(共62张PPT)
4.1 一元二次函数
新课程标准解读 核心素养
1.掌握一元二次函数的图象及图象变换 直观想象
2.会求一元二次函数的最值及相关问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高度 y
（m）与水平距离 x （m）之间的函数关系式为 y ＝－ x2＋ x ＋ .
【问题】 （1）此函数是一元二次函数吗？
（2）当 x 满足什么条件时，图象在 x 轴的上方？
知识点一 一元二次函数的图象变换
1. 抛物线
通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.
2. 一元二次函数的图象变换
一元二次函数 y ＝ a （ x － h ）2＋ k 的图象可以由 y ＝ ax2的图象经过
向左（或向右）平移 个单位长度，再向上（或向下）平
移 个单位长度而得到.
提醒 一元二次函数图象变换：一元二次函数 y ＝ a （ x ＋ h ）2＋ k
（ a ≠0）， a 决定了函数图象的开口大小及方向； h 决定了函数图
象的左、右平移，而且“ h 正左移， h 负右移”； k 决定了函数图
象的上、下平移，而且“ k 正上移， k 负下移”.
｜ h ｜
｜ k ｜
知识点二 一元二次函数的性质
一元二次函数 y ＝ a （ x － h ）2＋ k （ a ≠0）有如下性质：
（1）函数 y ＝ a （ x － h ）2＋ k 的图象是一条抛物线，顶点坐标是
（ h ， k ），对称轴是直线 x ＝ h ；
（2）当 a ＞0时，抛物线开口向 ；在区间（－∞， h ]上，函数
值 y 随自变量 x 的增大而 ；在区间[ h ，＋∞）上，函数
值 y 随自变量 x 的增大而 ；函数在 x ＝ h 处有最小值，
记作 ymin＝ .
当 a ＜0时，抛物线开口向 ；在区间（－∞， h ]上，函数
值 y 随自变量 x 的增大而 ；在区间[ h ，＋∞）上，函数
值 y 随自变量 x 的增大而 ；函数在 x ＝ h 处有最大值，
记作 ymax＝ .
上
减小
增大
k
下
增大
减小
k
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） y ＝ ax2＋ bx ＋ c 是二次函数. （ × ）
（2）函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象一定与 y 轴相交. （ √ ）
（3）二次函数 y ＝2 x2与 y ＝－2 x2的图象开口大小相同，开口方向
相反. （ √ ）
×
√
√
2. 已知某一元二次函数的图象与函数 y ＝2 x2的图象的形状一样，开
口方向相反，且其顶点为（－1，3），则此函数的解析式为（ ）
A. y ＝2（ x －1）2＋3
B. y ＝2（ x ＋1）2＋3
C. y ＝－2（ x －1）2＋3
D. y ＝－2（ x ＋1）2＋3
解析： 设所求函数的解析式为 y ＝－2（ x ＋ h ）2＋ k ，根据顶
点为（－1，3），可得 h ＝1，且 k ＝3，故所求的函数解析式为 y
＝－2（ x ＋1）2＋3，故选D.
3. 将函数 y ＝2（ x ＋1）2－2向右平移 个单位长度，再向 平
移 个单位长度可得到函数 y ＝2 x2的图象.
解析：通过 y ＝2 x2→ y ＝2（ x ＋1）2－2反向分析，也可借助顶点
分析.
1
上
2
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 一元二次函数图象与变换
【例1】 在同一坐标系中作出下列函数的图象：
（1） y ＝ x2；（2） y ＝ x2－2；（3） y ＝2 x2－4 x .并分析如何把 y ＝
x2的图象变换成 y ＝2 x2－4 x 的图象.
解：列表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y ＝ x2 9 4 1 0 1 4 9
y ＝ x2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7
y ＝2 x2－4 x 30 16 6 0 －2 0 6
描点，连线即得相应函数的图象，如图
所示.
由图象可知由 y ＝ x2到 y ＝2 x2－4 x 的变
化过程如下.
法一 先把 y ＝ x2的图象向右平移1个单位长度得到 y ＝（ x －1）2的
图象，然后把 y ＝（ x －1）2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2
倍，得到 y ＝2（ x －1）2的图象，最后把 y ＝2（ x －1）2的图象向下
平移2个单位长度便可得到 y ＝2 x2－4 x 的图象.
法二 先把 y ＝ x2的图象向下平移1个单位长度得到 y ＝ x2－1的图象，
然后再把 y ＝ x2－1的图象向右平移1个单位长度得到 y ＝（ x －1）2－
1的图象，最后把 y ＝（ x －1）2－1的图象横坐标不变，纵坐标变为原
来的2倍，便可得到 y ＝2（ x －1）2－2，即 y ＝2 x2－4 x 的图象.
通性通法
任意一元二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）都可转化为 y ＝ a （ x
＋ h ）2＋ k 的形式，都可由 y ＝ ax2的图象经过适当的平移得到，具体
平移方法如图所示：
上述平移规律：“ h 值正、负，左、右移”，即“加时左移，减
时右移”；“ k 值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”.
【跟踪训练】
1. 将一元二次函数 y ＝5 x2的图象平移，得到一元二次函数 y ＝5（ x －
3）2－1的图象，下列平移方式中，正确的是（ ）
A. 先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B. 先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C. 先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D. 先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
解析： 将一元二次函数 y ＝5 x2的图象向右平移3个单位长度，
得到一元二次函数 y ＝5（ x －3）2的图象，再向下平移1个单位长
度得到 y ＝5（ x －3）2－1的图象.
2. 画出一元二次函数 y ＝ x2－6 x ＋21的图象.
解： y ＝ x2－6 x ＋21通过配方可化为 y ＝ （ x －6）2＋3，利用一
元二次函数图象的对称性列表：
x … 4 5 6 7 8 …
y … 5 3.5 3 3.5 5 …
描点，连线即得函数 y ＝ x2－6 x ＋21
的图象，如图所示.
题型二 一元二次函数图象的识别
【例2】 （多选）如图是一元二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 图象的一部
分，图象的对称轴为直线 x ＝－1.则下面四个结论正确的是（ ）
A. b2＞4 ac
B. 2 a － b ＝1
C. a － b ＋ c ＝0
D. 5 a ＜ b
解析： 易知一元二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象与 x 轴有两个交
点，所以 b2－4 ac ＞0，即 b2＞4 ac ，A正确；函数图象的对称轴为直
线 x ＝－1，则－ ＝－1，即2 a － b ＝0，B错误；结合图象可知，当
x ＝－1时， y ＞0，即 a － b ＋ c ＞0，C错误；由函数图象的对称轴为
直线 x ＝－1知， b ＝2 a ，因为5＞2， a ＜0，所以5 a ＜2 a ，即5 a ＜
b ，D正确.
通性通法
有关一元二次函数图象识别问题的解题思路
（1）对于一元二次函数图象的识别问题可以采用排除法，即抓住函
数图象的特征或特殊点，如图象的开口方向、顶点位置、对称
轴及与两坐标轴的交点所处的位置等作出判断；
（2）对于同一直角坐标系中两个含变量的函数图象问题，当函数中
含有一个变量时，常通过讨论变量对函数图象作出判断；当函
数中含有两个或两个以上的变量时，先在各选项中假设其中一
个函数的图象正确，由此确定变量的取值范围，再由变量的取
值范围确定另一个函数图象的位置，从而判断图象的正误.
【跟踪训练】
如图是一元二次函数：① y ＝ ax2；② y ＝ bx2；③ y ＝ cx2；④ y ＝ dx2的图象，则 a ， b ， c ， d 的大小关系为（ ）
A. a ＜ b ＜0＜ c ＜ d B. d ＜ c ＜0＜ a ＜ b
C. 0＜ a ＜ b ＜ c ＜ d D. a ＜ b ＜ c ＜ d ＜0
解析： 当二次项系数大于0时，一元二次函数的图象开口向上，当
二次项系数小于0时，一元二次函数的图象开口向下，所以由图象可
知 a 和 b 都大于0， c 和 d 都小于0，再根据二次项系数的绝对值越大，
开口越小可知 d ＜ c ＜0＜ a ＜ b .
题型三 一元二次函数的图象与性质
【例3】 已知一元二次函数 y ＝－2 x2＋4 x ＋3，请回答下列问题：
（1）试确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
解：∵ y ＝－2 x2＋4 x ＋3＝－2（ x －1）2＋5，
∴该一元二次函数的图象开口向下，对称轴是直线 x ＝1，顶点
坐标是（1，5）.
（2）指出函数 y ＝－2 x2＋4 x ＋3的图象是由函数 y ＝－2 x2的图象经
过怎样的变换得到的；
解：由（1）可知，将函数 y ＝－2 x2的图象先向右平移1个单位
长度，再向上平移5个单位长度，即可得到函数 y ＝－2 x2＋4 x ＋
3的图象.
（3）求函数值的变化趋势及函数的最值.
解：由（1）知，函数图象的开口向下，对称轴为直线 x ＝1，则
可得在区间（－∞，1]上，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大，
在区间[1，＋∞）上，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小.故函
数在 x ＝1处取得最大值5，即 ymax＝5，无最小值.
通性通法
“配方法”是研究一元二次函数的主要方法，对一个具体的一元
二次函数，我们对它进行配方，根据配方后得到的性质画函数的图
象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便，图
象更精确.
【跟踪训练】
1. 若 f （ x ）＝ x2－ ax ＋1有负值，则实数 a 的取值范围是（ ）
A. （－∞，－2] B. （－2，2）
C. （－∞，－2）∪（2，＋∞） D. （1，3）
解析： ∵ f （ x ）＝ x2－ ax ＋1有负值，∴Δ＝ a2－4＞0，则 a ＞
2或 a ＜－2.
2. 已知一元二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的图象经过原点且关
于直线 x ＝2对称，在[0，2]上 y 随 x 的增大而增大，则 y ≥0的解集
是（ ）
A. [0，＋∞） B. （－∞，0）
C. [0，4] D. （－∞，0）∪[4，＋∞）
解析： 由已知得在[2，4]上， y 随 x 的增大而减
小，且 x ＝4时， y ＝0，作出函数的大致图象，如图
所示，由图可知，当0≤ x ≤4时， y ≥0.
1. 将抛物线 y ＝ x2＋1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位
长度，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A. y ＝（ x ＋2）2＋4 B. y ＝（ x －2）2－2
C. y ＝（ x －2）2＋4 D. y ＝（ x ＋2）2－2
解析： ∵一元二次函数解析式为 y ＝ x2＋1，∴顶点坐标为
（0，1）.将其顶点坐标向左平移2个单位长度，再向下平移3个单
位长度得到新的顶点坐标为（－2，－2），可设新函数的解析式为
y ＝（ x － h ）2＋ k ，代入新的顶点坐标得 y ＝（ x ＋2）2－2.
2. 下列一元二次函数的图象通过平移能与一元二次函数 y ＝ x2－2 x －
1的图象重合的是（ ）
A. y ＝2 x2－ x ＋1
B. y ＝ x2＋2 x ＋1
解析： ∵经过平移后能与一元二次函数 y ＝ x2－2 x －1的图象重
合，∴ a ＝1，观察选项，只有选项B符合题意.
3. 一元一次函数 y ＝ ax ＋ b 与一元二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 在同一平
面直角坐标系中的图象大致是（ ）
解析： 对于选项A，一元一次函数中的 a ＞0与一元二次函数中
的 a ＜0矛盾；对于选项B，一元一次函数中的 a ＞0， b ＞0与一元
二次函数中的 x ＝－ ＞0矛盾；对于选项D，一元一次函数中的 a
＜0与一元二次函数中的 a ＞0矛盾.
4. 已知函数 y ＝ x2＋ mx ＋1，在区间[1，＋∞）上函数值 y 随自变量 x
的增大而增大，则实数 m 的取值范围为 .
解析： y ＝ x2＋ mx ＋1的图象的对称轴为直线 x ＝－ ，由题意，
可得－ ≤1，解得 m ≥－2.
[－2，＋∞）
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 二次函数 y ＝2 x2的图象向上平移2个单位长度，再向右平移1个单
位长度，所得图象对应的函数表达式为（ ）
A. y ＝2（ x ＋1）2＋2 B. y ＝2（ x －1）2＋2
C. y ＝2（ x ＋1）2－2 D. y ＝2（ x －1）2－2
解析： 将二次函数 y ＝2 x2的图象向上平移2个单位长度得到函
数 y ＝2 x2＋2的图象，再向右平移1个单位长度得函数 y ＝2（ x －
1）2＋2的图象，故选B.
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2. 已知函数 y ＝ ax2＋ bx ＋1（ a ≠0）的图象的对称轴是直线 x ＝1，
并且函数的图象经过点 A （－1，7），则 a ， b 的值分别是（ ）
A. 2，4 B. －2，4
C. 2，－4 D. －2，－4
解析： 由题意，可得 故选C.
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3. 将函数图象上的所有点向左平移一个单位长度，再向下平移两个单
位长度得到的函数解析式为 y ＝2 x2＋7 x ＋4，则原函数的解析式为
（ ）
A. y ＝2 x2＋11 x ＋11
B. y ＝2 x2＋3 x ＋7
C. y ＝2 x2＋3 x ＋1
D. y ＝2 x2＋11 x ＋5
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解析： 可设原函数为 y ＝ g （ x ），根据将 y ＝ g （ x ）函数图象
上的所有点向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度得到
y ＝2 x2＋7 x ＋4的图象，那么将 y ＝2 x2＋7 x ＋4函数的图象上所有
点向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度可得到 y ＝ g
（ x ）的图象，所以 g （ x ）＝2（ x －1）2＋7（ x －1）＋4＋2，化
简可得 g （ x ）＝2 x2＋3 x ＋1，故选C.
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4. 二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的图象如图所示，则下列结
论：① a ＞0；② c ＞0；③ b2－4 ac ＞0，其中正确的个数是（ ）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析： 由图象可知开口向下， a ＜0，所以①错误；图象与 y 轴
交于正半轴，可知 c ＞0，所以②正确；图象与 x 轴有两个交点，可
得 b2－4 ac ＞0，所以③正确，所以正确的有2个，故选C.
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5. （多选）若所求的一元二次函数图象与一元二次函数 y ＝2 x2－4 x
－1有相同的顶点，则所求一元二次函数可以为（ ）
A. y ＝－ x2＋2 x ＋4
B. y ＝－ x2－2 x －3
C. y ＝－5 x2＋10 x －8
D. y ＝ x2－2 x －2
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解析： 因为 y ＝2 x2－4 x －1＝2（ x －1）2－3， y ＝－ x2＋2 x
＋4＝－（ x －1）2＋5， y ＝－ x2－2 x －3＝－（ x ＋1）2－2， y ＝
－5 x2＋10 x －8＝－5（ x －1）2－3， y ＝ x2－2 x －2＝（ x －1）2－
3，所以所求一元二次函数可以为选项C、D中的函数.
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6. （多选）在平面直角坐标系中，对于一元二次函数 y ＝（ x －2）2
＋1，下列说法中正确的是（ ）
A. y 的最小值为1
B. 图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线 x ＝2
C. 当 x ＜2时， y 的值随 x 值的增大而增大，当 x ≥2时， y 的值随 x 值
的增大而减小
D. 它的图象可以由 y ＝ x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1
个单位长度得到
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解析： 一元二次函数 y ＝（ x －2）2＋1， a ＝1＞0，∴该函
数的图象开口向上，对称轴为直线 x ＝2，顶点坐标为（2，1），
当 x ＝2时， y 有最小值1，当 x ≥2时， y 的值随 x 值的增大而增大，
当 x ＜2时， y 的值随 x 值的增大而减小；故选项A、B的说法正确，
C的说法错误；根据平移的规律， y ＝ x2的图象向右平移2个单位长
度得到 y ＝（ x －2）2的图象，再向上平移1个单位长度得到 y ＝（ x
－2）2＋1的图象，故选项D的说法正确.
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7. 将二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象向左平移2个单位长度，再向上
平移3个单位长度，便得到函数 y ＝ x2－2 x ＋1的图象，则 a ＝ ，
b ＝ ， c ＝ .
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解析：∵函数 y ＝ x2－2 x ＋1可变形为 y ＝（ x －1）2，∴抛物线 y
＝ x2－2 x ＋1的顶点坐标为（1，0）.根据题意把此抛物线反向平
移，得到抛物线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象，即把抛物线 y ＝ x2－2 x ＋
1向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度就可得到抛物线
y ＝ ax2＋ bx ＋ c ，此时顶点（1，0）平移至（3，－3）处.∴抛物
线 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的顶点是（3，－3），即 y ＝（ x －3）2－3＝ x2
－6 x ＋6，∴ a ＝1， b ＝－6， c ＝6.
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8. 已知 x ∈（－2，5），则 y ＝（2＋ x ）（5－ x ）的最大值为 .
解析：由题意，函数 y ＝（2＋ x ）（5－ x ）图象开口向下，且对
称轴为 x ＝ ＝ ，所以当 x ＝ 时， ymax＝ ＝ .
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9. 已知函数 y ＝－ x2＋4 x ＋ t 图象的顶点在 x 轴上，则实数 t 的值是
.
解析：因为函数图象的顶点在 x 轴上，所以Δ＝16－4×（－1）× t
＝0，得 t ＝－4.
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10. 已知一元二次函数 y ＝－ （ x ＋1）2－1.
（1）画出这个函数的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点；
解：图象如图所示，抛物线 y ＝－ （ x ＋1）2－1的开口向下、对称轴是直线 x ＝－1，顶点坐标是（－1，－1）.
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解： 把抛物线 y ＝－ x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，就得到抛物线 y ＝－ （ x ＋1）2－1.
（2）抛物线 y ＝－ x2经过怎样的变换可以得到抛物线 y ＝－
（ x ＋1）2－1.
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11. 已知函数 y ＝ ax2＋ bx ＋3，在（－∞，－1]上函数值 y 随自变量 x
的增大而增大，在[－1，＋∞）上函数值 y 随自变量 x 的增大而减
小，则（ ）
A. b ＞0且 a ＜0 B. b ＝2 a ＜0
C. b ＝2 a ＞0 D. a ， b 的正负不定
解析： 由函数值的变化趋势，可知函数为一元二次函数，且
其图象开口向下，对称轴为直线 x ＝－1，∴∴ b ＝
2 a ＜0.
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12. 已知抛物线 y ＝ x2－4 x ＋3，当0≤ x ≤ m 时， y 的最小值为－1，
最大值为3，则 m 的取值范围为（ ）
A. [2，＋∞） B. [0，2]
C. [2，4] D. （－∞，4]
解析： ∵ y ＝ x2－4 x ＋3＝（ x －2）2－1，∴当 x ＝2时， y 取
得最小值，最小值为－1；当 y ＝3时，有 x2－4 x ＋3＝3，解得 x1
＝0， x2＝4，∴当 x ＝0或4时， y ＝3.又∵当0≤ x ≤ m 时， y 的最
小值为－1，最大值为3，∴2≤ m ≤4.
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13. 若函数 y ＝ ax2＋2 x －4的图象位于 x 轴下方，则实数 a 的取值范围
是 .
解析：当 a ＝0时，函数 y ＝2 x －4表示一条直线，不满足题意；
当 a ≠0时，要使函数 y ＝ ax2＋2 x －4的图象位于 x 轴下方，则需
满足 a ＜0且Δ＝22－4 a ×（－4）＜0，解得 a ＜－ .综上，实数 a
的取值范围是 .
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14. 已知函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c （ a ≠0）的图象与 x 轴有两个不同的交
点 A （ x1，0）， B （ x2，0），且 ＋ ＝ .若该函数的图象
是由 y ＝－3（ x －1）2的图象向上平移 k 个单位长度得到的，求实
数 k 的值，并写出此函数的解析式.
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解：由题意可知所求函数的解析式为 y ＝－3（ x －1）2＋ k ，即 y
＝－3 x2＋6 x －3＋ k .
由题意，得 x1＋ x2＝2， x1 x2＝ .
又 ＋ ＝（ x1＋ x2）2－2 x1 x2＝ ，
所以4－ ＝ ，解得 k ＝ ，
所以该函数的解析式为 y ＝－3（ x －1）2＋ ，
即 y ＝－3 x2＋6 x － .
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15. 某班“数学兴趣小组”对函数 y ＝ x2－2｜ x ｜的图象和性质进行
了探究，探究过程如下：
（1）自变量 x 的取值范围是全体实数， x 与 y 的几组对应值如
表：
x … －3 －2 －1 0 1 2 3 …
y … 3 m －1 0 －1 0 3 …
其中， m ＝ ；
0
解析： x ＝－2时， m ＝（－2）2－2｜－2｜＝0.
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解析：图象如图所示.
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画
出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象剩下的部分；
答案：见解析图
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（3）观察函数图象，写出一条性质：
；
解析：由函数图象知： x ＞1时， y
随 x 的增大而增大；函数图象关于 y 轴对
称（答案不唯一）.
当 x ＞1时， y 随 x 的增大而
增大（答案不唯一）
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②关于 x 的方程 x2－2｜ x ｜＝ a 有4个实数根时， a 的取值范
围是 .
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程 x2－2｜ x ｜＝0有 个实数根；
3
（－1，0）
解析：①由图知：图象与 x 轴有三个交点，所以方程 x2－2｜ x ｜＝0有3个实数根.
②由函数图象知：关于 x 的方程 x2－2｜ x ｜＝ a 有4个实数根时， a 的取值范围是（－1，0）.
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16. 是否存在实数 a ，使函数 y ＝ x2－2 ax ＋ a 在区间[－1，1]上的取
值范围为[－2，2]？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由.
解：存在，理由如下： y ＝ x2－2 ax ＋ a ＝（ x － a ）2＋ a － a2.
当 a ＜－1时，函数在 [－1，1]上 y 随 x 的增大而增大，
∴
解得 a ＝－1（舍去）；
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当－1≤ a ≤0时，解得 a ＝－1；
当0＜ a ≤1时， a 不存在；
当 a ＞1时，函数在[－1，1]上 y 随 x 的增大而减小，
∴ a 不存在；
综上可知存在实数 a ＝－1满足题意.
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谢 谢 观 看！4.1 一元二次函数
1.二次函数y＝2x2的图象向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式为（ ）
A.y＝2（x＋1）2＋2 B.y＝2（x－1）2＋2
C.y＝2（x＋1）2－2 D.y＝2（x－1）2－2
2.已知函数y＝ax2＋bx＋1（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，并且函数的图象经过点A（－1，7），则a，b的值分别是（ ）
A.2，4 B.－2，4
C.2，－4 D.－2，－4
3.将函数图象上的所有点向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度得到的函数解析式为y＝2x2＋7x＋4，则原函数的解析式为（ ）
A.y＝2x2＋11x＋11 B.y＝2x2＋3x＋7
C.y＝2x2＋3x＋1 D.y＝2x2＋11x＋5
4.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①a＞0；②c＞0；③b2－4ac＞0，其中正确的个数是（ ）
A.0 B.1
C.2 D.3
5.（多选）若所求的一元二次函数图象与一元二次函数y＝2x2－4x－1有相同的顶点，则所求一元二次函数可以为（ ）
A.y＝－x2＋2x＋4 B.y＝－x2－2x－3
C.y＝－5x2＋10x－8 D.y＝x2－2x－2
6.（多选）在平面直角坐标系中，对于一元二次函数y＝（x－2）2＋1，下列说法中正确的是（ ）
A.y的最小值为1
B.图象顶点坐标为（2，1），对称轴为直线x＝2
C.当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小
D.它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到
7.将二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，便得到函数y＝x2－2x＋1的图象，则a＝ ，b＝ ，c＝ .
8.已知x∈（－2，5），则y＝（2＋x）（5－x）的最大值为 .
9.已知函数y＝－x2＋4x＋t图象的顶点在x轴上，则实数t的值是 .
10.已知一元二次函数y＝－（x＋1）2－1.
（1）画出这个函数的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点；
（2）抛物线y＝－x2经过怎样的变换可以得到抛物线y＝－（x＋1）2－1.
11.已知函数y＝ax2＋bx＋3，在（－∞，－1]上函数值y随自变量x的增大而增大，在[－1，＋∞）上函数值y随自变量x的增大而减小，则（ ）
A.b＞0且a＜0 B.b＝2a＜0
C.b＝2a＞0 D.a，b的正负不定
12.已知抛物线y＝x2－4x＋3，当0≤x≤m时，y的最小值为－1，最大值为3，则m的取值范围为（ ）
A.[2，＋∞） B.[0，2]
C.[2，4] D.（－∞，4]
13.若函数y＝ax2＋2x－4的图象位于x轴下方，则实数a的取值范围是 .
14.已知函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴有两个不同的交点A（x1，0），B（x2，0），且＋＝.若该函数的图象是由y＝－3（x－1）2的图象向上平移k个单位长度得到的，求实数k的值，并写出此函数的解析式.
15.某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2－2｜x｜的图象和性质进行了探究，探究过程如下：
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如表：
x … －3 － －2 －1 0 1 2 3 …
y … 3 m －1 0 －1 0 3 …
其中，m＝ ；
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请你画出该函数图象剩下的部分；
（3）观察函数图象，写出一条性质： ；
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程x2－2｜x｜＝0有 个实数根；
②关于x的方程x2－2｜x｜＝a有4个实数根时，a的取值范围是 .
16.是否存在实数a，使函数y＝x2－2ax＋a在区间[－1，1]上的取值范围为[－2，2]？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
4.1 一元二次函数
1.B 将二次函数y＝2x2的图象向上平移2个单位长度得到函数y＝2x2＋2的图象，再向右平移1个单位长度得函数y＝2（x－1）2＋2的图象，故选B.
2.C 由题意，可得 故选C.
3.C 可设原函数为y＝g（x），根据将y＝g（x）函数图象上的所有点向左平移一个单位长度，再向下平移两个单位长度得到y＝2x2＋7x＋4的图象，那么将y＝2x2＋7x＋4函数的图象上所有点向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度可得到y＝g（x）的图象，所以g（x）＝2（x－1）2＋7（x－1）＋4＋2，化简可得g（x）＝2x2＋3x＋1，故选C.
4.C 由图象可知开口向下，a＜0，所以①错误；图象与y轴交于正半轴，可知c＞0，所以②正确；图象与x轴有两个交点，可得b2－4ac＞0，所以③正确，所以正确的有2个，故选C.
5.CD 因为y＝2x2－4x－1＝2（x－1）2－3，y＝－x2＋2x＋4＝－（x－1）2＋5，y＝－x2－2x－3＝－（x＋1）2－2，y＝－5x2＋10x－8＝－5（x－1）2－3，y＝x2－2x－2＝（x－1）2－3，所以所求一元二次函数可以为选项C、D中的函数.
6.ABD 一元二次函数y＝（x－2）2＋1，a＝1＞0，∴该函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1），当x＝2时，y有最小值1，当x≥2时，y的值随x值的增大而增大，当x＜2时，y的值随x值的增大而减小；故选项A、B的说法正确，C的说法错误；根据平移的规律，y＝x2的图象向右平移2个单位长度得到y＝（x－2）2的图象，再向上平移1个单位长度得到y＝（x－2）2＋1的图象，故选项D的说法正确.
7.1 －6 6 解析：∵函数y＝x2－2x＋1可变形为y＝（x－1）2，∴抛物线y＝x2－2x＋1的顶点坐标为（1，0）.根据题意把此抛物线反向平移，得到抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，即把抛物线y＝x2－2x＋1向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度就可得到抛物线y＝ax2＋bx＋c，此时顶点（1，0）平移至（3，－3）处.∴抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是（3，－3），即y＝（x－3）2－3＝x2－6x＋6，∴a＝1，b＝－6，c＝6.
8. 解析：由题意，函数y＝（2＋x）（5－x）图象开口向下，且对称轴为x＝＝，所以当x＝时，ymax＝（2＋）（5－）＝.
9.－4 解析：因为函数图象的顶点在x轴上，所以Δ＝16－4×（－1）×t＝0，得t＝－4.
10.解：（1）图象如图所示，抛物线y＝－（x＋1）2－1的开口向下、对称轴是直线x＝－1，顶点坐标是（－1，－1）.
（2）把抛物线y＝－x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，就得到抛物线y＝－（x＋1）2－1.
11.B 由函数值的变化趋势，可知函数为一元二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝－1，∴∴b＝2a＜0.
12.C ∵y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，∴当x＝2时，y取得最小值，最小值为－1；当y＝3时，有x2－4x＋3＝3，解得x1＝0，x2＝4，∴当x＝0或4时，y＝3.又∵当0≤x≤m时，y的最小值为－1，最大值为3，∴2≤m≤4.
13. 解析：当a＝0时，函数y＝2x－4表示一条直线，不满足题意；当a≠0时，要使函数y＝ax2＋2x－4的图象位于x轴下方，则需满足a＜0且Δ＝22－4a×（－4）＜0，解得a＜－.综上，实数a的取值范围是.
14.解：由题意可知所求函数的解析式为y＝－3（x－1）2＋k，即y＝－3x2＋6x－3＋k.
由题意，得x1＋x2＝2，x1x2＝.
又＋＝（x1＋x2）2－2x1x2＝，
所以4－＝，解得k＝，
所以该函数的解析式为y＝－3（x－1）2＋，
即y＝－3x2＋6x－.
15.（1）0 （2）见解析图 （3）当x＞1时，y随x的增大而增大（答案不唯一） （4）①3 ②（－1，0）
解析：（1）x＝－2时，m＝（－2）2－2｜－2｜＝0.
（2）图象如图所示.
（3）由函数图象知：x＞1时，y随x的增大而增大；函数图象关于y轴对称（答案不唯一）.
（4）①由图知：图象与x轴有三个交点，所以方程x2－2｜x｜＝0有3个实数根.
②由函数图象知：关于x的方程x2－2｜x｜＝a有4个实数根时，a的取值范围是（－1，0）.
16.解：存在，理由如下：y＝x2－2ax＋a＝（x－a）2＋a－a2.
当a＜－1时，函数在 [－1，1]上y随x的增大而增大，∴解得a＝－1（舍去）；
当－1≤a≤0时，解得a＝－1；
当0＜a≤1时，a不存在；
当a＞1时，函数在[－1，1]上y随x的增大而减小，
∴a不存在；
综上可知存在实数a＝－1满足题意.
2 / 24.1 一元二次函数
新课程标准解读 核心素养
1.掌握一元二次函数的图象及图象变换 直观想象
2.会求一元二次函数的最值及相关问题 数学运算
某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式为y＝－x2＋x＋.
【问题】 （1）此函数是一元二次函数吗？
（2）当x满足什么条件时，图象在x轴的上方？
知识点一 一元二次函数的图象变换
1.抛物线
通常把一元二次函数的图象叫作抛物线.
2.一元二次函数的图象变换
一元二次函数y＝a（x－h）2＋k的图象可以由y＝ax2的图象经过向左（或向右）平移 个单位长度，再向上（或向下）平移 个单位长度而得到.
提醒 一元二次函数图象变换：一元二次函数y＝a（x＋h）2＋k（a≠0），a决定了函数图象的开口大小及方向；h决定了函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”.
知识点二 一元二次函数的性质
一元二次函数y＝a（x－h）2＋k（a≠0）有如下性质：
（1）函数y＝a（x－h）2＋k的图象是一条抛物线，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h；
（2）当a＞0时，抛物线开口向 ；在区间（－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而 ；在区间[h，＋∞）上，函数值y随自变量x的增大而 ；函数在x＝h处有最小值，记作ymin＝ .
当a＜0时，抛物线开口向 ；在区间（－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而 ；在区间[h，＋∞）上，函数值y随自变量x的增大而 ；函数在x＝h处有最大值，记作ymax＝ .
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）y＝ax2＋bx＋c是二次函数.（ ）
（2）函数y＝ax2＋bx＋c的图象一定与y轴相交.（ ）
（3）二次函数y＝2x2与y＝－2x2的图象开口大小相同，开口方向相反.（ ）
2.已知某一元二次函数的图象与函数y＝2x2的图象的形状一样，开口方向相反，且其顶点为（－1，3），则此函数的解析式为（ ）
A.y＝2（x－1）2＋3
B.y＝2（x＋1）2＋3
C.y＝－2（x－1）2＋3
D.y＝－2（x＋1）2＋3
3.将函数y＝2（x＋1）2－2向右平移 个单位长度，再向 平移 个单位长度可得到函数y＝2x2的图象.
题型一 一元二次函数图象与变换
【例1】 在同一坐标系中作出下列函数的图象：
（1）y＝x2；（2）y＝x2－2；（3）y＝2x2－4x.并分析如何把y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象.
尝试解答
通性通法
任意一元二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）都可转化为y＝a（x＋h）2＋k的形式，都可由y＝ax2的图象经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示：
上述平移规律：“h值正、负，左、右移”，即“加时左移，减时右移”；“k值正、负，上、下移”，即“加时上移，减时下移”.
【跟踪训练】
1.将一元二次函数y＝5x2的图象平移，得到一元二次函数y＝5（x－3）2－1的图象，下列平移方式中，正确的是（ ）
A.先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C.先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D.先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
2.画出一元二次函数y＝x2－6x＋21的图象.
题型二 一元二次函数图象的识别
【例2】 （多选）如图是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象的对称轴为直线x＝－1.则下面四个结论正确的是（ ）
A.b2＞4ac B.2a－b＝1
C.a－b＋c＝0 D.5a＜b
尝试解答
通性通法
有关一元二次函数图象识别问题的解题思路
（1）对于一元二次函数图象的识别问题可以采用排除法，即抓住函数图象的特征或特殊点，如图象的开口方向、顶点位置、对称轴及与两坐标轴的交点所处的位置等作出判断；
（2）对于同一直角坐标系中两个含变量的函数图象问题，当函数中含有一个变量时，常通过讨论变量对函数图象作出判断；当函数中含有两个或两个以上的变量时，先在各选项中假设其中一个函数的图象正确，由此确定变量的取值范围，再由变量的取值范围确定另一个函数图象的位置，从而判断图象的正误.
【跟踪训练】
如图是一元二次函数：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2的图象，则a，b，c，d的大小关系为（ ）
A.a＜b＜0＜c＜d
B.d＜c＜0＜a＜b
C.0＜a＜b＜c＜d
D.a＜b＜c＜d＜0
题型三 一元二次函数的图象与性质
【例3】 已知一元二次函数y＝－2x2＋4x＋3，请回答下列问题：
（1）试确定该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）指出函数y＝－2x2＋4x＋3的图象是由函数y＝－2x2的图象经过怎样的变换得到的；
（3）求函数值的变化趋势及函数的最值.
尝试解答
通性通法
“配方法”是研究一元二次函数的主要方法，对一个具体的一元二次函数，我们对它进行配方，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便，图象更精确.
【跟踪训练】
1.若f（x）＝x2－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是（ ）
A.（－∞，－2]
B.（－2，2）
C.（－∞，－2）∪（2，＋∞）
D.（1，3）
2.已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过原点且关于直线x＝2对称，在[0，2]上y随x的增大而增大，则y≥0的解集是（ ）
A.[0，＋∞）
B.（－∞，0）
C.[0，4]
D.（－∞，0）∪[4，＋∞）
1.将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的新抛物线的表达式为（ ）
A.y＝（x＋2）2＋4 B.y＝（x－2）2－2
C.y＝（x－2）2＋4 D.y＝（x＋2）2－2
2.下列一元二次函数的图象通过平移能与一元二次函数y＝x2－2x－1的图象重合的是（ ）
A.y＝2x2－x＋1 B.y＝x2＋2x＋1
C.y＝x2－2x－1 D.y＝x2＋2x＋1
3.一元一次函数y＝ax＋b与一元二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）
4.已知函数y＝x2＋mx＋1，在区间[1，＋∞）上函数值y随自变量x的增大而增大，则实数m的取值范围为 .
4.1 一元二次函数
【基础知识·重落实】
知识点一
2.｜h｜ ｜k｜
知识点二
（2）上 减小 增大 k 下 增大 减小 k
自我诊断
1.（1）× （2）√ （3）√
2.D 设所求函数的解析式为y＝－2（x＋h）2＋k，根据顶点为（－1，3），可得h＝1，且k＝3，故所求的函数解析式为y＝－2（x＋1）2＋3，故选D.
3.1 上 2 解析：通过y＝2x2→y＝2（x＋1）2－2反向分析，也可借助顶点分析.
【典型例题·精研析】
【例1】 解：列表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3
y＝x2 9 4 1 0 1 4 9
y＝x2－2 7 2 －1 －2 －1 2 7
y＝2x2－4x 30 16 6 0 －2 0 6
描点，连线即得相应函数的图象，如图所示.
由图象可知由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下.
法一 先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝（x－1）2的图象，然后把y＝（x－1）2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2（x－1）2的图象，最后把y＝2（x－1）2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图象.
法二 先把y＝x2的图象向下平移1个单位长度得到y＝x2－1的图象，然后再把y＝x2－1的图象向右平移1个单位长度得到y＝（x－1）2－1的图象，最后把y＝（x－1）2－1的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y＝2（x－1）2－2，即y＝2x2－4x的图象.
跟踪训练
1.D 将一元二次函数y＝5x2的图象向右平移3个单位长度，得到一元二次函数y＝5（x－3）2的图象，再向下平移1个单位长度得到y＝5（x－3）2－1的图象.
2.解：y＝x2－6x＋21通过配方可化为y＝（x－6）2＋3，利用一元二次函数图象的对称性列表：
x … 4 5 6 7 8 …
y … 5 3.5 3 3.5 5 …
描点，连线即得函数y＝x2－6x＋21的图象，如图所示.
【例2】 AD 易知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；函数图象的对称轴为直线x＝－1，则－＝－1，即2a－b＝0，B错误；结合图象可知，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由函数图象的对称轴为直线x＝－1知，b＝2a，因为5＞2，a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确.
跟踪训练
B 当二次项系数大于0时，一元二次函数的图象开口向上，当二次项系数小于0时，一元二次函数的图象开口向下，所以由图象可知a和b都大于0，c和d都小于0，再根据二次项系数的绝对值越大，开口越小可知d＜c＜0＜a＜b.
【例3】 解：（1）∵y＝－2x2＋4x＋3＝－2（x－1）2＋5，
∴该一元二次函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，5）.
（2）由（1）可知，将函数y＝－2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，即可得到函数y＝－2x2＋4x＋3的图象.
（3）由（1）知，函数图象的开口向下，对称轴为直线x＝1，则可得在区间（－∞，1]上，函数值y随自变量x的增大而增大，在区间[1，＋∞）上，函数值y随自变量x的增大而减小.故函数在x＝1处取得最大值5，即ymax＝5，无最小值.
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1.C ∵f（x）＝x2－ax＋1有负值，∴Δ＝a2－4＞0，则a＞2或a＜－2.
2.C 由已知得在[2，4]上，y随x的增大而减小，且x＝4时，y＝0，作出函数的大致图象，如图所示，由图可知，当0≤x≤4时，y≥0.
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1.D ∵一元二次函数解析式为y＝x2＋1，∴顶点坐标为（0，1）.将其顶点坐标向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到新的顶点坐标为（－2，－2），可设新函数的解析式为y＝（x－h）2＋k，代入新的顶点坐标得y＝（x＋2）2－2.
2.B ∵经过平移后能与一元二次函数y＝x2－2x－1的图象重合，∴a＝1，观察选项，只有选项B符合题意.
3.C 对于选项A，一元一次函数中的a＞0与一元二次函数中的a＜0矛盾；对于选项B，一元一次函数中的a＞0，b＞0与一元二次函数中的x＝－＞0矛盾；对于选项D，一元一次函数中的a＜0与一元二次函数中的a＞0矛盾.
4.[－2，＋∞） 解析：y＝x2＋mx＋1的图象的对称轴为直线x＝－，由题意，可得－≤1，解得m≥－2.
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