）对于两个正值，也可采用作商的方法，比较商与1的大小；
（3）对于某些问题也可采用取中间值的方法比较大小.
【想一想】
在比较两实数 a ， b 大小的依据中， a ， b 两数是任意实数吗？
提示：是.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）任意两个实数都能比较大小. （ √ ）
（2）实数 m 不大于－2，用不等式表示为 m ≥－2. （ × ）
2. 大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该
桥，应使车和货物的总质量 T 满足关系 .
解析：“限重40吨”是不超过40吨的意思.
3. 设 M ＝ x2， N ＝2 x －1，则 M 与 N 的大小关系是 .
√
×
T ≤40
M ≥ N
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 用不等式（组）表示不等关系
【例1】 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市
场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本.若把提
价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于
20万元呢？
解：提价后销售的总收入为 x 万元，那么不等关系
“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式
x ≥20.
通性通法
数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实
际问题中的数量关系.用不等式（组）表示实际问题中的不等关系
时：（1）要先读懂题，设出未知量；（2）抓关键词，找到不等关
系；（3）用不等式表示不等关系.思维要严密、规范.
【跟踪训练】
某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种.按
照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管数量的3倍.
怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？
解：设截得500 mm的钢管 x 根，截得600 mm的钢管 y 根.根据题意，
应有如下的不等关系：
（1）截得两种钢管的总长度不超过4 000 mm；
（2）截得600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管数量的3倍；
（3）截得两种钢管的数量都不能为负.
要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：
题型二 作差法比较大小
【例2】 已知 a ， b 均为正实数.试利用作差法比较 a3＋ b3与 a2 b ＋
ab2的大小.
解：∵ a3＋ b3－（ a2 b ＋ ab2）＝（ a3－ a2 b ）＋（ b3－ ab2）
＝ a2（ a － b ）＋ b2（ b － a ）
＝（ a － b ）（ a2－ b2）＝（ a － b ）2（ a ＋ b ）.
当 a ＝ b 时， a － b ＝0， a3＋ b3＝ a2 b ＋ ab2；
当 a ≠ b 时，（ a － b ）2＞0， a ＋ b ＞0， a3＋ b3＞ a2 b ＋ ab2.
综上所述， a3＋ b3≥ a2 b ＋ ab2.
【母题探究】
（变条件）若 a ＞0， b ＞0， a5＋ b5与 a3 b2＋ a2 b3的大小关系又如何？
解：（ a5＋ b5）－（ a3 b2＋ a2 b3）＝ a5－ a3 b2＋ b5－ a2 b3
＝ a3（ a2－ b2）＋ b3（ b2－ a2）＝（ a2－ b2）（ a3－ b3）
＝（ a － b ）2（ a ＋ b ）（ a2＋ ab ＋ b2）.
∵ a ＞0， b ＞0，
∴（ a － b ）2≥0， a ＋ b ＞0， a2＋ ab ＋ b2＞0.
∴ a5＋ b5≥ a3 b2＋ a2 b3.
通性通法
比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号.作差法比较实
数的大小的一般步骤是：作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.
作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方
式的形式或一些易判断符号的因式积的形式.
【跟踪训练】
已知 x ＜1，试比较 x3－1与2 x2－2 x 的大小.
解：∵（ x3－1）－（2 x2－2 x ）＝ x3－2 x2＋2 x －1
＝（ x3－ x2）－（ x2－2 x ＋1）＝ x2（ x －1）－（ x －1）2
＝（ x －1）（ x2－ x ＋1）＝（ x －1） ，
又∵ ＋ ＞0， x －1＜0，
∴（ x －1） ＜0，∴ x3－1＜2 x2－2 x .
题型三 不等关系的实际应用
【例3】 某单位职工去北京瞻仰伟大领袖毛主席遗容，需包车前往.
甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙
车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠.”这两车队的原价、车
型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠.
解：设该单位职工有 n 人（ n ∈N＋），全票价为 x 元，坐甲车队的车
需花 y1元，坐乙车队的车需花 y2元.
由题意，得 y1＝ x ＋ x ·（ n －1）＝ x ＋ nx ， y2＝ nx .
因为 y1－ y2＝ x ＋ nx － nx ＝ x － nx
＝ x ，
当 n ＝5时， y1＝ y2；
当 n ＞5时， y1＜ y2；
当 n ＜5时， y1＞ y2.
所以当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车
队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠.
通性通法
1. “最优方案”问题，首先要设出未知量，搞清楚比较的对象，然后
把这个未知量用其他的已知量表示出来，通过比较即可得出结论.
2. 这是一道与不等式有关的实际应用问题，解答时要有设有答，步骤
完整.
【跟踪训练】
某公司有20名技术人员，计划开发 A ， B 两类共50件电子器件，每
类每件所需人员和预计产值如下：
电子器件种类 每件需要人员数 每件产值（万元/件）
A 类 7.5
B 类 6
今制订计划欲使总产值最高，则 A 类电子器件应开发 件，最高产
值为 万元.
20
330
解析：设应开发 A 类电子器件 x 件，则开发 B 类电子器件（50－ x ）
件.根据题意，得 ＋ ≤20，解得 x ≤20.由题意，得总产值 y ＝
7.5 x ＋6（50－ x ）＝300＋1.5 x ≤330，当且仅当 x ＝20时， y 取最大
值330.所以欲使总产值最高， A 类电子器件应开发20件，最高产值为
330万元.
1. 某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩 x 不低于95分，文化
课总分 y 高于380分，体育成绩 z 超过45分，用不等式表示就是（ ）
A.
C. D.
解析： “不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过”即
“＞”，∴ x ≥95， y ＞380， z ＞45.
2. 完成一项装修工程，请木工需付工资每人500元，请瓦工需付工资
每人400元，现有工人工资预算20 000元，设木工 x 人，瓦工 y 人，
则请工人需满足的关系式是（ ）
A. 5 x ＋4 y ＜200 B. 5 x ＋4 y ≥200
C. 5 x ＋4 y ＝200 D. 5 x ＋4 y ≤200
解析： 由题意 x ， y 满足的不等式关系为500 x ＋400 y ≤20
000，即5 x ＋4 y ≤200.
3. 设 a ＝3 x2－ x ＋1， b ＝2 x2＋ x ，则（ ）
A. a ＞ b B. a ＜ b
C. a ≥ b D. a ≤ b
解析： a － b ＝（3 x2－ x ＋1）－（2 x2＋ x ）＝ x2－2 x ＋1＝（ x
－1）2≥0，所以 a ≥ b .
4. 若 x ＝（ a ＋3）（ a －5）， y ＝（ a ＋2）（ a －4），则 x 与 y 的大
小关系是 .
解析： x － y ＝（ a ＋3）（ a －5）－（ a ＋2）（ a －4）＝（ a2－2
a －15）－（ a2－2 a －8）＝－7＜0，所以 x ＜ y .
5. 若0＜ x ＜1，则 x ， ， ， x2中最小的是 .
解析：因为0＜ x ＜1，所以 ＞1，0＜ ＜1，0＜ x2＜1，因为
＝ ＜1， ＝ x ＜1，所以 x ＜ ， x2＜ x 即 x2＜ x ＜ ＜ .
x ＜ y
x2
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列说法正确的是（ ）
A. 某人月收入 x 不高于2 000元可表示为“ x ＜2 000”
B. 小明的身高为 x ，小华的身高为 y ，则小明比小华矮可表示为“ x
＞ y ”
C. 变量 x 不小于 a 可表示为“ x ≥ a ”
D. 变量 y 不超过 a 可表示为“ y ≥ a ”
解析： 对于A， x 应满足 x ≤2 000，故A错误；对于B， x ， y 应
满足 x ＜ y ，故B错误；C正确；对于D， y 与 a 的关系可表示为“ y
≤ a ”，故D错误.
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2. 在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm，人跑开
的速度为每秒 4 m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100
m以外的安全区，导火索的长度 x （cm）应满足的不等式为（ ）
解析： 导火索燃烧的时间为 秒，人在此时间内跑的路程为
4× m.由题意可得4× ＞100.
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3. 若 y1＝2 x2－2 x ＋1， y2＝ x2－4 x －1，则 y1与 y2的大小关系是（ ）
A. y1＞ y2 B. y1＝ y2
C. y1＜ y2 D. 不能确定
解析： y1－ y2＝ x2＋2 x ＋2＝（ x ＋1）2＋1＞0，故 y1＞ y2.
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4. 已知 a ＞0， b ＞0， M ＝ ＋ ， N ＝ ，则（ ）
A. M ＞ N B. M ＝ N
C. M ＜ N D. 不能确定
解析： 易知 M ＞0， N ＞0，因为 M2－ N2＝（ ＋ ）2－
（ ）2＝2 ＞0，所以 M ＞ N .
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5. 将一根长5 m的绳子截成两段，已知其中一段的长度为 x m，若两段
绳子长度之差不小于1 m，则 x 所满足的不等关系为（ ）
B. 2 x －5≥1或5－2 x ≥1
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解析： 由题意，可知另一段绳子的长度为（5－ x ）m.因为两
段绳子的长度之差不小于1 m，所以即
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6. （多选）若 a ＝2 x2－8 x ＋11， b ＝ x2－6 x ＋9， c ＝1－ ，则
（ ）
A. b ＞ a B. a ＞ c C. ac ＞ bc D. b ＞ c
解析： 因为 a ＝2 x2－8 x ＋11， b ＝ x2－6 x ＋9，所以 a － b ＝
（ x －1）2＋1＞0，故 a ＞ b ，又 b ＝（ x －3）2≥0， c ＝1－ ＜
0，所以 ac － bc ＝ c （ a － b ）＜0，即 ac ＜ bc .故A、C错，B、D
正确，故选B、D.
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7. 某次数学智力测验，共有20道题，答对一题得5分，答错一题得－2
分，不答得零分.某同学有一道题未答，设这个学生至少答对 x
题，成绩才能不低于80分，列出其中的不等关系：
.（不用化简）
解析：这个学生至少答对 x 题，成绩才能不低于80分，即5 x －2
（19－ x ）≥80，1≤ x ≤19， x ∈N＋.
5 x －2（19－
x ）≥80，1≤ x ≤19， x ∈N＋
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8. 某商品包装上标有重量500±1克，若用 x 表示商品的重量，则可用
含绝对值的不等式表示该商品的重量的不等式为 .
解析：∵某商品包装上标有重量500±1克，若用 x 表示商品的重
量，则－1≤ x －500≤1，∴｜ x －500｜≤1.
｜ x －500｜≤1
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9. 若 x ∈R，则 与 的大小关系为 ≤ .
解析：∵ － ＝ ＝ ≤0.
∴ ≤ .
≤
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10. 已知 a ， b ∈R， x ＝ a3－ b ， y ＝ a2 b － a ，试比较 x 与 y 的大小.
解：因为 x － y ＝ a3－ b － a2 b ＋ a ＝ a2（ a － b ）＋ a － b ＝（ a －
b ）（ a2＋1），
所以当 a ＞ b 时， x － y ＞0，所以 x ＞ y ；
当 a ＝ b 时， x － y ＝0，所以 x ＝ y ；
当 a ＜ b 时， x － y ＜0，所以 x ＜ y .
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11. 已知0＜ a1＜1，0＜ a2＜1，记 M ＝ a1 a2， N ＝ a1＋ a2－1，则 M 与
N 的大小关系是（ ）
A. M ＜ N B. M ＞ N
C. M ＝ N D. 无法确定
解析： ∵0＜ a1＜1，0＜ a2＜1，∴－1＜ a1－1＜0，－1＜ a2－
1＜0，∴ M － N ＝ a1 a2－（ a1＋ a2－1）＝ a1 a2－ a1－ a2＋1＝ a1
（ a2－1）－（ a2－1）＝（ a1－1）（ a2－1）＞0，∴ M ＞ N ，故
选B.
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12. 若 a ＜0， b ＜0，则 p ＝ ＋ 与 q ＝ a ＋ b 的大小关系为（ ）
A. p ＜ q B. p ≤ q C. p ＞ q D. p ≥ q
解析： 根据题意，得 p － q ＝ ＋ － a － b ＝ ＋
＝（ b2－ a2）· ＝ ＝ .因为
a ＜0， b ＜0，所以 a ＋ b ＜0， ab ＞0.若 a ＝ b ，则 p － q ＝0，此
时 p ＝ q ；若 a ≠ b ，则 p － q ＜0，此时 p ＜ q .综上所述， p ≤ q .
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（ a2＋
b2）＞ ab
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解析：由题图可知，题图①广告牌的面积 S1＝ （ a2＋ b2），题图
②广告牌的面积 S2＝ ab ，观察题图得 S1＞ S2，即 （ a2＋ b2）＞ ab .
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14. （1）已知 a ≥1，试比较 M ＝ － 和 N ＝ － 的
大小；
解：为 a ≥1，
所以 M ＝ － ＞0， N ＝ － ＞0.
所以 ＝ ＝ .
因为 ＋ ＞ ＋ ＞0，
所以 ＜1，所以 M ＜ N .
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（2）已知 a ＞0， b ＞0，试比较 ＋ 与 ＋ 的大小.
解：法一（作差法） （ ＋ ）－（ ＋ ）＝
（ － ）＋（ － ）＝ ＋ ＝
＝ .
∵ a ＞0， b ＞0，∴ ＋ ＞0， ＞0，（ － ）2≥0，
∴ ≥0，∴ ＋ ≥ ＋ .
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法二（作商法） ＝ ＝
＝ ＝ ＝1＋
≥1.
∵ a ＞0， b ＞0，∴ ＋ ＞0， ＋ ＞0，
∴ ＋ ≥ ＋ .
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15. （多选）两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种
是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二
种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.
张阿姨和李阿姨是邻居，经常结伴去买菜.张阿姨喜欢用第一种方
式买猪肉，李阿姨喜欢用第二种方式买猪肉，已知两次买猪肉的
单价分别为每斤 X 元和 Y 元（ X ≠ Y ），则下列选项正确的是
（ ）
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C. 张阿姨的购买方式更实惠
D. 李阿姨的购买方式更实惠
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解析： 设用第一种方式买猪肉时，每次购买这种物品的数
量为 a （ a ＞0），用第二种方式买猪肉时，每次购买这种物品所
花的钱数为 b （ b ＞0）.对于A项，张阿姨两次买猪肉的平均单价
为每斤为 ＝ ，故A项正确；对于B项，李阿姨两次买
猪肉的平均单价为每斤 ＝ ＝ ，故B项正确；
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对于C项，因为 － ＝ ＝ ，且 X ＞0，
Y ＞0， X ≠ Y ，所以有 － ＞0，所以 ＞ ，故C项错
误；对于D项，由C解析知， ＞ ，故D项正确，故选A、B、D.
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16. 有学生若干人，住若干宿舍，如果每间住4人，那么还余19
人，如果每间住6人，那么只有一间不满但不空，求宿舍间数
和学生人数.
解：设宿舍有 x 间，则学生有（4 x ＋19）人，依题意，得
解得 ＜ x ＜ .∵ x ∈N＋，
∴ x ＝10，11或12，学生人数分别为59，63，67.故宿舍间数和学
生人数分别为10间59人，11间63人或12间67人.
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谢 谢 观 看！
