(共55张PPT)
第二课时 不等式性质
新课程标准解读 核心素养
掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关
问题 逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表
示这一现象.
【问题】 你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？
知识点 不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 传递性 a ＞ b ， b ＞ c a ＞ c 不可逆
2 可加性 a ＞ b a ＋ c b ＋ c 可逆
＞
3 可乘性 c 的符号
4 同向可加性 同向
＞
＜
＞
性质 别名 性质内容 注意
5 同向同正可乘性 同向
异向异号可乘性 异向
6 同正同向可开方性 同向
＞
＜
【想一想】
同向不等式相加与相乘的条件是一致的吗？
提示：不一致.
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若 a ＞ b ，则 a － c ＞ b － c . （ √ ）
（2） ＞1 a ＞ b . （ × ）
（3） a ＞ b a ＋ c ＞ b ＋ c . （ √ ）
（4） ac ＞ bd . （ × ）
√
×
√
×
2. 若 a ＞ b ＞0， c ＜ d ＜0，则一定有（ ）
解析： 因为 c ＜ d ＜0，所以－ c ＞－ d ＞0，即 ＞ ＞0.又 a
＞ b ＞0，所以 ＞ ，从而有 ＜ .
3. 若－1＜ m ＜1，－1＜ n ＜1，则 m － n 的取值范围为 .
解析：依题意－1＜ m ＜1，－1＜－ n ＜1，所以－2＜ m － n ＜2，
即 m － n 的取值范围是（－2，2）.
（－2，2）
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用不等式的性质判断命题的真假
【例1】 （多选）下列命题中为真命题的是（ ）
A. 0＞ a ＞ b a2＞ b2
B. a2＞ b2 a ＞ b ＞0
C. 若 a ＜ b ＜0，则 a2＞ ab ＞ b2
解析： 对于A，由0＞ a ＞ b 可知，0＜－ a ＜－ b ，则由性质5可
知，（－ b ）2＞（－ a ）2，即 b2＞ a2，故A为假命题；对于B，性质5
不具有可逆性，故B为假命题；对于C，由可得 a2＞ ab .因为
所以 ab ＞ b2，从而有 a2＞ ab ＞ b2.故C为真命题；对于D，由
＞ ，可知 － ＝ ＞0.因为 a ＞ b ，所以 b － a ＜0，于是 ab ＜0.
又因为 a ＞ b ，所以 a ＞0， b ＜0.故D为真命题.
通性通法
利用不等式的性质判断正误的2种方法
（1）直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的
相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；
（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条
件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代
表性.
【跟踪训练】
1. 下列命题中，正确的是（ ）
A. 若 a ＞ b ， c ＞ d ，则 ac ＞ bd
B. 若 ac ＞ bc ，则 a ＜ b
C. 若 a ＞ b ， c ＞ d ，则 a － c ＞ b － d
解析： 选项A中，当 a ＞ b ＞0， c ＞ d ＞0时， ac ＞ bd 成立，但
是当 a ， c 均为负值时不成立，故A不正确；选项B中，当 c ＜0时，
ac ＞ bc 可推出 a ＜ b .当 c ＞0时， ac ＞ bc 可推出 a ＞ b ，故B不正
确；选项C中，由 a ＞ b ， c ＞ d ，可得 a － d ＞ b － c ，故C不正
确；选项D中，式子 ＜ 成立，显然 c ≠0，所以 c2＞0，根据不
等式的性质：不等式两边同乘一个正数，所得的不等式的不等号与
原不等式的不等号同向，显然有 a ＜ b 成立，故D正确.故选D.
2. （多选）已知 ＜ ＜0，则下列结论正确的是（ ）
A. a ＜ b B. ab ＞ a ＋ b
C. ｜ a ｜＜｜ b ｜ D. ab ＞ b2
解析： 由 ＜ ＜0可得 b ＜ a ＜0，显然选项A不正确；因为 b
＜ a ＜0，所以 ab ＞0， a ＋ b ＜0，所以 ab ＞ a ＋ b ，故选项B正
确；因为 b ＜ a ＜0，所以｜ b ｜＞｜ a ｜，故选项C正确；因为 b ＜
a ＜0，所以 b ＜0， a － b ＞0，可得 ab － b2＝ b （ a － b ）＜0，即
ab ＜ b2，故选项D不正确.故选B、C.
题型二 利用不等式的性质证明不等式
【例2】 已知 c ＞ a ＞ b ＞0，求证： ＞ .
证明： －
＝
＝ ＝ ，
∵ c ＞ a ＞ b ＞0，
∴ a － b ＞0， c － a ＞0， c － b ＞0，
∴ ＞ .
通性通法
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
（1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题
一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解
题中灵活准确地加以应用；
（2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立
的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与
法则.
【跟踪训练】
已知 a ＞ b ＞0，求证： ＞ .
证明：∵ a ＞ b ＞0，∴ ＞ ＞0. ①
又∵ a ＞ b ＞0，两边同乘正数 ，得 ＞ ＞0. ②
由①②得 ＞ .
题型三 利用不等式的性质求范围
【例3】 已知12＜ a ＜60，15＜ b ＜36.求 a － b 和 的取值范围.
解：∵15＜ b ＜36，∴－36＜－ b ＜－15，
∴12－36＜ a － b ＜60－15，即－24＜ a － b ＜45.
∵ ＜ ＜ ，∴ ＜ ＜ ，即 ＜ ＜4.
故－24＜ a － b ＜45， ＜ ＜4.
【母题探究】
（变条件，变设问）已知1≤ a － b ≤2且2≤ a ＋ b ≤4，求4 a －2 b 的
取值范围.
解：令 a ＋ b ＝μ， a － b ＝ν，则2≤μ≤4，1≤ν≤2.
由解得
∴4 a －2 b ＝4· －2· ＝2μ＋2ν－μ＋ν＝μ＋3ν.
而2≤μ≤4，3≤3ν≤6，则5≤μ＋3ν≤10，∴5≤4 a －2 b ≤10.
通性通法
解这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相
减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转
化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎.通常要
先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一
次性不等关系的运算，求得待求的范围”，这是避免犯错误的一条重
要途径.
【跟踪训练】
已知0＜ a ＋ b ＜2，－1＜ b － a ＜1，则2 a － b 的取值范围是 .
解析：因为0＜ a ＋ b ＜2，－1＜－ a ＋ b ＜1，且2 a － b ＝ （ a ＋ b ）
－ （－ a ＋ b ），结合不等式的性质可得，－ ＜2 a － b ＜ .
1. 已知 a ＋ b ＞0， b ＜0，那么 a ， b ，－ a ，－ b 的大小关系是
（ ）
A. a ＞ b ＞－ b ＞－ a B. a ＞－ b ＞－ a ＞ b
C. a ＞－ b ＞ b ＞－ a D. a ＞ b ＞－ a ＞－ b
解析： 由 a ＋ b ＞0知， a ＞－ b ，∴－ a ＜ b ＜0.又 b ＜0，∴－
b ＞0，∴ a ＞－ b ＞ b ＞－ a .
2. 已知 a ， b ， c ∈R，则下列命题正确的是（ ）
A. a ＞ b ac2＞ bc2
解析： 当 c ＝0时，A不成立；当 c ＜0时，B不成立；当 ab ＜0
时， a ＞ b ＜ ，即 ＞ ，C成立.同理可证D不成立.
3. 若 a ＞ b ＞ c ，则下列不等式成立的是（ ）
A. ＞ ＜
C. ac ＞ bc D. ac ＜ bc
解析： ∵ a ＞ b ＞ c ，∴ a － c ＞ b － c ＞0，∴ ＜ ，
故选B.
4. （多选）若 a ＞ b ＞0，则下列不等式成立的是（ ）
A. a ＋ c ＞ b ＋ c B. ac ＜ bc
C. a2＞ b2
解析： ∵ a ＞ b ＞0，∴ a2＞ b2， ＜ ， a ＋ c ＞ b ＋ c ，即
A、C、D正确；当 c ＝0时， ac ＝ bc ＝0，故B错误.
5. 若α，β满足－ ＜α＜β＜ ，则α－β的取值范围是 .
解析：∵－ ＜α＜ ，－ ＜－β＜ ，∴－1＜α－β＜1.又α
＜β，∴α－β ＜0，∴－1＜α－β＜0.
（－1，0）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 如果 a ＜0， b ＞0，那么下列不等式中正确的是（ ）
A. ＜ ＜
C. a2＜ b2 D. ｜ a ｜＞｜ b ｜
解析： ∵ a ＜0， b ＞0，∴ ＜0， ＞0，∴ ＜ ，故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2. 若 a ， b ， c ∈R，且 a ＞ b ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. a ＋ c ≥ b － c B. ac ＞ bc
D. （ a － b ） c2≥0
解析： ∵ a ＞ b ，∴ a － b ＞0，∴（ a － b ） c2≥0，故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
3. “ a ＞ c 且 b ＞ d ”是“ a ＋ b ＞ c ＋ d ”的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
解析： 当 a ＞ c 且 b ＞ d 时，根据不等式的性质，可得 a ＋ b ＞ c
＋ d ；当 a ＋ b ＞ c ＋ d 时，不能推出 a ＞ c 且 b ＞ d ，例如取 a ＝2，
b ＝2， c ＝－1， d ＝3.所以“ a ＞ c 且 b ＞ d ”是“ a ＋ b ＞ c ＋ d ”
的充分不必要条件，故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4. 若 a ， b ， m 都是正数，则不等式 ＞ 成立的条件是（ ）
A. a ＞ b B. b ＞ a
C. a ＞ m D. m ＞ b
解析： ＞ － ＞0 － ＝
＞0，因为 a ， b ， m 都是正数，所以要想使不等式成
立，只需 b － a ＞0，即 b ＞ a .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5. （多选）已知 a ， b ， c ， d 均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A. 若 a ＞ b ， c ＞ d ，则 ac ＞ bd
C. 若 a ＞ b ， c ＞ d ，则 a － d ＞ b － c
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 若 a ＞0＞ b ，0＞ c ＞ d ，则 ac ＜ bd ，故A错误；若 ab
＞0， bc － ad ＞0，则 ＞0，化简得 － ＞0，故B正确；若 c
＞ d ，则－ d ＞－ c ，又 a ＞ b ，则 a － d ＞ b － c ，故C正确；若 a
＝－1， b ＝－2， c ＝2， d ＝1，则 ＝－1， ＝－1， ＝ ＝－
1，故D错误.故选B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6. （多选）若 x ＞1＞ y ，则下列不等式一定成立的有（ ）
A. x －1＞1－ y B. x －1＞ y －1
C. x － y ＞1－ y D. 1－ x ＞ y － x
解析： x －1－（1－ y ）＝ x ＋ y －2，无法判断它与0的大小
关系，任取特殊值 x ＝2， y ＝－1得 x －1－（1－ y ）＜0，故选项A
中不等式不一定成立； x －1－（ y －1）＝ x － y ＞0，故选项B中不
等式一定成立； x － y －（1－ y ）＝ x －1＞0，故选项C中不等式一
定成立；1－ x －（ y － x ）＝1－ y ＞0，故选项D中不等式一定成
立.故选B、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7. 不等式 a ＞ b 和 ＞ 同时成立的条件是 .
解析：若 a ， b 同号，则 a ＞ b ＜ .
a ＞0＞ b
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8. 已知三个不等式① ab ＞0；② ＞ ；③ bc ＞ ad .若以其中的两个
作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成 个正确命题.
解析：①② ③，③① ②（证明略）.由②得 ＞0，又由③
得 bc － ad ＞0，所以 ab ＞0 ①.所以可以组成3个正确命题.
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
①若 a ＜ b ， c ＜0，则 ＜ ；
②若 ac－3＞ bc－3，则 a ＞ b ；
③若 a ＞ b 且 k ∈N＋，则 ak ＞ bk ；
④若 c ＞ a ＞ b ＞0，则 ＞ .
9. 给出下列命题：
其中真命题的序号是 .
④
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：①当 ab ＜0时， ＜ 不成立，故①是假命题；②当 c ＜0
时， a ＜ b ，故②是假命题；③当 a ＝1， b ＝－2， k ＝2时，命题
不成立，故③是假命题；④ a ＞ b ＞0 － a ＜－ b ＜0 0＜ c － a ＜
c － b ，两边同乘 ，得0＜ ＜ ，又 a ＞ b ＞0，
∴ ＞ ，故④是真命题.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10. 若 bc － ad ≥0， bd ＞0，求证： ≤ .
证明：因为 bc － ad ≥0，所以 bc ≥ ad ，所以 bc ＋ bd ≥ ad ＋ bd ，
即 b （ c ＋ d ）≥ d （ a ＋ b ），又 bd ＞0，两边同除以 bd 得，
≤ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11. 有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是 a ， b ，
c ， d ，已知 a ＋ b ＝ c ＋ d ， a ＋ d ＞ b ＋ c ， a ＋ c ＜ b ，则这四个
小球由重到轻的排列顺序是（ ）
A. d ＞ b ＞ a ＞ c B. b ＞ c ＞ d ＞ a
C. d ＞ b ＞ c ＞ a D. c ＞ a ＞ d ＞ b
解析： ∵ a ＋ b ＝ c ＋ d ， a ＋ d ＞ b ＋ c ，∴ a ＋ d ＋（ a ＋
b ）＞ b ＋ c ＋（ c ＋ d ），即 a ＞ c .∴ b ＜ d .又 a ＋ c ＜ b ，∴ a ＜
b .综上可得， d ＞ b ＞ a ＞ c .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12. （多选）若 ＜ ＜0，则下列结论中正确的是（ ）
A. a2＜ b2 B. ab ＜ b2
C. a ＋ b ＜0 D. ｜ a ｜＋｜ b ｜＞｜ a ＋ b ｜
解析： 因为 ＜ ＜0，所以 b ＜ a ＜0，所以 b2＞ a2， ab ＜
b2， a ＋ b ＜0，所以A、B、C均正确，因为 b ＜ a ＜0，所以｜
a ｜＋｜ b ｜＝｜ a ＋ b ｜，故D错误.故选A、B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13. （多选）若 a ＞ b ＞0，则下列不等式中一定不成立的是（ ）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析： 因为 a ＞ b ＞0，则 － ＝ ＝
＜0，所以 ＞ 一定不成立； a ＋ － b － ＝（ a －
b ） ，当 ab ＞1时， a ＋ － b － ＞0，故 a ＋ ＞ b ＋
可能成立； a ＋ － b － ＝（ a － b ） ＞0，故 a ＋ ＞ b
＋ 恒成立； － ＝ ＜0，故 ＞ 一定不成
立.故选A、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14. 已知：3＜ a ＋ b ＜4，0＜ b ＜1，求下列各式的取值范围：
（1） a ；
解：∵3＜ a ＋ b ＜4，0＜ b ＜1，∴－1＜－ b ＜0，
∴2＜ a ＋ b ＋（－ b ）＜4，即2＜ a ＜4.∴ a 的取值范围是
{ a ｜2＜ a ＜4}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解： ∵0＜ b ＜1，∴－1＜－ b ＜0.
又∵2＜ a ＜4，∴1＜ a － b ＜4.∴ a － b 的取值范围是{ a －
b ｜1＜ a － b ＜4}.
（2） a － b ；
（3） .
解： ∵0＜ b ＜1，∴ ＞1，
又∵2＜ a ＜4，∴ ＞2.∴ 的取值范围是{ ｜ ＞2}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
15. 已知△ ABC 的三边长分别为 a ， b ， c ，以下4个命题是真命题的
为 （只填序号）.
（1）以 ， ， 为边长的三角形一定存在；
（2）以 a2， b2， c2为边长的三角形一定存在；
（3）以 ， ， 为边长的三角形一定存在；
（1）（3）
（4）以 ab ， bc ， ca 为边长的三角形一定存在.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解析：△ ABC 的三边长分别为 a ， b ， c ，不妨设 a ≥ b
≥ c ，则 b ＋ c ＞ a .
对于（1），（ ＋ ）2－（ ）2＝ b ＋ c － a ＋2
＞0，所以 ＋ ＞ ，所以以 ， ， 为
边长的三角形一定存在，故（1）为真命题；
对于（2）， b2＋ c2－ a2＝（ b ＋ c ）2－2 bc － a2＞0不
一定成立，因此以 a2， b2， c2为边长的三角形不一定存
在，故（2）为假命题；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
对于（3）， ＋ － ＝ c ＞0，因此以 ，
， 为边长的三角形一定存在，故（3）为真命题；
对于（4），取 a ＝5， b ＝4， c ＝2， b ＋ c ＞ a ，因此
a ， b ， c 能构成一个三角形的三边长，而 ca ＋ bc ＜
ab ，因此以 ab ， bc ， ca 为边长的三角形不一定存在，
故（4）为假命题.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16. 下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对
吗？如果不对，请指出错误的原因.
甲：因为－6＜ a ＜8，－4＜ b ＜2，所以－2＜ a － b ＜6.
乙：因为2＜ b ＜3，所以 ＜ ＜ ，又因为－6＜ a ＜8，所以－2
＜ ＜4.
丙：因为2＜ a － b ＜4，所以－4＜ b － a ＜－2.又因为－2＜ a ＋ b
＜2，所以0＜ a ＜3，－3＜ b ＜0，
所以－3＜ a ＋ b ＜3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解：甲同学做的不对，因为同向不等式具有可加性，但不能相
减，甲同学对同向不等式求差是错误的.
乙同学做的不对，本题中只知道－6＜ a ＜8，不明确 a 值的正负.
故不能将 ＜ ＜ 与－6＜ a ＜8两边分别相乘，只有两边都
是正数的同向不等式才能分别相乘.
丙同学做的不对.同向不等式两边可以相加，这种转化不是等
价变形.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
丙同学将2＜ a － b ＜4与－2＜ a ＋ b ＜2两边相加得0＜ a ＜3，
又将－4＜ b － a ＜－2与－2＜ a ＋ b ＜2两边相加得出－3＜ b ＜0，
又将该式与0＜ a ＜3两边相加得出－3＜ a ＋ b ＜3，
多次使用了这种转化，导致了 a ＋ b 范围的扩大.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
谢 谢 观 看！第二课时 不等式性质
1.如果a＜0，b＞0，那么下列不等式中正确的是（ ）
A.＜ B.＜
C.a2＜b2 D.｜a｜＞｜b｜
2.若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A.a＋c≥b－c B.ac＞bc
C.＞0 D.（a－b）c2≥0
3.“a＞c且b＞d”是“a＋b＞c＋d”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.若a，b，m都是正数，则不等式＞成立的条件是（ ）
A.a＞b B.b＞a
C.a＞m D.m＞b
5.（多选）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A.若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B.若ab＞0，bc－ad＞0，则－＞0
C.若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c
D.若a＞b，c＞d＞0，则＞
6.（多选）若x＞1＞y，则下列不等式一定成立的有（ ）
A.x－1＞1－y B.x－1＞y－1
C.x－y＞1－y D.1－x＞y－x
7.不等式a＞b和＞同时成立的条件是 .
8.已知三个不等式①ab＞0；②＞；③bc＞ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成 个正确命题.
9.给出下列命题：
①若a＜b，c＜0，则＜；
②若ac－3＞bc－3，则a＞b；
③若a＞b且k∈N＋，则ak＞bk；
④若c＞a＞b＞0，则＞.
其中真命题的序号是 .
10.若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤.
11.有外表一样，重量不同的四个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，已知a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，a＋c＜b，则这四个小球由重到轻的排列顺序是（ ）
A.d＞b＞a＞c B.b＞c＞d＞a
C.d＞b＞c＞a D.c＞a＞d＞b
12.（多选）若＜＜0，则下列结论中正确的是（ ）
A.a2＜b2 B.ab＜b2
C.a＋b＜0 D.｜a｜＋｜b｜＞｜a＋b｜
13.（多选）若a＞b＞0，则下列不等式中一定不成立的是（ ）
A.＞ B.a＋＞b＋
C.a＋＞b＋ D.＞
14.已知：3＜a＋b＜4，0＜b＜1，求下列各式的取值范围：
（1）a；（2）a－b；（3）.
15.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，以下4个命题是真命题的为 （只填序号）.
（1）以，，为边长的三角形一定存在；
（2）以a2，b2，c2为边长的三角形一定存在；
（3）以，，为边长的三角形一定存在；
（4）以ab，bc，ca为边长的三角形一定存在.
16.下面是甲、乙、丙三位同学做的三个题目，请你看看他们做得对吗？如果不对，请指出错误的原因.
甲：因为－6＜a＜8，－4＜b＜2，所以－2＜a－b＜6.
乙：因为2＜b＜3，所以＜＜，又因为－6＜a＜8，所以－2＜＜4.
丙：因为2＜a－b＜4，所以－4＜b－a＜－2.又因为－2＜a＋b＜2，所以0＜a＜3，－3＜b＜0，
所以－3＜a＋b＜3.
第二课时 不等式性质
1.A ∵a＜0，b＞0，∴＜0，＞0，∴＜，故选A.
2.D ∵a＞b，∴a－b＞0，∴（a－b）c2≥0，故选D.
3.A 当a＞c且b＞d时，根据不等式的性质，可得a＋b＞c＋d；当a＋b＞c＋d时，不能推出a＞c且b＞d，例如取a＝2，b＝2，c＝－1，d＝3.所以“a＞c且b＞d”是“a＋b＞c＋d”的充分不必要条件，故选A.
4.B ＞ －＞0 －＝＞0，因为a，b，m都是正数，所以要想使不等式成立，只需b－a＞0，即b＞a.
5.BC 若a＞0＞b，0＞c＞d，则ac＜bd，故A错误；若ab＞0，bc－ad＞0，则＞0，化简得－＞0，故B正确；若c＞d，则－d＞－c，又a＞b，则a－d＞b－c，故C正确；若a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1，则＝－1，＝－1，＝＝－1，故D错误.故选B、C.
6.BCD x－1－（1－y）＝x＋y－2，无法判断它与0的大小关系，任取特殊值x＝2，y＝－1得x－1－（1－y）＜0，故选项A中不等式不一定成立；x－1－（y－1）＝x－y＞0，故选项B中不等式一定成立；x－y－（1－y）＝x－1＞0，故选项C中不等式一定成立；1－x－（y－x）＝1－y＞0，故选项D中不等式一定成立.故选B、C、D.
7.a＞0＞b 解析：若a，b同号，则a＞b ＜.
8.3 解析：①② ③，③① ②（证明略）.由②得＞0，又由③得bc－ad＞0，所以ab＞0 ①.所以可以组成3个正确命题.
9.④ 解析：①当ab＜0时，＜不成立，故①是假命题；②当c＜0时，a＜b，故②是假命题；③当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，故③是假命题；④a＞b＞0 －a＜－b＜0 0＜c－a＜c－b，两边同乘，得0＜＜，又a＞b＞0，∴＞，故④是真命题.
10.证明：因为bc－ad≥0，所以bc≥ad，所以bc＋bd≥ad＋bd，即b（c＋d）≥d（a＋b），又bd＞0，两边同除以bd得，≤.
11.A ∵a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，∴a＋d＋（a＋b）＞b＋c＋（c＋d），即a＞c.∴b＜d.又a＋c＜b，∴a＜b.综上可得，d＞b＞a＞c.
12.ABC 因为＜＜0，所以b＜a＜0，所以b2＞a2，ab＜b2，a＋b＜0，所以A、B、C均正确，因为b＜a＜0，所以｜a｜＋｜b｜＝｜a＋b｜，故D错误.故选A、B、C.
13.AD 因为a＞b＞0，则－＝＝＜0，所以＞一定不成立；a＋－b－＝（a－b），当ab＞1时，a＋－b－＞0，故a＋＞b＋可能成立；a＋－b－＝（a－b）＞0，故a＋＞b＋恒成立；－＝＜0，故＞一定不成立.故选A、D.
14.解：（1）∵3＜a＋b＜4，0＜b＜1，∴－1＜－b＜0，
∴2＜a＋b＋（－b）＜4，即2＜a＜4.∴a的取值范围是{a｜2＜a＜4}.
（2）∵0＜b＜1，∴－1＜－b＜0.
又∵2＜a＜4，∴1＜a－b＜4.∴a－b的取值范围是{a－b｜1＜a－b＜4}.
（3）∵0＜b＜1，∴＞1，
又∵2＜a＜4，∴＞2.∴的取值范围是{｜＞2}.
15.（1）（3） 解析：△ABC的三边长分别为a，b，c，不妨设a≥b≥c，则b＋c＞a.
对于（1），（＋）2－（）2＝b＋c－a＋2＞0，所以＋＞，所以以，，为边长的三角形一定存在，故（1）为真命题；
对于（2），b2＋c2－a2＝（b＋c）2－2bc－a2＞0不一定成立，因此以a2，b2，c2为边长的三角形不一定存在，故（2）为假命题；
对于（3），＋－＝c＞0，因此以，，为边长的三角形一定存在，故（3）为真命题；
对于（4），取a＝5，b＝4，c＝2，b＋c＞a，因此a，b，c能构成一个三角形的三边长，而ca＋bc＜ab，因此以ab，bc，ca为边长的三角形不一定存在，故（4）为假命题.
16.解：甲同学做的不对，因为同向不等式具有可加性，但不能相减，甲同学对同向不等式求差是错误的.
乙同学做的不对，本题中只知道－6＜a＜8，不明确a值的正负.
故不能将＜＜与－6＜a＜8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘.
丙同学做的不对.同向不等式两边可以相加，这种转化不是等价变形.
丙同学将2＜a－b＜4与－2＜a＋b＜2两边相加得0＜a＜3，
又将－4＜b－a＜－2与－2＜a＋b＜2两边相加得出－3＜b＜0，
又将该式与0＜a＜3两边相加得出－3＜a＋b＜3，
多次使用了这种转化，导致了a＋b范围的扩大.
2 / 2第二课时 不等式性质
新课程标准解读 核心素养
掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题 逻辑推理
在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象.
【问题】 你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？
知识点 不等式的性质
性质 别名 性质内容 注意
1 传递性 a＞b，b＞c a＞c 不可逆
2 可加性 a＞b a＋c b＋c 可逆
续表
性质 别名 性质内容 注意
3 可乘性 ac bc c的符号
ac bc
4 同向 可加性 a＋c b＋d 同向
5 同向同正 可乘性 ac bd 同向
异向异号 可乘性 ac bd 异向
6 同正同向 可开方性 a＞b＞0 ＞ （n∈N＋，n≥2） 同向
【想一想】
同向不等式相加与相乘的条件是一致的吗？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）若a＞b，则a－c＞b－c.（ ）
（2）＞1 a＞b.（ ）
（3）a＞b a＋c＞b＋c.（ ）
（4） ac＞bd.（ ）
2.若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（ ）
A.＞ B.＜
C.＞ D.＜
3.若－1＜m＜1，－1＜n＜1，则m－n的取值范围为 .
题型一 利用不等式的性质判断命题的真假
【例1】 （多选）下列命题中为真命题的是（ ）
A.0＞a＞b a2＞b2
B.a2＞b2 a＞b＞0
C.若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
D.若a＞b，＞，则a＞0，b＜0
尝试解答
通性通法
利用不等式的性质判断正误的2种方法
（1）直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；
（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.
【跟踪训练】
1.下列命题中，正确的是（ ）
A.若a＞b，c＞d，则ac＞bd
B.若ac＞bc，则a＜b
C.若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d
D.若＜，则a＜b
2.（多选）已知＜＜0，则下列结论正确的是（ ）
A.a＜b B.ab＞a＋b
C.｜a｜＜｜b｜ D.ab＞b2
题型二 利用不等式的性质证明不等式
【例2】 已知c＞a＞b＞0，求证：＞.
尝试解答
通性通法
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
（1）利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用；
（2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
【跟踪训练】
已知a＞b＞0，求证：＞.
题型三 利用不等式的性质求范围
【例3】 已知12＜a＜60，15＜b＜36.求a－b和的取值范围.
尝试解答
【母题探究】
（变条件，变设问）已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围.
通性通法
解这类问题要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎.通常要先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，这是避免犯错误的一条重要途径.
【跟踪训练】
已知0＜a＋b＜2，－1＜b－a＜1，则2a－b的取值范围是 .
1.已知a＋b＞0，b＜0，那么a，b，－a，－b的大小关系是（ ）
A.a＞b＞－b＞－a B.a＞－b＞－a＞b
C.a＞－b＞b＞－a D.a＞b＞－a＞－b
2.已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是（ ）
A.a＞b ac2＞bc2 B.＞ a＞b
C. ＞ D. ＞
3.若a＞b＞c，则下列不等式成立的是（ ）
A.＞ B.＜
C.ac＞bc D.ac＜bc
4.（多选）若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（ ）
A.a＋c＞b＋c B.ac＜bc
C.a2＞b2 D.＜
5.若α，β满足－＜α＜β＜，则α－β的取值范围是 .
第二课时 不等式性质
【基础知识·重落实】
知识点
＞ ＞ ＜ ＞ ＞ ＜
想一想
提示：不一致.
自我诊断
1.（1）√ （2）× （3）√ （4）×
2.B 因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，即＞＞0.又a＞b＞0，所以＞，从而有＜.
3.（－2，2） 解析：依题意－1＜m＜1，－1＜－n＜1，所以－2＜m－n＜2，即m－n的取值范围是（－2，2）.
【典型例题·精研析】
【例1】 CD 对于A，由0＞a＞b可知，0＜－a＜－b，则由性质5可知，（－b）2＞（－a）2，即b2＞a2，故A为假命题；对于B，性质5不具有可逆性，故B为假命题；对于C，由可得a2＞ab.因为所以ab＞b2，从而有a2＞ab＞b2.故C为真命题；对于D，由＞，可知－＝＞0.因为a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0.又因为a＞b，所以a＞0，b＜0.故D为真命题.
跟踪训练
1.D 选项A中，当a＞b＞0，c＞d＞0时，ac＞bd成立，但是当a，c均为负值时不成立，故A不正确；选项B中，当c＜0时，ac＞bc可推出a＜b.当c＞0时，ac＞bc可推出a＞b，故B不正确；选项C中，由a＞b，c＞d，可得a－d＞b－c，故C不正确；选项D中，式子＜成立，显然c≠0，所以c2＞0，根据不等式的性质：不等式两边同乘一个正数，所得的不等式的不等号与原不等式的不等号同向，显然有a＜b成立，故D正确.故选D.
2.BC 由＜＜0可得b＜a＜0，显然选项A不正确；因为b＜a＜0，所以ab＞0，a＋b＜0，所以ab＞a＋b，故选项B正确；因为b＜a＜0，所以｜b｜＞｜a｜，故选项C正确；因为b＜a＜0，所以b＜0，a－b＞0，可得ab－b2＝b（a－b）＜0，即ab＜b2，故选项D不正确.故选B、C.
【例2】 证明：－＝
＝＝，
∵c＞a＞b＞0，∴a－b＞0，c－a＞0，c－b＞0，
∴＞.
跟踪训练
证明：∵a＞b＞0，∴＞＞0. ①
又∵a＞b＞0，两边同乘正数，得＞＞0. ②
由①②得＞.
【例3】 解：∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15，
∴12－36＜a－b＜60－15，即－24＜a－b＜45.
∵＜＜，∴＜＜，即＜＜4.
故－24＜a－b＜45，＜＜4.
母题探究
解：令a＋b＝μ，a－b＝ν，则2≤μ≤4，1≤ν≤2.
由解得
∴4a－2b＝4·－2·＝2μ＋2ν－μ＋ν＝μ＋3ν.
而2≤μ≤4，3≤3ν≤6，则5≤μ＋3ν≤10，∴5≤4a－2b≤10.
跟踪训练
解析：因为0＜a＋b＜2，－1＜－a＋b＜1，且2a－b＝（a＋b）－（－a＋b），结合不等式的性质可得，－＜2a－b＜.
随堂检测
1.C 由a＋b＞0知，a＞－b，∴－a＜b＜0.又b＜0，∴－b＞0，∴a＞－b＞b＞－a.
2.C 当c＝0时，A不成立；当c＜0时，B不成立；当ab＜0时，a＞b ＜，即＞，C成立.同理可证D不成立.
3.B ∵a＞b＞c，∴a－c＞b－c＞0，∴＜，故选B.
4.ACD ∵a＞b＞0，∴a2＞b2，＜， a＋c＞b＋c，即A、C、D正确；当c＝0时，ac＝bc＝0，故B错误.
5.（－1，0） 解析：∵－＜α＜，－＜－β＜，∴－1＜α－β＜1.又α＜β，∴α－β ＜0，∴－1＜α－β＜0.
4 / 4
