(共63张PPT)
4.2 一元二次不等式及其解法
新课程标准解读 核心素养
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实
数根的存在性及实数根的个数 数学抽象、
直观想象、
逻辑推理
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，
了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函
数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不
等式的解集 数学抽象、
数学运算
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与
相应函数、方程的联系 直观想象、
数学建模
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
城市人口的急剧增加使车辆日益增多，
需要通过修建立交桥和高架道路，以提高车速和通过能力.城市环线
和高速公路网的连结也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导，
保证交通的畅通.城市立交桥已成为现代化城市的重要标志.为了保证
安全，交通部门规定，在立交桥的某地段的运行汽车的车距 d 正比于
速度 v 的平方与车身长（单位：m）的积，且车距不得少于半个车
身，假定车身长均为 l （单位：m），当车速为60（单位：km/h）
时，车距为1.44个车身长.
【问题】 在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量
最大？
知识点一 一元二次不等式的概念
1. 定义：形如 ，或 ，或 ax2＋
bx ＋ c ≥0，或 ax2＋ bx ＋ c ≤0（其中 x 为未知数， a ， b ， c 均为常
数，且 a ≠0）的不等式叫作一元二次不等式.
2. 解集：使一元二次不等式成立的 的值组成的集合叫
作这个一元二次不等式的解集.
ax2＋ bx ＋ c ＞0
ax2＋ bx ＋ c ＜0
所有未知数
提醒 一元二次不等式概念中的关键词：①一元，即只含一个未知
数，其他元素均为常数（或参数）；
②二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.
知识点二 “三个二次”之间的关系
判别式Δ＝ b2－4
ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程 ax2＋ bx ＋
c ＝0（ a ＞0）
的实数根 有两个相异的实
数根 x1， x2（ x1
＜ x2） 有两个相等的实
数根 x1＝ x2
＝ 没有实数根
－
判别式Δ＝ b2－4
ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
一元二次函数 y
＝ ax2＋ bx ＋ c
（ a ＞0）的图
象
ax2＋ bx ＋ c ＞0
（ a ＞0）的解
集 { x ｜ x ＜ x1或 x
＞ x2} R
【想一想】
当Δ＝0时，不等式 ax2＋ bx ＋ c ≥0（ a ＞0）与 ax2＋ bx ＋ c ≤0（ a ＞
0）的解集分别是什么？
提示：R， .
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） mx2－5 x ＜0是一元二次不等式. （ × ）
（2）若 a ＞0，则一元二次不等式 ax2＋1＞0无解. （ × ）
（3）若一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两根为 x1， x2（ x1＜ x2），
则一元二次不等式 ax2＋ bx ＋ c ＜0的解集为{ x ｜ x1＜ x ＜ x2}.
（ × ）
（4）不等式 x2－2 x ＋3＞0的解集为R. （ √ ）
×
×
×
√
2. （2024·镇江月考）不等式3＋5 x －2 x2≤0的解集为（ C ）
D. R
C
3. 不等式 x2－2 x －5＞2 x 的解集是 .
{ x ｜ x ＞5或 x ＜－1}
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 不含参数的一元二次不等式的解法
【例1】 求下列不等式的解集：
（1）2 x2＋7 x ＋3＞0；
解：因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2 x2＋7 x ＋3＝0有
两个不等实根 x1＝－3， x2＝－ .又一元二次函数 y ＝2 x2＋7 x ＋
3的图象开口向上，所以原不等式的解集为 .
（2）－4 x2＋18 x － ≥0；
解：原不等式可化为 ≤0，所以原不等式的解集为
.
（3）－2 x2＋3 x －2＜0.
解：原不等式可化为2 x2－3 x ＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7
＜0，所以方程2 x2－3 x ＋2＝0无实根，又一元二次函数 y ＝2 x2
－3 x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
通性通法
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
（1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，二次项系数
为正；
（2）判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方
程的判别式；
（3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程
有无实根；
（4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的
草图；
（5）写解集：根据图象写出不等式的解集.
【跟踪训练】
1. 不等式 x （ x －9）＜ x －21的解集为（ ）
A. （3，7） B. （－∞，3）∪（7，＋∞）
C. （－7，－3） D. （－∞，－7）∪（－3，＋∞）
解析： x （ x －9）＜ x －21，即 x2－10 x ＋21＜0，即（ x －3）
（ x －7）＜0，解得3＜ x ＜7.故选A.
2. 下列四个不等式中解集为R的是（ ）
A. － x2＋ x ＋1≥0
C. x2＋6 x ＋10＞0 D. 2 x2－3 x ＋4＜0
解析： 利用“Δ”判断，在不等式 x2＋6 x ＋10＞0中，Δ＝62－
40＜0，∴不等式 x2＋6 x ＋10＞0的解集为R，其他可类似判断.故
选C.
题型二 含参数的一元二次不等式的解法
【例2】 解关于 x 的不等式： x2－2 ax ＋2≤0（ a ∈R）.
解：因为Δ＝4 a2－8，当Δ＜0，即－ ＜ a ＜ 时，原不等式对应
的方程无实根.又一元二次函数 y ＝ x2－2 ax ＋2的图象开口向上，所以
原不等式的解集为 .
当Δ＝0，即 a ＝± 时，原不等式对应的方程有两个相等实根.
当 a ＝ 时，原不等式的解集为 ；
当 a ＝－ 时，原不等式的解集为 .
当Δ＞0，即 a ＞ 或 a ＜－ 时，原不等式对应的方程有两个不等
实根，分别为 x1＝ a － ， x2＝ a ＋ ，且 x1＜ x2，所以
原不等式的解集为{ x ｜ a － ≤ x ≤ a ＋ }.
综上所述，当－ ＜ a ＜ 时，原不等式的解集为 ；
当 a ＝ 时，原不等式的解集为{ x ｜ x ＝ }；
当 a ＝－ 时，原不等式的解集为{ x ｜ x ＝－ }；
当 a ＞ 或 a ＜－ 时，原不等式的解集为{ x ｜ a － ≤ x ≤
a ＋ }.
通性通法
含参数的一元二次不等式的解法
【跟踪训练】
解关于 x 的不等式： ax2－2≥2 x － ax （ a ＜0）.
解：原不等式移项得 ax2＋（ a －2） x －2≥0，化简为（ x ＋1）（ ax
－2）≥0.
∵ a ＜0，∴（ x ＋1） ≤0.
当－2＜ a ＜0时， ≤ x ≤－1；
当 a ＝－2时， x ＝－1；
当 a ＜－2时，－1≤ x ≤ .
综上所述，当－2＜ a ＜0时，原不等式的解集为 ；
当 a ＝－2时，原不等式的解集为{ x ｜ x ＝－1}；
当 a ＜－2时，原不等式的解集为 .
题型三 三个“二次”之间的关系及应用
【例3】 已知二次函数 y ＝ ax2＋（ b －8） x － a － ab ，且 y ＞0的解
集为{ x ｜－3＜ x ＜2}.
（1）求二次函数的解析式；
解：因为 y ＞0的解集为{ x ｜－3＜ x ＜2}，所以 a ＜0，
且－3，2是方程 ax2＋（ b －8） x － a － ab ＝0的两根，
所以解得
所以 y ＝－3 x2－3 x ＋18.
（2）当关于 x 的不等式 ax2＋ bx ＋ c ≤0的解集为R时，求 c 的取
值范围.
解：因为 a ＝－3＜0，所以二次函数 y ＝－3 x2＋5 x ＋ c 的图象开
口向下，要使－3 x2＋5 x ＋ c ≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋
12 c ≤0，所以 c ≤－ .
所以当 c ≤－ 时，－3 x2＋5 x ＋ c ≤0的解集为R.
通性通法
三个“二次”之间的关系
（1）三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问
题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究；
（2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次
函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系
如下：
提醒 由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等
式的解集形式.
【跟踪训练】
已知关于 x 的不等式 ax2＋5 x ＋ c ＞0的解集为{ x ｜ ＜ x ＜ }.
（1）求 a ， c 的值；
解：由题意知，不等式对应的方程 ax2＋5 x ＋ c ＝0的两个实数根
为 和 ，
由根与系数的关系，得解得
（2）解关于 x 的不等式 ax2＋（ ac ＋2） x ＋2 c ≥0.
解：由 a ＝－6， c ＝－1知，不等式 ax2＋（ ac ＋2） x ＋2 c ≥0
可化为－6 x2＋8 x －2≥0，即3 x2－4 x ＋1≤0，解得 ≤ x ≤1，
所以不等式的解集为 .
1. 若 x ∈R，式子 都有意义，则实数 a 的取值范围为
（ ）
A. { a ｜－2＜ a ＜2} B. { a ｜ a ＞2或 a ＜－2}
C. { a ｜ a ≤－2或 a ≥2} D. { a ｜－2≤ a ≤2}
解析： 由题意得不等式 x2＋ ax ＋1≥0对一切 x ∈R恒成立，则Δ
＝ a2－4≤0，解得－2≤ a ≤2.
2. 不等式 x2－2 x ＞0的解集是（ ）
A. { x ｜ x ≥2或 x ≤0} B. { x ｜ x ＞2或 x ＜0}
C. { x ｜0≤ x ≤2} D. { x ｜0＜ x ＜2}
解析： 解 x2－2 x ＞0，即 x （ x －2）＞0，得 x ＞2或 x ＜
0，故选B.
3. 如果关于 x 的不等式 x2＜ ax ＋ b 的解集是{ x ｜1＜ x ＜3}，那么 ba ＝
（ ）
A. －81 B. 81
C. －64 D. 64
解析： 不等式 x2＜ ax ＋ b 可化为 x2－ ax － b ＜0，其解集是
{ x ｜1＜ x ＜3}，由根与系数的关系得解得
所以 ba ＝（－3）4＝81.故选B.
4. 不等式 x2－3 x －10＜0的解集是{ x ｜－2＜ x ＜5}.
解析：由于 x2－3 x －10＝0的两根为－2，5，故 x2－3 x －10＜0的
解集为{ x ｜－2＜ x ＜5}.
5. 若方程 x2＋（ m －3） x ＋ m ＝0有实数解，则 m 的取值范围
是 .
解析：由方程 x2＋（ m －3） x ＋ m ＝0有实数解，∴Δ＝（ m －3）2
－4 m ≥0，即 m2－10 m ＋9≥0，∴（ m －9）·（ m －1）≥0，∴ m
≥9或 m ≤1.
{ x ｜－2＜ x ＜5}
{ m ｜ m ≥9或 m ≤1}
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 不等式9 x2＋6 x ＋1≤0的解集是（ ）
A.
C. D.
解析：原不等式可化为（3 x ＋1）2≤0，∴3 x ＋1＝0，∴ x ＝－ .
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2. 若0＜ m ＜1，则不等式（ x － m ） ＜0的解集为（ ）
A.
C. D.
解析： ∵0＜ m ＜1，∴ ＞1＞ m .∴（ x － m ）（ x － ）＜0
的解集为 .
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3. 二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两根为－2，3，如果 a ＜0，那么 ax2＋
bx ＋ c ＞0的解集为（ ）
A. { x ｜ x ＞3或 x ＜－2} B. { x ｜ x ＞2或 x ＜－3}
C. { x ｜－2＜ x ＜3} D. { x ｜－3＜ x ＜2}
解析： 由题意知－2＋3＝－ ，－2×3＝ ，∴ b ＝－ a ， c ＝
－6 a ，∴不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0可化为 ax2－ ax －6 a ＞0，又 a ＜
0，∴ x2－ x －6＜0，∴（ x －3）（ x ＋2）＜0，∴－2＜ x ＜3，故
选C.
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4. 若不等式 ax2－ x － c ＞0的解集为{ x ｜－2＜ x ＜1}，则函数 y ＝ ax2
－ x － c 的图象为（ ）
解析： 因为不等式的解集为{ x ｜－2＜ x ＜1}，所以 a ＜0，图
象开口向下，排除C、D，又与坐标轴交点的横坐标为－2，1，故
选B.
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5. （多选）下列四个不等式中，解集为 的是（ ）
A. － x2＋ x ＋1≤0
B. 2 x2－3 x ＋4＜0
C. x2＋3 x ＋10≤0
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解析： 对于A，－ x2＋ x ＋1≤0对应函数 y ＝－ x2＋ x ＋1开
口向下，显然解集不为 ；对于B，2 x2－3 x ＋4＜0，对应的函数
开口向上，Δ＝9－32＜0，其解集为 ；对于C， x2＋3 x ＋10≤0，
对应的函数开口向上，Δ＝9－40＜0，其解集为 ；对于D，－ x2
＋4 x － ＞0（ a ＞0）对应的函数开口向下，Δ＝16－4
≤16－4×2 ＝0，当且仅当 a ＝2时，取等号，其解集为
.故选B、C、D.
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6. （多选）已知关于 x 的不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜－ ＜ x
＜2}，则下列结论正确的是（ ）
A. a ＞0 B. b ＞0
C. c ＞0 D. a ＋ b ＋ c ＞0
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解析： 因为不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜－ ＜ x ＜2}，所以相应的二次函数 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的图象开口向下，所以 a
＜0，故A错误；易知2和－ 是方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两个根，则
有 ＝－1＜0，－ ＝ ＞0，又 a ＜0，故 b ＞0， c ＞0，故B、C正
确；由二次函数的图象可知，当 x ＝1时， y ＝ a ＋ b ＋ c ＞0，故D
正确.
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7. 不等式 x2＋3 x －4＜0的解集为 .
解析：易得方程 x2＋3 x －4＝0的两根为－4，1，所以不等式 x2＋3
x －4＜0的解集为{ x ｜－4＜ x ＜1}.
{ x ｜－4＜ x ＜1}
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8. 若 A ＝（－2，5），则以 A 为解集的一个一元二次不等式可以是
.
解析：设关于 x 的一元二次不等式 ax2＋ bx ＋ c ＜0的解集为（－2，
5）.则－2和5是关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝0的两根，且
a ＞0.即不妨设 a ＝1，解得 b ＝－3， c ＝－10.
所以以 A 为解集的一个一元二次不等式可以是 x2－3 x －10＜0.
x2
－3 x －10＜0（答案不唯一）
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9. 关于 x 的不等式（ mx －1）（ x －2）＞0，若此不等式的解集为
，则 m 的取值范围是 .
解析：∵不等式（ mx －1）（ x －2）＞0的解集为 ，
∴方程（ mx －1）（ x －2）＝0的两个实数根为 和2，且
解得 m ＜0，∴ m 的取值范围是{ m ｜ m ＜0}.
{ m ｜ m ＜0}
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10. 解下列不等式：
（1） x2＋2 x －15＜0；
解： x2＋2 x －15＝（ x ＋5）（ x －3）＜0，
解得－5＜ x ＜3，
所以原不等式的解集为{ x ｜－5＜ x ＜3}.
（2）－ x2＋3 x ＋2＜6 x －2；
解：－ x2＋3 x ＋2＜6 x －2 x2＋3 x －4＝（ x ＋4）（ x
－1）＞0，解得 x ＞1或 x ＜－4，
所以原不等式的解集为{ x ｜ x ＜－4或 x ＞1}.
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（3） x2＋2 x ＋4＞0；
解： x2＋2 x ＋4＞0，Δ＝4－4× ×4＝0，
故 x ≠－4，所以原不等式的解集为{ x ｜ x ≠－4}.
（4）（2 x ＋1）（ x －3）＞3（ x2＋2）.
解：（2 x ＋1）（ x －3）＞3（ x2＋2） x2＋5 x ＋9＜0，
Δ＝25－36＝－11＜0，无解，
所以原不等式的解集为 .
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11. 对于实数 x ，规定[ x ]表示不大于 x 的最大整数，那么使不等式
4[ x ]2－63[ x ]＋45＜0成立的 x 的取值范围是（ ）
A. [1，15） B. [2，8]
C. [2，8） D. [2，15）
解析： 不等式4[ x ]2－63[ x ]＋45＜0，即为（4[ x ]－3）
（[ x ]－15）＜0，解得 ＜[ x ]＜15，则[ x ]∈{1，2，3，…，
14}，因此1≤ x ＜15.故选A.
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12. （多选）已知 a ∈Z，关于 x 的一元二次不等式 x2－6 x ＋ a ≤0的解
集中有且仅有3个整数，则 a 的值可以是（ ）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
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解析： 设 y ＝ x2－6 x ＋ a ，其图象为开
口向上，对称轴是直线 x ＝3的抛物线，如图所
示.若关于 x 的一元二次不等式 x2－6 x ＋ a ≤0
的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为 x ＝
3，则解得5＜ a ≤8.又 a
∈Z，故 a 可以为6，7，8.故选A、B、C.
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13. （多选）已知关于 x 的不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜ x ＜－
2或 x ＞4}，则（ ）
A. a ＞0
B. 不等式 bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜ x ＜－4}
C. a ＋ b ＋ c ＞0
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解析： 关于 x 的不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜ x ＜－
2或 x ＞4}，所以 a ＞0，A项正确；由题知－2和4是关于 x 的方程
ax2＋ bx ＋ c ＝0的两根，由根与系数的关系，得
则 b ＝－2 a ， c ＝－8 a ，则 a ＋ b ＋ c ＝－9 a ＜0，C项错误；不
等式 bx ＋ c ＞0即－2 ax －8 a ＞0，解得 x ＜－4，B项正确；不等
式 cx2－ bx ＋ a ＜0即－8 ax2＋2 ax ＋ a ＜0，即8 x2－2 x －1＞0，解
得 x ＜－ 或 x ＞ ，D项正确.故选A、B、D.
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14. 已知函数 y ＝ ax2－（2 a ＋1） x ＋2.
（1）当 a ＝2时，解关于 x 的不等式 y ≤0；
解：当 a ＝2时， y ＝2 x2－5 x ＋2≤0，
可得（2 x －1）（ x －2）≤0，
∴ ≤ x ≤2，∴解集为 .
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（2）当 a ＞0，解关于 x 的不等式 y ≤0.
解： ax2－（2 a ＋1） x ＋2≤0，即 a （ x －2）≤0.
①当0＜ a ＜ 时，有 ＞2，解得2≤ x ≤ ；
②当 a ＝ 时，有 ＝2，解得 x ＝2；
③当 a ＞ 时，有 ＜2，解得 ≤ x ≤2.
综上，当0＜ a ＜ 时，不等式的解集为{ x ｜2≤ x ≤ }；
当 a ＝ 时，不等式的解集为{ x ｜ x ＝2}；
当 a ＞ 时，不等式的解集为 .
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15. 对于问题：“已知关于 x 的不等式 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜
－1＜ x ＜2}，解关于 x 的不等式 ax2－ bx ＋ c ＞0.”给出如下一种
解法：由 ax2＋ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜－1＜ x ＜2}，得 a （－
x ）2＋ b （－ x ）＋ c ＞0的解集为{ x ｜－2＜ x ＜1}，即关于 x 的
不等式 ax2－ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜－2＜ x ＜1}.参考上述解
法，若关于 x 的不等式 ＋ ＜0的解集为{ x ｜－1＜ x ＜－
或 ＜ x ＜1}，则关于 x 的不等式 ＋ ＜0的解集是（ ）
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A. { x ｜－2＜ x ＜1或1＜ x ＜3}
B. { x ｜－3＜ x ＜－1或1＜ x ＜2}
C. { x ｜－3＜ x ＜－2或－1＜ x ＜1}
D. { x ｜－2＜ x ＜－1或1＜ x ＜2}
解析： 若关于 x 的不等式 ＋ ＜0的解集为{ x ｜－1＜ x
＜－ 或 ＜ x ＜1}，则关于 x 的不等式 ＋ ＜0可看成前者
不等式中的 x 用 代替得到的，则 ∈{ x ｜－1＜ x ＜－ 或 ＜ x ＜
1}，则 x ∈{ x ｜－3＜ x ＜－1或1＜ x ＜2}，故选B.
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16. 已知函数 y ＝ x2＋ bx ＋ c ，且不等式 y ≤0的解集为[－1，2].
（1）求函数 y 的解析式；
解：因为 y ≤0的解集为[－1，2]，所以 x2＋ bx ＋ c ＝0
的根为－1，2，
所以解得
所以 y ＝ x2－ x －2.
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（2）解关于 x 的不等式 my ＞2（ x － m －1），其中 m ≥0.
解： my ＞2（ x － m －1），即（ mx －2）（ x －1）＞0，
当 m ＝0时，不等式为2（ x －1）＜0，不等式的解集为
（－∞，1）；
当 ＞1，即0＜ m ＜2时，不等式的解集为（－∞，1）
∪ ；
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当 ＝1，即 m ＝2时，不等式的解集为（－∞，1）∪（1，＋∞）；
当 ＜1，即 m ＞2时，不等式的解集为 ∪（1，＋∞）.
综上得：当 m ＝0时，不等式的解集为（－∞，1），
当0＜ m ＜2时，不等式的解集为（－∞，1）∪ ，
当 m ＝2时，不等式的解集为（－∞，1）∪（1，＋∞），
当 m ＞2时，不等式的解集为 ∪（1，＋∞）.
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谢 谢 观 看！4.2 一元二次不等式及其解法
1.不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是（ ）
A. B.
C. D.
2.若0＜m＜1，则不等式（x－m）＜0的解集为（ ）
A. B.
C. D.
3.二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2，3，如果a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为（ ）
A.{x｜x＞3或x＜－2} B.{x｜x＞2或x＜－3}
C.{x｜－2＜x＜3} D.{x｜－3＜x＜2}
4.若不等式ax2－x－c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，则函数y＝ax2－x－c的图象为（ ）
5.（多选）下列四个不等式中，解集为 的是（ ）
A.－x2＋x＋1≤0
B.2x2－3x＋4＜0
C.x2＋3x＋10≤0
D.－x2＋4x－＞0（a＞0）
6.（多选）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－＜x＜2}，则下列结论正确的是（ ）
A.a＞0 B.b＞0
C.c＞0 D.a＋b＋c＞0
7.不等式x2＋3x－4＜0的解集为 .
8.若A＝（－2，5），则以A为解集的一个一元二次不等式可以是 .
9.关于x的不等式（mx－1）（x－2）＞0，若此不等式的解集为，则m的取值范围是 .
10.解下列不等式：
（1）x2＋2x－15＜0；
（2）－x2＋3x＋2＜6x－2；
（3）x2＋2x＋4＞0；
（4）（2x＋1）（x－3）＞3（x2＋2）.
11.对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么使不等式4[x]2－63[x]＋45＜0成立的x的取值范围是（ ）
A.[1，15） B.[2，8]
C.[2，8） D.[2，15）
12.（多选）已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是（ ）
A.6 B.7
C.8 D.9
13.（多选）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞4}，则（ ）
A.a＞0
B.不等式bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－4}
C.a＋b＋c＞0
D.不等式cx2－bx＋a＜0的解集为{x｜x＜－或x＞}
14.已知函数y＝ax2－（2a＋1）x＋2.
（1）当a＝2时，解关于x的不等式y≤0；
（2）当a＞0，解关于x的不等式y≤0.
15.对于问题：“已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－1＜x＜2}，解关于x的不等式ax2－bx＋c＞0.”给出如下一种解法：由ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－1＜x＜2}，得a（－x）2＋b（－x）＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，即关于x的不等式ax2－bx＋c＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}.参考上述解法，若关于x的不等式＋＜0的解集为{x｜－1＜x＜－或＜x＜1}，则关于x的不等式＋＜0的解集是（ ）
A.{x｜－2＜x＜1或1＜x＜3}
B.{x｜－3＜x＜－1或1＜x＜2}
C.{x｜－3＜x＜－2或－1＜x＜1}
D.{x｜－2＜x＜－1或1＜x＜2}
16.已知函数y＝x2＋bx＋c，且不等式y≤0的解集为[－1，2].
（1）求函数y的解析式；
（2）解关于x的不等式my＞2（x－m－1），其中m≥0.
4.2 一元二次不等式及其解法
1.D 原不等式可化为（3x＋1）2≤0，∴3x＋1＝0，∴x＝－.
2.D ∵0＜m＜1，∴＞1＞m.∴（x－m）（x－）＜0的解集为.
3.C 由题意知－2＋3＝－，－2×3＝，∴b＝－a，c＝－6a，∴不等式ax2＋bx＋c＞0可化为ax2－ax－6a＞0，又a＜0，∴x2－x－6＜0，∴（x－3）（x＋2）＜0，∴－2＜x＜3，故选C.
4.B 因为不等式的解集为{x｜－2＜x＜1}，所以a＜0，图象开口向下，排除C、D，又与坐标轴交点的横坐标为－2，1，故选B.
5.BCD 对于A，－x2＋x＋1≤0对应函数y＝－x2＋x＋1开口向下，显然解集不为 ；对于B，2x2－3x＋4＜0，对应的函数开口向上，Δ＝9－32＜0，其解集为 ；对于C，x2＋3x＋10≤0，对应的函数开口向上，Δ＝9－40＜0，其解集为 ；对于D，－x2＋4x－＞0（a＞0）对应的函数开口向下，Δ＝16－4≤16－4×2＝0，当且仅当a＝2时，取等号，其解集为 .故选B、C、D.
6.BCD 因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜－＜x＜2}，所以相应的二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a＜0，故A错误；易知2和－是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有＝－1＜0，－＝＞0，又a＜0，故b＞0，c＞0，故B、C正确；由二次函数的图象可知，当x＝1时，y＝a＋b＋c＞0，故D正确.
7.{x｜－4＜x＜1} 解析：易得方程x2＋3x－4＝0的两根为－4，1，所以不等式x2＋3x－4＜0的解集为{x｜－4＜x＜1}.
8.x2－3x－10＜0（答案不唯一） 解析：设关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为（－2，5）.则－2和5是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a＞0.即不妨设a＝1，解得b＝－3，c＝－10.所以以A为解集的一个一元二次不等式可以是x2－3x－10＜0.
9.{m｜m＜0} 解析：∵不等式（mx－1）（x－2）＞0的解集为，∴方程（mx－1）（x－2）＝0的两个实数根为和2，且解得m＜0，∴m的取值范围是{m｜m＜0}.
10.解：（1）x2＋2x－15＝（x＋5）（x－3）＜0，
解得－5＜x＜3，
所以原不等式的解集为{x｜－5＜x＜3}.
（2）－x2＋3x＋2＜6x－2 x2＋3x－4＝（x＋4）（x－1）＞0，解得x＞1或x＜－4，
所以原不等式的解集为{x｜x＜－4或x＞1}.
（3）x2＋2x＋4＞0，Δ＝4－4××4＝0，
故x≠－4，所以原不等式的解集为{x｜x≠－4}.
（4）（2x＋1）（x－3）＞3（x2＋2） x2＋5x＋9＜0，
Δ＝25－36＝－11＜0，无解，
所以原不等式的解集为 .
11.A 不等式4[x]2－63[x]＋45＜0，即为（4[x]－3）（[x]－15）＜0，解得＜[x]＜15，则[x]∈{1，2，3，…，14}，因此1≤x＜15.故选A.
12.ABC 设y＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是直线x＝3的抛物线，如图所示.若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为x＝3，则解得5＜a≤8.又a∈Z，故a可以为6，7，8.故选A、B、C.
13.ABD 关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x｜x＜－2或x＞4}，所以a＞0，A项正确；由题知－2和4是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系，得则b＝－2a，c＝－8a，则a＋b＋c＝－9a＜0，C项错误；不等式bx＋c＞0即－2ax－8a＞0，解得x＜－4，B项正确；不等式cx2－bx＋a＜0即－8ax2＋2ax＋a＜0，即8x2－2x－1＞0，解得x＜－或x＞，D项正确.故选A、B、D.
14.解：（1）当a＝2时，y＝2x2－5x＋2≤0，
可得（2x－1）（x－2）≤0，
∴≤x≤2，∴解集为.
（2）ax2－（2a＋1）x＋2≤0，即a（x－2）≤0.
①当0＜a＜时，有＞2，解得2≤x≤；
②当a＝时，有＝2，解得x＝2；
③当a＞时，有＜2，解得≤x≤2.
综上，当0＜a＜时，不等式的解集为；
当a＝时，不等式的解集为{x｜x＝2}；
当a＞时，不等式的解集为.
15.B 若关于x的不等式＋＜0的解集为{x｜－1＜x＜－或＜x＜1}，则关于x的不等式＋＜0可看成前者不等式中的x用代替得到的，则∈{x｜－1＜x＜－或＜x＜1}，则x∈{x｜－3＜x＜－1或1＜x＜2}，故选B.
16.解：（1）因为y≤0的解集为[－1，2]，所以x2＋bx＋c＝0的根为－1，2，
所以
解得
所以y＝x2－x－2.
（2）my＞2（x－m－1），即（mx－2）（x－1）＞0，
当m＝0时，不等式为2（x－1）＜0，不等式的解集为（－∞，1）；
当＞1，即0＜m＜2时，不等式的解集为（－∞，1）∪；
当＝1，即m＝2时，不等式的解集为（－∞，1）∪（1，＋∞）；
当＜1，即 m＞2时，不等式的解集为∪（1，＋∞）.
综上得：当m＝0时，不等式的解集为（－∞，1），
当0＜m＜2时，不等式的解集为（－∞，1）∪，
当m＝2时，不等式的解集为（－∞，1）∪（1，＋∞），
当m＞2时，不等式的解集为∪（1，＋∞）.
2 / 24.2 一元二次不等式及其解法
新课程标准解读 核心素养
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实数根的存在性及实数根的个数 数学抽象、直观想象、 逻辑推理
2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集 数学抽象、数学运算
3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 直观想象、数学建模
城市人口的急剧增加使车辆日益增多，需要通过修建立交桥和高架道路，以提高车速和通过能力.城市环线和高速公路网的连结也必须通过大型互通式立交桥进行分流和引导，保证交通的畅通.城市立交桥已成为现代化城市的重要标志.为了保证安全，交通部门规定，在立交桥的某地段的运行汽车的车距d正比于速度v的平方与车身长（单位：m）的积，且车距不得少于半个车身，假定车身长均为l（单位：m），当车速为60（单位：km/h）时，车距为1.44个车身长.
【问题】 在交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此处的车流量最大？
知识点一 一元二次不等式的概念
1.定义：形如 ，或 ，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0（其中x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0）的不等式叫作一元二次不等式.
2.解集：使一元二次不等式成立的 的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集.
提醒 一元二次不等式概念中的关键词：①一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数（或参数）；
②二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0.
知识点二 “三个二次”之间的关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的实数根 有两个相异的实数根x1，x2（x1＜x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝ 没有实数根
一元二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象
ax2＋bx＋c＞0（a＞0）的解集 {x｜x＜x1或x＞x2} {x｜x≠－} R
【想一想】
当Δ＝0时，不等式ax2＋bx＋c≥0（a＞0）与ax2＋bx＋c≤0（a＞0）的解集分别是什么？
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）mx2－5x＜0是一元二次不等式.（ ）
（2）若a＞0，则一元二次不等式ax2＋1＞0无解.（ ）
（3）若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2（x1＜x2），则一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x｜x1＜x＜x2}.（ ）
（4）不等式x2－2x＋3＞0的解集为R.（ ）
2.（2024·镇江月考）不等式3＋5x－2x2≤0的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.R
3.不等式x2－2x－5＞2x的解集是 .
题型一 不含参数的一元二次不等式的解法
【例1】 求下列不等式的解集：
（1）2x2＋7x＋3＞0；
（2）－4x2＋18x－≥0；
（3）－2x2＋3x－2＜0.
尝试解答
通性通法
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
（1）化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，二次项系数为正；
（2）判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式；
（3）求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；
（4）画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；
（5）写解集：根据图象写出不等式的解集.
【跟踪训练】
1.不等式x（x－9）＜x－21的解集为（ ）
A.（3，7）
B.（－∞，3）∪（7，＋∞）
C.（－7，－3）
D.（－∞，－7）∪（－3，＋∞）
2.下列四个不等式中解集为R的是（ ）
A.－x2＋x＋1≥0 B.x2－2x＋5＞0
C.x2＋6x＋10＞0 D.2x2－3x＋4＜0
题型二 含参数的一元二次不等式的解法
【例2】 解关于x的不等式：x2－2ax＋2≤0（a∈R）.
尝试解答
通性通法
含参数的一元二次不等式的解法
【跟踪训练】
解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax（a＜0）.
题型三 三个“二次”之间的关系及应用
【例3】 已知二次函数y＝ax2＋（b－8）x－a－ab，且y＞0的解集为{x｜－3＜x ＜2}.
（1）求二次函数的解析式；
（2）当关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为R时，求c的取值范围.
尝试解答
通性通法
三个“二次”之间的关系
（1）三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究；
（2）讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
提醒 由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式.
【跟踪训练】
已知关于x的不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为{x｜＜x＜}.
（1）求a，c的值；
（2）解关于x的不等式ax2＋（ac＋2）x＋2c≥0.
1.若 x∈R，式子都有意义，则实数a的取值范围为（ ）
A.{a｜－2＜a＜2}
B.{a｜a＞2或a＜－2}
C.{a｜a≤－2或a≥2}
D.{a｜－2≤a≤2}
2.不等式x2－2x＞0的解集是（ ）
A.{x｜x≥2或x≤0}
B.{x｜x＞2或x＜0}
C.{x｜0≤x≤2}
D.{x｜0＜x＜2}
3.如果关于x的不等式x2＜ax＋b的解集是{x｜1＜x＜3}，那么ba＝（ ）
A.－81 B.81
C.－64 D.64
4.（2024·黄山期中）不等式x2－3x－10＜0的解集是 .
5.若方程x2＋（m－3）x＋m＝0有实数解，则m的取值范围是 .
4.2 一元二次不等式及其解法
【基础知识·重落实】
知识点一
1.ax2＋bx＋c＞0 ax2＋bx＋c＜0 2.所有未知数
知识点二
－
想一想
提示：R，.
自我诊断
1.（1）× （2）× （3）× （4）√
2.C
3.{x｜x＞5或x＜－1}
【典型例题·精研析】
【例1】 解：（1）因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－.又一元二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为.
（2）原不等式可化为≤0，所以原不等式的解集为.
（3）原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又一元二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
跟踪训练
1.A x（x－9）＜x－21，即x2－10x＋21＜0，即（x－3）（x－7）＜0，解得3＜x＜7.故选A.
2.C 利用“Δ”判断，在不等式x2＋6x＋10＞0中，Δ＝62－40＜0，∴不等式x2＋6x＋10＞0的解集为R，其他可类似判断.故选C.
【例2】 解：因为Δ＝4a2－8，当Δ＜0，即－＜a＜时，原不等式对应的方程无实根.又一元二次函数y＝x2－2ax＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为 .
当Δ＝0，即a＝±时，原不等式对应的方程有两个相等实根.
当a＝时，原不等式的解集为；
当a＝－时，原不等式的解集为.
当Δ＞0，即a＞或a＜－时，原不等式对应的方程有两个不等实根，分别为x1＝a－，x2＝a＋，且x1＜x2，所以原不等式的解集为{x｜a－≤x≤a＋}.
综上所述，当－＜a＜时，原不等式的解集为 ；
当a＝时，原不等式的解集为{x｜x＝}；
当a＝－时，原不等式的解集为{x｜x＝－}；
当a＞或a＜－时，原不等式的解集为{x｜a－≤x≤a＋}.
跟踪训练
解：原不等式移项得ax2＋（a－2）x－2≥0，化简为（x＋1）（ax－2）≥0.
∵a＜0，∴（x＋1）≤0.
当－2＜a＜0时，≤x≤－1；
当a＝－2时，x＝－1；
当a＜－2时，－1≤x≤.
综上所述，当－2＜a＜0时，原不等式的解集为；
当a＝－2时，原不等式的解集为{x｜x＝－1}；
当a＜－2时，原不等式的解集为.
【例3】 解：（1）因为y＞0的解集为{x｜－3＜x＜2}，所以a＜0，
且－3，2是方程ax2＋（b－8）x－a－ab＝0的两根，
所以解得
所以y＝－3x2－3x＋18.
（2）因为a＝－3＜0，所以二次函数y＝－3x2＋5x＋c的图象开口向下，要使－3x2＋5x＋c≤0的解集为R，只需Δ≤0，即25＋12c≤0，所以c≤－.
所以当c≤－时，－3x2＋5x＋c≤0的解集为R.
跟踪训练
解：（1）由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和，
由根与系数的关系，得
解得
（2）由a＝－6，c＝－1知，不等式ax2＋（ac＋2）x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0，即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1，所以不等式的解集为.
随堂检测
1.D 由题意得不等式x2＋ax＋1≥0对一切x∈R恒成立，则Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2.
2.B 解x2－2x＞0，即x（x－2）＞0，得x＞2或x＜0，故选B.
3.B 不等式x2＜ax＋b可化为x2－ax－b＜0，其解集是{x｜1＜x＜3}，由根与系数的关系得解得所以ba＝（－3）4＝81.故选B.
4.{x｜－2＜x＜5} 解析：由于x2－3x－10＝0的两根为－2，5，故x2－3x－10＜0的解集为{x｜－2＜x＜5}.
5.{m｜m≥9或m≤1} 解析：由方程x2＋（m－3）x＋m＝0有实数解，∴Δ＝（m－3）2－4m≥0，即m2－10m＋9≥0，∴（m－9）·（m－1）≥0，∴m≥9或m≤1.
4 / 4
