基本不等式的应用技巧
技巧一 巧用“1”的代换或乘“1”法求最值
【例1】 （1）已知x＞0，y＞0，且x＋3y－5xy＝0，则3x＋4y的最小值是（ ）
A.4 B.5
C.6 D.9
（2）已知a＞0，b＞0，且a＋2b＝1，不等式＋－m≥0恒成立，则m的范围为 .
尝试解答
方法总结
1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形.
【迁移应用】
1.已知a＞0，b＞0，＋＝2，则a＋b的最小值为（ ）
A. B.
C.3－2 D.3＋2
2.若a，b是正实数，且a＋b＝1，则＋的最小值为 .
技巧二 分离消元法求最值
【例2】 若实数x，y满足xy＋3x＝3（0＜x＜），则＋的最小值为 .
尝试解答
方法总结
含有多个变量的最值问题的解决方法
对含有多个变量的最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个变量，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.
【迁移应用】
1.已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝ab－1，则a＋2b的最小值为 .
2.已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值.
技巧三 双换元法求最值
【例3】 若a＞0，b＞0，且＋＝1，则a＋2b的最小值为 .
尝试解答
方法总结
若题目是求含有两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元法，分别用两个分式的分母作为两个参数，转化为这两个参数的不等关系.
【迁移应用】
已知x，y＞0，则＋的最大值为 .
拓视野 基本不等式的应用技巧
【例1】 （1）B （2）{m｜m≤＋}
解析：（1）由x＋3y－5xy＝0，得＋＝5，所以3x＋4y＝（＋）（3x＋4y）＝（13＋＋）≥（13＋2）＝5，当且仅当x＝1，y＝时，取等号.故选B.
（2）因为a＋2b＝1，所以＋＝（＋）（a＋b＋b）＝＋＋1＋＝＋＋≥＋2＝＋2＝＋，当且仅当＝，即a＝（－1）b时，取等号，因为不等式＋－m≥0恒成立，所以m小于等于＋最小值，所以m≤＋.
迁移应用
1.B 因为a＞0，b＞0，且＋＝2，所以a＋b＝（＋）·（a＋b）＝（3＋＋）≥（3＋2）＝，当且仅当b＝a即a＝，b＝时，a＋b有最小值.故选B.
2.2＋3 解析：因为a，b是正实数，且a＋b＝1，所以＋＝＋＝＋＋＝＋＝（＋）·（a＋b）＝2＋＋＋1≥2＋3＝2＋3，当且仅当时等号成立.
【例2】 8 解析：因为xy＋3x＝3，所以x＝，所以0＜＜，解得y＞3，所以＝y＋3，因此＋＝y＋3＋＝y－3＋＋6≥2＋6＝8，当且仅当y－3＝，即y＝4时取等号.
迁移应用
1.5＋2 解析：由2a＋b＝ab－1，得a＝，因为a＞0，b＞0，所以a＝＞0，b＋1＞0，所以b＞2，所以a＋2b＝＋2b＝＋2（b－2）＋4＝2（b－2）＋＋5≥2＋5＝5＋2，当且仅当2（b－2）＝，即b＝2＋时等号成立.所以a＋2b的最小值为5＋2.
2.解：由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝，
因为x＞0，y＞0，所以0＜x＜8.
所以x＋2y＝x＋＝x＋＝x＋－1＝x＋1＋－2≥2－2＝4，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立.
所以x＋2y的最小值为4.
【例3】 ＋ 解析：设则所以＋＝1，因为a＋2b＝＋2y－2＝，又因为x＋3y＝（x＋3y）（＋）＝1＋＋＋3≥2＋4＝4＋2，所以a＋2b≥＝＝＋.
迁移应用
解析：设则因此＋＝＋＝－＋－＝－（＋），因为＋≥2＝，所以＋≤－＝.
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拓 视 野
基本不等式的应用技巧
技巧一 巧用“1”的代换或乘“1”法求最值
【例1】 （1）已知 x ＞0， y ＞0，且 x ＋3 y －5 xy ＝0，则3 x ＋4 y 的
最小值是（ B ）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 9
解析：由 x ＋3 y －5 xy ＝0，得 ＋ ＝5，所以3 x ＋4 y ＝ （ ＋ ）
（3 x ＋4 y ）＝ （13＋ ＋ ）≥ （13＋2 ）＝5，当且仅
当 x ＝1， y ＝ 时，取等号.故选B.
B
（2）已知 a ＞0， b ＞0，且 a ＋2 b ＝1，不等式 ＋ － m ≥0恒成
立，则 m 的范围为 .
解析：因为 a ＋2 b ＝1，所以 ＋ ＝（ ＋ ）（ a ＋ b
＋ b ）＝ ＋ ＋1＋ ＝ ＋ ＋ ≥ ＋2
＝ ＋2 ＝ ＋ ，当且仅当 ＝ ，即 a
＝（ －1） b 时，取等号，因为不等式 ＋ － m ≥0恒成
立，所以 m 小于等于 ＋ 最小值，所以 m ≤ ＋ .
{ m ｜ m ≤ ＋ }
方法总结
1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形后达到运用基本不等式
的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形.
【迁移应用】
1. 已知 a ＞0， b ＞0， ＋ ＝2，则 a ＋ b 的最小值为（ ）
A.
C. 3－2 D. 3＋2
解析： 因为 a ＞0， b ＞0，且 ＋ ＝2，所以 a ＋ b ＝ （ ＋
）·（ a ＋ b ）＝ （3＋ ＋ ）≥ （3＋2 ）＝ ，当
且仅当 b ＝ a 即 a ＝ ， b ＝ 时， a ＋ b 有最小值 .
故选B.
2. 若 a ， b 是正实数，且 a ＋ b ＝1，则 ＋ 的最小值为 2 ＋3 .
解析：因为 a ， b 是正实数，且 a ＋ b ＝1，所以 ＋ ＝ ＋
＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝（ ＋ ）·（ a ＋ b ）＝2＋ ＋ ＋1≥2
＋3＝2 ＋3，当且仅当时等号成立.
2 ＋3
技巧二 分离消元法求最值
【例2】 若实数 x ， y 满足 xy ＋3 x ＝3（0＜ x ＜ ），则 ＋ 的最
小值为 .
8
解析：因为 xy ＋3 x ＝3，所以 x ＝ ，所以0＜ ＜ ，解得 y ＞3，
所以 ＝ y ＋3，因此 ＋ ＝ y ＋3＋ ＝ y －3＋ ＋6≥2
＋6＝8，当且仅当 y －3＝ ，即 y ＝4时取等号.
方法总结
含有多个变量的最值问题的解决方法
对含有多个变量的最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，
可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个变量，再代入
代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.
【迁移应用】
1. 已知 a ＞0， b ＞0，且2 a ＋ b ＝ ab －1，则 a ＋2 b 的最小值为
.
解析：由2 a ＋ b ＝ ab －1，得 a ＝ ，因为 a ＞0， b ＞0，所以 a
＝ ＞0， b ＋1＞0，所以 b ＞2，所以 a ＋2 b ＝ ＋2 b ＝
＋2（ b －2）＋4＝2（ b －2）＋ ＋5≥2
＋5＝5＋2 ，当且仅当2（ b －2）＝ ，即 b
＝2＋ 时等号成立.所以 a ＋2 b 的最小值为5＋2 .
：5
＋2
2. 已知 x ＞0， y ＞0， x ＋2 y ＋2 xy ＝8，求 x ＋2 y 的最小值.
解：由 x ＋2 y ＋2 xy ＝8，可知 y ＝ ，
因为 x ＞0， y ＞0，所以0＜ x ＜8.
所以 x ＋2 y ＝ x ＋ ＝ x ＋ ＝ x ＋ －1＝ x ＋1＋ －
2≥2 －2＝4，当且仅当 x ＋1＝ ，即 x ＝2时等号成立.所以 x
＋2 y 的最小值为4.
技巧三 双换元法求最值
【例3】 若 a ＞0， b ＞0，且 ＋ ＝1，则 a ＋2 b 的最小值
为 .
＋
解析：设则所以 ＋ ＝1，因为 a ＋2 b ＝
＋2 y －2＝ ，又因为 x ＋3 y ＝（ x ＋3 y ）（ ＋ ）＝1＋
＋ ＋3≥2 ＋4＝4＋2 ，所以 a ＋2 b ≥ ＝ ＝
＋ .
方法总结
若题目是求含有两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方
法就是双换元法，分别用两个分式的分母作为两个参数，转化为这两
个参数的不等关系.
【迁移应用】
已知 x ， y ＞0，则 ＋ 的最大值为 .
解析：设则因此 ＋ ＝ ＋
＝ － ＋ － ＝ －（ ＋ ），因为 ＋ ≥2 ＝
，所以 ＋ ≤ － ＝ .
知能演练·扣课标
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 x ， y 为正实数，且 xy ＝4，则 x ＋4 y 的最小值是（ ）
A. 4 B. 8 C. 16 D. 32
解析： ∵ x ＞0， y ＞0，∴ x ＋4 y ≥2 ＝8，当且仅当 x ＝
4 y 且 xy ＝4，即 x ＝4， y ＝1时取等号，∴ x ＋4 y 的最小值为8.故
选B.
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2. 已知函数 y ＝ x ＋ －2（ x ＜0），则函数有（ ）
A. 最大值为0 B. 最小值为0
C. 最大值为－4 D. 最小值为－4
解析： ∵ x ＜0，∴ y ＝－ －2≤－2－2＝－4，
当且仅当－ x ＝ ，即 x ＝－1时取等号.
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3. 已知正数 x ， y 满足 ＋ ＝1，则 x ＋2 y 的最小值是（ ）
A. 18 B. 16 C. 8 D. 10
解析： x ＋2 y ＝（ x ＋2 y ） ＝10＋ ＋ ≥10＋2
＝18，当且仅当 ＝ ，即 x ＝4 y ＝12时，等号成立.
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4. 若正数 x ， y 满足 x2＋3 xy －1＝0，则 x ＋ y 的最小值是（ ）
A. C. D.
解析： 由 x2＋3 xy －1＝0，可得 y ＝ .又 x ＞0，所以 x
＋ y ＝ ＋ ≥2 ＝ .
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5. 若0＜ x ＜4，则 有（ ）
A. 最小值0 B. 最大值2
C. 最大值 D. 不能确定
解析： 由基本不等式 ≤ ＝2，当且仅当 x ＝4
－ x ，即 x ＝2时等号成立，故最大值为2.
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6. （多选）某公司一年购买某种货物800吨，现分次购买，设每次购
买 x 吨，运费为8万元/次.已知一年的总存储费用为4 x 万元，要使
一年的总运费与总存储费用之和 y 最小，则下列说法正确的是
（ ）
A. 当 x ＝40时， y 取得最小值
B. 当 x ＝45时， y 取得最小值
C. ymin＝320
D. ymin＝360
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解析： 一年购买某种货物800吨，每次购买 x 吨，则需要
购买 次，又运费是8万元/次，一年的总存储费用为4 x 万
元，所以一年的总运费与总存储费用之和 y ＝ ×8＋4 x 万
元.因为 y ＝ ×8＋4 x ≥2 ＝320，当且仅当
＝4 x ，即 x ＝40时，等号成立，所以当 x ＝40时， y 取得最小
值， ymin＝320，故选A、C.
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7. 已知 x ＞0， y ＞0，且满足 ＋ ＝1，则 xy 的最大值为 ，取得最
大值时 y 的值为 .
解析：因为 x ＞0， y ＞0，且1＝ ＋ ≥2 ，所以 xy ≤3.当且仅
当 ＝ ＝ ，即 x ＝ ， y ＝2时取等号.
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8. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园（阴影部分），则该矩形花园边长 x 为 m.
20
解析：设矩形花园的宽为 y ，则 ＝ ，即 y ＝40－ x ，矩形花
园的面积 S ＝ x （40－ x ）≤ ＝400，当且仅当 x ＝20时，
取等号，即当 x ＝20 m时，面积最大.
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9. 某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车
营运的总利润 y （单位：10万元）与营运年数 x （ x ∈N＋，单位：
年）满足关系 y ＝－ x2＋12 x －25，则每辆客车营运 年时，年平
均利润最大.
解析：∵ y ＝－ x2＋12 x －25，∴年平均利润为 ＝ ＝－
＋12≤－2 ＋12＝2，当且仅当 x ＝ ，即 x ＝5时，
等号成立.
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10. 已知 x ＞0， y ＞0且2 x ＋5 y ＝20.
（1）求 xy 的最大值；
解：∵2 x ＋5 y ＝20， x ＞0， y ＞0，
∴2 x ＋5 y ≥2 ，∴2 ≤20，即 xy ≤10，
当且仅当 x ＝5， y ＝2时，等号成立，
∴ xy 的最大值为10.
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（2）求 ＋ 的最小值.
解： ＋ ＝ · （2 x ＋5 y ）＝
＝ ≥ （7＋2 ），
当且仅当 x ＝ y 时，等号成立.
∴ ＋ 的最小值为 （7＋2 ）.
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11. 如图所示，4个长为 a ，宽为 b 的长方形，拼成一个正方形
ABCD ，中间围成一个小正方形 A1 B1 C1 D1，则以下说法中错误的
是（ ）
A. （ a ＋ b ）2≥4 ab
B. 当 a ＝ b 时， A1， B1， C1， D1四点重合
C. （ a － b ）2≤4 ab
D. （ a ＋ b ）2＞（ a － b ）2
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解析： 由题图可知正方形 ABCD 的面积不小于4个长方形的面
积之和，即有（ a ＋ b ）2≥4 ab ；正方形 A1 B1 C1 D1的面积为（ a
－ b ）2，结合图形可知（ a ＋ b ）2＞（ a － b ）2，且当 a ＝ b 时，
A1， B1， C1， D1四点重合，但是正方形 A1 B1 C1 D1的面积与4个长
方形的面积之和大小关系不定.因此C选项错误.
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12. （多选）已知 a ， b 为正实数，且 ab ＋2 a ＋ b ＝6，则（ ）
A. ab 的最大值为2
B. 2 a ＋ b 的最小值为4
C. a ＋ b 的最小值为3
D. ＋ 的最小值为
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解析： 因为6＝ ab ＋2 a ＋ b ≥ ab ＋2 ，当且仅当2 a ＝
b 时取等号，解得 ≤ ，即 ab ≤2，故 ab 的最大值为2，A正
确；由6＝ ab ＋2 a ＋ b 得 b ＝ ＝ －2，所以2 a ＋ b ＝2 a ＋
＝2（ a ＋1）＋ －4≥2 －4＝4，当且仅
当2（ a ＋1）＝ ，即 a ＝1时取等号，此时2 a ＋ b 取得最小值
4，B正确；
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a ＋ b ＝ a ＋ －2＝ a ＋1＋ －3≥4 －3，当且仅当 a ＋1＝ ，即 a ＝2 －1时取等号，C错误； ＋ ≥2 ＝2 ＝ ，当且仅当 a ＋1＝ b ＋2时取等号，此时 ＋ 取得最小值 ，D正确.故选A、B、D.
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13. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形
三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为 a ， b ，
c ，则三角形的面积 S 可由公式 S ＝ 求
得，其中 p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九
韶公式，现有一个三角形的边长满足 a ＝3， b ＋ c ＝5，则此三角
形面积的最大值为 .
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解析：由题意知， p ＝ （3＋5）＝4，则 S ＝
＝ ＝2
≤8－（ b ＋ c ）＝3，当且仅当4－ b ＝4－ c ，
即 b ＝ c 时等号成立，∴此三角形面积的最大值为3.
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14. 某人准备租一辆车出差，已知从出发点到目的地的距离为100
km，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100（单位：
km/h）之间.假设目前油价为7.2元/L，汽车的耗油率为
L/h，其中 x （单位：km/h）为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每
小时的耗油量.租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其
他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速 x 是多少？
（注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资）
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解：设总费用为 y 元.
由题意，得 y ＝76.4× ＋7.2× ×
＝ ＋2 x （40≤ x ≤100）.
因为 y ＝ ＋2 x ≥2 ＝280.
当且仅当 ＝2 x ，即 x ＝70时取等号.
所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为 70 km/h.
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15. 若 xy 是正数，则 ＋ 的最小值是（ ）
A. 3 B.
解析： ＋ ＝ x2＋ ＋ ＋ y2＋ ＋ ＝
＋ ＋ ≥1＋1＋2＝4，当且仅当 x ＝ y
＝ 或 x ＝ y ＝－ 时取等号.
C. 4 D.
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16. 某厂家拟在2024年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年
销售量（即该产品的年产量） x （单位：万件）与年促销费用 m
（ m ≥0，单位：万元）满足 x ＝3－ （ k 为常数），如果不举
行促销活动，该产品的年销售量是1万件.已知2024年生产该产品
的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂
家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品
成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.
（1）将2024年该产品的利润 y （单位：万元）表示为年促销费用
m 的函数；
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解：由题意，可知当 m ＝0时， x ＝1，
∴1＝3－ k ，解得 k ＝2，∴ x ＝3－ ，
又每件产品的销售价格为1.5× 元，
∴ y ＝ x －（8＋16 x ＋ m ）＝4＋8 x － m
＝4＋8 － m
＝－ ＋29（ m ≥0）.
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（2）该厂家2024年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？
解：∵ m ≥0， ＋（ m ＋1）≥2 ＝8，
当且仅当 ＝ m ＋1，
即 m ＝3时等号成立，
∴ y ≤－8＋29＝21，∴ ymax＝21.
故该厂家2024年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，
最大利润为21万元.
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