(共33张PPT)
第二课时
基本不等式的应用
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能
使鸡舍面积最大？
【问题】 实例中问题的实质是什么？如何求解？
知识点 基本不等式与最值
当 x ， y 均为正数时，下面的命题均成立：
（1）若 x ＋ y ＝ s （ s 为定值），则当且仅当 x ＝ y 时， xy 取得最大
值 ；
（2）若 xy ＝ p （ p 为定值），则当且仅当 x ＝ y 时， x ＋ y 取得最小
值 .
提醒 利用基本不等式求最值时要牢记一正、二定、三相等：
①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定
值；③三相等：必须验证取等号时条件是否具备.
2
1. 如图所示，矩形 ABCD 的边 AB 靠在墙 PQ 上，另外三边是由篱笆围
成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形 ABCD 所需要篱笆的（ ）
A. 最小长度为8
C. 最大长度为8
解析： 设 BC ＝ a ， a ＞0， CD ＝ b ， b ＞0，则 ab ＝4，所以围
成矩形 ABCD 所需要的篱笆长度为2 a ＋ b ＝2 a ＋ ≥2 ＝4
，当且仅当2 a ＝ ，即 a ＝ 时取等号，此时长度取得最小值4
.故选B.
2. 已知0＜ x ＜1，则 x （1－ x ）的最大值为 ，此时 x ＝ .
解析：因为0＜ x ＜1，所以1－ x ＞0，所以 x （1－ x ）≤
＝ ＝ ，当且仅当 x ＝1－ x ，即 x ＝ 时“＝”
成立，即当 x ＝ 时， x （1－ x ）取得最大值 .
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用基本不等式求最值
【例1】 （1）已知 x ＜ ，求 y ＝4 x －2＋ 的最大值；
解：∵ x ＜ ，∴5－4 x ＞0，
∴ y ＝4 x －2＋ ＝－ ＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4 x ＝ ，即 x ＝1时，等号成立，
故当 x ＝1时， ymax＝1.
（2）已知0＜ x ＜ ，求 y ＝ x （1－2 x ）的最大值；
解：∵0＜ x ＜ ，∴1－2 x ＞0，
∴ y ＝ ×2 x （1－2 x ）≤ × ＝ × ＝ ，∴当且
仅当2 x ＝1－2 x ，即 x ＝ 时， ymax＝ .
（3）当 x ＞0时，求函数 y ＝ 的最大值.
解：∵ x ＞0，∴ ＝ ≤ ＝1，当且仅当 x ＝ ，即 x ＝1
时取等号.故函数 y ＝ 的最大值为1.
通性通法
利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定
值.常见的变形方法有拆、并、配.
（1）拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整
式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母
的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件；
（2）并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用基本不等
式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用
基本不等式得出最值；
（3）配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，
常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式
与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的
系数后，使积式中的各项之和为定值.
【跟踪训练】
1.3 x2＋ 的最小值是（ ）
B. 3
解析： 3 x2＋ ＝3（ x2＋1）＋ －3≥2
－3＝2 －3＝6 －3，当且仅当 x2＝ －
1时等号成立，故选D.
2. 已知 a ＞0， b ＞0，则4 a ＋ b ＋ 的最小值是（ ）
A. 2 C. 4 D. 5
解析： ∵ a ＞0， b ＞0，∴4 a ＋ b ＋ ≥2 ＋ ＝4
＋ ≥2 ＝4，当且仅当即 a ＝ ， b ＝1
时，等号成立，此时4 a ＋ b ＋ 取得最小值4.
题型二 利用基本不等式求条件最值
【例2】 已知 x ＞0， y ＞0，且 ＋ ＝1，求 x ＋ y 的最小值.
解：∵ x ＞0， y ＞0， ＋ ＝1，
∴ x ＋ y ＝ （ x ＋ y ）
＝ ＋ ＋10≥6＋10＝16，
当且仅当 ＝ ，即 x ＝4， y ＝12时，上式取等号.
故当 x ＝4， y ＝12时， x ＋ y 的最小值为16.
【母题探究】
1. （变条件）本例条件变为“ x ＞0， y ＞0，2 x ＋8 y ＝ xy ”，其余不
变，求 x ＋ y 的最小值.
解：由2 x ＋8 y － xy ＝0，得 y （ x －8）＝2 x .
∵ x ＞0， y ＞0，∴ x －8＞0， y ＝ ，
∴ x ＋ y ＝ x ＋ ＝ x ＋
＝（ x －8）＋ ＋10≥2 ＋10＝18.
当且仅当 x －8＝ ，即 x ＝12时，等号成立，
∴ x ＋ y 的最小值是18.
2. （变条件，变设问）本例条件变为“ x ＋ y ＝1， x ＞0， y ＞0”，
试求 ＋ 的最小值.
解：由 ＋ ＝（ x ＋ y ）
＝10＋ ＋ ≥10＋2 ＝16，
当且仅当9 x2＝ y2，即 y ＝3 x ，
得 x ＝ ， y ＝ 时，取“＝”，
∴ ＋ 的最小值为16.
通性通法
1. 常值代换法求最值的方法步骤
常值代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基
本步骤为：
（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
（2）把确定的定值（常数）变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造
和或积的形式；
（4）利用基本不等式求解最值.
2. 若常值代换法不适用于条件最值，则对条件变形，直接使用基本不
等式，建立以目标函数为整体的不等式，解不等式可得最值.
【跟踪训练】
1. 已知 x ＞0， y ＞0且 x ＋ y ＝1，则 p ＝ x ＋ ＋ y ＋ 的最小值为
（ ）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析： p ＝ x ＋ ＋ y ＋ ＝3＋ ＋ ≥3＋2＝5，当且仅
当 x ＝ y ＝ 时等号成立.
2. 若 a ＞0，且 a ＋ b ＝0，则 a － ＋1的最小值为 .
解析：由 a ＋ b ＝0，且 a ＞0，得 b ＝－ a ，－ ＝ ＞0，所以 a －
＋1＝ a ＋ ＋1≥3，当且仅当 a ＝1， b ＝－1时取等号.
3
题型三 基本不等式在实际问题中的应用
【例3】 某房地产开发公司计划在一小区内建造一个长方形公园
ABCD ，公园由长方形 A1 B1 C1 D1的休闲区和环公园的人行道（阴影部
分）组成.已知休闲区 A1 B1 C1 D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别
为4 m和10 m（如图所示）.
（1）若设休闲区的长 A1 B1和宽 B1 C1的比值为 x （ x ＞1），求公园
ABCD 所占面积 y （单位：m2）关于 x 的表达式；
解：设休闲区的宽为 a m，则其长为 ax m，由 a2 x ＝4 000，得 a
＝ .
所以 y ＝（ a ＋8）（ ax ＋20）＝ a2 x ＋（8 x ＋20） a ＋160
＝4 000＋（8 x ＋20）· ＋160
＝80 ＋4 160（ x ＞1）.
（2）要使公园 ABCD 所占面积最小，休闲区 A1 B1 C1 D1的长和宽该如
何设计？
解： y ≥80 ×2 ＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，
当且仅当2 ＝ ，即 x ＝ 时取等号，此时 a ＝40， ax ＝100.
所以要使公园 ABCD 所占面积最小，休闲区 A1 B1 C1 D1应设计为
长100 m，宽40 m.
通性通法
求实际问题中最值的步骤
（1）先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式；
（2）把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
（3）在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不
等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单
调性；
（4）正确写出答案.
【跟踪训练】
某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八
边形的休闲区域（如图），它的平面图如图所示，其中由两个全等的
矩形 ABCD 和 EFGH 构成的十字型区域的面积为200 m2.现计划在正方
形 MNPO 上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上（图
中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，
再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.
（1）设该休闲区域的总造价为 S 元， AD 边的长为 x m，试建立 S 关于
x 的函数关系式；
解：设 DO ＝ y ，则 x2＋4 xy ＝200，即 y ＝ .
所以 S ＝4 200 x2＋210×4 xy ＋80×4× y2＝38 000＋4 000 x2＋
（0＜ x ＜10 ）.
（2）至少要投入多少元，才能建造这个休闲区域？
解： S ＝38 000＋4 000 x2＋ ≥38 000＋2 ＝118
000，当且仅当4 000 x2＝ ，
即 x ＝ 时，等号成立，此时 S 取得最小值，为118 000.
故计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲区域.
1. 已知实数 x ， y 满足 x ＞0， y ＞0，且 ＋ ＝1，则 x ＋2 y 的最小值
为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
解析： ∵ x ＞0， y ＞0，且 ＋ ＝1，∴ x ＋2 y ＝（ x ＋2 y ）
＝4＋ ＋ ≥4＋2 ＝8，当且仅当 ＝ ， ＋ ＝
1，即 x ＝4， y ＝2时等号成立.
2. （多选）已知 a ＞0， b ＞0， a ＋ b ＝2，则 ＋ （ ）
B. 最大值是5
解析： 因为 a ＋ b ＝2，令 y ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋
＋ ＋2≥ ＋2 ＝ ，当且仅当 ＝ ，且 a ＋ b ＝2，即 a
＝ ， b ＝ 时，取“＝”.
3. （ x ＞1）的最小值为 .
解析：令 y ＝ ，则 y ＝ ＝ x ＋1＋ ＝（ x －1）＋
＋2≥2 ＋2＝2×3＋2＝8，当且仅当 x －1＝
，即 x ＝4时等号成立.故 （ x ＞1）的最小值为8.
8
解： C ＝ ＝ .因为 t ＞0，所以 t ＋ ≥2 ＝4（当
且仅当 t ＝ ，即 t ＝2时等号成立）.
所以 C ＝ ≤ ＝5，当且仅当 t ＝ ，即 t ＝2时， C 取得最
大值.
故经过2 h后池水中该药品的浓度达到最大.
4. 为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药
品的浓度 C （单位：mg·L－1）随时间 t （单位：h）的变化关系为 C
＝ ，则经过多长时间后池水中该药品的浓度达到最大.
谢 谢 观 看！第二课时 基本不等式的应用
1.已知x，y为正实数，且xy＝4，则x＋4y的最小值是（ ）
A.4 B.8
C.16 D.32
2.已知函数y＝x＋－2（x＜0），则函数有（ ）
A.最大值为0 B.最小值为0
C.最大值为－4 D.最小值为－4
3.已知正数x，y满足＋＝1，则x＋2y的最小值是（ ）
A.18 B.16
C.8 D.10
4.若正数x，y满足x2＋3xy－1＝0，则x＋y的最小值是（ ）
A. B.
C. D.
5.若0＜x＜4，则有（ ）
A.最小值0 B.最大值2
C.最大值 D.不能确定
6.（多选）某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购买x吨，运费为8万元/次.已知一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和y最小，则下列说法正确的是（ ）
A.当x＝40时，y取得最小值
B.当x＝45时，y取得最小值
C.ymin＝320
D.ymin＝360
7.已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1，则xy的最大值为 ，取得最大值时y的值为 .
8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则该矩形花园边长x为 m.
9.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N＋，单位：年）满足关系y＝－x2＋12x－25，则每辆客车营运 年时，年平均利润最大.
10.已知x＞0，y＞0且2x＋5y＝20.
（1）求xy的最大值；
（2）求＋的最小值.
11.如图所示，4个长为a，宽为b的长方形，拼成一个正方形ABCD，中间围成一个小正方形A1B1C1D1，则以下说法中错误的是（ ）
A.（a＋b）2≥4ab
B.当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合
C.（a－b）2≤4ab
D.（a＋b）2＞（a－b）2
12.（多选）已知a，b为正实数，且ab＋2a＋b＝6，则（ ）
A.ab的最大值为2
B.2a＋b的最小值为4
C.a＋b的最小值为3
D.＋的最小值为
13.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S＝求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a＝3，b＋c＝5，则此三角形面积的最大值为 .
14.某人准备租一辆车出差，已知从出发点到目的地的距离为100 km，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100（单位：km/h）之间.假设目前油价为7.2元/L，汽车的耗油率为L/h，其中x（单位：km/h）为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量.租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x是多少？（注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资）
15.若xy是正数，则＋的最小值是（ ）
A.3 B.
C.4 D.
16.某厂家拟在2024年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量（即该产品的年产量）x（单位：万件）与年促销费用m（m≥0，单位：万元）满足x＝3－（k为常数），如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件.已知2024年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
（1）将2024年该产品的利润y（单位：万元）表示为年促销费用m的函数；
（2）该厂家2024年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
第二课时 基本不等式的应用
1.B ∵x＞0，y＞0，∴x＋4y≥2＝8，当且仅当x＝4y且xy＝4，即x＝4，y＝1时取等号，∴x＋4y的最小值为8.故选B.
2.C ∵x＜0，∴y＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时取等号.
3.A x＋2y＝（x＋2y）＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当＝，即x＝4y＝12时，等号成立.
4.B 由x2＋3xy－1＝0，可得y＝.又x＞0，所以x＋y＝＋≥2＝（当且仅当x＝时等号成立）.
5.B 由基本不等式≤＝2，当且仅当x＝4－x，即x＝2时等号成立，故最大值为2.
6.AC 一年购买某种货物800吨，每次购买x吨，则需要购买次，又运费是8万元/次，一年的总存储费用为4x万元，所以一年的总运费与总存储费用之和y＝×8＋4x万元.因为y＝×8＋4x≥2＝320，当且仅当＝4x，即x＝40时，等号成立，所以当x＝40时，y取得最小值，ymin＝320，故选A、C.
7.3 2 解析：因为x＞0，y＞0，且1＝＋≥2，所以xy≤3.当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号.
8.20 解析：设矩形花园的宽为y，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x（40－x）≤＝400，当且仅当x＝20时，取等号，即当x＝20 m时，面积最大.
9.5 解析：∵y＝－x2＋12x－25，∴年平均利润为＝＝－＋12≤－2＋12＝2，当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立.
10.解：（1）∵2x＋5y＝20，x＞0，y＞0，
∴2x＋5y≥2，∴2≤20，即xy≤10，
当且仅当x＝5，y＝2时，等号成立，
∴xy的最大值为10.
（2）＋＝·（2x＋5y）＝（2＋5＋＋）＝≥（7＋2），
当且仅当x＝y时，等号成立.
∴＋的最小值为（7＋2）.
11.C 由题图可知正方形ABCD的面积不小于4个长方形的面积之和，即有（a＋b）2≥4ab；正方形A1B1C1D1的面积为（a－b）2，结合图形可知（a＋b）2＞（a－b）2，且当a＝b时，A1，B1，C1，D1四点重合，但是正方形A1B1C1D1的面积与4个长方形的面积之和大小关系不定.因此C选项错误.
12.ABD 因为6＝ab＋2a＋b≥ab＋2，当且仅当2a＝b时取等号，解得≤，即ab≤2，故ab的最大值为2，A正确；由6＝ab＋2a＋b得b＝＝－2，所以2a＋b＝2a＋＝2（a＋1）＋－4≥2－4＝4，当且仅当2（a＋1）＝，即a＝1时取等号，此时2a＋b取得最小值4，B正确；a＋b＝a＋－2＝a＋1＋－3≥4－3，当且仅当a＋1＝，即a＝2－1时取等号，C错误；＋≥2＝2＝，当且仅当a＋1＝b＋2时取等号，此时＋取得最小值，D正确.故选A、B、D.
13.3 解析：由题意知，p＝（3＋5）＝4，则S＝＝＝2≤8－（b＋c）＝3，当且仅当4－b＝4－c，即b＝c时等号成立，∴此三角形面积的最大值为3.
14.解：设总费用为y元.
由题意，得y＝76.4×＋7.2××
＝＋2x（40≤x≤100）.
因为y＝＋2x≥2＝280.
当且仅当＝2x，即x＝70时取等号.
所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70 km/h.
15.C ＋＝x2＋＋＋y2＋＋＝＋＋≥1＋1＋2＝4，当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号.
16.解：（1）由题意，可知当m＝0时，x＝1，
∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－，
又每件产品的销售价格为1.5×元，
∴y＝x－（8＋16x＋m）＝4＋8x－m
＝4＋8－m
＝－＋29（m≥0）.
（2）∵m≥0，＋（m＋1）≥2＝8，
当且仅当＝m＋1，即m＝3时等号成立，
∴y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.
故该厂家2024年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元.
2 / 2第二课时 基本不等式的应用
某养殖场要用100米的篱笆围成一个矩形的鸡舍，怎样设计才能使鸡舍面积最大？
【问题】 实例中问题的实质是什么？如何求解？
知识点 基本不等式与最值
当x，y均为正数时，下面的命题均成立：
（1）若x＋y＝s （s为定值），则当且仅当x＝y时，xy取得最大值 ；
（2）若xy＝p （p为定值），则当且仅当x＝y时，x＋y取得最小值 .
提醒 利用基本不等式求最值时要牢记一正、二定、三相等：①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时条件是否具备.
1.如图所示，矩形ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形的面积为4，则围成矩形ABCD所需要篱笆的（ ）
A.最小长度为8
B.最小长度为4
C.最大长度为8
D.最大长度为4
2.已知0＜x＜1，则x（1－x）的最大值为 ，此时x＝ .
题型一 利用基本不等式求最值
【例1】 （1）已知x＜，求y＝4x－2＋的最大值；
（2）已知0＜x＜，求y＝x（1－2x）的最大值；
（3）当x＞0时，求函数y＝的最大值.
尝试解答
通性通法
利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形方法有拆、并、配.
（1）拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件；
（2）并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值；
（3）配——配式配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.
【跟踪训练】
1.3x2＋的最小值是（ ）
A.3－3 B.3
C.6 D.6－3
2.已知a＞0，b＞0，则4a＋b＋ 的最小值是（ ）
A.2 B.2
C.4 D.5
题型二 利用基本不等式求条件最值
【例2】 已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值.
尝试解答
【母题探究】
1.（变条件）本例条件变为“x＞0，y＞0，2x＋8y＝xy”，其余不变，求x＋y的最小值.
2.（变条件，变设问）本例条件变为“x＋y＝1，x＞0，y＞0”，试求＋的最小值.
通性通法
1.常值代换法求最值的方法步骤
常值代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为：
（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
（2）把确定的定值（常数）变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
（4）利用基本不等式求解最值.
2.若常值代换法不适用于条件最值，则对条件变形，直接使用基本不等式，建立以目标函数为整体的不等式，解不等式可得最值.
【跟踪训练】
1.已知x＞0，y＞0且x＋y＝1，则p＝x＋＋y＋的最小值为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
2.若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为 .
题型三 基本不等式在实际问题中的应用
【例3】 某房地产开发公司计划在一小区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园的人行道（阴影部分）组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m（如图所示）.
（1）若设休闲区的长A1B1和宽B1C1的比值为x（x＞1），求公园ABCD所占面积y（单位：m2）关于x的表达式；
（2）要使公园ABCD所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？
尝试解答
通性通法
求实际问题中最值的步骤
（1）先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式；
（2）把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
（3）在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性；
（4）正确写出答案.
【跟踪训练】
某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲区域（如图），它的平面图如图所示，其中由两个全等的矩形ABCD和EFGH构成的十字型区域的面积为200 m2.现计划在正方形MNPO上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.
（1）设该休闲区域的总造价为S元，AD边的长为x m，试建立S关于x的函数关系式；
（2）至少要投入多少元，才能建造这个休闲区域？
1.已知实数x，y满足x＞0，y＞0，且＋＝1，则x＋2y的最小值为（ ）
A.2 B.4
C.6 D.8
2.（多选）已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则＋（ ）
A.取得最值时a＝
B.最大值是5
C.取得最值时b＝
D.最小值是
3.（x＞1）的最小值为 .
4.为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：mg·L－1）随时间t（单位：h）的变化关系为C＝，则经过多长时间后池水中该药品的浓度达到最大.
第二课时 基本不等式的应用
【基础知识·重落实】
知识点
（1） （2）2
自我诊断
1.B 设BC＝a，a＞0，CD＝b，b＞0，则ab＝4，所以围成矩形ABCD所需要的篱笆长度为2a＋b＝2a＋≥2 ＝4，当且仅当2a＝，即a＝时取等号，此时长度取得最小值4.故选B.
2. 解析：因为0＜x＜1，所以1－x＞0，所以x（1－x）≤＝＝，当且仅当x＝1－x，即x＝时“＝”成立，即当x＝时，x（1－x）取得最大值.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）∵x＜，∴5－4x＞0，
∴y＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立，
故当x＝1时，ymax＝1.
（2）∵0＜x＜，∴1－2x＞0，
∴y＝×2x（1－2x）≤×＝×＝，∴当且仅当2x＝1－2x，即x＝时，ymax＝.
（3）∵x＞0，∴＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号.故函数y＝的最大值为1.
跟踪训练
1.D 3x2＋＝3（x2＋1）＋－3≥2－3＝2－3＝6－3，当且仅当x2＝－1时等号成立，故选D.
2.C ∵a＞0，b＞0，∴4a＋b＋≥2＋＝4＋≥2＝4，当且仅当即a＝，b＝1时，等号成立，此时4a＋b＋取得最小值4.
【例2】 解：∵x＞0，y＞0，＋＝1，
∴x＋y＝（x＋y）
＝＋＋10≥6＋10＝16，
当且仅当＝，即x＝4，y＝12时，上式取等号.
故当x＝4，y＝12时，x＋y的最小值为16.
母题探究
1.解：由2x＋8y－xy＝0，得y（x－8）＝2x.
∵x＞0，y＞0，∴x－8＞0，y＝，
∴x＋y＝x＋＝x＋
＝（x－8）＋＋10≥2＋10＝18.
当且仅当x－8＝，即x＝12时，等号成立，
∴x＋y的最小值是18.
2.解：由＋＝（x＋y）
＝10＋＋≥10＋2＝16，
当且仅当9x2＝y2，即y＝3x，
得x＝，y＝时，取“＝”，
∴＋的最小值为16.
跟踪训练
1.C p＝x＋＋y＋＝3＋＋≥3＋2＝5，当且仅当x＝y＝时等号成立.
2.3 解析：由a＋b＝0，且a＞0，得b＝－a，－＝＞0，
所以a－＋1＝a＋＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号.
【例3】 解：（1）设休闲区的宽为a m，则其长为ax m，由a2x＝4 000，得a＝.
所以y＝（a＋8）（ax＋20）＝a2x＋（8x＋20）a＋160
＝4 000＋（8x＋20）·＋160
＝80＋4 160（x＞1）.
（2）y≥80×2＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760，
当且仅当2＝，即x＝时取等号，此时a＝40，ax＝100.
所以要使公园ABCD所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100 m，宽40 m.
跟踪训练
解：（1）设DO＝y，则x2＋4xy＝200，即y＝.
所以S＝4 200x2＋210×4xy＋80×4×y2＝38 000＋4 000x2＋（0＜x＜10）.
（2）S＝38 000＋4 000x2＋≥38 000＋2＝118 000，当且仅当4 000x2＝，即x＝时，等号成立，此时S取得最小值，为118 000.
故计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲区域.
随堂检测
1.D ∵x＞0，y＞0，且＋＝1，∴x＋2y＝（x＋2y）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，＋＝1，即x＝4，y＝2时等号成立.
2.AD 因为a＋b＝2，令y＝＋＝＋＝＋＋＋2≥＋2＝，当且仅当＝，且a＋b＝2，即a＝，b＝时，取“＝”.
3.8 解析：令y＝，则y＝＝x＋1＋＝（x－1）＋＋2≥2＋2＝2×3＋2＝8，当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立.故（x＞1）的最小值为8.
4.解：C＝＝.因为t＞0，所以t＋≥2＝4（当且仅当t＝，即t＝2时等号成立）.
所以C＝≤＝5，当且仅当t＝，即t＝2时，C取得最大值.
故经过2 h后池水中该药品的浓度达到最大.
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